Чему равны пределы измерения линейки

Содержание

§ 7. Измерительные приборы. Цена деления. Точность измерений
Чему равны пределы измерения линейки
Погрешности измерений, представление результатов эксперимента
п.1. Шкала измерительного прибора
п.2. Цена деления
п.3. Виды измерений
п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность
п.5. Абсолютная погрешность серии измерений
п.6. Представление результатов эксперимента
п.7. Задачи

§ 7. Измерительные приборы. Цена деления. Точность измерений

Приступая к измерениям, необходимо прежде всего подобрать приборы с учетом их пределов измерений. Пределы измерения — это минимальное (нижний предел) и максимальное (верхний предел) значения шкалы прибора. Чаще всего предел измерения один, но может быть два. Например, линейка (рис. 37) имеет один предел (верхний). Он равен 25 см. У термометра (рис. 38) два предела: верхний предел измерения температуры равен +50 °С; нижний предел измерения — -40 °С.

На рисунке 39 изображены три линейки с одинаковыми верхними пределами (25 см). Но эти линейки измеряют длину с различной точностью. Наиболее точные результаты измерений дает линейка 1, менее точные — линейка 3. Что же такое точность измерений и от чего она зависит? Для ответа на эти вопросы рассмотрим сначала цену деления шкалы прибора.

Цена деления — это значение наименьшего деления шкалы прибора.

Чтобы определить цену деления шкалы, необходимо: выбрать два соседних значения, например 3 см и 4 см, на шкале линейки (см. рис. 39);

подсчитать число делений (не штрихов!) между этими значениями; на линейке 1 (см. рис. 39) число делений между значениями 3 см и 4 см равно 10;

вычесть из большего значения меньшее (4 см — 3 см = 1 см) и полученный результат разделить на число делений.

Полученное значение и будет ценой деления шкалы прибора. Обозначим ее буквой С.

C₁ = 1 см : 10 дел = 0,1 см/дел

C₂ = 1 см : 5 дел = 0,2 см/дел

C₃ = 1 см : 2 дел = 0,5 см/дел

Точно так же можно определить и цену деления шкалы мензурок 1 и 2 (рис. 40). Цена деления шкалы мензурки 1:

Цена деления шкалы мензурки 2:

Измерим один и тот же объем мензуркой 1 и мензуркой 2. Исходя из показаний шкалы объем воды в мензурке 1:

V = 35 мл.

Из показаний шкалы мензурки 2:

V = 37 мл.

Понятно, что точнее измерен объем воды мензуркой 2, цена де- ления которой меньше (1 мл/дел

Рис. 42

Определите:
1. цену деления каждой шкалы транспортира, изображенного на рисунке 42;
2. значение угла ВАС, используя каждую шкалу. Укажите точность измерения угла ВАС в каждом случае.
Определите цену деления шкалы часов, если между делениями, соответствующими значениям 15 мин и 30 мин, имеется 3 деления.
Температура воздуха в комнате t = 16°С. После того как протопили печь, столбик комнатного термометра поднялся на 4 деления. Определите, какая температура воздуха установилась в комнате, если цена деления термометра С = 2,0°С/дел.
Какую температуру показывает термометр (рис. 43). С какой точностью можно измерять температуру данным термометром?

Рис. 43
На рисунке 44 представлены четыре мензурки. Определите цену деления каждой мензурки и объемы жидкостей, налитых в них.

Рис. 44
Определите, одинаковые ли объемы жидкостей налиты в мензурки (рис. 45). Какая из мензурок позволяет определить объем жидкости с большей точностью?

Источник

Чему равны пределы измерения линейки

Задание 15. Чему равны предел измерений и цена деления линейки, с помощью которой измеряют длину карандаша (см. рисунок)?

Из рисунка видно, что последняя риска линейки составляет 15 см – это предел ее измерения. Также видно, что в 1 см содержится 10 рисок, следовательно, одна риска (одно деление) – это 0,1 см.
- Вариант 1
- Вариант 1. Задания ОГЭ 2021. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Решения заданий по номерам
  - 1
  - 2
  - 3
  - 4
  - 5
  - 6
  - 7
  - 8
  - 9
  - 10
  - 11
  - 12
  - 13
  - 14
  - 15
  - 16
  - 17
  - 18
  - 19
  - 20
  - 21
  - 22
  - 23
  - 24
  - 25
- Вариант 2
- Вариант 2. Задания ОГЭ 2021. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Решения заданий по номерам
  - 1
  - 2
  - 3
  - 4
  - 5
  - 6
  - 7
  - 8
  - 9
  - 10
  - 11
  - 12
  - 13
  - 14
  - 15
  - 16
  - 17
  - 18
  - 19
  - 20
  - 21
  - 22
  - 23
  - 24
  - 25
- Внимание! Нумерация заданий в сборнике 2021 отличается от сборника 2020
- Вариант 3
- Полностью совпадает с Вариант 1. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 19
  - 21
- Вариант 4
- Полностью совпадает с Вариант 2. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 19
  - 21
- Вариант 5
- Полностью совпадает с Вариант 3. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 19
  - 21
- Вариант 6
- Полностью совпадает с Вариант 4. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 19
  - 21
- Вариант 7
- Полностью совпадает с Вариант 5. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 19
  - 21
- Вариант 8
- Полностью совпадает с Вариант 6. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 1
  - 19
  - 21
- Вариант 9
- Полностью совпадает с Вариант 7. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 19
  - 21
- Вариант 10
- Полностью совпадает с Вариант 8. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 19
  - 21
- Вариант 11
- Полностью совпадает с Вариант 9. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 21
- Вариант 12
- Полностью совпадает с Вариант 10. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 21
- Вариант 13
- Полностью совпадает с Вариант 11. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 19
  - 21
- Вариант 14
- Полностью совпадает с Вариант 12. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 19
  - 21
- Вариант 15
- Полностью совпадает с Вариант 13. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 19
  - 21
- Вариант 16
- Полностью совпадает с Вариант 14. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 19
  - 21
- Вариант 17
- Полностью совпадает с Вариант 15. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 21
- Вариант 18
- Полностью совпадает с Вариант 16. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 19
  - 21
- Вариант 19
- Полностью совпадает с Вариант 17. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 19
  - 21
- Вариант 20
- Полностью совпадает с Вариант 18. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 19
  - 21
- Вариант 21
- Полностью совпадает с Вариант 19. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 19
  - 21
- Вариант 22
- Полностью совпадает с Вариант 20. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 19
  - 21
- Вариант 23
- Полностью совпадает с Вариант 21. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 2
  - 19
  - 21
- Вариант 24
- Полностью совпадает с Вариант 22. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 19
  - 21
- Вариант 25
- Полностью совпадает с Вариант 23. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 19
  - 21
- Вариант 26
- Полностью совпадает с Вариант 24. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 19
  - 21
- Вариант 27
- Полностью совпадает с Вариант 25. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 19
  - 21
- Вариант 28
- Полностью совпадает с Вариант 26. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 19
  - 21
- Вариант 29
- Полностью совпадает с Вариант 27. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 19
  - 21
- Вариант 30
- Полностью совпадает с Вариант 28. Задания ОГЭ 2020. Физика. Е.Е. Камзеева. 30 вариантов
- Кроме заданий:
  - 19
  - 21

Источник

Погрешности измерений, представление результатов эксперимента

п.1. Шкала измерительного прибора

Примеры шкал различных приборов:

Манометр – прибор для измерения давления, круговая шкала

Вольтметр – прибор для измерения напряжения, дуговая шкала

Индикатор громкости звука, линейная шкала

п.2. Цена деления

Пример определения цены деления:

Определим цену деления основной шкалы секундомера.
Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале: a = 5 c
b = 10 c Между ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления.

Цена деления: \begin \triangle=\frac\\ \triangle=\frac<10-5><24+1>=\frac15=0,2\ c \end

п.3. Виды измерений

Физическую величину измеряют с помощью прибора

Измерение длины бруска линейкой

Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений

Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине

п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность

Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Погрешность теории (модели)

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.

В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:

определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
определение объема с помощью мензурки.

Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:

Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями.
Цена деления такой линейки: \begin \triangle=\frac= \frac<1\ \text<см>><1+1>=0,5\ \text <см>\end Инструментальная погрешность: \begin d=\frac<\triangle><2>=\frac<0,5><2>=0,25\ \text <см>\end Истинное значение: $L_0=4\ \text<см>$
Результат измерений: $$ L=L_0\pm d=(4,00\pm 0,25)\ \text <см>$$ Относительная погрешность: $$ \delta=\frac<0,25><4,00>\cdot 100\text<%>=6,25\text<%>\approx 6,3\text <%>$$

Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями.
Цена деления такой линейки: \begin \triangle=\frac= \frac<1\ \text<см>><9+1>=0,1\ \text <см>\end Инструментальная погрешность: \begin d=\frac<\triangle><2>=\frac<0,1><2>=0,05\ \text <см>\end Истинное значение: $L_0=4,15\ \text<см>$
Результат измерений: $$ L=L_0\pm d=(4,15\pm 0,05)\ \text <см>$$ Относительная погрешность: $$ \delta=\frac<0,05><4,15>\cdot 100\text<%>\approx 1,2\text <%>$$

Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.

п.5. Абсолютная погрешность серии измерений

Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).

Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.

Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.

Составим расчетную таблицу:

№ опыта	1	2	3	Сумма
Масса, г	99,8	101,2	100,3	301,3
Абсолютное отклонение, г	0,6	0,8	0,1	1,5

Сначала находим среднее значение всех измерений: \begin m_0=\frac<99,8+101,2+100,3><3>=\frac<301,3><3>\approx 100,4\ \text <г>\end Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности $m_0$ и измерения. \begin \triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\\ \triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\\ \triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 \end Находим среднее абсолютное отклонение: \begin \triangle_=\frac<0,6+0,8+0,1><3>=\frac<1,5><3>=0,5\ \text <(г)>\end Мы видим, что полученное значение $\triangle_$ больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: \begin \triangle m=max\left\<\triangle_; d\right\>=max\left\<0,5; 0,05\right\>\ \text <(г)>\end Записываем результат: \begin m=m_0\pm\triangle m\\ m=(100,4\pm 0,5)\ \text <(г)>\end Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): \begin \delta_m=\frac<0,5><100,4>\cdot 100\text<%>\approx 0,050\text <%>\end

п.6. Представление результатов эксперимента

Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.

Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.

п.7. Задачи

Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно?

Составим таблицу для расчета цены деления:

№ мензурки	a, мл	b, мл	n	$\triangle=\frac$, мл
1	20	40	4	$\frac<40-20><4+1>=4$
2	100	200	4	$\frac<200-100><4+1>=20$
3	15	30	4	$\frac<30-15><4+1>=3$
4	200	400	4	$\frac<400-200><4+1>=40$

Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):

№ мензурки	Объем $V_0$, мл	Абсолютная погрешность $\triangle V=\frac<\triangle><2>$, мл	Относительная погрешность $\delta_V=\frac<\triangle V>\cdot 100\text<%>$
1	68	2	3,0%
2	280	10	3,6%
3	27	1,5	5,6%
4	480	20	4,2%

Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.

Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка

Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0\pm 0,1)\ \text<м>,\ \ x_2=(4,0\pm 0,03)\ \text <м>$$ Какое из этих измерений точней и почему?

Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: \begin \delta_1=\frac<0,1><4,0>\cdot 100\text<%>=2,5\text<%>\\ \delta_2=\frac<0,03><4,0>\cdot 100\text<%>=0,75\text <%>\end Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: $\delta_2\lt \delta_1$, второе измерение точней.

Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Абсолютная погрешность скорости каждой машины равна инструментальной, т.е. половине деления спидометра: $$ \triangle v_1=\frac<10><2>=5\ (\text<км/ч>),\ \ \triangle v_2=\frac<1><2>=0,5\ (\text<км/ч>) $$ Показания каждого из спидометров: $$ v_1=(54\pm 5)\ \text<км/ч>,\ \ v_2=(72\pm 0,5)\ \text <км/ч>$$ Скорость сближения равна сумме скоростей: $$ v_0=v_<10>+v_<20>,\ \ v_0=54+72=125\ \text <км/ч>$$ Для суммы абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. $$ \triangle v=\triangle v_1+\triangle v_2,\ \ \triangle v=5+0,5=5,5\ \text <км/ч>$$ Скорость сближения с учетом погрешности равна: $$ v=(126,0\pm 5,5)\ \text <км/ч>$$ Относительная погрешность: $$ \delta_v=\frac<5,5><126,0>\cdot 100\text<%>\approx 4,4\text <%>$$ Ответ: $v=(126,0\pm 5,5)\ \text<км/ч>,\ \ \delta_v\approx 4,4\text<%>$

Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Инструментальная погрешность линейки $d=\frac<0,1><2>=0,05\ \text<см>$
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20\pm 0,05)\ \text<см>,\ \ b=(60,10\pm 0,05)\ \text <см>$$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): \begin \delta_1=\frac<0,05><90,20>\cdot 100\text<%>\approx 0,0554\text<%>\approx \uparrow 0,056\text<%>\\ \delta_2=\frac<0,05><60,10>\cdot 100\text<%>\approx 0,0832\text<%>\approx \uparrow 0,084\text <%>\end Площадь столешницы: $$ S=ab,\ \ S=90,2\cdot 60,1 = 5421,01\ \text<см>^2 $$ Для произведения относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей слагаемых: $$ \delta_S=\delta_a+\delta_b=0,056\text<%>+0,084\text<%>=0,140\text<%>=0,14\text <%>$$ Абсолютная погрешность: \begin \triangle S=S\cdot \delta_S=5421,01\cdot 0,0014=7,59\approx 7,6\ \text<см>^2\\ S=(5421,0\pm 7,6)\ \text<см>^2 \end Ответ: $S=(5421,0\pm 7,6)\ \text<см>^2,\ \ \delta_S\approx 0,14\text<%>$

Источник