Меню

Что такое статическая обработка результатов измерений



Статистическая обработка результатов измерения

Завершающей стадией количественного анализа химического состава вещества любым методом является статистическая обработка результатов измерений. Она позволяет оценить систематические и случайные погрешности измерений.

Используя приемы математической статистики, можно:

• рассчитать основные метрологические характеристики методики анализа (оценить воспроизводимость и правильность полученных данных, отбросив результаты, содержащие промахи);

• определить методом регрессивного анализа вид функциональной зависимости аналитического сигнала от концентрации (содержания) определяемого элемента;

• рассчитать метрологические характеристики параметров градуировочного графика и результатов анализа;

• представить результаты статистической обработки в виде компактных табличных данных, позволяющих оценить воспроизводимость и правильность полученных результатов;

• в случае необходимости оценить нижнюю границу определяемых содержаний вещества, предел определения (обнаружения), коэффициент чувствительности.

Расчет метрологических характеристик результатов измерений (определений) при малой выборке

При химическом анализе пищевых продуктов содержание вещества в пробе устанавливают, как правило, по небольшому числу параллельных определений (n). Для расчета погрешностей определений в этом случае пользуются методами математической статистики, разработанными для малого числа определений. Полученные результаты рассматривают как случайную (малую) выборку из некоторой гипотетической генеральной совокупности, состоящей из всех мыслимых в данных условиях наблюдений.

Для практических целей можно считать, что при числе измерений п — 20-30 значения стандартного отклонения генеральной совокупности (а) — основного параметра и стандартного отклонения малой выборки (S) близки (S = у).

Оценка воспроизводимости результатов измерений

Среднее выборки. Пусть x1, х2, . хп обозначают п результатов измерений величины, истинное значение которой р.. Предполагается, что все измерения проделаны одним методом и с одинаковой точностью. Такие измерения называют равноточными.

В теории ошибок доказывается, что при условии выполнения нормального закона при п измерениях одинаковой точности среднее арифметическое из результатов, полученных при всех измерениях, является наиболее вероятным и наилучшим значением измеряемой величины:

Это среднее значение принимают за приближенное и пишут X = м.

Единичное отклонение — это отклонение отдельного измерения от среднего арифметического:

Алгебраическая сумма единичных отклонений равна нулю:

Дисперсия, стандартное отклонение, относительное стандартное отклонение. Рассеяние результатов измерений относительно среднего значения принято характеризовать дисперсией S 2 :

или стандартным отклонением (средним квадратичным отклонением) — S:

которое обычно и приводят при представлении результатов измерений (анализа) и которым характеризуют их воспроизводимость.

Стандартное отклонение, деленное на среднее выборки, называют относительным стандартным отклонением:

В общем случае метод анализа оптимален в той области содержаний, в которой и абсолютное (S) и относительное (Sr) стандартное отклонение имеют минимальные значения.

Определение и исключение грубых погрешностей

В литературе приведены различные методы оценки и исключения грубых погрешностей.

Рассмотрим наиболее простой для практического использования метод исключения грубых промахов по Q-критерию. Для этого составляют отношение:

где х1 — подозрительно выделяющийся результат определения (измерения);

х2 — результат единичного определения, ближайший по значению к х1;

R — размах варьирования;

Я = хмах — хмин — разница между наибольшим и наименьшим значением ряда измерений. При малой выборке (п Q (Р, пi).

Оценка правильности результатов измерений (определений)

После того как осуществлена проверка грубых погрешностей (в случае подозрительных результатов измерений) и их исключение, производят оценку доверительного интервала (Ах) для среднего значения X и интервальных значений X ± Ах.

Доверительный интервал (Ах). Если воспроизводимость результатов измерений (методики анализа) характеризуют стандартным отклонением, то сами результаты измерений (определений) характеризуют доверительным интервалом среднего значения X, который рассчитывают по формуле

где tP, f — квантиль распределения Стьюдента при числе степеней свободы f = п — 1 и двухсторонней доверительной вероятности Р (значения tp, f см. в табл. 1.2).

Обычно для расчетов доверительного интервала пользуются значениями Р = 0,95; иногда достаточно Р = 0,90, но при ответственных измерениях требуется более высокая надежность (Р = 0,99).

Коэффициент tp, f показывает, во сколько раз разность между истинным и средним результатами больше стандартного результата.

Источник

Статистическая обработка результатов измерений.

Статистическая обработка результатов измерений – обработка измерительной информации с целью получения достоверных данных. Разнообразие задач, решаемых с помощью измерений, определяет и разнообразие видов статистической обработки их результатов.

Задача статистической обработки результатов многократных измерений заключается в нахождении оценки измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится истинное значение.

Статистическая обработка используется для повышения точности измерений с многократными наблюдениями, а также определения статистических характеристик случайной погрешности.

Для прямых однократных измерений статистическая обработка менее сложна и громоздка, что значительно упрощает оценку погрешностей.

Читайте также:  Совместный метод измерения это

Статистическую обработку результатов косвенных измерений производят, как правило, методами, основанными на раздельной обработке аргументов и их погрешностей, и методом линеаризации.

Наиболее распространенные совместные измерения обрабатываются разными статистическими методами. Среди них широко известен и часто применяется метод наименьших квадратов.

Прямые измерения с многократными наблюдениями.

Необходимость в многократных наблюдениях некоторой физической величины возникает при наличии в процессе измерений значительных случайных погрешностей. При этом задача обработки состоит в том, чтобы по результатам наблюдений определить наилучшую (оптимальную) оценку измеряемой величины и интервал, в котором она находится с заданной вероятностью. Данная задача может быть решена способом статистической обработки результатов наблюдений, основанным на гипотезе о распределении погрешностей результатов по нормальному закону.

Порядок такой обработки должен соответствовать государственному стандарту и рекомендациям по метрологии.

Итак, рассмотрим группу из n независимых результатов наблюдений случайной величины x, подчиняющейся нормальному распределению. Оценка рассеяния единичных результатов наблюдений в группе относительно их среднего значения вычисляется по формуле:

Поскольку число наблюдений в группе, на основании результатов которых выполнено вычисление среднего арифметического, ограничено, то, повторив заново серию наблюдений этой же величины, мы получили бы новое значение среднего арифметического. Повторив многократно наблюдения и вычисляя каждый раз их среднее арифметическое значение, принимаемое за результат наблюдений (измерений), обнаружим рассеяние среднего арифметического значения.

Характеристикой этого рассеяния является средний квадрат отклонения среднего арифметического:

Среднее квадратичное отклонение среднего арифметического используется для оценки погрешности результата измерений с многократными наблюдениями.

Теория показывает, что если рассеяние результатов наблюдения в группе подчиняется нормальному закону, то и их среднее арифметическое тоже подчиняется нормальному закону распределения при достаточно большом числе наблюдений (n>50). Отсюда при одинаковой доверительной вероятности доверительный интервал среднего арифметического в ỳже, чем доверительный интервал результата наблюдений. Теоретически случайную погрешность результата измерений можно было бы свести к 0, однако практически это невозможно, да и не имеет смысла, так как при уменьшении значения случайной погрешности определяющим в суммарной погрешности становится значение не исключенных остатков систематической погрешности.

При нормальном законе распределения плотности вероятностей результатов наблюдений и небольшом числе измерений среднее арифметическое подчиняется закону распределения Стьюдента с тем же средним арифметическим . Особенностью этого распределения является то, что доверительный интервал с уменьшением числа наблюдений расширяемся по сравнению с нормальным законом распределения при этой же доверительной вероятности. В формуле для оценки доверительных границ случайной погрешности это отражается введением коэффициента tq вместо t:

Коэффициент распределения Стьюдента зависит от числа наблюдений и выбранной доверительной вероятности и находится по таблице. Например, для n=4 и =0,95 tq=3,182; n=5 при =0,95 tq=2,776; для n=10 tq=2,262; n=15 tq=2,145 при той же =0,05.

Правила обработки результатов измерения с многократными наблюдениями учитывают следующие факторы:

— обрабатывается группа из n наблюдений (то есть группа ограничена);

— результаты наблюдений могут содержать систематическую погрешность;

— в группе наблюдений могут встречаться грубые погрешности;

— распределение случайных погрешностей может отличаться от нормального.

Обработка результатов наблюдения производится в следующей последовательности:

1) Исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдения (введением поправки);

2) Вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат наблюдений:

3) Вычислить оценку среднего квадратичного отклонения результата наблюдения:

4) Вычислить оценку среднего квадратичного отклонения среднего арифметического по формуле:

5) Проверить гипотезу о том, что результаты измерений принадлежат нормальному распределению.

6) Вычислить доверительные границы e случайной погрешности результата измерения при заданной вероятности P:

,

где — коэффициенты Стьюдента

7) Вычислить границы суммарной неисключенной систематической погрешности (НСП) результата измерения.

При равномерном распределении НСП границы НСП вычисляют по формуле:

,

где — граница i-той НСП, k – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью (при =0,95 =1,1); m – число неисключенных составляющих систематической погрешности.

8) Вычислить доверительные границы погрешности результата измерения.

границы погрешности результата измерения вычисляют по формуле:

,

где k – коэффициент, определяемый как

9) Записать результат измерения в регламентированной стандартом форме:

а) при симметричном доверительном интервале погрешности результата измерения , где x – результат измерения;

б) при отсутствии данных о виде функции распределения составляющих погрешности результата или при необходимости использования данных для дальнейшей обработки результатов, результат представляют в форме:

Читайте также:  Как у собаки измерить размер лапы у собаки для обуви

Дата добавления: 2018-06-01 ; просмотров: 4208 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник

Методика статистической обработки результатов измерения

Одной из важнейших задач является оценка точности определенного технологического процесса изготовления детали. Такая оценка включает анализ точности изготовления деталей, установление влияния износа оборудования на точность размеров, проверку правильности настройки оборудования и т.д.

В настоящее время оценка точности технологического процесса осуществляется с использованием математической статистики и теории вероятности.

Как при изготовлении, так и при измерении возникают две категории погрешностей: систематические и случайные. Систематическими называются погрешности, постоянные по величине и знаку или изменяющиеся по определенному закону в зависимости от характера неслучайных факторов.

Постоянные систематические погрешности могут являться следствием, например, неточной настройки оборудования, погрешности измерительного прибора и приспособления, отклонения рабочей температуры от нормальной и т.д. Такая погрешность при сохранении условий опыта имеет одну и ту же величину для каждой изготовленной или измеренной детали в партии.

Примером переменной систематической погрешности является возрастающая погрешность обработки, называемая износом режущего инструмента.

Во многих случаях причины систематических погрешностей могут быть обнаружены и устранены. Систематические погрешности изготовления, которые трудно устранить, должны учитываться допуском на размер и форму детали.

Случайными называются непостоянные по величине и знаку погрешности, которые возникают при изготовлении или измерении и принимают то или другое числовое значение в зависимости от случайно действующих причин. Характерным их признаком является вариация значений, принимаемых ими в повторных опытах. Эти погрешности вызываются множеством случайно изменяющихся факторов, таких как припуск на обработку, механические свойства материала, сила резания, измерительная сила и т.д., причем ни один из этих факторов не является доминирующим.

Случайные погрешности изготовления проявляются в рассеянии размеров деталей (однотипные детали имеют в одном и том же сечении различные размеры). Наличие случайных погрешностей измерений обнаруживается в том, что при повторном измерении с одинаковой тщательностью одной и той же величины получаются разные числовые результаты. Полностью устранить случайные погрешности невозможно. Но их можно уменьшить, например, в результате более равномерного припуска на обработку, более равномерной твердости и структуры материала заготовок и т.д. Влияние случайных погрешностей учитывается допуском на размер или другой параметр. Значение каждой из случайных погрешностей невозможно заранее определить. С помощью методов теории вероятностей и математической статистики можно приблизительно оценить только пределы изменения и значение суммарной случайной погрешности.

Кроме рассмотренных погрешностей, приходится встречаться c грубыми ошибками, обусловленными действием факторов, в нормальных условиях не участвующих в процессе. Например, ошибка при измерении, неправильная настройка сменных колес и т.д. Эти ошибки обычно не учитываются.

Выявление погрешностей основывается на применении метода математической статистики и основных положений теории вероятности.

Таким методом является метод кривых нормального распределения.

Построение и исследование кривых распределения позволяет в ряде случаев предсказать значения полей рассеивания погрешностей, основываясь на обследовании ранее обработанных деталей.

Выводы математической статистики основаны на законе больших чисел, согласно которому при увеличении числа наблюдений над однородными явлениями частность появления какого-либо события в прошлом приближается к вероятности появления его в будущем.

Порядок построения кривой распределения и обработки результатов измерения рассмотрим на примере. Фактические размеры диаметра с восходящим рядом чисел партии деталей n = 50 шт. показаны в таблице 6.

Таблица 6 – Действительные размеры деталей

7,920 7,970 7,980 7,900 7,995 8,005 8,030 8,068 7,935 7,970 7,982 7,991 7,998 8,007 8,040 8,080 7,940 7,972 7,985 8,000 8,010 8,022 8,040 7,957 7,975 7,985 7,992 8,000 8,012 8,024 8,045 7,960 7,975 7,988 7,944 8,002 8,015 8,024 8,048 7,965 7,980 7,988 7,995 8,017 8,017 8,065

Весь диапазон Xmax . Xmin результатов наблюдений разделить на r интервалов шириной и определить частоты ni, равные числу результатов, лежащих в каждом i-м интервале, т. е. меньше или равных его правой и больше левой границы.

Число интервалов выбирается в зависимости от числа наблюдений согласно рекомендациям таблицы 7.

Таблица 7 – Зависимость числа интервалов от числа наблюдений

n r
40 – 100 7 – 9
100 – 500 8 – 12
500 – 1000 10 – 16
1000 .. . 10000 12 – 22

Принимаем интервал рассеивания равным 0,02 мм и разбиваем все размеры на группы, как показано в таблице 8.

Таблица 8 Распределение действительных размеров по интервалам

Абсолютная частота определяется числом деталей, находящихся в данном интервале размеров. Например, в интервале 7,930 — 7,950 находятся размеры: 7,935; 7.940, т.e. 2 детали и т.д.

Вероятность (частость) есть отношение количества деталей данного интервала (n) к общему количеству (N) деталей исследуемой партии 50шт. Например, в интервале размеров 8,010 — 8,030 имеется 10 деталей, вероятность которых составляет

. (9)

Сумма вероятностей составляет целую единицу, т.е. 100% всех деталей партии.

Откладывая в масштабе по оси абсцисс размеры деталей или интервалы, а по оси ординат – вероятность (частость) для каждого интервала размеров и соединяя полученные точки плавной линией, получим кривую распределения.

Построить гистограмму наблюдений в виде графика в координатах интервалы значений (рисунок 13). При построении гистограмм рекомендуется пользоваться следующими правилами:

– длины интервалов удобнее выбирать одинаковыми. Однако если распределение крайне неравномерно, то в области максимальной концентрации результатов наблюдений следует выбирать более узкие интервалы.

– масштабы по осям гистограммы должны быть такими, чтобы

блица 8 – Зависимость числа интервалов от числа наблюдений

n r
40 – 100 7 – 9
100 – 500 8 – 12
500 – 1000 10 – 16
1000 .. . 10000 12 – 22

отноотношение ее высоты к основанию составляло примерно 5:8.

, мм
i

Рисунок 13 – Гистограмма распределения результатов измерений

Как видно из рисунка 1, кривая нормального распределения имеет выпуклую форму с округленной вершиной, она симметрична, имеет точки перегиба с каждой стороны, за которыми кривая обращена выпуклостью книзу и приближается к оси абсцисс. Кривая нормального распределения определяется функцией

, (10)

где х – случайная величина;

mх – математическое ожидание случайной величины, т.е. значение абсциссы, соответствующее вершине кривой Ymax. Mода кривой mх – есть центр группирования (распределения) и вместе с тем является средней арифметической распределения / Хср /.

s – среднеквадратичное отклонение.

Точность обработки партии деталей будет характеризоваться средним вероятным размером /Хср /, средним квадратическим отклонением.

Среднее арифметическое значение действительных размеров определяется уравнением.

(11)

где xi – результат i – го наблюдения

n – число наблюдений.

Величину xср иногда называют средневзвешенной. Она определяет эмпирический центр группирования.

Рассеивание значений случайных величин в выборке относительно эмпирического центра группирования характеризуется эмпирическим средним квадратичным отклонением.

Среднее квадратичное отклонение погрешности (СКО):

, (12)

где .– отклонение результата отдельного наблюдения от среднего арифметического равно : . (13)

Среднее квадратичеcкое отклонение позволяет определить наибольшее рассеивание размеров, которое практически следует учитывать (границы поля рассеивания). В качестве такого предела приняли ± 3s = 6 s .

Вероятность получения размера в пределах ±3s составляет 99,73%; следовательно, риск получения размеров, выходящих за эти пределы, будет менее 0,3%.

Перечисленные выше погрешности влияют на форму и расположение кривой распределения размеров. Так, например, постоянная погрешность в пределах партии деталей не влияет на форму кривой, но смещает кривую по оси абсцисс (рисунок 14).

Погрешность, закономерно изменяющая свое значение в партии заготовок, окажет влияние на форму кривой, вследствие увеличения размаха распределения размеров, определяющего по оси абсцисс (рисунок 15) крайними значениями (рисунок 16).

Кривые распределения размеров заготовок, обработанных при различных настройках станка или обмеренных не в одном сечении (в особенности для нежестких деталей), получаются многовершинными.

Рисунок 14 – Кривая нормального распределения

Рисунок 15 – Влияние постоянной погрешности

Рисунок 16 – Влияние закономерно изменяющейся погрешности

Контрольные вопросы и задания

1) Назовите микрометрические инструменты, применяемые для определения размеров деталей, изделий.

2) Назовите основные узлы микрометра.

3) Установите гладкий микрометр на нуль.

4) На шкале микрометра последовательно установите несколько размеров: 5,41; 5,92; 10,12; 15,32 мм.

5) Перечислите метрологические показатели микрометра.

6) Приведите пример обозначения гладкого микрометра 1-го класса точности с пределами измерения от 0 до 25 мм.

7) Объясните обозначение микрометра МК-175-2 ГОСТ 6507-90.

8) Укажите область применения инструмента НМ-175 ГОСТ 10-88.

9) В чем различие между гладким и резьбовым микрометрами?

10) Укажите последовательность установки резьбового микрометра на нуль.

Источник