Меню

Алгоритм нахождения погрешности прямого измерения



Алгоритм нахождения погрешности прямого измерения

Погрешности прямых измерений. Промах. Систематическая погрешность. Случайная погрешность. Полная погрешность. Погрешности косвенных измерений. Запись результата измерений

  1. Оценка погрешности прямых измерений

Измерить физическую величину – это значит сравнить ее с однородной величиной, принятой за единицу меры.

Различают прямые и косвенные измерения.

Если измеряемая величина непосредственно сравнивается с мерой, то измерения называются прямыми. Например, измерения линейных размеров тел с помощью масштабной линейки и т.д.

Если измеряется не сама искомая величина, а некоторые другие величины, связанные с ней функциональной зависимостью, то измерения называются косвенными. Например, измерения объема, ускорения и т.д.

Из-за несовершенства средств и методик измерения, органов чувств при любом измерении неизбежны отклонения результатов измерений от истинных величин. Эти отклонения называются погрешностями измерений.

Погрешности измерений делятся на систематические, случайные и промахи.

1.1. Промахи, связанные с неправильными отсчетами по прибору, неправильными записями и т.д., приводят к очень большой по абсолютной величине погрешности. Они, как правило, не укладываются в общую закономерность измеренных величин. Обнаруженный промах следует отбросить.

1.2. Систематическими погрешностями Δxсист называются погрешности, которые сохраняются при повторных измерениях одной и той же величины x или изменяются по определенному закону.

Систематические погрешности подразделяются на несколько групп. Отметим только приборную погрешность.

Систематическая приборная погрешность определяется по классу точности прибора, который указывается на приборе следующими цифрами: 0,01; 0,02; 0,05; 1,0; 2,5; 4,0. Класс точности показывает предельно допустимое значение систематической погрешности, выраженной в процентах от верхнего предела на выбранном диапазоне измерений. Например, предел измерения вольтметра с классом точности 0,5 равен 200 В. Систематическая погрешность равна 0,5% от 200В. Следовательно, систематическая погрешность вольтметра равна 1 В.

Если на приборе класс точности не указан, то погрешность равна половине цены наименьшего деления шкалы прибора.

1.3. Случайными называются погрешности, которые изменяются беспорядочно при повторных измерениях одной и той же физической величины при одинаковых условиях.

Оценим случайную погрешность. Пусть при измерении какой-либо физической величины было произведено N измерений и были получены значения x1, x2, … xN. Тогда наиболее вероятным значением измеряемой величины является ее среднее арифметическое значение

Результаты измерений x1, x2, … xN «рассеиваются» вокруг среднего. В качестве меры «рассеяния» результатов наблюдения вокруг среднего служит среднее квадратичное отклонение

Пусть a будет истинным, но неизвестным значением измеряемой величины x. Доказано, что вероятность попадания результатов измерения величины x в интервал значений от (aS) до (a + S) оказывается равной α = 0,68.

Вероятность попадания результатов наблюдений в более широкие интервалы (a – 2S, a + 2S) и (a – 3S, a + 3S) равна α = 0,95 и α = 0,99 соответственно.

Вероятность попадания в заданный интервал значений величины x называется доверительной вероятностью, а сам интервал – доверительным интервалом.

Однако, таким образом полученный доверительный интервал справедлив при большом значении N. В учебных лабораториях, как правило, приходится ограничиваться небольшим числом измерений. В этом случае доверительный интервал находят с помощью коэффициента Стьюдента, который зависит от числа измерений N и доверительной вероятности α. В таблице 1 приведены коэффициенты Стьюдента для различного числа наблюдений при доверительных вероятностях α = 0,68; 0,95; 0,99.

Источник

Расчет погрешностей при прямых измерениях

Допустим, что мы проводим серию из n измерений одной и той же величины х. Из-за наличия случайных ошибок отдельные значения х1, х2, х3, хn неодинаковы, и в качестве наилучшего значения искомой величины выбирается среднее арифметическое , равное арифметической сумме всех измеренных значений, деленной на число измерений:

. (П.1)

где å – знак суммы, i – номер измерения, n – число измерений.

Читайте также:  Прибор для измерения взвешенных веществ

Итак, – значение, наиболее близкое к истинному. Истинного же значения никто не знает. Можно лишь рассчитать интервал Dх вблизи , в котором истинное значение может находиться с некоторой степенью вероятности р. Этот интервал называется доверительным интервалом. Вероятность, с которой истинное значение в него попадает, называется доверительной вероятностью, или коэффициентом надежности (так как знание доверительной вероятности позволяет оценить степь надежности полученного результата). При расчете доверительного интервала необходимая степень надежности задается заранее. Она определяется практическими потребностями (например, к деталям мотора самолета предъявляются более жесткие требования, чем к лодочному мотору). Очевидно, для получения большей надежности требуется увеличение числа измерений и их тщательности.

Благодаря тому, что случайные погрешности отдельных измерений подчиняются вероятностным закономерностям, методы математической статистики и теории вероятностей позволяют рассчитать среднюю квадратичную погрешность среднего арифметического значения сл. Запишем без доказательства формулу для расчета сл при малом числе измерений (n

Так как каждое из значений хi получено с погрешностью d, то полный доверительный интервал , или абсолютную погрешность измерения, рассчитывают по формуле:

. (П.3)

Заметим, что если в формуле (П.3) одна из величин хотя бы в 3 раза больше другой, то меньшей пренебрегают.

Абсолютная погрешность сама по себе не отражает качества проведенных измерений. Например, только по информации абсолютная погрешность равна 0,002 м² нельзя судить о том, сколь хорошо было проведено данное измерение. Представление о качестве проведенных измерений дает относительная погрешность e, равная отношению абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины. Относительная погрешность показывает, какую долю составляет абсолютная погрешность от измеренного значения. Как правило, относительную погрешность выражают в процентах:

100 %. (П.4)

Рассмотрим пример. Пусть диаметр шара измеряется с помощью микрометра, инструментальная погрешность которого d = 0,01 мм. В результате трех измерений получились следующие значения диаметра:

По формуле (П.1) определяют среднее арифметическое значение диаметра шара

мм.

Затем по таблице коэффициентов Стьюдента находят, что для доверительной вероятности 0,68 при трех измерениях tn,p = 1,3. После чего по формуле (П.2) рассчитывают случайную погрешность измерения Ddсл

мм.

Так как полученная случайная погрешность всего в два раза превышает приборную погрешность, то при нахождении абсолютной погрешности измерения Dd по (П.3) следует учитывать и случайную погрешность, и погрешность прибора, т. е.

мм » ±0,03 мм.

Погрешность округлили до сотых миллиметра, так как точность результата не может превышать точность измерительного прибора, которая в данном случае составляет 0,01 мм.

Итак, диаметр проволоки равен

мм.

Данная запись говорит о том, что истинное значение диаметра шара с вероятностью 68 % лежит в интервале (2,42 ¸ 2,48) мм.

Относительная погрешность e полученного значения согласно (П.4) составляет

%.

Источник

Абсолютная погрешность

Причины возникновения погрешности измерения

Погрешность измерения – это отклонение измеренного значения величины от её истинного (действительного) значения.

Обычно «истинное» значение неизвестно, и можно только оценить погрешность, приняв в качестве «истинного» среднее значение, полученное в серии измерений. Таким образом, процесс оценки проводится статистическими методами.

Виды погрешности измерений

Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Систематическая и случайная погрешности

Систематической погрешностью называют погрешность, которая остаётся постоянной или изменяется закономерно во времени при повторных измерениях одной и той же величины.

Читайте также:  Основная единица измерения давления жидкости

Систематическая погрешность всегда имеет знак «+» или «-», т.е. говорят о систематическом завышении или занижении результатов измерений.

Систематическую погрешность можно легко определить, если известно эталонное (табличное) значение измеряемой величины. Для других случаев разработаны эффективные статистические методы выявления систематических погрешностей. Причиной систематической погрешности может быть неправильная настройка приборов или неправильная оценка параметров (завышенная или заниженная) в расчётных формулах.

Случайной погрешностью называют погрешность, которая не имеет постоянного значения при повторных измерениях одной и той же величины.

Случайные погрешности неизбежны и всегда присутствуют при измерениях.

Определение абсолютной погрешности

Абсолютная погрешность измерения – это модуль разности между измеренным и истинным значением измеряемой величины:

При пяти взвешиваниях гири с маркировкой 100 г были получены различные значения массы. Если принять маркировку за истинное значение, то получаем следующие значения абсолютной погрешности:

Источник

Определение погрешностей при прямых измерениях

Измерение физических величин и классификация погрешностей

В физическом практикуме каждая из лабораторных работ посвящается воспроизведению опытов для наблюдения физических явлений или законов, изучению различных свойств веществ. Свойства тел или физических явлений, которые количественно могут отличаться у разных тел или изменяться у одного и того же тела, называются физическими величинами. К таким величинам относятся масса, объем, длина, температура, давление, скорость, ускорение, плотность и т.д.

Как правило, при выполнении лабораторных работ необходимо производить измерения той или иной физической величины, характеризующей рассматриваемое явление, закон или свойство изучаемого вещества. Измерить какую-либо физическую величину — это значит узнать, сколько раз заключается в ней однородная величина, принятая за единицу измерения. Измерения разделяют на прямые и косвенные.

При прямых измерениях определяемая величина сравнивается с единицей измерения непосредственно или при помощи измерительного прибора проградуированного в соответствующих единицах. Примерами прямых измерений является измерение длины линейкой или штангенциркулем, измерение времени секундомером, величины электрического тока амперметром, напряжения вольтметром, сопротивления омметром, температуры термометром и т.д.

При косвенных измерениях определяемая величина находится из результатов прямых измерений тех величин, которые связаны с определяемой величиной функциональной зависимостью. Например, чувствительность осциллографа определяется выражением:

,

где l — длина светящейся линии на экране осциллографа, расположенная вдоль оси X или Y; Uэф — эффективное напряжение, подаваемое на соответствующий вход (X или Y) прибора. Параметры l и Uэф можно определить прямыми измерениями, используя линейку и вольтметр, а величину S — из указанной выше функциональной зависимости.

Физическую величину невозможно измерить абсолютно точно, поскольку любое измерение сопровождается той или иной ошибкой(погрешностью).Погрешности измерений бывают систематические и случайные.

Погрешность, сохраняющая величину и знак от опыта к опыту, называется систематической. Систематическая погрешность может оставаться постоянной и закономерно изменяться как при изменении одной и той же величины, так и при изменении в некотором диапазоне, например, в диапазоне измерения прибора. По происхождению систематические погрешности можно классифицировать на следующие:

1. Методические (теоретические) погрешности, связанные с недостаточно точным обоснованием самого метода измерения, с допущениями при выводе формул, с зависимостью измеряемой величины от параметров приборов и т.д.

2.Инструментальные погрешности, связанные с конструктивными недостатками прибора, неисправностью или неправильной градуировкой прибора и т.д.

3. Погрешности установки, возникающие из-за неправильной установки прибора и неточной установки стрелки на ноль.

4. Личные погрешности(субъективные), проявляющиеся из-за индивидуальных особенностей экспериментатора при отсчете измеряемой величины (из-за неправильного расположения экспериментатора относительно прибора, неточность интерполяции показания в пределах одного деления и т.д.).

5. Погрешности, вызываемые изменением внешних условий (изменение температурных, магнитных и электрических полей, частоты, напряжения, давления, влажности, ускорения и т.д.).

Читайте также:  Чем измерить напряжение 220

Погрешность, которая непредсказуемым образом изменяет свою величину и знак от опыта к опыту, называется случайной. Случайная погрешность является результатом действия большого числа случайных причин на каждое измерение, величина и природа которой остается неопределенной. Случайный характер этих погрешностей проявляется в том, что при многократном повторении опыта в одинаковых условиях и с одинаковой тщательностью получаются различные результаты. Погрешности, возникающие в результате неправильного отсчета по шкале прибора, неверной записи отсчетов, грубых нарушений условий измерения и т.д., называются промахами.Измерения, содержащие промахи, не учитываются. В подобных случаях делается повторное (контрольное) измерение.

В основе теории определения погрешностей лежат два положения, подтвержденные опытом.

1. При большом числе измерений физической величины случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто.

2. Погрешности большие по абсолютной величине встречаются реже, чем малые, т.е. вероятность появления погрешности уменьшается с ростом величины погрешности.

Допустим, что мы произвели n прямых измерений некоторой физической величины А, истинное значение которой нам неизвестно. Обозначим через А1, А2, А3, . . . Аn результаты отдельных измерений. Абсолютнуюпогрешность DАn n-го измерения, представляющую собой разность между истинным значением А и измеряемой величиной Аn, можно записать следующим образом: DАn=А-Аn, тогда результаты отдельных измерений можно представить в виде:

, , …, (1)

Абсолютные погрешности DА1, DА2, . . . DАn могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Суммируя левую и почленно правую стороны равенства (1), получаем:

(2)

Разделив обе стороны равенства (2) на число n и учитывая,что среднеарифметическая величина:

(3)

(4)

после перестановки членов получим:

(4)

Так как в серии большого числа измерений всякой положительной погрешности можно сопоставить равную ей по абсолютной величине отрицательную погрешность, то на основании положения 1, указанного выше,

(5)

(5)

Тогда из уравнения (4) следует:

при (6)

(6a)

При ограниченном числе измерений (n¹¥) среднеарифметическое значение будет отличаться от истинного значения А, т.е. равенство (6) будет приближенным:

(6а)

(7)

В этом случае необходимо оценить величину этого расхождения. Как показывают соответствующие расчеты, вместо приближенного равенства (6а), можно записать:

(7)

(7a)

или

(7а)

где определяется выражением (3), а для определения используется формула:

(8)

Отношения называются относительными ошибками отдельных измерений.

Отношение средней абсолютной ошибки результата к среднему значению дает среднюю относительную ошибку измерений

(9)

Так как относительную ошибку принято выражать в процентах, то

(9а)

(9a)

Из уравнения (7) и (7а) видно, что знаки “+” и ”-” показывают не наличие двух истинных значений измеряемой величины, а интервал, в котором находится единственное значение этой величины.

Более точную формулу для вычисления абсолютной ошибки результата дает теория вероятностей:

(10)

Абсолютная ошибка, определяемая уравнением (10), называется наиболее вероятной ошибкой.

Окончательное значение измеряемой физической величины в этом случае записывается следующим образом:

(11)

Окончательный результат (11) можно записать с учетом среднеквадратичной ошибки, которая определяется уравнением:

(12)

Пример.Определить абсолютную и относительную погрешность диаметра свинцового шарика по пяти измерениям, результаты которых указаны ниже.

d,мм 1,47 1,46 1,43 1,45 1,44

Среднее из пяти найденных значений:

Абсолютные ошибки отдельных измерений:

Средняя абсолютная ошибка результатов:

Результат измерений:

Аналогично можно произвести обработку результата измерений с наиболее вероятной ошибкой или с учетом средней квадратичной ошибки, используя формулу (10) или (12).

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник