Абсолютная продольная деформация единицы измерения

3.2. Абсолютная и относительная деформации. Уков.

Для оценки величины формоизменения вводят понятие деформации.

Абсолютная деформация выражает абсолютное изменение какого-либо линейного или углового размера, площади сечения или участка граничной поверхности элемента, выделенного в деформируемом теле, или всего тела.

Относительная деформация характеризует относительное изменение тех же величин. Обычно относительную деформацию определяют как отношение абсолютного изменения какого-либо размера к его первоначальному значению.

Абсолютная деформация при осадке ∆ H = H — h. (см. рис. 1.4) не характеризует степени воздействия деформации на металл, что видно из следующего примера.

Пусть первая заготовка имеет начальную высоту Н, равную 1000 мм, вторая — 500 мм. Осадим каждую из них до половины начальной высоты, т. е. величина абсолютной деформации ∆H составит для первой заготовки 500 мм, для второй — 250 мм.

Относительную деформацию в процентах для обеих заготовок подсчитаем по формуле є= ( H-h’ ) / H*100

Подставив числовые значения H u h, получим для первого и второго случаев одинаковую относительную деформацию, равную 50%, что свидетельствует об одинаковой степени воздействия деформации на металл при разных ее абсолютных значениях.

Для операции протяжки при ковке величина пластической деформации металла характеризуется уковом У= F н / F к , где F н и F к — площади поперечных сечений соответственно заготовки и поковки.

Вытяжка μ при протяжке представляет собой отношение длины поковки L к к длине заготовки L н . Если поковка имеет по всей длине постоянное поперечное сечение, вытяжка и уков равны друг другу.

Источник

Деформации, закон Гука при центральном растяжении-сжатии стержней

План лекции

1. Деформации, закон Гука при центральном растяжении-сжатии стержней.

2. Механические характеристики материалов при центральном растяжении и сжатии.

Рассмотрим стержневой элемент конструкции в двух состояниях (см. рисунок 25):

— внешняя продольная сила F отсутствует, начальная длина стержня и его поперечный размер равны соответственно l и b, площадь сечения А одинакова по всей длине l (внешний контур стержня показан сплошными линиями);

— внешняя продольная растягивающая сила, направленная вдоль центральной оси, равна F, длина стержня получила приращение Δl, при этом его поперечный размер уменьшился на величину Δb (внешний контур стержня в деформированном положении показан пунктирными линиями).

Δb/2

Рисунок 25. Продольно-поперечная деформация стержня при его центральном растяжении.

Приращение длины стержня Δl называется его абсолютной продольной деформацией, величина Δb – абсолютной поперечной деформацией. Величина Δl может трактоваться как продольное перемещение (вдоль оси z) концевого поперечного сечения стержня. Единицы измерения Δl и Δb те же, что и начальные размеры l и b (м, мм, см). В инженерных расчетах применяется следующее правило знаков для Δl: при растяжении участка стержня происходит увеличение его длины и величина Δl положительна; если же на участке стержня с начальной длиной l возникает внутренняя сжимающая сила N, то величина Δl отрицательна, т. к. происходит отрицательное приращение длины участка.

Если абсолютные деформации Δl и Δb отнести к начальным размерам l и b, то получим относительные деформации:

– относительная продольная деформация;

– относительная поперечная деформация.

Относительные деформации и являются безразмерными (как правило,

очень малыми) величинами, их именуют обычно е. о. д. – единицами относительных деформаций (например, ε = 5,24·10 -5 е. о. д.).

Абсолютное значение отношения относительной продольной деформации к относительной поперечной деформации является очень важной константой материала, называемой коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона (по фамилии французского ученого)

. (17)

Как видно коэффициент Пуассона количественно характеризует соотношение между величинами относительной поперечной деформацией и относительной продольной деформацией материала стержня при приложении внешних сил вдоль одной оси. Значения коэффициента Пуассона определяются экспериментально и для различных материалов приводятся в справочниках. Для всех изотропных материалов значения лежит в пределах от 0 до 0,5 (для пробки близко к 0, для каучука и резины близко к 0,5). В частности, для прокатных сталей и алюминиевых сплавов в инженерных расчетах обычно принимается , для бетона .

Зная значение продольной деформации ε (например, в результате замеров при проведении экспериментов) и коэффициент Пуассона для конкретного материала (который можно взять из справочника) можно вычислить значение относительной поперечной деформации

,

где знак минус свидетельствует о том, что продольные и поперечные деформации всегда имеют противоположные алгебраические знаки (если стержень удлиняется на величину Δl растягивающей силой, то продольная деформация положительна, т. к. длина стержня получает положительное приращение, но при этом поперечный размер b уменьшается, т. е. получает отрицательное приращение Δb и поперечная деформация отрицательна; если же стержень будет сжиматься силой F, то, наоборот, продольная деформация станет отрицательной, а поперечная – положительной).

Внутренние усилия и деформации, возникающие в элементах конструкций под действием внешних нагрузок, представляют собой единый процесс, в котором все факторы взаимосвязаны между собой. Прежде всего, нас интересует взаимосвязь между внутренними усилиями и деформациями, в частности, при центральном растяжении-сжатии стержневых элементов конструкций. При этом, как и выше, будем руководствоваться принципом Сен-Венана: распределение внутренних усилий существенно зависит от способа приложения внешних сил к стержню лишь вблизи места нагружения (в частности, при приложении сил к стержню через малую площадку), а в частях, достаточно удаленных от мест

приложения сил распределение внутренних усилий зависит только от статического эквивалента этих сил, т. е. при действии растягивающих или сжимающих сосредоточенных сил будем считать, что в большей части объема стержня распределение внутренних сил будет равномерным (это подтверждается многочисленными экспериментами и опытом эксплуатации конструкций).

Английским ученым Робертом Гуком еще в 17-м веке была установлена прямая пропорциональная (линейная) зависимость (закон Гука) абсолютной продольной деформации Δl от растягивающей (или сжимающей) силы F. В 19-м веке английским ученым Томасом Юнгом сформулирована идея о том, что для каждого материала существует постоянная величина (названная им модулем упругости материала), характеризующая его способность сопротивляться деформированию при действии внешних сил. При этом Юнг первый указал на то, что линейный закон Гука справедлив только в определенной области деформирования материала, а именно – при упругих его деформациях.

В современном представлении применительно к одноосному центральному растяжению-сжатию стержней закон Гука используется в двух видах.

1) Нормальное напряжение в поперечном сечении стержня при центральном растяжении прямо пропорционально его относительной продольной деформации

, (1-й вид закона Гука),

где Е – модуль упругости материала при продольных деформациях, значения которого для различных материалов определены экспериментальным путем и занесены в справочники, которыми технические специалисты пользуются при проведении различных инженерных расчетов; так, для прокатных углеродистых сталей, широко применяемых в строительстве и машиностроении ; для алюминиевых сплавов ; для меди ; для других материалов значение Е всегда можно найти в справочниках (см., например, «Справочник по сопротивлению материалов» авторов Писаренко Г.С. и др.). Единицы измерения модуля упругости Е те же, что и единицы измерения нормальных напряжений, т. е. Па, МПа, Н/мм 2 и др.

2) Если в записанном выше 1-м виде закона Гука нормальное напряжение в сечении σ выразить через внутреннюю продольную силу N и площадь поперечного сечения стержня А, т. е. , а относительную продольную деформацию – через начальную длину стержня l и абсолютную продольную деформацию Δl , т. е. , то после простых преобразований получим формулу для практических расчетов (продольная деформация прямо пропорциональна внутренней продольной силе)

(2-й вид закона Гука). (18)

Из этой формулы следует, что с увеличением значения модуля упругости материала Е абсолютная продольная деформация стержня Δl уменьшается. Таким образом, сопротивляемость элементов конструкций деформациям (их жесткость) можно увеличить путем применения для них материалов с более высокими значениями модуля упругости Е. Среди широко применяемых в строительстве и машиностроении конструкционных материалов высоким значением модуля упругости Е обладают стали. Диапазон изменения величины Е для разных марок сталей небольшой: (1,92÷2,12)·10 5 МПа. У алюминиевых сплавов, например, величина Е примерно в три раза меньше, чем у сталей. Поэтому для

конструкций, к жесткости которых предъявляются повышенные требования, предпочтительными материалами являются стали.

Произведение называют параметром жесткости (или просто жесткостью) сечения стержня при его продольных деформациях (единицы измерения продольной жесткости сечения – Н, кН, МН). Величина с = Е·А/l называется продольной жесткостью стержня длиной l (единицы измерения продольной жесткости стержня с – Н/м, кН/м).

Если стержень имеет несколько участков (n) с переменной продольной жесткостью и сложной продольной нагрузкой (функция внутренней продольной силы от координаты z сечения стержня), то суммарная абсолютная продольная деформация стержня определится по более общей формуле

, (19)

где интегрирование проводится в пределах каждого участка стержня длиной , а дискретное суммирование – по всем участкам стержня от i = 1 до i = n.

Закон Гука широко применяется в инженерных расчетах конструкций, поскольку большинство конструкционных материалов в процессе эксплуатации могут воспринимать весьма значительные напряжения, не разрушаясь в пределах упругих деформаций.

При неупругих (пластических или упруго-пластических) деформациях материала стержня прямое применение закона Гука неправомерно и, следовательно, вышеприведенные формулы использовать нельзя. В этих случаях следует применять другие расчетные зависимости, которые рассматриваются в специальных разделах курсов «Сопротивление материалов», «Строительная механика», «Механика твердого деформируемого тела», а также в курсе «Теория пластичности».

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Тема 2.2. Растяжение и сжатие. Продольные и поперечные деформации. Закон Гука

Иметь представление о продольных и поперечных деформациях и их связи.

Знать закон Гука, зависимости и формулы для расчета напря­жений и перемещений.

Уметь проводить расчеты на прочность и жесткость стати­чески определимых брусьев при растяжении и сжатии.

Деформации при растяжении и сжатии

Рассмотрим деформацию бруса под действием продольной силы F (рис. 21.1).

В сопротивлении материалов принято рассчитывать деформа­ции в относительных единицах:

Между продольной и поперечной деформациями существует за­висимость

где μ— коэффициент поперечной деформации, или коэффициент Пуассона, —характеристика пластичности материала.

Закон Гука

В пределах упругих деформаций деформации прямо пропорци­ональны нагрузке:

где F — действующая нагрузка; к — коэффициент. В современной форме:

где Е — модуль упругости, ха­рактеризует жесткость материала.

В пределах упругости нормальные напряжения пропорциональ­ны относительному удлинению.

Значение Е для сталей в пределах (2 – 2,1) • 10 5 МПа. При прочих равных условиях, чем жестче материал, тем меньше он деформируется:

Формулы для расчета перемещений поперечных сечений бруса при растяжении и сжатии

Используем известные формулы.

В результате получим зависимость между нагрузкой, размерами бруса и возникающей деформацией:

Δl — абсолютное удлинение, мм;

σ — нормальное напряжение, МПа;

l — начальная длина, мм;

Е — модуль упругости материала, МПа;

N — продольная сила, Н;

А — площадь поперечного сечения, мм 2 ;

Произведение АЕ называют жесткостью сечения.

Выводы

1. Абсолютное удлинение бруса прямо пропорционально вели­чине продольной силы в сечении, длине бруса и обратно пропорцио­нально площади поперечного сечения и модулю упругости.

2. Связь между продольной и поперечной деформациями зави­сит от свойств материала, связь определяется коэффициентом Пуас­сона, называемом коэффициентом поперечной деформации.

Коэффициент Пуассона: у стали μ от 0,25 до 0,3; у пробки μ = 0; у резины μ = 0,5.

3. Поперечные деформации меньше продольных и редко влияют на работоспособность детали; при необходимости поперечная дефор­мация рассчитывается через продольную.

где Δа — поперечное сужение, мм;

а_о — начальный поперечный раз­мер, мм.

4. Закон Гука выполняется в зоне упругих деформаций, которая определяется при испытаниях на растяжение по диаграмме растяже­ния (рис. 21.2).

При работе пластические деформации не должны возни­кать, упругие деформации малы по сравнению с геометрическими размерами тела. Основные расче­ты в сопротивлении материалов проводятся в зоне упругих де­формаций, где действует закон Гука.

На диаграмме (рис. 21.2) закон Гука действует от точки 0 до точки 1.

5. Определение деформации бруса под нагрузкой и сравнение ее с допускаемой (не нарушающей работоспособности бруса) называют расчетом на жесткость.

Примеры решения задач

Пример 1. Дана схема нагружения и размеры бруса до деформации (рис. 21.3). Брус защемлен, определить перемещение свободного конца.

Решение

1. Брус ступенчатый, по­этому следует построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Делим брус на участки нагружения, определяем продольные силы, строим эпюру продольных сил.

2. Определяем величины нор­мальных напряжений по сечениям с учетом изменений площади поперечного сечения.

Строим эпюру нормальных напряжений.

3. На каждом участке опре­деляем абсолютное удлинение. Результаты алгебраически сумми­руем.

Примечание. Балка за­щемлена, в заделке возникает неизвестная реакция в опоре, поэтому расчет начинаем со сво­бодного конца (справа).

1. Два участка нагружения:

2.

Три участка по напряжениям:

Пример 2. Для заданного ступенчатого бруса (рис. 2.9, а) построить эпюры продольных сил и нормаль­ных напряжений по его длине, а также определить пере­мещения свободного конца и сечения С, где приложена сила Р₂. Модуль продольной упругости материала Е = 2,1 • 10 5 Н/’мм 3 .

Решение

1. Заданный брус имеет пять участков /, //, III, IV, V (рис. 2.9, а). Эпюра продольных сил показана на рис. 2.9, б.

2. Вычислим напряжения в поперечных сечениях каж­дого участка:

Эпюра нормальных напряжений построена на рис. 2.9, в.

3. Перейдем к определению перемещений поперечных сечений. Перемещение свободного конца бруса опреде­ляется как алгебраическая сумма удлинений (укорочений) всех его участков:

Подставляя числовые значения, получаем

4. Перемещение сечения С, в котором приложена сила Р₂, определяется как алгебраическая сумма удлинений (уко­рочений) участков ///, IV, V:

Подставляя значения из предыдущего расчета, полу­чаем

Таким образом, свободный правый конец бруса пере­мещается вправо, а сечение, где приложена сила Р₂, — влево.

5. Вычисленные выше значения перемещений можно полу­чить и другим путем, пользуясь принципом независимости действия сил, т. е. определяя перемещения от действия каждой из сил Р₁; Р_2; Р₃ в отдельности и суммируя ре­зультаты. Рекомендуем учащемуся проделать это само­стоятельно.

Пример 3. Определить, какое напряжение возни­кает в стальном стержне длиной l = 200 мм, если после приложения к нему растягивающих сил его длина стала l₁ = 200,2 мм. Е = 2,1*10 6 Н/мм 2 .

Решение

Абсолютное удлинение стержня

Продольная деформация стержня

Согласно закону Гука

Пример 4. Стенной кронштейн (рис. 2.10, а) со­стоит из стальной тяги АВ и деревянного подкоса ВС. Площадь поперечного сечения тяги F₁ = 1 см 2 , площадь сечения подкоса F₂ = 25 см 2 . Определить горизонтальное и вертикальное перемещения точки В, если в ней под­вешен груз Q = 20 кН. Модули продольной упругости стали E_ст = 2,1*10 5 Н/мм 2 , дерева Е_д = 1,0*10 4 Н/мм 2 .

Решение

1. Для определения продольных усилий в стерж­нях АВ и ВС вырезаем узел В. Предполагая, что стерж­ни АВ и ВС растянуты, направляем возникающие в них усилия N₁ и N₂ от узла (рис. 2.10, 6). Составляем уравнения равновесия:

Усилие N₂ получилось со знаком минус. Это указы­вает на то, что первоначальное предположение о направ­лении усилия неверно — фактически этот стержень сжат.

2. Вычислим удлинение стальной тяги Δl₁ и укорочение подкоса Δl₂:

Тяга АВ удлиняется на Δl₁ = 2,2 мм; подкос ВС уко­рачивается на Δl₁ = 7,4 мм.

3. Для определения перемещения точки В мысленно разъединим стержни в этом шарнире и отметим их новые длины. Новое положение точки В определится, если де­формированные стержни АВ₁ и В₂С свести вместе путем их вращения вокруг точек А и С (рис. 2.10, в). Точки В₁ и В₂ при этом будут перемещаться по дугам, которые вследствие их малости могут быть заменены отрезками прямых В₁В’ и В₂В’, соответственно перпендикулярными к АВ₁ и СВ₂. Пересечение этих перпендикуляров (точка В’) дает новое положение точки (шарнира) В.

4. На рис. 2.10, г диаграмма перемещений точки В изо­бражена в более крупном масштабе.

5. Горизонтальное пере­мещение точки В

где составляющие отрезки определяются из рис. 2.10, г;

Подставляя числовые значения, окончательно получаем

При вычислении перемещений в формулы подстав­ляются абсолютные значения удлинений (укорочений) стержней.

Контрольные вопросы и задания

1. Стальной стержень длиной 1,5 м вытянулся под нагрузкой на 3 мм. Чему равно относительное удлинение? Чему равно относительное сужение? (μ = 0,25.)

2. Что характеризует коэффициент поперечной деформации?

3. Сформулируйте закон Гука в современной форме при растяжении и сжатии.

4. Что характеризует модуль упругости материала? Какова единица измерения модуля упругости?

5. Запишите формулы для определения удлинения бруса. Что характеризует произведение АЕ и как оно называется?

6. Как определяют абсолютное удлинение ступенчатого бруса, нагруженного несколькими силами?

7. Ответьте на вопросы тестового задания.

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам.

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор.

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Источник