Абсолютную погрешность косвенного измерения мощности

Расчет погрешности результата косвенного измерения

Рассмотрим пример расчета погрешности результата косвенно­го измерения активной мощности с помощью амперметра на на­грузке с известным значением сопротивления. При известных и постоянных значениях тока I в нагрузке и сопротивления R на­грузки активная мощность Р равна:

Значения величин I и R измеряются различными приборами со своими конкретными погрешностями, определяемыми, в частно­сти, их классами точности. Погрешности этих исходных результа­тов могут быть найдены на основе паспортных данных и показа­ний используемых приборов (амперметра и омметра).

Как показано ранее, для такого частного случая функциональ­ной зависимости (функционал в виде произведения) суммарная предельная относительная погрешность δ может быть найдена как сумма предельных относительных погрешностей определения зна­чения каждой составляющей с учетом их вклада в функционал:

Предположим, что предельные относительные погрешности определения исходных величин, найденные по результатам пря­мых измерений тока и сопротивления и паспортным данным при­боров, равны, соответственно, δ_I = ±1,5 %; δ_R = ±1 %. Тогда сум­марная предельная относительная погрешность δ результата кос­венного измерения мощности запишется в виде

Абсолютная суммарная погрешность Δ при уже найденном ре­зультате вычисления мощности Р может быть найдена обычным образом:

Конечно, в общем случае необходимо учитывать не только ин­струментальные погрешности (погрешности собственно приборов), но и возможные методические.

ГЛАВА 2.АНАЛОГОВЫЕ ЭЛЕКТРОИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ

Источник

Погрешности косвенных измерений

Теперь необходимо рассмотреть вопрос о том, как находить погрешность физической величины U, которая определяется путем косвенных измерений. Общий вид уравнения измерения

где Х_j – различные физические величины, которые получены экспериментатором путем прямых измерений, или физические константы, известные с заданной точностью. В формуле они являются аргументами функции.

В практике измерений широко используют два способа расчета погрешности косвенных измерений. Оба способа дают практически одинаковый результат.

Способ 1.Сначала находится абсолютная D, а затем относительная d погрешности. Этот способ рекомендуется для таких уравнений измерения, которые содержат суммы и разности аргументов.

Общая формула для расчета абсолютной погрешности при косвенных измерениях физической величины Y для произвольного вида f функции имеет вид:

(1.5)

где частные производные функции Y=f(Х₁, Х₂, … , Х_n) по аргументу Х_j,

общая погрешность прямых измерений величины Х_j.

Для нахождения относительной погрешности нужно прежде всего найти среднее значение величины Y. Для этого в уравнение измерения (1.4) надо подставить средние арифметические значения величин X_j.

То есть среднее значение величины Y равно: . Теперь легко найти относительную погрешность: .

Пример: найти погрешность измерения объёма V цилиндра. Высоту h и диаметр D цилиндра считаем определёнными путём прямых измерений, причём пусть количество измерений n=10.

Формула для расчета объёма цилиндра, то есть уравнение измерения имеет вид:

Пусть при Р=0,68;

при Р=0,68.

Тогда, подставляя в формулу (1.5) средние значения, найдём:

Погрешность D_V в данном примере зависит, как видно, в основном от погрешности измерения диаметра.

Средний объём равен: , относительная погрешность d_V равна:

, или d_V=19%.

Окончательный результат после округления:

Способ 2. Этот способ определения погрешности косвенных измерений отличается от первого способа меньшими математическими трудностями, поэтому его чаще используют.

В начале находят относительную погрешность d, и только затем абсолютную D. Особенно удобен этот способ, если уравнение измерения содержит только произведения и отношения аргументов.

Порядок действий можно рассмотреть на том же конкретном примере — определение погрешности при измерении объёма цилиндра

.

Все численные значения входящих в формулу величин сохраним теми же, что и при расчетах по способу 1.

Пусть мм, ; при Р=0,68;

; при Р=0,68.

-погрешность округления числа p (см. рис. 1.1)

При использовании способа 2 следует действовать так:

1) прологарифмировать уравнение измерения (берём натуральный логарифм)

.

найти дифференциалы от левой и правой частей, считая независимыми переменными,

;

2) заменить дифференциал каждой величины на абсолютную погрешность этой же величины, а знаки “минус”, если же они есть перед погрешностями на “плюс”:

;

3) казалось бы, что с помощью этой формулы уже можно дать оценку для относительной погрешности , однако это не так. Требуется так оценить погрешность, чтобы доверительная вероятность этой оценки совпадала с доверительными вероятностями оценки погрешностей тех членов, которые стоят в правой части формулы. Для этого, чтобы это условие выполнялось, нужно все члены последней формулы возвести в квадрат, а затем извлечь корень квадратный из обеих частей уравнения:

.

Или в других обозначениях относительная погрешность объёма равна:

,

причём вероятность этой оценки погрешности объёма будет совпадать с вероятностью оценки погрешностей входящих в подкоренное выражение членов:

Сделав вычисления, убедимся, что результат совпадает с оценкой по способу 1:

Теперь, зная относительную погрешность, находим абсолютную:

Окончательный результат после округления:

V = (47 ± 9) мм 3 , d_V = 19%, P=0,68.

Контрольные вопросы

1. В чём заключается задача физических измерений?

2. Какие типы измерений различают?

3. Как классифицируют погрешности измерений?

4. Что такое абсолютная и относительная погрешности?

5. Что такое промахи, систематические и случайные погрешности?

6. Как оценить систематическую погрешность?

7. Что такое среднее арифметическое значение измеренной величины?

8. Как оценить величину случайной погрешности, как она связана со средним квадратичным отклонением?

9. Чему равна вероятность обнаружения истинного значение измеренной величины в интервале от Х_ср — s до Х_ср + s?

10. Если в качестве оценки для случайной погрешности выбрать величину 2s или 3s, то с какой вероятностью истинное значение будет попадать в определённые этими оценками интервалы?

11. Как суммировать погрешности и когда это нужно делать?

12. Как округлить абсолютную погрешность и среднее значение результата измерения?

13. Какие способы существуют для оценки погрешностей при косвенных измерениях? Как при этом действовать?

14. Что нужно записать в качестве результата измерения? Какие величины указать?

Дата добавления: 2015-02-19 ; просмотров: 3943 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Абсолютную погрешность косвенного измерения мощности

Чтобы найти погрешность косвенных измерений, надо воспользоваться формулами, приведенными в таблице. Эти формулы могут быть выведены «методом границ».

Сначала надо вспомнить основные понятия теории погрешности.

Абсолютная погрешность физической величины ΔА — это разница между точным значением физической величины и ее приближенным значением и измеряется в тех же единицах, что и сама величина:

Так как мы никогда не знаем точного значения величины А, а лишь определяем из опыта ее приближенное значение, то и величину абсолютной погрешности мы можем определить лишь при­бли­зи­тель­но. Наиболее просто находится максимальная величина абсолютной погрешности, которая и используется нами в лабораторных работах.

Относительная погрешность измерения ε_А равна:

При косвенных измерениях величину погрешности искомой величины вычисляют по формулам:

В случае, когда искомая величина находится по формуле, в которой в основном присутствуют произведение и частное, удобней находить сначала относительную погрешность. Если при этом один из множителей представляет собой сумму или разность, нужно предварительно найти его абсолютную погрешность (сложением абсолютных погрешностей слагаемых), а затем относительную.

Зная относительную погрешность, найти абсолютную погрешность измерений можно так:

«Правило ничтожных погрешностей»

при суммировании погрешностей любым из слагаемых можно пренебречь, если оно не превосходит ⅓ – ⅟ 4 от другого.

Запись результата с указанием погрешности.

Абсолютная погрешность измерений обычно округляется до 1 значащей цифры, а, если эта цифра 1, то до двух.

Результат записывается в виде:

А = А_изм ± ΔА, например: ℓ = (13 ± 2) мм.

При этом в измеренном значении следует оставлять столько десятичных знаков, сколько их в значении погрешности (последняя цифра погрешности «поправляет» последнюю цифру измеренного значения) . Значение величины и погрешность следует выражать в одних и тех же единицах!

Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 1

Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 2

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите плотность вещества, из которого сделан куб со стороной 7,00 ± 0,15 см, если его масса 847 ± 2 г. Что это за вещество?

Задание 2. Найдите удельную теплоту сгорания топлива, 2,10 ± 0,15 г которого хватило, чтобы нагреть 400 ± 10 мл воды на 35°С ± 2°С. Что это за топливо?

© Ивашкина Д.А., 2017. Публикация материалов с сайта разрешена только при наличии активной ссылки на главную страницу.

Источник

Определение погрешности результата косвенных измерений

Задача №1

Погрешности средств измерений

Номинальный режим электроустановки постоянного тока характеризуется напряжением U

и током I, измерение которых может быть произведено вольтметрами V или V и амперметрами А или А . Значения напряжения U , тока I и характеристики электроизмерительных приборов приведены в таблице 1.1.

а) из двух вольтметров и двух амперметров выбрать электроизмерительные приборы, обеспечивающие меньшую возможную относительную погрешность;

б) определить пределы, в которых могут находиться действительные значения напряжения и тока при их измерении выбранными приборами;

в) определить возможную относительную погрешность в определении мощности установки по показаниям вольтметра и амперметра.

Группа	Величина	Вариант
А	Напряжение U,В
Вольтметры	V	Класс точности Предел измерения U ,В
V	Класс точности Предел измерения U ,В	1,5
Б	Ток I, А	2,5
Амперметры	А	Класс точности Предел измерения I ,А	4,0
А	Класс точности Предел измерения I ,А	1,0

а)Максимальные абсолютные погрешности амперметра и вольтметра:

[%] [%]

б)Найдём относительную погрешность в процентах

Из двух амперметров выбираем А1 так как .

Из двух вольтметров выбираем V2 так как .

2.Определим пределы в которых могут находится действительные значения напряжения и тока при их измерении выбранными приборами:

Для V2 В В

Для А1 А А

3.определим возможную относительную погрешность в определении мощности установки по показаниям вольтметра и амперметра.

Задача №2

Определение погрешности результата косвенных измерений

Для измерения сопротивления или мощности косвенным методом использовались два прибора: амперметр и вольтметр магнитоэлектрической системы.

а) величину сопротивления и мощность по показаниям приборов;

б) максимальные абсолютные погрешности амперметра и вольтметра;

в) абсолютную погрешность косвенного метода;

г) относительную погрешность измерения;

д) пределы действительных значений измеряемых физических величин.

Наименование заданной величины	Значение величины
Предел измерения U ,В
Класс точности ,%	0,5
Показания вольтметра U, В
Предел измерения I , А	1.5
Класс точности ,%	1.0
Показание амперметра I, А	1,2

Методические указания

При косвенных измерениях искомое значение величины y находится на основании математической зависимости, связывающей эту величину с несколькими величинами x , x , ……x , измеряемыми прямыми методами. При этом погрешности прямых измерений приводят к тому, что окончательный результат имеет погрешность.

Максимальные абсолютные погрешности амперметра и вольтметра определяются:

I = ,

U=

где — приведенная погрешность измерительного прибора, равная классу точности прибора;

I , U — номинальное значение тока и напряжения;

Формулы для расчета абсолютных и относительных погрешностей результата косвенных измерений:

Функция y	Погрешности
абсолютная — y	Относительная — y
x * x
x / x

где x , x — измеренные значения электрических величин; , — максимальные абсолютные погрешности, допускаемые при измерении значений x , x .Функция x * x

используется в задаче для расчета погрешности косвенного измерения мощности, функция x / x — то же для сопротивлений.

Результаты вычислений сопротивлений и мощности сводятся в таблицу:

U, В	I, A	U, B	I, A	P, Вт	R,Ом			Р+ Р, Вт	R+ R, Ом
1,5	1,25	0,015	3.9	2,708	0,014	4	288 3,9	200±2.708

Расчет

1) значение мощности и сопротивления по показаниям приборов

Р = UI = = 288 Вт;

2) предельные абсолютные погрешности измерительных приборов:

амперметра — I = = = 0,015 А;

вольтметра U= = = 1,25 В;

3) абсолютная погрешность косвенного измерения мощности и сопротивления:

Р= Вт;

Ом

4) относительная погрешность косвенного измерения мощности и сопротивления:

= = 0,014;

;

5) действительное значение мощности Р = (288 3,9) Вт.

действительное значение сопротивления R=(200±2,708) Ом

Источник