Меню

Аксиомы связанные с измерением отрезков



Аксиомы связанные с измерением отрезков

В книге А.В.Погорелова [3] геометрия основана на следующих аксиомах.
1. Аксиомы принадлежности.
1.1 Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
1.2. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
2. Аксиомы порядка.
2.1. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
2.2. Прямая, лежащая в плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.
3. Аксиомы меры для отрезков и углов.
3.1. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
3.2. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 0 . Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
3.3. Каково бы ни было вещественное число d > 0, существует отрезок длины d .
4. Аксиома существования треугольника, равного данному.
4.1. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.
5. Аксиома параллельных
5.1. На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
6. Аксиомы стереометрии
6.1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
6.2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
6.3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

В курсе элементарной геометрии Д.И.Перепелкина [4] рассматриваются следующие аксиомы геометрии.
1. Аксиомы соединения.
1.1. Через любые две данные точки проходит одна и только одна прямая.
1.2. На каждой прямой имеется бесчисленное множество точек.
1.3. Существуют точки, не лежащие на одной прямой.
1.4. Через любые три данные точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.
1.5. На каждой плоскости имеется бесчисленное множество точек.
1.6. Если две точки данной прямой лежат на некоторой плоскости, то и все точки этой прямой лежат на той же плоскости.
1.7. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и вторую общую точку.
1.8. Существуют точки, не лежащие на одной плоскости.
2. Аксиомы порядка.
2.1. Из трех точек одной прямой всегда одна и только одна лежит между двумя другими.
2.2. Если A и B – две данные точки, то на прямой AB существует как бесчисленное множество точек, лежащих между A и B , так и бесчисленное множество точек, для которых точка B лежит между точкой A и каждой из этих точек.
2.3. Всякая точка O , лежащая на прямой, разделяет остальные точки этой прямой на два класса так, что точка O лежит между любыми двумя точками различных классов, но не лежит между двумя точками одного класса.
2.4. Всякая прямая, лежащая в некоторой плоскости, делит эту плоскость на две выпуклые области.
3 . Аксиомы конгруэнтности.
3.1. Равенство отрезков и углов обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.
3.2. Пусть точка C лежит на прямой AB между точками A и B, а точка C’ на прямой A’B’ между точками A’ и B’. Если при этом AC=A’C’, BC=B’C’ , то AB=A’B’. Если при этом же условии AB=A’B’, AC=A’C’, то BC=B’C’.
3.3. Пусть луч l лежит между сторонами h, k угла hk , а луч l’ – между сторонами h’, k’ угла h’k’ . Если при этом hl = h’l’ и lk = l’k’, то и hk = h’k’. Если при этом же условии hk = h’k’ и hl = h’l’, то и kl = k’l’.
3.4. Пусть AB – некоторый отрезок и h’ – луч, выходящий из точки A’ ; на луче h’ существует одна и только одна такая точка B’ , что отрезок AB конгруэнтен отрезку A’B’.
3.5. Пусть hk – некоторый угол, h’ – луч, выходящий из точки O’ и a полуплоскость, выходящая из луча h’ ; в полуплоскости a существует один и только один такой луч k’ , выходящий из точки O’ , что hk = h’k’.
3 .6. Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого и углы обоих треугольников, заключенные между этими сторонами, равны, то и остальные углы этих треугольников равны.
4. Аксиомы окружности.
4.1. Если один конец отрезка лежит внутри окружности, а другой – вне окружности, то отрезок имеет с окружностью общую точку.
4.2. Если один конец некоторой дуги окружности лежит внутри другой окружности, а другой конец – вне окружности, то дуга окружности и вторая окружность имеют общую точку.
5. Аксиома параллельности.
5.1. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной.
6. Аксиома Архимеда.
6.1. Каковы бы ни были два данных отрезка, всегда найдется такое кратное меньшего отрезка, которое превосходит больший.
7. Аксиома Кантора.
7.1. Если дана безгранично убывающая последовательность вложенных отрезков, то существует такая точка, которая будет внутренней или конечной точкой каждого из этих отрезков.

Читайте также:  Как искать погрешность косвенных измерений

В школьном учебнике геометрии Л.С.Атанасяна и др. используется следующая система аксиом геометрии.
1. Аксиомы взаимного расположения точек, прямых и плоскостей.
1.1. На каждой прямой и в каждой плоскости имеются точки.
1.2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой, и по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
1.3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
1.4. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
1.5. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и все точки прямой лежат в этой плоскости.
1.6. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
1.7. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
1.8. Каждая точка прямой разделяет ее на две части (два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от данной точки, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от данной точки.
1.9. Каждая прямая, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от данной прямой, а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от данной прямой.
1.10. Каждая плоскость разделяет пространство на две части (два полупространства) так, что две точки одного и того же полупространства лежат по одну сторону от данной плоскости, а любые две точки разных полупространств лежат по разные стороны от данной плоскости.
2. Аксиомы наложения и равенства.
Наложением называется отображение пространства на себя. Две фигуры называются равными если одна из них переходит в другую с помощью некоторого наложения.
2.1. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.
2.2. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.
2.3. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.
2.4. Два равных угла hk и h 1 k 1 , лежащие в плоскостях, являющихся границами полупространств P и P 1 можно совместить наложением так, что при этом совместятся полупространства P и P 1 , причем это можно сделать двумя способами: 1) так, что луч h совместится с лучом h 1 , а луч k – с лучом k 1 ; 2) так, что луч h совместится с лучом k 1 , а луч k – с лучом h 1.
2.5. Любая фигура равна самой себе.
2.6. Если фигура Ф равна фигуре Ф 1 , то фигура Ф 1 равна фигуре Ф .
2.7. Если фигура Ф 1 равна фигуре Ф 2 , а фигура Ф 2 равна фигуре Ф 3 , то фигура Ф 1 равна фигуре Ф 3.
3. Аксиомы измерения отрезков.
3. 1. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.
3.2. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.
4. Аксиома параллельных.
4.1. В любой плоскости через точку, не лежащую на данной прямой этой плоскости, проходит только одна прямая, параллельная данной.

В школьном учебнике геометрии И.М.Смирновой, В.А.Смирнова [6] основными геометрическими фигурами считаются точки , прямыеи плоскости . Первые аксиомы относятся к понятию принадлежности.
1. Через любые две точки проходит единственная прямая.
2. Для любой прямой существуют точки, принадлежащие этой прямой и точки, ей не принадлежащие.
Одним из основных отношений взаимного расположения точек на прямой является отношение лежать между. Точки на прямой могут лежать между двумя данными точками на этой прямой или не лежать между ними. Если точка О лежит между точками А и В, то в этом случае говорят также, что точки А и В лежат на прямой по разные стороны от точки О. В противном случае говорят, что точки А и В лежат на прямой по одну сторону от точки О .
В качестве аксиом взаимного расположения точек на прямой принимаются следующие свойства.
3. Из трех точек на прямой только одна лежит между двумя другими.
4. Каждая точка на прямой разбивает эту прямую на две части так, что точки из разных частей лежат по разные стороны от данной точки, а точки из одной части лежат по одну сторону от данной точки .
Часть прямой, состоящая из двух данных точек и всех точек, лежащих между ними, называется отрезком. При этом сами данные точки называются концами отрезка.
Часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих от нее по одну сторону, называется полупрямой или лучом. При этом сама данная точка называется началом или вершинойлуча.
Одной из основных операций, которую можно производить с отрезками, является операция откладывания данного отрезка на данном луче от его вершины. Получающийся при этом отрезок называется равным исходному отрезку. Равенство отрезков АВ и А 1 В 1 записывается в виде АВ=А 1 В 1 . Оно означает, что если один из этих отрезков, например АВ, отложить на луче А 1 В 1 от точки А 1 , то отрезок АВ при этом совместится с отрезком А 1 В 1.
Если при откладывании отрезка АВ на луче А 1 В 1 от точки А 1 точка В переходит в точку, лежащую между точками А 1, В 1 , то говорят, что отрезок АВ меньше отрезка А 1 В 1 и обозначают АВ 1 В 1 . Говорят также, что отрезок А 1 В 1 больше отрезка АВ и обозначают А 1 В 1 >AB
Если на отрезке АВ между точками А и В взять какую-либо точку С, то образуется два новых отрезка АС и СВ. Отрезок АВ называется суммой отрезков АС и СВ и обозначается АВ = АС + СВ. Каждый из отрезков АС и СВ называется разностью отрезка АВ и другого отрезка, обозначается АС = АВ — СВ , СВ = АВ — АС . Чтобы сложить два произвольных отрезка АВ и CD , продолжим отрезок АВ за точку В и на этом продолжении отложим отрезок ВЕ, равный CD . Отрезок АЕ даст сумму отрезков АВ и CD , АЕ = АВ + CD . Аналогичным образом поступают для вычитания из большего отрезка меньшего.
Следующие свойства, относящиеся к понятию равенства отрезков, принимаются за аксиомы.
5. Каждый отрезок равен самому себе.
6. Если два отрезка равны третьему, то они равны между собой.
7. На любом луче от его начала можно отложить только один отрезок, равный данному.
8. Отрезки, полученные сложением или вычитанием соответственно равных отрезков, равны .
Используя операцию сложения отрезка с самим собой можно определить операцию умножения отрезка на натуральное число. А именно, положим для отрезка АВ 2 АВ = АВ + АВ ,3 АВ = 2АВ + АВ , . , nАВ = (n- 1 )АВ + АВ , . . Определим также операцию деления отрезка на натуральное число, или, что то же самое, операцию деления отрезка на n равных частей, считая AB : n отрезком, при умножении которого на n получается исходный отрезок АВ, т.е. n(AB : n ) = AB .
В качестве аксиомы принимается следующее свойство.
9. Любой отрезок можно разделить на n равных частей, n = 2,3, . .
Следующее свойство принимается в качестве аксиомы взаимного расположения точек на плоскости относительно данной прямой.
10. Каждая прямая на плоскостиразбивает эту плоскость на две части, для точек которых говорят, что они лежат по разные стороны от данной прямой. При этом, если две точки, принадлежат разным частям плоскости относительно данной прямой, то отрезок, соединяющий эти точки, пересекается с прямой. Если две точки принадлежат одной части, то отрезок, соединяющий эти точки, не пересекается с прямой .
Часть плоскости, состоящую из точек данной прямой и точек, лежащих по одну сторону от этой прямой, называется полуплоскостью .
Два луча с общей вершиной так же разбивают плоскость на две части. Если лучи не лежат на одной прямой, то меньшая из этих частей является общей частью двух полуплоскостей, определяемых данными лучами.
Фигура, образованная двумя лучами с общей вершиной и одной из частей плоскости, ограниченной этими лучами, называется углом. Общая вершина называется вершиной угла, а сами лучи — сторонами угла. Точки угла, не лежащие на его сторонах, называются внутренними. Лучи, исходящие из вешины данного угла и проходящие через внутренние точки угла, называются внутренними.
Одной из основных операций, которую можно производить с углами, является операция откладывания данного угла в ту или другую сторону от данного луча. Получающийся при этом угол называется равным исходному углу . Равенство углов АОВ и А 1 О 1 В 1 записывается в виде АОВ = А 1 О 1 В 1 . Оно означает, что если один из этих углов, например АОВ, отложить от луча О 1 А 1 в сторону, определяемую лучом О 1 В 1 , то угол АОВ при этом совместится с углом А 1 О 1 В 1.
Если при откладывании угла АОВ на луче А 1 О 1 В 1 от луча О 1 А 1 луч ОВ переходит в луч, лежащий внутри угла А 1 О 1 В 1 , то говорят, что угол АОВ меньше угла А 1 О 1 В 1 и обозначают АOВ А
1 O 1 В 1 . Говорят также, что угол А 1 О 1 В 1 больше угла АОВ и обозначают А 1 O 1 В 1 >AOB.
Если внутри угла АОВ провести луч ОС, то образуется два новых угла АОС и СОВ. Угол АОВ называется суммой углов АОС и СОВ и обозначается АОВ = АOС + СOВ . Каждый из углов АОС и СОВ называется разностью угла АОВ и другого угла, обозначается АOС = АOВ — СOВ , СOВ = АOВ — АOС . Чтобы сложить два угла, например АОВ и 1 D , отложим угол CO 1D от луча ОВ так, чтобы точки В и D находились по разные стороны от прямой ОВ. Обозначим ОЕ луч, в который перейдет луч О 1 D. Тогда угол АОЕ даст сумму углов АОВ и 1 D, АOЕ = АOВ + CO 1 D. Аналогичным образом поступают для вычитания из большего угла меньшего.
Аксиомами, относящимися к понятию равенства углов являются следующие:
11. Каждый угол равен самому себе.
12. Если два угла равны третьему, то они равны между собой.
13. От любого луча на плоскостив заданную сторону можно отложить только один угол равный данному.
14. Углы, полученные сложением или вычитанием соответственно равных углов, равны.
15. Все развернутые углы равны .
Используя операцию сложения угла с самим собой можно определить операцию умножения угла на натуральное число и деления угла на n равных частей. Для угла АОВ углом АОВ :n считается такой угол, при при умножении которого на n получается исходный угол АОВ, т.е.
n ( AОB :n) = AОB .
В качестве аксиомы принимается следующее свойство.
16. Любой угол можно разделить на n равных частей, n = 2,3, .
Два треугольника назовем равными, если стороны одного соответственно равны сторонам другого и углы, заключенные между соответственно равными сторонами, равны.
В качестве аксиомы принимается следующее свойство.
17. Каковы бы ни были треугольник и луч на плоскости, существует треугольник , равный данному, у которого первая вершина совпадает с вершиной луча, вторая – лежит на луче, а третья расположена в заданной полуплоскости относительно луча .
Аксиома параллельных формулируется в виде:
18. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной.
Завершает аксиомы планиметрии один из вариантов аксиомы непрерывности.
19. Соответствие, при котором точкам координатной прямой сопоставляются их координаты, является взаимно однозначным соответствием между точками координатной прямой и действительными числами.
Отметим, что приведенная система аксиом является избыточной в том смысле, что некоторые последующие аксиомы перекрывают предыдущие. Например, из аксиомы об откладывании треугольника равного данному и признаков равенства треугольников следует, что все развернутые углы равны. Тем не менее авторы предпочли сформулировать аксиому о равенстве развернутых углов отдельно, поскольку она используется в самой первой теореме о равенстве вертикальных углов. Кроме этого, на ее основе строится процесс измерения величин углов.
То, что отрезок можно разделить на n равных частей является следствием аксиомы непрерывности или аксиомы параллельности. Авторы предпочли принять это свойство в качестве самостоятельной аксиомы, поскольку оно существенным образом используется при измерении длин отрезков, различных доказательствах и построениях.

Читайте также:  Измерение тревожности у подростков

Литература.
1. Энциклопедия элементарной математики, т. 4 Геометрия. М. 1963.
2. А.Д.Александров. Основания геометрии. М.: Наука, 1987.
3. А.В.Погорелов. Геометрия. М.: Наука, 1983.
4. Д.И.Перепелкин. Курс элементарной геометрии, ч II. М.: 1949.
5. Л.С.Атанасян и др. Геометрия 10-11. Учебник для 10-11 классов средней школы. М.: Просвещение, 1992.
6. И.М.Смирнова, В.А.Смирнов. Геометрия. Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 2001.

Источник