Меню

Абсолютная погрешность измерений средней плотности



Оценка погрешности измерения плотности.

Относительная погрешность e=Dr/r косвенных измерений оценивается как сумма относительных погрешностей прямых измерений массы, диаметра и высоты цилиндра:

(4)

Погрешность Dm оценивается исходя из чувствительности весов, погрешность прямого измерения диаметра DD оценивается на основании трёх измерений с помощью микрометра, в качестве погрешности высоты Dh берётся инструментальная погрешность штангенциркуля.

Абсолютная погрешность измерений плотности производится по формуле:

(5)

Таблицы экспериментальных данных и результаты расчётов.

D, мм DD, мм
18,98 0,01
18,95 0,02
18,97 0,00
ср 18,97 0,01

Таблица №1

Таблица №2

h, мм Dh, мм m, г Dm, г r, кг/м 3 Dr, кг/м 3
49,80 0,03 93,65 0,01

Расчёт плотности материала в СИ:

6.Графики– отсутствуют.

7.Расчёт погрешностей:

Относительная погрешность, расчёт по формуле (4):

Абсолютная погрешность, расчёт по формуле (5)

8.Окончательный результат:

r = (2,392 ± 0,005)·10 3 кг/м 3 e =0,002

или:r = (2392 ± 5) кг/м 3 e =0,002

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ

РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Измерение – это сравнение измеряемой величины с другой величиной, принятой за единицу измерения. Большинство физических величин обладают истинным значением, которое идеально отражает свойства измеряемого объекта.

Измерения бывают прямые и косвенные. При прямых измерениях определяемая величина непосредственно сравнивается с единицей измерения (определение длины предмета, его массы и времени протекания процесса). При косвенных измерениях измеряемая величина вычисляется из результатов прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой величиной некоторой функциональной зависимостью (измерение скорости, плотности тела и т.д.).

Все физические эксперименты производятся с некоторой точностью, т.е. всегда имеется погрешностьизмерений физических величин. Погрешностью называется отклонение результатов измерений от истинного значения измеряемой величины.

Погрешности подразделяются на:

1.Систематические, обусловленные особенностями измерительных приборов и условий измерения. В принципе эти погрешности могут быть устранены усовершенствованием измерительных приборов и методов измерений.

2.Случайные, которые изменяются случайным образом при проведении серии повторных измерений одной и той же величины. Случайные погрешности вызываются как объективными, так и субъективными причинами. Случайные погрешности, существенно превышающие ожидаемую для данного измерения величину, называются промахами. Обычно промахи объясняются невнимательностью экспериментатора и должны быть исключены из рассмотрения.

3.Инструментальные погрешности, зависящие от ограниченной точности измерительного прибора.

Наиболее простая процедура нахождения случайных погрешностей прямого измерения заключается в следующем.

Производится ряд единичных измерений значения некоторой физической величины Х (обычно делается нечётное число измерений):Х1, Х2, Х3, …….. ХN, всего N измерений. Вычисляется средняя арифметическая величина Хср:

(1)

При достаточно большом числе измерений N величина Хср принимается за истинное значение измеряемой величины.

Абсолютной погрешностью прямого единичного измерения называется величина:

Производится вычисление погрешностей всех N единичных измерений: 1, DХ2, DХ3,……DХN. Вычисляется средняя арифметическая величина ср:

(3)

Найденное экспериментально значение измеряемой величины Х записывается в виде:

Относительной погрешностью измеряемой величины является отношение абсолютной погрешности к значению самой величины:

(5)

При косвенных измерениях производится определение (путём прямых измерений) значений ряда физических величин, входящих в формулу для расчёта, находятся их средние значения и средние абсолютные и относительные погрешности измерений.

Определение погрешностей косвенных измерений производится в соответствии со следующей процедурой. Пусть измеряемая величина Х вычисляется по формуле:

(6)

Значения физических величин А, В, Снаходятся путём прямых измерений. Следовательно, для них известны средние значения и средние погрешности измерений, как абсолютные, так и относительные.

1.Логарифмируется формула, по которой вычисляется значение величины Х:

Читайте также:  Формула плотности материала единицы измерения

lnX = ln2 +lnp + lnA + lnB — 2·lnC.

2.Полученное выражение дифференцируется:

3.Знаки дифференциалов d в этой формуле заменяются знаками конечных приращений D, а все знаки “ _ ” заменяются на “+”:

(7)

Выражение (7) представляет собой относительную погрешность косвенных измерений. Для определения абсолютной погрешности следует значение относительной погрешности умножить на Хср.

Погрешность серии косвенных измерений величины Х можно определить (на примере формулы 6) в соответствии с процедурой, указанной в таблице 1.

ТАБЛИЦА 1

А В С Х
А1 В1 С1 Х1 1
А2 В2 С2 Х2 2
А3 В3 С3 Х3 3
Хср DХср

По результатам трёх прямых измерений величин А,В,С вычисляются три значения Х. Далее находится среднее значение Хср, погрешность каждого измерения и среднее значение погрешности измерений ср.

Если точность измерительного прибора недостаточна для определения погрешности прямых измерений, используется инструментальная погрешность.

Точность измерительного прибора определяется значением минимального деления его измерительной шкалы.

Инструментальная погрешность измерительного прибора равна половине его точности, т.е. половине минимального деления шкалы.

Источник

п4. РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРАВИЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ (ЦИЛИНДР)

Прежде чем приступить к расчета, ознакомьтесь с указанной выше литературой.

Точность измерения штангенциркуля равна 0,1 мм, погрешность 0,05 мм; микрометра 0,01 мм, погрешность 0,005 мм. Следовательно, в случае измерения штангенциркулем любые расчетные значения должны округляться до сотых долей мм, для микрометра до тысячных долей.

Для определения погрешности косвенных измерений плотности тела требуется выполнить следующие действия.

Запишем формулу для определения плотности тела: r=m/V. Объем тела, имеющего форму цилиндра, равен

V=pR 2 H=p(D/2) 2 H=pD 2 H/4,

Измерьте высоту цилиндра Н с помощью микрометра или штангенциркуля пять раз (n = 5) в разных местах, и результаты занесите в таблицу. Найдите среднее арифметическое значение , выборочную исправленную дисперсию SH 2 и исправленное среднеквадратичное отклонение SH.

Вычислите погрешность прямого измерения по формуле

Где n – число измерений. ta,n-1 — коэффициент Стьюдента для 5 измерений при доверительной вероятности a = 0,95 в случае двусторонней области равен 2,776. Запишите DH в таблицу.

Окончательный результат измерения Н следует записать в виде

Относительная погрешность, допущенная при измерении высоты цилиндра равна:

Запишите и DH в таблицу.

Измерьте диаметр цилиндра D c помощью штангенциркуля в различных местах пять раз. Найдите , SD 2 , SD, определите абсолютную и относительную погрешности ∆D и eD так же как указано выше. Результаты занесите в таблицу.

Вычислите средний объем цилиндра ; для этого подставьте результаты полученных измерений и в формулу объема цилиндра:

Иногда, если это делать механически, получают многозначное число (большое количество цифр после запятой) и становятся в тупик — какие цифры в этом числе являются значащими? Какова точность полученного результата? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно рассчитать погрешности в определении объема. Они определяют верные, сомнительные и неверные цифры этого результата. Однако, до того как рассчитывать объем и погрешности, нужно воспользоваться теорией приближенных вычислений. Правило округления: в окончательном результате нужно оставлять столько значащих цифр (в нашем случае рассматриваются цифры после запятой), сколько их есть в исходном данном с наименьшим числом значащих цифр. Поэтому, округлите полученное значение согласно данному правилу.

Рассчитайте абсолютную ∆V и относительную ev погрешности определения объема.

где .

Мы уже знаем, что в погрешности не следует оставлять больше двух или трех значащих цифр, поэтому все числа следует округлить до значащих цифр. Результаты занесите в таблицу.

Читайте также:  Контрольная работа по математике 5 класс измерение величин никольский ответы

Определите массу тела, сделав пять измерений. Вычислите среднее значение, абсолютную и относительную погрешности массы.

Определите плотность вещества, из которого изготовлен цилиндр:

При определении погрешностей плотности, проще поступить следующим образом: первым шагом сначала найти относительную погрешность, вторым шагом рассчитать абсолютную.

Абсолютная погрешность в определении плотности вещества:

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ:

1. Внимательно прочитайте порядок обращения с аналитическими весами (п. 2).

2. Начертите 4 таблицы по образцу (согласно количеству выданных цилиндров). Для всех, выданных вам цилиндров, проделайте следующие действия.

3. Измерьте 5 раз высоту цилиндра Н, меняя положение цилиндра. Проведите требуемые расчеты согласно п. 4. Полученные данные запишите в таблицу.

4. Измерьте 5 раз диаметр цилиндра D, перемещая штангенциркуль или микрометр вдоль цилиндра. Проведите требуемые расчеты согласно п. 4. Полученные данные запишите в таблицу.

5. Измерьте 5 раз массу цилиндра m, с соблюдением требований п.2 и п. 3. Проведите требуемые расчеты согласно п. 4. Полученные данные запишите в таблицу.

6. Определите объем цилиндра V и плотность цилиндра r. Проведите требуемые расчеты согласно п. 4. Полученные данные запишите в таблицу.

7. По таблице плотностей твердых тел определите вещества, из которых изготовлены цилиндры.

8. Запишите ответы. Переведите единицы плотности в СИ. Сделайте вывод.

Н, мм ∆Н, мм eН D, мм ∆D, мм eD ,мм 3 ∆V, мм 3 eV m, мг ∆m, мг em , мг/мм 3 ∆r, мг /мм 3 er

Где — среднее значение соответствующих величин.

  1. Дайте определения выборочной средней, выборочной исправленной дисперсии, выборочному исправленному среднеквадратичному отклонению (несмещенным оценкам).
  2. Напишите выражение для нормального закона распределения и укажите его основные характеристики.
  3. Напишите выражение для функции Лапласа. Для чего она применяется и каковы ее основные свойства?
  4. Как определить доверительный интервал (абсолютную погрешность) и относительную погрешность при прямых измерениях?
  5. Как определить доверительный интервал (абсолютную погрешность) и относительную погрешность при косвенных измерениях?
  6. Почему для оценки разброса используются две величины: выборочная исправленная дисперсия и выборочное исправленное среднеквадратичное отклонение?
  7. Каким образом и почему можно повысить точность измерений случайной величины?
  8. Можно ли получить точность определения случайной величины меньше, чем инструментальная погрешность (погрешность измерительного прибора)?
  9. Объясните, как округляют расчетные величины.
  10. Объясните, как измерить размеры тела с помощью штангенциркуля (измерьте длину предложенного преподавателем предмета).
  11. Как рассчитать абсолютную и относительную ошибку измерения высоты, диаметра и массы?
  12. Как рассчитать абсолютную и относительную ошибку измерения плотности?
  13. Расскажите устройство аналитических весов. Объясните, как проводить измерение на аналитических весах.
  14. Как определить цену деления и чувствительность прибора? Чему равна цена деления штангенциркуля, аналитических весов?
  15. В каких единицах измеряются абсолютная и относительная ошибки? Как перевести плотность из мг/мм 3 и г/см 3 в кг/м 3 ?

Источник

Найти плотность тела и погрешность определения плотности.

Результаты прямых измерений массы m и объема V тела занесены в строку «среднее» табл. 1:

Vср = 8,0457 см 3 ; ΔVср = 0,0422 см 3

а) записать результаты прямых измерений в стандартном виде в единицах СИ:

б) найти плотность тела и погрешность определения плотности:

в) пользуясь справочной таблицей плотностей определить материал тела.

а) mср ≈ 63,30 г = 63,30 ·10 -3 кг ;

(сохранены две верные цифры 6 и 3, не имеющие погрешности, и две сомнительные цифры 3 и 0, содержащие погрешность);

Δmср ≈ 0,14 г = 0,14 ·10 -3 кг ;

(округление до двух значащих цифр, т.к. первая из них – единица);

Читайте также:  Приборы для измерений климатических параметров метео 10

Vср ≈ 8,05 см 3 = 8,05 ·10 -6 м3 ,

(сохранены две верные цифры 8 и 0 и одна сомнительная 5);

ΔVср ≈ 0,04 см 3 = 0,04 ·10 -6 м3 (округление до одной значащей ицифры);

m = (63,30 ± 0,14) ·10 -3 кг , δ m = 0,221 % ;

V = (8,05 ± 0,04) ·10 -6 м3 , δV = 0,50 % .

б) Среднее значение плотности:

Относительная погрешность в определении плотности тела:

1) 2) 3)

4) ;

Абсолютная погрешность Δρср :

Δρср = δρ ·ρср = 0,72·10 -2 ·7,86·10 3 = 60 кг/м 3

(Округление до одной значащей цифры)

Запись в стандартном виде:

ρ = (7,86 ± 0,06)·10 3 кг/м 3 ; δρ = 0,72 %

(Сохранены две верные цифры 7 и 8 и одна сомнительная – 6)

в) В справочной таблице ближайшей к полученному значению является плотность железа:

ρтабл = 7800 кг/м 3 = 7,8·10 3 кг/м 3

Δρтабл = 100/2 = 50 кг/м 3 (половина последнего значащего разряда).

Стандартная запись табличного значения плотности:

ρтабл = (7,80 ± 0,05)·10 3 кг/м 3

Интервалы на Рис. 2.3 частично перекрылись, поэтому можно сделать вывод о равенстве физических величин в пределах погрешностей измерений.

Дата добавления: 2014-12-20 ; просмотров: 1764 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Расчет погрешности при измерении плотности

В данной работе плотность древесины, из которой изготовлен брусок в форме прямоугольного параллелепипеда, измеряется косвенно, то есть вычисляется по формуле, следующей из формул (1.3) и (1.4):

. (1.17)

Вначале производятся прямые измерения массы, длины, ширины и высоты бруска и рассчитываются соответствующие доверительные интервалы при одинаковых значениях доверительной вероятности:

.

Остается рассчитать доверительный интервал, в котором с заданной доверительной вероятностью лежит истинное значение плотности

.

Среднее значение плотности, как следует из формулы (1.13), таково

. (1.18)

Абсолютная погрешность плотности, как следует из формул (1.14) и (1.17),

(1.19)

где ;

;

аналогично

Используя эти выражения для частных производных в формуле (1.19), и подставляя в них средние значения величин, получаем:

,

где – относительные погрешности прямых измерений массы и линейных размеров (рассчитанные по формулам (1.2)).

Единица измерения плотности в СИ 1 кг/м 3 . Широко используются также производные единицы 1 г/см 3 , 1 т/м 3 и другие.

Порядок выполнения работы

1. Ознакомиться с устройством штангенциркуля и способом измерения линейных размеров с его помощью (Приложение). Определить и записать приборную погрешность для штангенциркуля – половину цены деления нониуса.

2. Измерить каждый из линейных размеров тела в пяти точках образца, данные занести в таблицу, образец которой (таблица 1.2) дан для измерений длины a. Таблицы для b и c аналогичны.

Таблица 1.2 Результаты измерения длины

, мм

3. С помощью преподавателя выполнить однократное взвешивание тела на технических весах. Определить приборную погрешность весов Δm, равную половине массы наименьшего разновеса в комплекте разновесов. Результат взвешивания записать в виде г.

4. Измерения линейных размеров тела являются прямыми, поэтому для их обработки применить алгоритм, описанный в пункте «Порядок обработки результатов многократных прямых измерений» теоретического введения. Доверительную вероятность принять равной 0,95. Результаты представить в виде:мм,мм,мм.

5. По формуле (1.18) рассчитать среднее значение плотности .Так как измерение плотности является косвенным, то для расчета погрешности измерения плотности, то есть полуширины доверительного интерваланужно использовать формулу (1.20).

6. Результат записать в виде г/см 3 , а также выразить его в единицах СИ. Определить, из какой древесины изготовлено тело, используя таблицу 1.3.

Таблица 1.3 – Плотность различных пород дерева

, кг/м 3

, кг/м 3

Источник