Меню

Чем обусловлена динамическая погрешность средства измерения



Динамические погрешности средств измерений

Все выше сказанное про погрешности СИ относилось к статическим погрешностям. Динамические погрешности СИ возникают при измерении величин, изменяющихся во времени. Различают два вида динамических погрешностей: динамические погрешности первого рода и динамические погрешности второго рода.

Динамические погрешности первого рода — обусловлены переходными процессами, связанными с инерционностью отдельных элементов прибора или, в общем случае, превращением одних видов энергии в другие. Если динамическую погрешность привести к входу прибора, то . Анализ динамических погрешностей первого рода сводится к анализу колебательных процессов в СИ, возникающих под действием измеряемого сигала.

Динамические погрешности второго рода — характерны для цифровых приборов и связанны с дискретным характером измерительного преобразования. Например, в приборах с развертывающим уравновешиванием результат измерения относится или к началу, или к концу измерительного интервала (см. рис.).

В случае неидеальной развертки это приводит к потере информации о моменте равенства сигнала развертки и измеряемого сигнала.

Динамические погрешности первого рода присущи большинству СИ. Поэтому рассмотрим их более подробно.

В идеальных статических СИ при отсутствии погрешностей связь между сигналом на выходе и сигналом на входе СИ (математическая модель СИ) дается простым алгебраическим уравнением , где К =const.

Однако, если учесть инерционные свойства СИ, его математическая модель оказывается гораздо сложнее. В этом случае значение сигнала на выходе СИ зависит не только от его значения на входе, но и от характера зависимости этого сигнала от времени.

В случае аналоговых СИ математическую связь сигналов y и x можно представить в виде дифференциального уравнения. С точки зрения возможности максимальной точности анализа, конструкция СИ должна быть такой, чтобы соответствующее дифференциальное уравнение было обыкновенным линейным. В противном случае этот анализ СИ становится весьма сложным.

Рассмотрим СИ, математическая модель которого дается обыкновенным дифференциальным уравнением. Это уравнение запишем в виде

.

Здесь y(t) – сигнал на выходе СИ. Коэффициенты an an-1,…определяются конструкцией СИ. Решение этого уравнения зависит от вида сигнала x(t), от начальных условий (значений производных ) в момент появления сигнала, т.е. состояния СИ, и, естественно, от значений коэффициентов an an-1,…., которые определяются конструкцией СИ.

Поскольку вид сигналов на входе СИ может самым разнообразным, желательно получить такие динамические характеристики СИ, которые не зависят от формы сигнала x(t). Кроме того, желательно иметь и стандартный вид математических моделей СИ, чтобы было их удобно сравнивать между собой. Поэтому при анализе динамических свойств СИ рассматривают так называемые стандартные сигналы. Они имеют вид:

x(t) – гармоническая функция ();

x(t) – единичная ступенчатая функция (функция Хевисайда, которую обозначают как 1(t));

x(t) – импульсная функция (дельта-функция Дирака d(t)).

В первом случае динамической характеристикой СИ является комплексная частотная характеристика Н(w); во – втором – переходная характеристика h(t); в третьем – весовая характеристика w(t).

Кроме того, математические модели СИ сводят к так называемым динамическим звеньям.

Звено нулевого порядка: связь между y(t) и x(t) описывается алгебраическим уравнением вида , т.е. имеет вид статической характеристики, рассмотренной выше.

Звено первого порядка: связь между y(t) и x(t) описывается линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Звено второго порядка: связь между y(t) и x(t) описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка. В данном случае реакция звена на сигнал (или влияние звена на сигнал) существенно зависит от интенсивности диссипации энергии (трения) в этом звене. В связи с эти различают колебательное звено второго порядка и апериодическое звено второго порядка.

Звенья более высокого порядка в теории измерений, как правило, не рассматривают. В случаях, когда динамические свойства СИ являются более сложными, стараются представить СИ как совокупность указанных выше простых звеньев.

Таким образом, как правило, при анализе динамических свойств СИ рассматривают три вида звеньев и три вида стандартных сигналов.

Существует строгая математическая связь между указанными выше динамическими характеристиками СИ, и каждая из них может быть выражена через другую.

На рис. показаны стандартные сигналы на входе и выходе СИ, динамические свойства которого могут быть представлены колебательным звеном второго порядка. Выбор вида динамической характеристики СИ зависит от вида проводимого измерения, и пристрастия инженера. Например, если процесс измерения связан с измерением периодического сигнала, с модуляцией сигнала или с использованием частотных фильтров, то удобнее использовать частотную характеристику Н(w). В этом случае влияние динамических свойств СИ и, соответственно, его динамическая погрешность сводятся к изменению амплитуды и фазы сигнала на выходе СИ по сравнению с этими параметрами сигнала на его входе (см первый рис.). В случае периодического сигнала сложной формы динамическая погрешность СИ приведет к искажению формы сигнала. При отсутствии динамической погрешности меняется только амплитуда сигнала, причем независимо от его частоты или формы.

Читайте также:  Режимы измерения матричный точечный центровзвешенный

Источник

7.5. Динамические характеристики и динамические погрешности средств измерений

Общие сведения. Динамическая погрешность СИ – погрешность СИ, возникающая при измерении изменяющейся (в процессе измерений) ФВ или сигнала.

Отнесение измерения к динамическому или статическому – довольно условно и определяется величиной ДП в сравнении с другими погрешностями измерения. Если ДП должна учитываться в сумме других погрешностей, то измерение относится к динамическому, если – нет, то к статическому. Динамическая погрешность считается существенной при удовлетворении неравенства [66, 70]

,

где – наибольшее значение динамической погрешности СИ, возможное в рабочих условиях применения СИ данного типа,наибольшее возможное значение погрешности СИ в рабочих условиях применения СИ данного типа (т.е. включающее в себя все погрешности СИ: основная, дополнительная, взаимодействия и динамическая).

Величина динамической погрешности зависит от соотношения между скоростью изменения входного сигнала и скоростью реакции СИ на изменение этого сигнала. Изменение ФВ может происходить с различной скоростью: от скорости равной бесконечности при скачкообразном изменении ФВ, до очень медленного изменения, при котором режим работы СИ может считаться статическим. Рассмотрим ряд примеров динамических измерений [34].

1. Определение последовательных значений ФВ, изменяющейся во времени (измерение толщины стали на прокатном стане, высоты полета летательного аппарата, глубины дна под килем судна, распределения урана по длине тепловыделяющего элемента и т.д.). Эти изменения характеризуются сигналом, изменяющимся со временем случайным образом около некоторого среднего значения или закономерным образом (детерминированное изменение).

2. Измерение параметров однократной реализации какого-либо процесса, например, измерение постоянной времени жизни радиоактивного короткоживущего радионуклида по его кривой распада, измерение импульсных характеристик взрывов, определение энергетических и временных характеристик ионизирующего излучения, измерение характеристик импульсного лазерного излучения и т.д.

3. Измерение постоянной величины за ограниченное время, например, быстрое (время измерения сравнимо со временем реакции СИ) измерение температуры, напряжения в точках электронной цепи или веса изделия на рычажных весах и др.

Динамическая погрешность, обусловленная инерционностью СИ и описываемая ДХ СИ, является основной составляющей динамической погрешности и называется погрешностью линейных искажений. Кроме того, динамическая погрешность может быть обусловлена отклонением реальной ДХ СИ от номинальной, по которой производится априорный расчет выходного сигнала (разброс ДХ от экземпляра к экземпляру СИ) и неточностью фиксации момента времени измерения. Указанные выше составляющие динамической погрешности имеют место при любых динамических измерениях.

Нормирование ДХ. В соответствии ГОСТ 8.009-84 нормированию подлежат полные и частные ДХ. Полную ДХ выбирают из числа следующих:

1) Переходная характеристика (ПХ), h(t). На практике эта характеристика может быть получена путем воздействия на вход СИ скачка ФВ (сигнала) в виде:

(7-1)

2) Импульсная переходная характеристика (ИПХ), g(t). На практике эта характеристика может быть получена путем воздействия на вход СИ -импульса:

(7-2)

3) Амплитудно-фазовая характеристика, G(j). Эта характеристика определяется как отношение комплексного сигнала на выходе СИ к комплексному сигналу на входе СИ:

, (7-3)

где Y(j) и X(j) — преобразование Фурье для выходного и входного сигналов; А() – амплитудно-частотная характеристика – зависимость амплитуды сигнала на выходе от его частоты и – фазочастотная характеристики – зависимость фазы выходного сигнала СИ относительно положения входного сигнала на временной оси.

3) Амплитудно-частотная характеристика, A() – для минимально-фазовых систем, для которых существует взаимнооднозначное соответствие между A() и . Это соответствие позволяет определить, знаяA().

4) Совокупность амплитудно-частной и фазочастотной характеристик для систем не относящихся к минимально-фазовым.

5) Передаточная функция, G(p). Передаточную функцию (формально) можно получить путем замены на комплексный операторр.

Как же связаны между собой полные ДХ и как, зная одну из полных ДХ можно получить все другие ДХ? Приведем соотношения, связывающие полные ДХ СИ.

Известно, что амплитудно-частотная характеристика и ИПХ связаны между собой с помощью прямого и обратного преобразований Фурье:

Читайте также:  Для измерения расхода газа применяют

; (7-4)

. (7-5)

Передаточная функция может быть получена с помощью преобразования Лапласа:

. (7-6)

Известно также, что ПХ и ИПХ связаны между собой соотношениями:

,

Полные ДХ нормируют путем установления полной ДХ и пределов (положительного и отрицательного) допускаемых отклонений от неё. Предпочтительной является такая характеристика, экспериментальное определение и (или) контроль которой могут быть осуществлены с необходимой точностью и наиболее простым способом.

ДХ допускается нормировать для нормальных и для рабочих условий применения СИ отдельно.

Номинальную ДХ, пределы допускаемых отклонений от неё и граничные ДХ можно представлять в виде чисел, формул, таблиц или графиков. Необходимо отметить, что в ГОСТ 8.009-84 отдается предпочтение нормированию полных ДХ, поскольку с помощью полной ДХ можно определить любую частную ДХ, которые допускается нормировать в обоснованных случаях.

Наиболее просто на практике реализуются испытательные сигналы в виде синусоиды (7-3) и скачка (7-1). При аналитических расчетах предпочтение отдается ИПХ (7-2). Реализовать на практике входной -импульс невозможно, а -квазиимпульс (импульс малой длительности) часто очень сложно. Представление комплексной функции G(j) в показательной форме, позволяет выделить (7-3) амплитудно-частотную характеристика A() и фазочастотную характеристики .

Пример 7.1. Рассмотрим получение полных ДХ СИ на простом примере. Пусть эквивалентная схема СИ представляет собой фильтр низких частот 1-го порядка (интегрирующая RC-цепочка, рис.7-1). Подобной эквивалентной схемой можно представить многие СИ. Дифференциальное уравнение, связывающее входной и выходной сигналы для такой схемы имеет вид:

Рис. 7-1. Интегрирующая цепочка – низкочастотный фильтр 1-го порядка

,. (7-7)

При нулевых начальных условиях решением этого дифференциального уравнения является:

. (7-8)

В общем случае при реальных изменениях x(t) решение для (7-8) может оказаться очень сложным. Поэтому для определения динамических свойств СИ используют ряд ДХ, получаемых с помощью простых испытательных сигналов, о которых мы говорили выше.

Если на вход линейного СИ подается комплексный синусоидальный сигнал в виде , то выходная величина сигнала характеризуется той же частотой, но сдвинутой по фазе на величину: . Если входную и выходную величины продифференцировать и ввести в дифференциальное уравнение (7-7), а затем записать отношение амплитуд выходной величины к входной величинеХ, то получим выражение для комплексной амплитудно-фазовой характеристики. Подставив в (7-7) выражения для y(t) и x(t), получим: . После сокращения на, выражение для амплитудно-фазовой характеристики будет иметь вид:

, (7-9)

Используя схему на рис.7-1, выражение для амплитудно-фазовой характеристики (7-9) можно вычислить проще. Подавая на вход схемы сигнал комплексной частоты и определяя отношение выходного сигнала к входному, получим

,

Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики в данном примере имеют вид:

,; (7-10)

Используя выражение (7-9), получим передаточную функцию G(p), а затем по таблицам преобразования Лапласа найдем выражение для ИПХ:

. (7-11)

, (7-12)

а затем и выражение для ПХ

. (7-13)

Полные ДХ (7-9), (7-10), (7-12) и (7-13) для эквивалентной схемы СИ в виде фильтра низких частот представлены на рис.7-2 в виде номинальных ДХ и наибольших допускаемых отклонений от них. Эти отклонения образуют «рукава» изменений ДХ для данного типа СИ и являются одной из составляющих динамической погрешности СИ.

Частные ДХ аналоговых СИ. Наиболее наглядно частные ДХ можно представить на примере ПХ, т.е. реакции СИ на скачок сигнала на входе. Типичные переходные характеристики СИ приведены на рис.7-3. К частным ДХ относят любые функционалы или параметры полных ДХ. Примерами таких характеристик являются: постоянная времени нарастания, время реакции tδ, коэффициент демпфирования dem, значение резонансной собственной круговой частоты о, время задержки tз, мертвое время и др.

Допускается нормировать только частную ДХ в тех случаях, когда эта характеристика достаточна для учета динамических свойств СИ при его применении.

Рис.7-2. Полные динамические характеристики для низкочастотного фильтра 1-го порядка: а — переходная характеристи­ка; б — импульсная переходная характеристика; в — амплитудно-фазовая характеристика; г — амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики; ном. — номинальная ДХ; р — наибольшие допустимые отклонения от номинальных ДХ

Наиболее распространенной частной ДХ являются быстродействие СИ (или время реакции), которое можно определить как время достижения переходной характеристикой определенного уровня. На практике это соответствует, например, времени успокоения стрелки показывающего устройства СИ. Как правило, это время достижения 0,9 от максимального (установившегося) значения ПХ. Если ПХ имеет экспоненциальный характер, то быстродействиеtб = 2,3и, где и – постоянная времени экспоненты ПХ. Если СИ можно представить как последовательно соединенные преобразователи, обладающие быстродействием tбi, то быстродействие всего СИ может быть определено по формуле (формула геометрического сложения): . Особенно хорошо это соотношение согласуется с практикой, если каждый измерительный преобразователь СИ является низкочастотным звеном 1-го порядка (эквивалентными интегрирующими цепочками,рис. 7-1).

Читайте также:  Измерение co2 с помощь

В случае дискретного выходного сигнала быстродействие определяется количеством элементарных отсчётов, при которых выходной сигнал достигает заданного уровня.

Рис.7-3. Переходные характеристики СИ и некоторые частные динамические характеристики: 1 — характеристика звена 1-го порядка (см. пример); 3 — характеристика нескольких звеньев 1-го порядка, включенных последовательно; 2 — переходная характеристика более сложной эквивалентной схемы СИ

Модели определения динамической погрешности. Динамическую погрешность СИ при регистрации случайных и детерминированных непрерывных сигналов определяют, как правило, с помощью модели изображенной на рис.7-4. Динамическая погрешность соответствует разности между зашумленным сигналом y(t) на выходе реального СИ с ИПХ g(t) и сигналом h(t) на выходе идеального СИ с ИПХ g(t). Как видно, погрешность измерения сигнала x(t) состоит из динамической погрешности, обусловленной линейными искажениями сигнала, и погрешностью из-за влияния электронных шумов n(t). Погрешность линейных искажений связана с отличием ИПХ реального и идеального измерительных каналов на этой блок-схеме.

Приведем примеры задания преобразований идеальным каналом, необходимых в соответствии с поставленной физической задачей, полагая, что имеется идеальный преобразователь с Кпр= 1:

Обычное измерение: y(t) = x(t), при этом

Измерение скорости изменения сигнала: при этом

Cуммарное значение за время T: при этом

Задержка выходного сигнала на время t: при этом

Упреждение выходного сигнала на время t: при этом

Из приведенных примеров видов преобразования видно, что некоторые ИПХ идеального канала (желаемого преобразования входного сигнала) – физически трудно реализуемы или практически нереализуемы.

Для того, чтобы измерение осуществлялось на заданной площади изделия, в приборе имеется коллимационная система (коллиматор), это часть конструкции СИ, ограничивающая угол зрения, под которым чувствительная часть прибора (датчик) «видит» объект измерения. Необходимо отметить, что коллиматор в том или ином виде присутствует в каждом приборе, поскольку точечные измерения в динамическом режиме неосуществимы. Можно не учитывать усреднение вносимое коллиматором в процессе измерения и сами измерения считать точечными, если размеры коллиматора по пути измерения много меньше по сравнению с длиной существенного изменения измеряемой ФВ. Типичным элементом усреднения, играющим роль коллимационной системы в каждом приборе, является чувствительная поверхность детектора, имеющего конечные геометрические размеры.

ИПХ и амплитудно-фазовая характеристика имеют вид:

где – временная развертка коллиматора по её длине,– длина коллиматора в направлении движения изделия,v – скорость движения.

Рис.7-4. Модель определения динамической погрешности

Используя модель, учитывающую интегрирующее действие коллиматора (рис.7-5), динамическую погрешность, обусловленную линейными искажениями представляют в виде:

,(7-14)

где – свертка ИПХ коллиматора и вторичного преобразователя:

.

Рис.7-5. Модель СИ для расчета динамической погрешности во

Если проводятся «точечные» измерения, т.е. усреднением в поле зрения коллиматора можно пренебречь, тогда:

и .

Дисперсия случайной составляющей основной погрешности, обусловленная электронным шумом n(t), будет равна:

,

где – СПМ шума в области положительных частот0.

Для вычисления дисперсии случайной погрешности при входном случайном сигнале используют модель, в которой преобразователи модели представлены амплитудно-фазовыми характеристиками (рис.7-6).

Тогда дисперсию случайной динамической погрешности вычисляют по формуле:

(7-15)

где – СПМ сигнала в области положительных частот,– номинальные амплитудно-фазовые характеристики идеального канала преобразования, коллиматора и вторичного преобразователя.

Рис.7-6. Модель СИ для расчета динамической погрешности в частотной

В этой формуле первое слагаемое является динамической погрешностью, обусловленной линейными искажениями сигнала, а второе слагаемое является погрешностью из-за электронных шумов. Это соотношение позволяет оптимизировать полосу пропускания СИ с целью получения условий измерения при минимальной общей погрешности.

Более полные сведения о динамическом режиме работы СИ и динамических погрешностях при измерении характеристик различного типа входных сигналов: медленно изменяющихся входных ФВ по сравнению со скоростью реакции СИ, детерминированных, случайных, скачкообразных представлены в работах [34, 66]. В этих работах приведены примеры и задачи из различных областей науки и техники, в том числе, связанные с атомной отраслью промышленности.

Источник