Меню

Абсолютная погрешность косвенного измерения получается при



Расчет погрешностей при косвенных измерениях

В большинстве случаев конечной целью лабораторной работы является вычисление искомой величины с помощью некоторой формулы, в которую входят величины, измеряемые прямым путем. Такие измерения называются косвенными. В качестве примера приведем формулу плотности твердого тела цилиндрической формы

, (П.5)

где r – плотность тела, m – масса тела, d – диаметр цилиндра, h – его высота.

Зависимость (П.5) в общем виде можно представить следующим образом:

, (П.6)

где Y – косвенно измеряемая величина, в формуле (П.5) это плотность r; X1, X2,. , Xn – прямо измеряемые величины, в формуле (П.5) это m, d, и h.

Результат косвенного измерения не может быть точным, поскольку результаты прямых измерений величин X1, X2, . , Xn всегда содержат в себе погрешность. Поэтому при косвенных измерениях, как и при прямых, необходимо оценить доверительный интервал (абсолютную погрешность)полученного значения DY и относительную погрешность e.

При расчете погрешностей в случае косвенных измерений удобно придерживаться такой последовательности действий:

1) получить средние значения каждой прямо измеряемой величины áX1ñ, áX2ñ, …, áXnñ;

2) получить среднее значение косвенно измеряемой величины áYñ, подставив вформулу (П.6) средние значения прямо измеряемых величин;

3) провести оценки абсолютных погрешностей прямо измеряемых величин DX1, DX2, . DXn, воспользовавшись формулами (П.2) и (П.3);

4) основываясь на явном виде функции (П.6), получить формулу для расчета абсолютной погрешности косвенно измеряемой величины DY и рассчитать ее;

5) рассчитать относительную погрешность измерения ;

6) записать результат измерения с учетом погрешности.

Ниже без вывода приводится формула, позволяющая получить формулы для расчета абсолютной погрешности, если известен явный вид функции (П.6):

, (П.7)

где ¶Y¤¶X1 и т. д. – частные производные от Y по всем прямо измеряемым величинам X1, X2, …, Xn (когда берется частная производная, например по X1, то все остальные величины Xi в формуле считаются постоянными), DXi– абсолютные погрешности прямо измеряемых величин, вычисленные согласно (П.3).

Рассчитав DY, находят относительную погрешность .

Однако если функция (П.6) является одночленом, то намного легче сначала рассчитать относительную погрешность, а затем уже абсолютную.

Действительно, разделив обе части равенства (П.7) на Y, получим

.

Но так как , то можно записать

. (П.8)

Теперь, зная относительную погрешность, определяют абсолютную .

В качестве примера получим формулу для расчета погрешности плотности вещества, определяемой по формуле (П.5). Поскольку (П.5) является одночленом, то, как сказано выше, проще сначала рассчитать относительную погрешность измерения по (П.8). В (П.8) под корнем имеем сумму квадратов частных производных от логарифма измеряемой величины, поэтому сначала найдем натуральный логарифм r:

ln r = ln 4 + ln m – ln p –2 ln d – ln h,

а потом уже воспользуемся формулой (П.8) и получим, что

. (П.9)

Как видно, в (П.9) используются средние значения прямо измеряемых величин и их абсолютные погрешности, рассчитанные методом прямых измерений по (П.3). Погрешность, вносимую числом p, не учитывают, поскольку ее значение всегда можно взять с точностью, превышающей точность измерения всех других величин. Рассчитав e, находим .

Если косвенные измерения являются независимыми (условия каждого последующего эксперимента отличаются от условий предыдущего), то значения величины Y вычисляются для каждого отдельного эксперимента. Произведя n опытов, получают n значений Yi. Далее, принимая каждое из значений Yi (где i – номер опыта) за результат прямого измерения, вычисляют áYñ и DY по формулам (П.1) и (П.2) соответственно.

Окончательный результат как прямых, так и косвенных измерений должен выглядеть так:

, (П.10)

где m – показатель степени, u – единицы измерения величины Y.

Источник

Определение погрешности косвенных измерений

Погрешности измеряемых и табличных величин обуславливают погрешности DХср косвенно определяемой величины, причем наибольший вклад в DХср дают наименее точные величины, имеющие максимальную относительную погрешность d. Поэтому, для повышения точности косвенных измерений, необходимо добиваться равноточности прямых измерений

Читайте также:  Определение погрешности измерений методом границ

Правила нахождения погрешностей косвенных измерений:

1. Находят натуральный логарифм от заданной функции

2. Находят полный дифференциал (по всем переменным) от найденного натурального логарифма заданной функции;

3. Заменяют знак дифференциала d на знак абсолютной погрешности D;

4. Заменяют все «минусы», стоящими перед абсолютными погрешностями DА, DВ, DС, … на «плюсы».

В результате получается формула наибольшей относительной погрешности dx косвенно измеренной величины Х:

dx = = j (Aср, Bср, Cср, …, DAср, DBср, DCср, …). (18)

По найденной относительной погрешности dx определяют абсолютную погрешность косвенного измерения:

Результат косвенных измерений записывают в стандартном виде и изображают на числовой оси:

Пример :

Найти значения относительной и средней погрешностей физической величины L, определяемой косвенно по формуле:

, (21)

где π, g, t, k, α, β – величины, значения которых измерены или взяты из справочных таблиц и занесены в таблицу результатов измерений и табличных данных (подобную табл.1).

1. Вычисляют среднее значение Lср, подставляя в (21) средние значения из таблицы – πср , gср , tср , kср , αср , βср .

2. Определяют наибольшую относительную погрешность δL :

a). Логарифмируют формулу (21):

(22)

b). Дифференцируют полученное выражение (22):

(23)

c). Заменяют знак дифференциала d на Δ, а «минусы» перед абсолютными погрешностями – на «плюсы», и получают выражение для наибольшей относительной погрешности δL :

δL =

d). Подставляя в полученное выражение средние значения входящих величин и их погрешностей из таблицы результатов измерений, вычисляют δL .

3. Затем вычисляют абсолютную погрешность ΔLср:

Результат записывают в стандартном виде и изображают графически на оси L:

, ед. изм.

2. Правила округления результатов вычисления

Результаты математических действий над приближенными числами округляют до следующего количества значащих цифр:

a) при сложении и вычитании отбрасывают значащие цифры из последних разрядов, если их нет в одном их слагаемых;

b) при умножении и делении сохраняют столько значащих цифр, сколько их в приближенном числе с наименьшим количеством этих цифр;

c) при вычислении значений функций A n , , lgA оставляют столько значащих цифр, сколько их в А.

В промежуточных результатах сохраняют на одну («запасную») цифру больше.

1) 0,374 + 13,1 + 2,065 ≈ 15,5

Отброшены сотые и тысячные доли единиц, отсутствующие в числе 13,1.

2)

Оставлены две значащие цифры по их количеству в числе 7,2.

3) 216 3 ≈ 101·10 5

Оставлены три значащие цифры по их количеству в числе 216.

3. Оформление результатов прямых и косвенных измерений

Результаты измерений записывают в стандартном виде с использованием нормальной формы записи чисел, заменяя незначащие нули соответсвующей степенью десяти.

Обязательно указывается относительная погрешность измерения в процентах.

Округление конечных результатов делается по следующим правилам:

a) в среднем значении абсолютной погрешности DХср оставляют одну не нулевую значащую цифру (или две, если первая цифра – единица);

b) в среднем значении результата измерения Xср оставляют все верные цифры и одну сомнительную (две, если округленная погрешность содержит две значащие цифры).

Сомнительными считаются цифры в последних разрядах Xср , начиная с разряда, использованного для записи абсолютной погрешности DХср..

Для сравнения полученного результата с данными другого опыта или с табличным значением следует показать интервалы сравниваемых величин на числовой оси.

Читайте также:  Как измерить солнце 3 класс

При частичном или полном перекрытии интервалов можно делать вывод о равенстве величин в пределах погрешности измерений.

Источник

Абсолютная погрешность косвенного измерения получается при

Чтобы найти погрешность косвенных измерений, надо воспользоваться формулами, приведенными в таблице. Эти формулы могут быть выведены «методом границ».

Сначала надо вспомнить основные понятия теории погрешности.

Абсолютная погрешность физической величины ΔА — это разница между точным значением физической величины и ее приближенным значением и измеряется в тех же единицах, что и сама величина:

Так как мы никогда не знаем точного значения величины А, а лишь определяем из опыта ее приближенное значение, то и величину абсолютной погрешности мы можем определить лишь при­бли­зи­тель­но. Наиболее просто находится максимальная величина абсолютной погрешности, которая и используется нами в лабораторных работах.

Относительная погрешность измерения εА равна:

При косвенных измерениях величину погрешности искомой величины вычисляют по формулам:

В случае, когда искомая величина находится по формуле, в которой в основном присутствуют произведение и частное, удобней находить сначала относительную погрешность. Если при этом один из множителей представляет собой сумму или разность, нужно предварительно найти его абсолютную погрешность (сложением абсолютных погрешностей слагаемых), а затем относительную.

Зная относительную погрешность, найти абсолютную погрешность измерений можно так:

«Правило ничтожных погрешностей»

при суммировании погрешностей любым из слагаемых можно пренебречь, если оно не превосходит ⅓ – ⅟ 4 от другого.

Запись результата с указанием погрешности.

Абсолютная погрешность измерений обычно округляется до 1 значащей цифры, а, если эта цифра 1, то до двух.

Результат записывается в виде:

А = Аизм ± ΔА, например: ℓ = (13 ± 2) мм.

При этом в измеренном значении следует оставлять столько десятичных знаков, сколько их в значении погрешности (последняя цифра погрешности «поправляет» последнюю цифру измеренного значения) . Значение величины и погрешность следует выражать в одних и тех же единицах!

Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 1

Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 2

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите плотность вещества, из которого сделан куб со стороной 7,00 ± 0,15 см, если его масса 847 ± 2 г. Что это за вещество?

Задание 2. Найдите удельную теплоту сгорания топлива, 2,10 ± 0,15 г которого хватило, чтобы нагреть 400 ± 10 мл воды на 35°С ± 2°С. Что это за топливо?

© Ивашкина Д.А., 2017. Публикация материалов с сайта разрешена только при наличии активной ссылки на главную страницу.

Источник

Погрешности косвенных измерений

Теперь необходимо рассмотреть вопрос о том, как находить погрешность физической величины U, которая определяется путем косвенных измерений. Общий вид уравнения измерения

где Хj – различные физические величины, которые получены экспериментатором путем прямых измерений, или физические константы, известные с заданной точностью. В формуле они являются аргументами функции.

В практике измерений широко используют два способа расчета погрешности косвенных измерений. Оба способа дают практически одинаковый результат.

Способ 1.Сначала находится абсолютная D, а затем относительная d погрешности. Этот способ рекомендуется для таких уравнений измерения, которые содержат суммы и разности аргументов.

Общая формула для расчета абсолютной погрешности при косвенных измерениях физической величины Y для произвольного вида f функции имеет вид:

(1.5)

где частные производные функции Y=f(Х1, Х2, … , Хn) по аргументу Хj,

общая погрешность прямых измерений величины Хj.

Для нахождения относительной погрешности нужно прежде всего найти среднее значение величины Y. Для этого в уравнение измерения (1.4) надо подставить средние арифметические значения величин Xj.

Читайте также:  Прибор для измерения низких температур

То есть среднее значение величины Y равно: . Теперь легко найти относительную погрешность: .

Пример: найти погрешность измерения объёма V цилиндра. Высоту h и диаметр D цилиндра считаем определёнными путём прямых измерений, причём пусть количество измерений n=10.

Формула для расчета объёма цилиндра, то есть уравнение измерения имеет вид:

Пусть при Р=0,68;

при Р=0,68.

Тогда, подставляя в формулу (1.5) средние значения, найдём:

Погрешность DV в данном примере зависит, как видно, в основном от погрешности измерения диаметра.

Средний объём равен: , относительная погрешность dV равна:

, или dV=19%.

Окончательный результат после округления:

Способ 2. Этот способ определения погрешности косвенных измерений отличается от первого способа меньшими математическими трудностями, поэтому его чаще используют.

В начале находят относительную погрешность d, и только затем абсолютную D. Особенно удобен этот способ, если уравнение измерения содержит только произведения и отношения аргументов.

Порядок действий можно рассмотреть на том же конкретном примере — определение погрешности при измерении объёма цилиндра

.

Все численные значения входящих в формулу величин сохраним теми же, что и при расчетах по способу 1.

Пусть мм, ; при Р=0,68;

; при Р=0,68.

-погрешность округления числа p (см. рис. 1.1)

При использовании способа 2 следует действовать так:

1) прологарифмировать уравнение измерения (берём натуральный логарифм)

.

найти дифференциалы от левой и правой частей, считая независимыми переменными,

;

2) заменить дифференциал каждой величины на абсолютную погрешность этой же величины, а знаки “минус”, если же они есть перед погрешностями на “плюс”:

;

3) казалось бы, что с помощью этой формулы уже можно дать оценку для относительной погрешности , однако это не так. Требуется так оценить погрешность, чтобы доверительная вероятность этой оценки совпадала с доверительными вероятностями оценки погрешностей тех членов, которые стоят в правой части формулы. Для этого, чтобы это условие выполнялось, нужно все члены последней формулы возвести в квадрат, а затем извлечь корень квадратный из обеих частей уравнения:

.

Или в других обозначениях относительная погрешность объёма равна:

,

причём вероятность этой оценки погрешности объёма будет совпадать с вероятностью оценки погрешностей входящих в подкоренное выражение членов:

Сделав вычисления, убедимся, что результат совпадает с оценкой по способу 1:

Теперь, зная относительную погрешность, находим абсолютную:

Окончательный результат после округления:

V = (47 ± 9) мм 3 , dV = 19%, P=0,68.

Контрольные вопросы

1. В чём заключается задача физических измерений?

2. Какие типы измерений различают?

3. Как классифицируют погрешности измерений?

4. Что такое абсолютная и относительная погрешности?

5. Что такое промахи, систематические и случайные погрешности?

6. Как оценить систематическую погрешность?

7. Что такое среднее арифметическое значение измеренной величины?

8. Как оценить величину случайной погрешности, как она связана со средним квадратичным отклонением?

9. Чему равна вероятность обнаружения истинного значение измеренной величины в интервале от Хср — s до Хср + s?

10. Если в качестве оценки для случайной погрешности выбрать величину 2s или 3s, то с какой вероятностью истинное значение будет попадать в определённые этими оценками интервалы?

11. Как суммировать погрешности и когда это нужно делать?

12. Как округлить абсолютную погрешность и среднее значение результата измерения?

13. Какие способы существуют для оценки погрешностей при косвенных измерениях? Как при этом действовать?

14. Что нужно записать в качестве результата измерения? Какие величины указать?

Дата добавления: 2015-02-19 ; просмотров: 3931 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник