Аксиома измерения углов определение

геометрические утверждения

(стр.)

Аксиома принадлежности 1: Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Аксиома принадлежности 2: Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке.

Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекается с прямой. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекается с прямой.

Аксиома расположения 1: Из трек точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Аксиома расположения 2: Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Точки, принадлежащие одной полуплоскости, лежат по одну сторону от точки, производящей деление, а точки, принадлежащие дополнительным полупрямым, лежат по разные стороны от этой точки

Аксиома измерения отрезков: Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Аксиома измерения углов: Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180° . Градусная мера угла равна сумме мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Аксиома откладывания отрезков: На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

Аксиома откладывания углов: От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180° , и только один.

Аксиома существования равного треугольника: Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Аксиома параллельности прямых: Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.

Сумма снежных углов равна 180°.

Если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Угол, снежный с прямым углом, есть прямой угол.

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.

Если от данной полупрямой отложить в одну полуплоскость два угла, то сторона меньшего угла, отличная от данной полупрямой, проходит между сторонами большего угла.

Если углы (a, b) и (b, c) отложены в одну сторону полуплоскости от полупрямой a , то угол (b, c) равен разности углов (a, c) и (a, b).

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу.

Если внутренние накрест лежащие углы одной пары равны, то внутренние накрест лежащие углы другой пары тоже равны, а сумма внутренних односторонним углов каждой пары равна 180° .

Если сумма внутренних односторонних углов одной пары равна 180° , то сумма внутренних односторонних углов другой пары тоже равна 180° , а внутренние накрест лежащие углы каждой пары равны.

Если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180° , то прямые параллельны.

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести параллельную ей прямую, и только одну.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Сумма углов треугольника равна 180° .

У любого треугольника хотя бы два угла острые.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов,
не смежных с ним

Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не
смежного с ним.

Признак равенства прямоугольного треугольника 1: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольного треугольника 2: Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольного треугольника 3: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.

Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.

Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон.

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

Геометрическое место точек, равноудаленных от других данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину.

Вписанный в окружность угол, стороны которого проходят через две данные точки окружности, равен половине угла между радиусами, проведенными в эти точки, или дополняет половину этого угла до 180° .

Если вписанный угол острый, то он равен половине угла между радиусами, а если тупой, то дополняет ее до 180° .

Все вписанные в окружность углы, стороны которых проходят через две данные точки окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей эти точки, равны.

Углы, стороны которых проходят черев концы диаметра окружности, прямые.

Источник

Аксиома измерения углов определение

Планиметрия – это раздел геометрии, который изучает геометрические фигуры на плоскости.

Аксиомы планиметрии.

Аксиома – это утверждение, принимающееся как истинное без доказательства. Слово «аксиома» происходит от греческого слова «аксиос» и означает «утверждение, не вызывающее сомнений»

Аксиомы планиметрии – это основные свойства простейших геометрических фигур. Неопределяемыми или основными понятиями в планиметрии являются точка, прямая.

Таблица. Аксиомы принадлежности. Аксиомы измерения отрезка. Аксиома взаимного расположения точек на прямой и плоскости. Аксиома откладывания угла. Свойства градусной меры углов.

Альтернативная разбивка аксиом планиметрии по группам:

1. Аксиомы принадлежности

1.1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

2. Аксиомы расположения

2.1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

2.2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

3. Аксиомы измерения

3.1. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумму длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

3.2. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусов. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

4. Аксиомы откладывания

4.1. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок, заданной длины, и только один.

4.2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол заданной градусной мерой, меньшей 180 градусов, и только один.

4.3. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

5. Аксиома параллельности

5.1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

Это конспект по теме «Аксиомы планиметрии». Выберите дальнейшие действия:

Источник

Аксиома измерения углов определение

Учебный курс

Решаем задачи по геометрии

Развернуть структуру обучения

Свернуть структуру обучения

СВОЙСТВА ИЗМЕРЕНИЯ УГЛОВ

Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Если из вершины угла А провести еще один луч АD, проходящий между сторонами угла, то угол разбивается этим лучом на два угла, у которых одна сторона (луч AD) будет общей, а две другие – стороны заданного угла

ВЛАСТИВОСТІ ВИМІРЮВАННЯ КУТІВ

Кожен кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180°. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.

Якщо з вершини кута А провести ще один промінь АD, що проходить між сторонами кута, то кут розбивається цим променем на два кути, у яких одна сторона (промінь AD) буде загальною, а дві інші — сторони заданого кута

Источник

Основные аксиомы планиметрии. Визуальный гид (ЕГЭ – 2021)

Представь, что ты вдруг очутился на другой планете, ну или… в компьютерной игре.

Перед тобой набор неизвестных продуктов, а твоя задача – приготовить из этого набора как можно больше вкусных блюд. Что тебе понадобится?

Конечно же, правила, инструкции – что можно делать с теми или иными продуктами. А то вдруг ты сваришь то, что едят только в сыром виде или, наоборот, положишь в салат то, что непременно нужно варить или жарить? Так что, без инструкций – никуда!

Хорошо, но к чему такое вступление? При чем тут геометрия? Понимаешь, великое множество утверждений о всяких фигурах в геометрии и есть то самое множество «блюд», которые мы должны научиться готовить.

Но из чего? Из основных объектов геометрии! А вот инструкция по их «употреблению» называется умными словами «система аксиом».

Так что, внимание!

АКСИОМЫ ПЛАНИМЕТРИИ. ШПОРА

Аксиомы принадлежности:

Аксиомы порядка:

Аксиомы мер для отрезков и углов:

Аксиомы существования треугольника, равного данному:

Следствие 1. От данной точки данной прямой в данную сторону можно отложить отрезок данной длины, причем единственным образом

Следствие 2. От данного луча в данную полуплоскость можно отложить угол данной величины, причем единственным образом

Аксиома параллельных:

Основные факты об углах:

\( \displaystyle 180<>^\circ=x_<1>^<<>^\circ >+x_<2>^<<>^\circ >\)

\( \displaystyle \angle 1=\angle 2\).

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Основные понятия планиметрии

Почему все в картинках и без слов? А нужны ли слова? Мне кажется, на первых порах не очень нужны.

Вообще-то, математики, конечно, умеют все описывать словами, и такие описания ты можешь найти в следующих уровнях теории, а сейчас продолжим картинками.

Что же еще? Ах да, нам же нужно научиться измерять отрезки и углы.

У каждого отрезка есть длина – число, которое этому отрезку (зачем-то …) поставили в соответствие. Длину принято измерять … линейкой, конечно, в сантиметрах, миллиметрах, метрах и даже в километрах.

А теперь измерение углов. Углы почему-то принято измерять в градусах. Почему? На это есть исторические причины, но мы сейчас занимаемся не историей. Поэтому придется принять просто как должное следующее соглашение.

В развернутом угле \( \displaystyle 180\) градусов.

Для краткости пишут: \( \displaystyle <<180>^<\circ >>\). При этом, конечно же, величину всех остальных углов можно найти, если выяснить, какую часть от развернутого угла составляет данный угол.

Инструмент для измерения углов называется транспортир. Думаю, ты его уже не раз в жизни видел.

Его автор, Алексей Шевчук, ведет курсы подготовки к ЕГЭ по математике и информатике.

Приходи, научишься решать задачи любой сложности с самого нуля. Шаг за шагом.

До 3990 руб / месяц, 3 раза в неделю по 2 часа.

Два основных факта об углах

I. Смежные углы в сумме составляют \( \displaystyle <<180>^<\circ >>\).

Это совсем естественно, не правда ли? Ведь смежные углы вместе составляют развернутый угол!

II. Вертикальные углы равны.

Почему? А смотри:

\( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 3\) – смежные
\( \displaystyle \Rightarrow \angle 1+\angle 3=<<180>^<\circ >>\).\( \displaystyle \angle 2\) и \( \displaystyle \angle 3\) – тоже смежные
\( \displaystyle \Rightarrow \angle 2+\angle 3=<<180>^<\circ >>\)

Ну, конечно, отсюда следует, что \( \displaystyle \angle 1=\angle 2\). (Достаточно, например, вычесть из первого равенства второе. А вообще-то, можно просто посмотреть на картинку).

Прямой угол

Если угол равен смежному с ним, то он называется прямым углом.

Чему равна величина прямого угла?

Острый и тупой углы

Углы, меньшие \( \displaystyle <<90>^<\circ >>\), называются острыми углами.

Углы от \( \displaystyle <<90>^<\circ >>\) до \( \displaystyle <<180>^<\circ >>\) называются тупыми углами.

Еще раз: угол в \( \displaystyle <<90>^<\circ >>\)- прямойугол.

Вот, в общем-то и все, что тебе нужно знать для начала. Почему же мы ни слова не сказали об аксиомах?

Аксиомы – это правила действия с основными объектами планиметрии, самые первые утверждения о точках и прямых. Эти утверждения берутся за основу, не доказываются.

Почему же все-таки мы их не формулируем и не обсуждаем? Понимаешь, аксиомы планиметрии в некотором смысле просто описывают ясные интуитивно понятные соотношения довольно длинным математическим языком.

Четкое осознание аксиоматики необходимо чуть позже, когда ты привыкнешь к геометрическим понятиям на уровне здравого смысла.

Тогда – добро пожаловать в следующие уровни теории по этой теме – там есть довольно подробное обсуждение аксиом.

А пока попробуй поступать как совсем древние греки, до времен Евклида – просто решай задачи, пользуясь здравым смыслом. Уверяю тебя, множество задач тебе поддадутся!

Автор этого учебника, Алексей Шевчук, проводит бесплатные вебинары по самым сложным задачам ЕГЭ по математике и информатике.

На вебинарах все будет еще понятнее. Шорткаты, лайфхаки, разбор «капканов» — все там.

Регистрируйся здесь и приходи!

СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

Основные объекты планиметрии

Точка и прямая

Это и есть самые главные понятия планиметрии. Математики говорят, что это «неопределяемые понятия». Как так? А вот так, нужно же с чего-то начинать.

Теперь первые правила обращения с точками и прямыми. Эти правила математики называют «аксиомы» – утверждения, которые принимаются за основу , из которых потом все основное будет выводиться (помнишь, что у нас большая кулинарная миссия по «приготовлению» геометрии?). Так вот, первая серия аксиом называется

Аксиомы

I. Аксиомы принадлежности

Аксиома 1.1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Обрати внимание, эта аксиома позволяет рисовать так:

Аксиома 1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Вот так: было две точки:

И тут же нашлась прямая:

А другой – нет! Прямая только одна!

Если тебе все это кажется слишком очевидным, то вспомни, что ты – на другой планете и до сих пор совершенно не знал, что делать с объектами «точка» и «прямая».

Зарегистрируйся один раз и ты откроешь все 100 статей учебника

А также получишь доступ к видеоурокам и другим бесплатным материалам курса «Подготовка к ЕГЭ с репетитором»

* Если не понравятся бесплатные материалы, ты сможешь отписаться в любой момент

Луч, отрезок, угол

Вот теперь мы научились наносить точки на прямые и проводить прямые через точки, поэтому уже можем приготовить первые простейшие «блюда» — луч, отрезок, угол.

Любая точка, лежащая на прямой, делит эту прямую на две полупрямые. Каждая из этих полупрямых называется еще лучом.

Вот он, луч:

Любые две точки на прямой ограничивают отрезок прямой.

Углом называется часть плоскости, заключенная между двумя лучами этой плоскости, имеющими общее начало.

Лучи, образующие угол, называются сторонами угла, а их общее начало – вершиной угла.

Угол, образованный дополнительными лучами, называется развернутым.

Теперь наведем порядок. Следующая серия аксиом так и называется:

II. Аксиомы порядка

Аксиома 2.1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Аксиома 2.2. Прямая, лежащая в плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

Теперь – следующий уровень. Нам нужны инструкции по измерению отрезков и углов. Эти аксиомы называются

III. Аксиомы мер для отрезков и углов

Аксиома 3.1. Каждый отрезок имеет определенную длину, больше нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

\( \displaystyle d=<_<1>>+<_<2>>\)

Аксиома 3.2. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен \( \displaystyle 180<>^\circ \). Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

\( \displaystyle x=x_<1>^<<>^\circ >+x_<2>^<<>^\circ >\)

Аксиома 3.3. Каково бы ни было число \( \displaystyle d>0\) , существует отрезок длины \( \displaystyle d\).

А теперь уже совсем странно.

IV. Аксиомы существования треугольника, равного данному

Аксиома 4.1. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

Более понятными являются два следствия из этой аксиомы:

Следствие 1. От данной точки данной прямой в данную сторону можно отложить отрезок данной длины, причем единственным образом.

Следствие 2. От данного луча в данную полуплоскость можно отложить угол данной величины, причем единственным образом.

Ну, и последняя легендарная аксиома параллельных!

Но сперва определение:

Прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек.

V. Аксиома параллельных

Аксиома 5.1. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Ну вот, и закончились аксиомы планиметрии! Слишком много их? Но представь себе, все они нужны. Для каждой из них есть хитрое-хитрое рассуждение, которое показывает, что если удалить эту аксиому, то развалится всё здание геометрии! Ну, или останется нечто, совершенно непохожее на то, к чему мы привыкли.

А теперь два основных факта об углах!

Его автор, Алексей Шевчук, ведет курсы подготовки к ЕГЭ по математике и информатике.

Приходи, научишься решать задачи любой сложности с самого нуля. Шаг за шагом.

До 3990 руб / месяц, 3 раза в неделю по 2 часа.

Смежные и вертикальные углы

Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополнительными лучами.

Лучи, образующие угол, называются сторонами угла, а их общее начало – вершиной

Теорема. Сумма смежных углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \)

\( \displaystyle 180<>^\circ=x_<1>^<<>^\circ >+x_<2>^<<>^\circ >\)

Это совсем простая теорема, правда?

Ведь общая сторона смежных углов просто-напросто разбивает развернутый угол на два угла и поэтому (ВНИМАНИЕ: работает Аксиома 3.2!) сумма смежных углов равна величине развернутого, то есть \( \displaystyle 180<>^\circ \).

Вертикальные углы проще нарисовать, чем описывать – смотри картинку.

Теорема. Вертикальные углы равны.

Это легкая теорема. Убедись:

\( \displaystyle \angle 1+\angle 3=180<>^\circ \) (они смежные).

\( \displaystyle \angle 2+\angle 3=180<>^\circ \) (тоже смежные)\( \displaystyle \angle 1=\angle 2\) – и ВСЁ!

Прямой угол

Если угол равен смежному с ним, то он называется прямым.

Его величина равна \( \displaystyle 90<>^\circ \) (ну конечно, ведь \( \displaystyle 90<>^\circ +90<>^\circ =180<>^\circ \))

Острый и тупой угол

Углы, меньшие \( \displaystyle 90<>^\circ \), называются острыми углами.

Углы от \( \displaystyle 90<>^\circ \) до \( \displaystyle 180<>^\circ \) называются тупыми углами.

Вот и всё… Дальше нужно говорить о параллельности и о треугольниках. Так что, вперед, в следующие темы.

КУРСЫ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ ИНФОРМАТИКЕ И ФИЗИКЕ

КУРСЫ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:
Анна
08 мая 2018
Большое спасибо.

Александр (админ)
08 мая 2018
Пожалуйста, Анна! Удачи на экзаменах.

Виктория
14 мая 2019
Скажите, пожалуйста, есть ли задачник по вашему учебнику геометрии? Может порекомендуете какой-нибудь, чтобы можно было практику проходить (чтоб с ответами)? Теория просто волшебная! Но надо ж закрепить! С уважением

Александр (админ)
14 мая 2019
Конечно есть, Виктория. Задачник, если можно так сказать, находится на сайте 100gia.ru Это тоже наш сайт. Там очень много чего есть, в том числе и задачи по геометрии, с решениями и с ответами. Там вообще более 6000 задач. Изначально все это было на одном сайте. Но потом мы разделили его на два, по просьбам… Спасибо, кстати, за теплые слова. И обязательно закрепляйте. Вы тут абсолютно правы.

01 декабря 2019
Ну вот это просто класс! Мой нелюбящий сын геометрию, сегодня после первого вашего урока просто в неё влюбился!

Александр (админ)
01 декабря 2019
Спасибо, огромное, Наталья! Очень приятно слышать. Сыну — успехов в геометрии и удачи на всех экзаменах!

Источник