Абсолютная погрешность косвенных измерений это

Абсолютная погрешность косвенных измерений это

Погрешности прямых измерений. Промах. Систематическая погрешность. Случайная погрешность. Полная погрешность. Погрешности косвенных измерений. Запись результата измерений

1. Оценка погрешности прямых измерений

Измерить физическую величину – это значит сравнить ее с однородной величиной, принятой за единицу меры.

Различают прямые и косвенные измерения.

Если измеряемая величина непосредственно сравнивается с мерой, то измерения называются прямыми. Например, измерения линейных размеров тел с помощью масштабной линейки и т.д.

Если измеряется не сама искомая величина, а некоторые другие величины, связанные с ней функциональной зависимостью, то измерения называются косвенными. Например, измерения объема, ускорения и т.д.

Из-за несовершенства средств и методик измерения, органов чувств при любом измерении неизбежны отклонения результатов измерений от истинных величин. Эти отклонения называются погрешностями измерений.

Погрешности измерений делятся на систематические, случайные и промахи.

1.1. Промахи, связанные с неправильными отсчетами по прибору, неправильными записями и т.д., приводят к очень большой по абсолютной величине погрешности. Они, как правило, не укладываются в общую закономерность измеренных величин. Обнаруженный промах следует отбросить.

1.2. Систематическими погрешностями Δx_сист называются погрешности, которые сохраняются при повторных измерениях одной и той же величины x или изменяются по определенному закону.

Систематические погрешности подразделяются на несколько групп. Отметим только приборную погрешность.

Систематическая приборная погрешность определяется по классу точности прибора, который указывается на приборе следующими цифрами: 0,01; 0,02; 0,05; 1,0; 2,5; 4,0. Класс точности показывает предельно допустимое значение систематической погрешности, выраженной в процентах от верхнего предела на выбранном диапазоне измерений. Например, предел измерения вольтметра с классом точности 0,5 равен 200 В. Систематическая погрешность равна 0,5% от 200В. Следовательно, систематическая погрешность вольтметра равна 1 В.

Если на приборе класс точности не указан, то погрешность равна половине цены наименьшего деления шкалы прибора.

1.3. Случайными называются погрешности, которые изменяются беспорядочно при повторных измерениях одной и той же физической величины при одинаковых условиях.

Оценим случайную погрешность. Пусть при измерении какой-либо физической величины было произведено N измерений и были получены значения x₁, x₂, … x_N. Тогда наиболее вероятным значением измеряемой величины является ее среднее арифметическое значение

Результаты измерений x₁, x₂, … x_N «рассеиваются» вокруг среднего. В качестве меры «рассеяния» результатов наблюдения вокруг среднего служит среднее квадратичное отклонение

Пусть a будет истинным, но неизвестным значением измеряемой величины x. Доказано, что вероятность попадания результатов измерения величины x в интервал значений от (a – S) до (a + S) оказывается равной α = 0,68.

Вероятность попадания результатов наблюдений в более широкие интервалы (a – 2S, a + 2S) и (a – 3S, a + 3S) равна α = 0,95 и α = 0,99 соответственно.

Вероятность попадания в заданный интервал значений величины x называется доверительной вероятностью, а сам интервал – доверительным интервалом.

Однако, таким образом полученный доверительный интервал справедлив при большом значении N. В учебных лабораториях, как правило, приходится ограничиваться небольшим числом измерений. В этом случае доверительный интервал находят с помощью коэффициента Стьюдента, который зависит от числа измерений N и доверительной вероятности α. В таблице 1 приведены коэффициенты Стьюдента для различного числа наблюдений при доверительных вероятностях α = 0,68; 0,95; 0,99.

Источник

Погрешность косвенного измерения

Если искомая физическая величина не может быть измерена непосредственно прибором, а посредством формулы выражается через измеряемые величины, то такие измерения называются косвенными.

Как и при прямых измерениях можно вычислять среднюю абсолютную (среднюю арифметическую) ошибку или среднюю квадратичную ошибку косвенных измерений.

Общие правила вычисления ошибок для обоих случаев выводятся с помощью дифференциального исчисления.

Пусть физическая величина j(x, y, z, . ) является функцией ряда независимых аргументов x, y, z, . , каждый из которых может быть определен экспериментально. Путем прямых измерений определяются величины и оцениваются их средние абсолютные погрешности или средние квадратичные погрешности .

Средняя абсолютная погрешность косвенных измерений физической величины j вычисляется по формуле

где — частные производные от φ по x, y, z, вычисленные для средних значений соответствующих аргументов.

Так как в формуле использованы абсолютные величины всех членов суммы, то выражение для оценивает максимальную погрешность измерения функции при заданных максимальных ошибках независимых переменных.

Средняя квадратичная погрешность косвенных измерений физической величины j

Относительная максимальная погрешность косвенных измерений физической величины j

где и т. д.

Аналогично можно записать относительную среднюю квадратичную погрешность косвенных измерений j

Если формула представляет выражение удобное для логарифмирования (то есть произведение, дробь, степень), то удобнее вначале вычислять относительную погрешность . Для этого (в случае средней абсолютной погрешности) надо проделать следующее.

1. Прологарифмировать выражение для косвенного измерения физической величины.

2. Продифференцировать его.

3. Объединить все члены с одинаковым дифференциалом и вынести его за скобки.

4. Взять выражение перед различными дифференциалами по модулю.

5. Формально заменить значки дифференциалов на значки абсолютной погрешности D.

Затем, зная e, можно вычислить абсолютную погрешность Dj по формуле

Пример 1.Вывод формулы для вычисления максимальной относительной погрешности косвенных измерений объёма цилиндра.

Выражение для косвенного измерения физической величины (исходная формула)

Величина диаметра D и высоты цилиндра h измеряются непосредственно приборами с погрешностями прямых измерений соответственноD D и Dh.

Прологарифмируем исходную формулу и получим

Продифференцируем полученное уравнение

Заменив значки дифференциалов на значки абсолютной погрешности D, окончательно получим формулу для расчёта максимальной относительной погрешности косвенных измерений объёма цилиндра

|	следующая лекция ==>
Учет систематических ошибок	|	РАБОТА 1. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПРЯМЫХ И КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.

Дата добавления: 2017-10-09 ; просмотров: 2074 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Погрешности косвенных измерений

Теперь необходимо рассмотреть вопрос о том, как находить погрешность физической величины U, которая определяется путем косвенных измерений. Общий вид уравнения измерения

где Х_j – различные физические величины, которые получены экспериментатором путем прямых измерений, или физические константы, известные с заданной точностью. В формуле они являются аргументами функции.

В практике измерений широко используют два способа расчета погрешности косвенных измерений. Оба способа дают практически одинаковый результат.

Способ 1.Сначала находится абсолютная D, а затем относительная d погрешности. Этот способ рекомендуется для таких уравнений измерения, которые содержат суммы и разности аргументов.

Общая формула для расчета абсолютной погрешности при косвенных измерениях физической величины Y для произвольного вида f функции имеет вид:

(1.5)

где частные производные функции Y=f(Х₁, Х₂, … , Х_n) по аргументу Х_j,

общая погрешность прямых измерений величины Х_j.

Для нахождения относительной погрешности нужно прежде всего найти среднее значение величины Y. Для этого в уравнение измерения (1.4) надо подставить средние арифметические значения величин X_j.

То есть среднее значение величины Y равно: . Теперь легко найти относительную погрешность: .

Пример: найти погрешность измерения объёма V цилиндра. Высоту h и диаметр D цилиндра считаем определёнными путём прямых измерений, причём пусть количество измерений n=10.

Формула для расчета объёма цилиндра, то есть уравнение измерения имеет вид:

Пусть при Р=0,68;

при Р=0,68.

Тогда, подставляя в формулу (1.5) средние значения, найдём:

Погрешность D_V в данном примере зависит, как видно, в основном от погрешности измерения диаметра.

Средний объём равен: , относительная погрешность d_V равна:

, или d_V=19%.

Окончательный результат после округления:

Способ 2. Этот способ определения погрешности косвенных измерений отличается от первого способа меньшими математическими трудностями, поэтому его чаще используют.

В начале находят относительную погрешность d, и только затем абсолютную D. Особенно удобен этот способ, если уравнение измерения содержит только произведения и отношения аргументов.

Порядок действий можно рассмотреть на том же конкретном примере — определение погрешности при измерении объёма цилиндра

.

Все численные значения входящих в формулу величин сохраним теми же, что и при расчетах по способу 1.

Пусть мм, ; при Р=0,68;

; при Р=0,68.

-погрешность округления числа p (см. рис. 1.1)

При использовании способа 2 следует действовать так:

1) прологарифмировать уравнение измерения (берём натуральный логарифм)

.

найти дифференциалы от левой и правой частей, считая независимыми переменными,

;

2) заменить дифференциал каждой величины на абсолютную погрешность этой же величины, а знаки “минус”, если же они есть перед погрешностями на “плюс”:

;

3) казалось бы, что с помощью этой формулы уже можно дать оценку для относительной погрешности , однако это не так. Требуется так оценить погрешность, чтобы доверительная вероятность этой оценки совпадала с доверительными вероятностями оценки погрешностей тех членов, которые стоят в правой части формулы. Для этого, чтобы это условие выполнялось, нужно все члены последней формулы возвести в квадрат, а затем извлечь корень квадратный из обеих частей уравнения:

.

Или в других обозначениях относительная погрешность объёма равна:

,

причём вероятность этой оценки погрешности объёма будет совпадать с вероятностью оценки погрешностей входящих в подкоренное выражение членов:

Сделав вычисления, убедимся, что результат совпадает с оценкой по способу 1:

Теперь, зная относительную погрешность, находим абсолютную:

Окончательный результат после округления:

V = (47 ± 9) мм 3 , d_V = 19%, P=0,68.

Контрольные вопросы

1. В чём заключается задача физических измерений?

2. Какие типы измерений различают?

3. Как классифицируют погрешности измерений?

4. Что такое абсолютная и относительная погрешности?

5. Что такое промахи, систематические и случайные погрешности?

6. Как оценить систематическую погрешность?

7. Что такое среднее арифметическое значение измеренной величины?

8. Как оценить величину случайной погрешности, как она связана со средним квадратичным отклонением?

9. Чему равна вероятность обнаружения истинного значение измеренной величины в интервале от Х_ср — s до Х_ср + s?

10. Если в качестве оценки для случайной погрешности выбрать величину 2s или 3s, то с какой вероятностью истинное значение будет попадать в определённые этими оценками интервалы?

11. Как суммировать погрешности и когда это нужно делать?

12. Как округлить абсолютную погрешность и среднее значение результата измерения?

13. Какие способы существуют для оценки погрешностей при косвенных измерениях? Как при этом действовать?

14. Что нужно записать в качестве результата измерения? Какие величины указать?

Дата добавления: 2015-02-19 ; просмотров: 3937 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Погрешности прямых и косвенных измерений

Измерение, определение, составляющие, классификация

Средства измерений – технические средства, используемые при измерениях и имеющие нормированные метрологические свойства.

По техническому назначению:

— Мера – средство измерений, предназначенное для воспроизведения физической величины заданного размера;

— Измерительный преобразователь – средство измерений, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме, удобной для передачи, дальнейшего преобразования, обработки и хранения, но не поддающейся непосредственному восприятию наблюдателем;

— Устройства сравнения (компаратор) – электронная схема, принимающая на свои входы два аналоговых сигнала и выдающая логический «0» или «1» в зависимости от того, какой из сигналов больше;

— Измерительный прибор – средство измерений, предназначенное для выработки сигнала измерительной информации в форме, доступной для непосредственного восприятия наблюдателем;

— Измерительная установка – совокупность функционально объединённых средств измерений (мер, измерительных приборов, измерительных преобразователей) и вспомогательных устройств (которые отслеживают величины, влияющие на метрологические свойства другого средства измерения при его применении), предназначенная для выработки сигналов измерительной информации в форме, удобной для непосредственного восприятия наблюдателем, и расположенная в одном месте;

— Измерительная система – совокупность средств измерений (мер, измерительных приборов, измерительных преобразователей) и вспомогательных устройств, соединённых между собой каналом связи, предназначенная для выработки сигналов измерительной информации в форме, удобной для автоматической обработки, передачи и использования в автоматических системах управления.

По роли, выполняемой в системе обеспечения единства средств измерения:

— Эталон – средство измерений (или комплекс средств измерений), обеспечивающее воспроизведение и/или хранение единицы, а так же передачу её размера нижестоящим по поверочной схеме средствам измерений и утверждённое в качестве эталона в установленном порядке;

— Вторичный эталон – часть подчинённых средств хранения единиц и передачи их размера, значения которых устанавливаются по первичным эталонам; создаются и утверждаются для уменьшения износа государственного эталона;

— Рабочий эталон – применяют для передач размера единицы образцовым средствам измерений высшей точности, а в отдельных случаях – наиболее точным рабочим средствам измерений;

— Рабочее средство измерений – применяют для измерений, не связанных с передачей размеров единиц.

Погрешности грубая, систематическая, случайная

По закономерностям проявления:

— Систематическая погрешность (Δс)– составляющая погрешности, величина и знак которой постоянны или изменяются закономерно (при усилении постоянного напряжения неполная компенсация смещения нуля приводит к постоянной для данного СИ погрешности, которую пытаются до определённого предела компенсировать при изготовлении прибора) (пример: разряд аккумулятора);

— Случайная погрешность (Δ°)– погрешность, значение которой изменяется случайным образом (при повторном измерение в одних и тех же условиях); является следствием любых случайных процессов (хаотичное движение электронов) или наложения большого количества детерминированных процессов, так что выяснить закономерность невозможно; можно уменьшить случайную погрешность проведением большого числа испытаний;

— Грубая погрешность– существенное превышение ожидаемой погрешности, то есть такой, которая оправдана классом точности, методом и условиями измерения и квалификацией оператора; может возникнуть при резком изменении измеряемой величины (пример: скачок напряжения);

Закон распределения Стьюдента, его численные характеристики

Для уменьшения влияния случайной погрешности используют статистическую обработку

результатов многократных наблюдений.

— точечная оценка математического ожидания истинной измеряемой величины

] –>min=>ближе к математическому ожиданию)

Закон распределения Стьюдента:

Погрешности прямых и косвенных измерений

Прямыминазывают измерения, при которых искомое значение величины находят непосредственно из опытных данных. При этом измеряемую величину сравнивают с мерой измерительными приборами, градуированными в требуемых единицах (пример: измерение напряжение вольтметром).

Косвенныеизмерения – искомое значение величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям (пример: измерение затухания четырёхполюсника по значениям входных и выходных напряжений).

§ Погрешность косвенных воспроизводимых измерений — погрешность вычисляемой (не измеряемой непосредственно) величины:

§ Погрешность косвенных невоспроизводимых измерений — вычисляется по принципу прямой погрешности, но вместо x_i ставится значение полученное в процессе расчётов.

§ Погрешность прямых измерений — вычисляются по формуле

где : t = S_xα_s — S_x — средняя квадратическая погрешность, а α_s — коэффициент Стьюдента, а А — число, численно равное половине цены деления измерительного прибора.

Дата добавления: 2018-05-12 ; просмотров: 3740 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник