Что является измерением двугранного угла

Содержание
  1. Если в плоскости γ провести две пересекающиеся прямые АК и BN в точке М, то плоскость разделится ими на 4 области, которые образуют 4 «плоских » угла. Аналогично две пересекающиеся плоскости γ и β по прямой АВ, делят пространство на 4 области и образуют 4 двугранных угла. Определение. Двугранный угол – это фигура, образованная прямой АВ и двумя полуплоскостями с общей границей АВ, не принадлежащей одной плоскости. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются гранями двугранного угла. Общая для граней прямая АВ (граница полуплоскостей) называется ребром двугранного угла. Обозначение: KABL, где K и L-это точки, лежащие в разных гранях, а АВ – ребро двугранного угла. Моделью двугранного угла являются: стена комнаты с полом или потолком; двускатная крыша; полураскрытая книга; открытка со сгибом. Измерение двугранных углов сводится к измерению линейных углов. Определение. Линейным углом двугранного угла называется плоский угол, образованный двумя лучами, которые лежат в гранях этого двугранного угла и перпендикулярны его ребру. Все линейные углы данного двугранного угла равны между собой. За величину двугранного угла принимают величину его линейного угла. Выражение двугранный угол равен ᵠ означает, что величина соответствующего линейного угла равна ᵠ. Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если он равен 90°(меньше 90°, больше 90°) Автор: Аникина Марина Комментарии к этой заметке: Добавить Ваш комментарий Подпишитесь на рассылку и получайте ссылки на свежие уроки, статьи и новости Хотите внести свою лепту в его развитие!? Тогда Вам сюда! Источник Что является измерением двугранного угла Замечание . Иногда говорят, что двугранный угол α a β образован двумя полуплоскостями α и β , имеющими общую граничную прямую a . Фигуры, образованные двумя страницами одной книги, двумя соседними гранями куба, — модели двугранного угла. Для измерения двугранного угла введём понятие его линейного угла. На ребре a двугранного угла α a β отметим произвольную точку O и в гранях α и β проведём из точки O соответственно лучи OA и OB , перпендикулярные ребру a (рис. 96, а ). Угол AOB , образованный этими лучами, называется линейным углом двугранного угла α a β . Так как OA ⊥ a и OB ⊥ a , то плоскость AOB перпендикулярна прямой a . Это означает, что линейный угол двугранного угла есть пересечение данного двугранного угла и плоскости, перпендикулярной его ребру . Вследствие произвольного выбора точки O на ребре двугранного угла заключаем, что двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов. Докажем, что все они равны. Действительно, рассмотрим два линейных угла AOB и A 1 O 1 B 1 двугранного угла α a β (рис. 96, б ). Лучи OA и O 1 A 1 лежат в одной грани α и перпендикулярны прямой a — ребру двугранного угла, поэтому они сонаправлены. Аналогично получаем, что сонаправлены лучи OB и O 1 B 1 . Тогда ∠ AOB = ∠ A 1 O 1 B 1 (как углы с сонаправленными сторонами). Таким образом, нами доказана теорема. Теорема 27. Величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла. Иначе говоря, все линейные углы данного двугранного угла равны между собой. Это позволяет ввести следующее определение. Определение. Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла. Величина двугранного угла, измеренная в градусах, принадлежит промежутку (0 ° ; 180 ° ). На рисунке 97 изображён двугранный угол, градусная мера (величина) которого равна 30 ° . В этом случае также говорят, что двугранный угол равен тридцати градусам. Двугранный угол является острым (рис. 98, а ), прямым (рис. 98, б ) или тупым (рис. 98, в ), если его линейный угол соответственно острый, прямой или тупой. Заметим, что аналогично тому, как и на плоскости, в пространстве определяются смежные (рис. 99, а ) и вертикальные (рис. 99, б ) двугранные углы . При этом справедливы и аналогичные теоремы о величинах этих углов. Попробуйте доказать самостоятельно следующие два утверждения, важные для решения задач.  На гранях двугранного угла величины α взяты точки A и B ; A 1 и B 1 — проекции этих точек на ребро двугранного угла; AA 1 = a ; BB 1 = b ; A 1 B 1 = h . Тогда AB = .  Если внутри двугранного угла величины α взята точка на расстояниях a и b от граней двугранного угла, то её расстояние от ребра двугранного угла равно . 14.2. Угол между двумя плоскостями Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром (рис. 100). Если величина одного из них равна ϕ , то величины трёх остальных равны соответственно 180 ° – ϕ , ϕ , 180 ° – ϕ (почему?). Наименьшая из этих величин принимается за величину угла между данными пересекающимися плоскостями. Определение. Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных при их пересечении. Угол между параллельными или совпадающими плоскостями полагается считать равным нулю. Если величина угла между плоскостями α и β равна ϕ , то пишут: ( α ; β ) = ϕ . Так как двугранный угол измеряется своим линейным углом, то из выше приведённого определения следует, что угол между пересекающимися плоскостями равен углу между пересекающимися прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии их пересечения (см. рис. 100). Это означает, что величина угла между плоскостями принадлежит промежутку [0 ° ; 90 ° ] . ЗАДаЧа. Отрезок DM длиной 3,2 перпендикулярен плоскости ромба ABCD ( ∠ ADC — тупой). Диагонали ромба равны 12 и 16. Найти углы между плоскостями: а) ABC и MBC ; б) AMD и CMD . Решение. а) Пусть DE — высота ромба ABCD (рис. 101). Тогда по теореме о трёх перпендикулярах ME ⊥ BC и ∠ DEM = ϕ — линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC и MBC . Найдём величину этого угла. По условию задачи DM ⊥ ( ABC ), поэтому ⧌ MDE — прямоугольный, значит, tg ϕ = . Так как DE — высота ромба ABCD , то DE = , где S — площадь этого ромба. Сторона BC ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника BOC , катеты OB и OC которого равны 6 и 8. Значит, BC = = = 10. Учитывая, что S = • AC • BD = •12•16 = 96, находим: DE = = 9,6. Тогда tg ϕ = = = , откуда ϕ = arctg . б) Так как отрезок DM — перпендикуляр к плоскости ромба ABCD , то AD ⊥ DM , CD ⊥ DM , значит, ∠ ADC = ψ — линейный угол двугранного угла, образованного пересекающимися плоскостями ADM и CDM . Найдём этот угол. В треугольнике ACD по теореме косинусов находим cos ψ = = = – , откуда ψ = arccos . Ответ: а) arctg ; б) arccos . Источник Что является измерением двугранного угла Вы будете перенаправлены на Автор24 Понятие двугранного угла Для введения понятия двугранного угла, для начала вспомним одну из аксиом стереометрии. Любую плоскость можно разделить на две полуплоскости прямой $a$, лежащей в этой плоскости. При этом, точки, лежащие в одной полуплоскости находятся с одной стороны от прямой $a$, а точки, лежащие в разных полуплоскостях — по разные стороны от прямой $a$ (рис. 1). На этой аксиоме основан принцип построение двугранного угла. Фигура называется двугранным углом, если она состоит из прямой и двух полуплоскостей этой прямой, не принадлежащих одной плоскости. При этом полуплоскости двугранного угла называются гранями, а прямая, разделяющая полуплоскости — ребром двугранного угла (рис. 1). Рисунок 2. Двугранный угол Готовые работы на аналогичную тему Градусная мера двугранного угла Выберем на ребре произвольную точку $A$. Угол между двумя прямыми, лежащими в разных полуплоскостях, перпендикулярных ребру и пересекающихся в точке $A$ называется линейным углом двугранного угла (рис. 3). Очевидно, что каждый двугранный угол имеет бесконечное число линейных углов. Все линейные углы одного двугранного угла равняются между собой. Доказательство. Рассмотрим два линейных угла $AOB$ и $A_1_1$ (рис. 4). Так как лучи $OA$ и $_1$ лежат в одной полуплоскости $\alpha $ и перпендикулярны одной прямой, то они являются сонаправленными. Так как лучи $OB$ и $_1$ лежат в одной полуплоскости $\beta $ и перпендикулярны одной прямой, то они являются сонаправленными. Следовательно \[\angle AOB=\angle A_1_1\] В силу произвольности выборов линейных углов. Все линейные углы одного двугранного угла равны между собой. Теорема доказана. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера линейного угла двугранного угла. Примеры задач Пусть нам даны две неперпендикулярные плоскости $\alpha $ и $\beta $ которые пересекаются по прямой $m$. Точка $A$ принадлежит плоскости $\beta $. $AB$ — перпендикуляр к прямой $m$. $AC$ перпендикуляр к плоскости $\alpha $ (точка $C$ принадлежит $\alpha $). Доказать, что угол $ABC$ является линейным углом двугранного угла. Доказательство. Изобразим рисунок по условию задачи (рис. 5). Для доказательства вспомним следующую теорему Теорема 2: Прямая, проходящая через основание наклонной, перпендикулярно ей, перпендикулярна её проекции. Так как $AC$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha $, то точка $C$ — проекция точки $A$ на плоскость $\alpha $. Следовательно, $BC$ — проекция наклонной $AB$. По теореме 2, $BC$ перпендикулярна ребру двугранного угла. Тогда, угол $ABC$ удовлетворяет всем требованиям определения линейного угла двугранного угла. Двугранный угол равен $30^\circ$. На одной из граней лежит точка $A$, которая удалена от другой грани на расстояние $4$ см. Найти расстояние от точки $A$ до ребра двугранного угла. Решение. Будем рассматривать рисунок 5. По условию, имеем $AC=4\ см$. По определению градусной меры двугранного угла, имеем, что угол $ABC$ равен $30^\circ$. Треугольник $ABC$ является прямоугольным треугольником. По определению синуса острого угла Источник Двугранный угол. Иллюстрированный гид (ЕГЭ – 2021) Сегодня за 10 минут ты разберешься в одной из самых важных тем стереометрии. И получишь за неё баллы на ЕГЭ! Определения двугранного угла и угла между плоскостями Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой. При этом прямая \( \displaystyle AB\) – это ребро двугранного угла, а полуплоскости \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) – стороны или грани двугранного угла. Двугранный угол получает обозначение по своему ребру: «двугранный угол \( \displaystyle AB\)». С понятием двугранного угла тесно связано понятие угол между плоскостями. Угол между плоскостями – наименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей. Итак, внимание! Различие между двугранным углом и углом между плоскостями в том, что: Двугранный угол может быть и острым, и тупым, а угол между плоскостями только острым! НЕ ПУТАЙ! Линейный угол двугранного угла Как измерить двугранный угол? Нужно поступить так: из произвольной точки на ребре двугранного угла провести в каждой плоскости по перпендикуляру к этому ребру. В плоскости \( \displaystyle \alpha \) провели перпендикуляр \( \displaystyle MD\) к ребру \( \displaystyle AB\). Что получилось? Обычный, плоский угол \( \displaystyle \varphi \). Вот этот угол и называется: линейный угол двугранного угла \( \displaystyle AB\). Зачем этот линейный угол? Запомни, это очень ВАЖНО: Двугранный угол измеряется величиной своего линейного угла. То есть математически договорились, что если угол φ будет равен, к примеру \( \displaystyle 20<>^\circ \), то это будет автоматически означать, что угол \( \displaystyle AB\) равен \( \displaystyle 20<>^\circ \). Вот и ключ к поиску величины двугранного угла и угла между плоскостями: Чтобы найти величину двугранного угла или угла между плоскостями, нужно построить линейный угол и найти величину этого линейного угла. Ещё раз немного о названиях. Прямой двугранный угол – двугранный угол, который равен \( \displaystyle 90<>^\circ \), то есть тот, у которого линейный угол равен \( \displaystyle 90<>^\circ \). Как найти угол между плоскостями Найти угол между плоскостями можно двумя способами: геометрическим и алгебраическим. Геометрический способ При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии. Алгебраический способ Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями. Подробнее про уравнение плоскости ты можешь прочитать в статье «Расстояние от точки до плоскости»! Какой же способ лучше? Зависит от задачи. Если нужно найти, скажем, двугранный угол при основании правильной , то проще использовать геометрический способ. А если линейный угол двугранного угла никак не хочет проходить ни через какие удобные точки, то можно использовать метод координат как палочку выручалочку. Но тогда нужно очень твёрдо знать формулы и не делать арифметических ошибок при многочисленных подсчётах – ведь придётся искать \( \displaystyle <_<1>>,<_>,<_>,<_<2>>,<_>,<_>\), а потом ещё и \( \displaystyle \cos \gamma \). Давай разберём несложную задачу для примера. Мы применим оба метода. А в твоих задачах выбор за тобой! Автор этого учебника, Алексей Шевчук, проводит бесплатные вебинары по самым сложным задачам ЕГЭ по математике и информатике. На вебинарах все будет еще понятнее. Шорткаты, лайфхаки, разбор «капканов» — все там. Регистрируйся здесь и приходи! Задача В правильной треугольной пирамиде боковое ребро в три раза больше ребра основания. Найти двугранный угол при основании пирамиды. Решение геометрическим способом Пусть \( \displaystyle K\) – середина \( \displaystyle AC\), а стороны \( \displaystyle AB\), \( \displaystyle BC\) и \( \displaystyle AC\) равна \( \displaystyle a\). \( \displaystyle \Delta SAC\) –равнобедренный, \( \displaystyle \Delta ABC\) — правильный (это всё от того, что пирамида правильная). Поэтому \( \displaystyle SK\bot AC\) и \( \displaystyle BK\bot AC\) (медианы \( \displaystyle SK\) и \( \displaystyle BK\) являются также и высотами). Значит \( \displaystyle \angle SKB\) – линейный угол двугранного угла \( \displaystyle AC\). Осталось его найти. (теорема Пифагора для \( \displaystyle \Delta CBK\)) (это теорема косинусов для \( \displaystyle \Delta SKB\)). Итак, \( \displaystyle \cos \angle SKB=\frac<\sqrt<105>>\) Ответ: \( \displaystyle arccos\frac<\sqrt<105>>\). Решение алгебраическим способом (методом координат) Введём систему координат с центром в центре основания, \( \displaystyle Ox\parallel AB\); \( \displaystyle Oy\) вдоль \( \displaystyle OC\), \( \displaystyle Oz\) — вдоль высоты пирамиды. Тогда плоскость \( \displaystyle ABC\) имеет уравнение \( \displaystyle z=0\), то есть \( \displaystyle <_<1>>=0\), \( \displaystyle <_>=0\), \( \displaystyle <_>=1\). Найдём уравнение плоскости \( \displaystyle SAC\). Точка \( \displaystyle C\) имеет координаты \( \displaystyle \left( 0;\frac<\sqrt<3>a>;0 \right)\), так как \( \displaystyle OC\) – радиус описанной окружности \( \displaystyle \Delta ABC\). Точка \( \displaystyle A\) имеет координаты \( \displaystyle \left( \frac;-\frac>;0 \right)\). Точка \( \displaystyle S\) имеет координаты \( \displaystyle \left( 0;0;OS \right)\) То есть \( \displaystyle S\left( 0;0;\frac<\sqrt<26\text< >\!\! Ищем уравнение плоскости: Можно считать, что \( \displaystyle <_>=-a\) так как \( \displaystyle <_>\ne 0\). По-моему, здесь геометрический способ проще! Ответ: \( \displaystyle arccos\frac<\sqrt<105>>\) КОРОТКО О ГЛАВНОМ Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой. Угол между плоскостями – наименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей. Двугранный угол может быть и острым ,и тупым, а угол между плоскостями только острым! НЕ ПУТАЙ! Прямой двугранный угол – двугранный угол, который равен \( \displaystyle 90<>^\circ \), то есть тот, у которого линейный угол равен \( \displaystyle 90<>^\circ \). Два способа найти угол между плоскостями: Источник
  2. Что является измерением двугранного угла
  3. Что является измерением двугранного угла
  4. Понятие двугранного угла
  5. Готовые работы на аналогичную тему
  6. Градусная мера двугранного угла
  7. Примеры задач
  8. Двугранный угол. Иллюстрированный гид (ЕГЭ – 2021)
  9. Определения двугранного угла и угла между плоскостями
  10. Линейный угол двугранного угла
  11. Как найти угол между плоскостями
  12. Геометрический способ
  13. Алгебраический способ
  14. Задача
  15. Решение геометрическим способом
  16. Решение алгебраическим способом (методом координат)
  17. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Если в плоскости γ провести две пересекающиеся прямые АК и BN в точке М, то плоскость разделится ими на 4 области, которые образуют 4 «плоских » угла.

Аналогично две пересекающиеся плоскости γ и β по прямой АВ, делят пространство на 4 области и образуют 4 двугранных угла.

Определение. Двугранный угол – это фигура, образованная прямой АВ и двумя полуплоскостями с общей границей АВ, не принадлежащей одной плоскости.

Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются гранями двугранного угла.

Общая для граней прямая АВ (граница полуплоскостей) называется ребром двугранного угла.

Обозначение: KABL, где K и L-это точки, лежащие в разных гранях, а АВ – ребро двугранного угла.

Моделью двугранного угла являются:

  • стена комнаты с полом или потолком;
  • двускатная крыша;
  • полураскрытая книга;
  • открытка со сгибом.

Измерение двугранных углов сводится к измерению линейных углов.
Определение. Линейным углом двугранного угла называется плоский угол, образованный двумя лучами, которые лежат в гранях этого двугранного угла и перпендикулярны его ребру.

Все линейные углы данного двугранного угла равны между собой.

За величину двугранного угла принимают величину его линейного угла.
Выражение двугранный угол равен ᵠ означает, что величина соответствующего линейного угла равна ᵠ.

Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если он равен 90°(меньше 90°, больше 90°)

Автор: Аникина Марина

Комментарии к этой заметке:

Добавить Ваш комментарий

Подпишитесь на рассылку и получайте ссылки на свежие уроки, статьи и новости

Хотите внести свою лепту в его развитие!? Тогда Вам сюда!

Источник

Что является измерением двугранного угла

Замечание . Иногда говорят, что двугранный угол α a β образован двумя полуплоскостями α и β , имеющими общую граничную прямую a .

Фигуры, образованные двумя страницами одной книги, двумя соседними гранями куба, — модели двугранного угла.

Для измерения двугранного угла введём понятие его линейного угла. На ребре a двугранного угла α a β отметим произвольную точку O и в гранях α и β проведём из точки O соответственно лучи OA и OB , перпендикулярные ребру a (рис. 96, а ). Угол AOB , образованный этими лучами, называется линейным углом двугранного угла α a β .

Так как OA ⊥ a и OB ⊥ a , то плоскость AOB перпендикулярна прямой a . Это означает, что линейный угол двугранного угла есть пересечение данного двугранного угла и плоскости, перпендикулярной его ребру .

Вследствие произвольного выбора точки O на ребре двугранного угла заключаем, что двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов. Докажем, что все они равны. Действительно, рассмотрим два линейных угла AOB и A 1 O 1 B 1 двугранного угла α a β (рис. 96, б ). Лучи OA и O 1 A 1 лежат в одной грани α и перпендикулярны прямой a — ребру двугранного угла, поэтому они сонаправлены. Аналогично получаем, что сонаправлены лучи OB и O 1 B 1 . Тогда ∠ AOB = ∠ A 1 O 1 B 1 (как углы с сонаправленными сторонами).

Таким образом, нами доказана теорема.

Теорема 27. Величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла.

Иначе говоря, все линейные углы данного двугранного угла равны между собой.

Это позволяет ввести следующее определение.

Определение. Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Величина двугранного угла, измеренная в градусах, принадлежит промежутку (0 ° ; 180 ° ).

На рисунке 97 изображён двугранный угол, градусная мера (величина) которого равна 30 ° . В этом случае также говорят, что двугранный угол равен тридцати градусам.

Двугранный угол является острым (рис. 98, а ), прямым (рис. 98, б ) или тупым (рис. 98, в ), если его линейный угол соответственно острый, прямой или тупой.

Заметим, что аналогично тому, как и на плоскости, в пространстве определяются смежные (рис. 99, а ) и вертикальные (рис. 99, б ) двугранные углы . При этом справедливы и аналогичные теоремы о величинах этих углов.

Попробуйте доказать самостоятельно следующие два утверждения, важные для решения задач.

 На гранях двугранного угла величины α взяты точки A и B ; A 1 и B 1 — проекции этих точек на ребро двугранного угла; AA 1 = a ; BB 1 = b ; A 1 B 1 = h . Тогда

AB = .

 Если внутри двугранного угла величины α взята точка на расстояниях a и b от граней двугранного угла, то её расстояние от ребра двугранного угла равно .

14.2. Угол между двумя плоскостями

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром (рис. 100). Если величина одного из них равна ϕ , то величины трёх остальных равны соответственно 180 ° – ϕ , ϕ , 180 ° – ϕ (почему?). Наименьшая из этих величин принимается за величину угла между данными пересекающимися плоскостями.

Определение. Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных при их пересечении.

Угол между параллельными или совпадающими плоскостями полагается считать равным нулю.

Если величина угла между плоскостями α и β равна ϕ , то пишут: ( α ; β ) = ϕ .

Так как двугранный угол измеряется своим линейным углом, то из выше приведённого определения следует, что угол между пересекающимися плоскостями равен углу между пересекающимися прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии их пересечения (см. рис. 100). Это означает, что величина угла между плоскостями принадлежит промежутку [0 ° ; 90 ° ] .

ЗАДаЧа. Отрезок DM длиной 3,2 перпендикулярен плоскости ромба ABCD ( ∠ ADC — тупой). Диагонали ромба равны 12 и 16. Найти углы между плоскостями:

а) ABC и MBC ; б) AMD и CMD .

Решение. а) Пусть DE — высота ромба ABCD (рис. 101). Тогда по теореме о трёх перпендикулярах ME ⊥ BC и ∠ DEM = ϕ — линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC и MBC . Найдём величину этого угла.

По условию задачи DM ⊥ ( ABC ), поэтому ⧌ MDE — прямоугольный, значит, tg ϕ = . Так как DE — высота ромба ABCD , то DE = , где S — площадь этого ромба. Сторона BC ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника BOC , катеты OB и OC которого равны 6 и 8. Значит, BC = = = 10.

Учитывая, что S = • AC • BD = •12•16 = 96, находим: DE = = 9,6. Тогда tg ϕ = = = , откуда ϕ = arctg .

б) Так как отрезок DM — перпендикуляр к плоскости ромба ABCD , то AD ⊥ DM , CD ⊥ DM , значит, ∠ ADC = ψ — линейный угол двугранного угла, образованного пересекающимися плоскостями ADM и CDM . Найдём этот угол.

В треугольнике ACD по теореме косинусов находим

cos ψ = = = – ,

откуда ψ = arccos .

Ответ: а) arctg ; б) arccos .

Источник

Что является измерением двугранного угла

Вы будете перенаправлены на Автор24

Понятие двугранного угла

Для введения понятия двугранного угла, для начала вспомним одну из аксиом стереометрии.

Любую плоскость можно разделить на две полуплоскости прямой $a$, лежащей в этой плоскости. При этом, точки, лежащие в одной полуплоскости находятся с одной стороны от прямой $a$, а точки, лежащие в разных полуплоскостях — по разные стороны от прямой $a$ (рис. 1).

На этой аксиоме основан принцип построение двугранного угла.

Фигура называется двугранным углом, если она состоит из прямой и двух полуплоскостей этой прямой, не принадлежащих одной плоскости.

При этом полуплоскости двугранного угла называются гранями, а прямая, разделяющая полуплоскости — ребром двугранного угла (рис. 1).

Рисунок 2. Двугранный угол

Готовые работы на аналогичную тему

Градусная мера двугранного угла

Выберем на ребре произвольную точку $A$. Угол между двумя прямыми, лежащими в разных полуплоскостях, перпендикулярных ребру и пересекающихся в точке $A$ называется линейным углом двугранного угла (рис. 3).

Очевидно, что каждый двугранный угол имеет бесконечное число линейных углов.

Все линейные углы одного двугранного угла равняются между собой.

Доказательство.

Рассмотрим два линейных угла $AOB$ и $A_1_1$ (рис. 4).

Так как лучи $OA$ и $_1$ лежат в одной полуплоскости $\alpha $ и перпендикулярны одной прямой, то они являются сонаправленными. Так как лучи $OB$ и $_1$ лежат в одной полуплоскости $\beta $ и перпендикулярны одной прямой, то они являются сонаправленными. Следовательно

\[\angle AOB=\angle A_1_1\]

В силу произвольности выборов линейных углов. Все линейные углы одного двугранного угла равны между собой.

Теорема доказана.

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера линейного угла двугранного угла.

Примеры задач

Пусть нам даны две неперпендикулярные плоскости $\alpha $ и $\beta $ которые пересекаются по прямой $m$. Точка $A$ принадлежит плоскости $\beta $. $AB$ — перпендикуляр к прямой $m$. $AC$ перпендикуляр к плоскости $\alpha $ (точка $C$ принадлежит $\alpha $). Доказать, что угол $ABC$ является линейным углом двугранного угла.

Доказательство.

Изобразим рисунок по условию задачи (рис. 5).

Для доказательства вспомним следующую теорему

Теорема 2: Прямая, проходящая через основание наклонной, перпендикулярно ей, перпендикулярна её проекции.

Так как $AC$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha $, то точка $C$ — проекция точки $A$ на плоскость $\alpha $. Следовательно, $BC$ — проекция наклонной $AB$. По теореме 2, $BC$ перпендикулярна ребру двугранного угла.

Тогда, угол $ABC$ удовлетворяет всем требованиям определения линейного угла двугранного угла.

Двугранный угол равен $30^\circ$. На одной из граней лежит точка $A$, которая удалена от другой грани на расстояние $4$ см. Найти расстояние от точки $A$ до ребра двугранного угла.

Решение.

Будем рассматривать рисунок 5.

По условию, имеем $AC=4\ см$.

По определению градусной меры двугранного угла, имеем, что угол $ABC$ равен $30^\circ$.

Треугольник $ABC$ является прямоугольным треугольником. По определению синуса острого угла

Источник

Двугранный угол. Иллюстрированный гид (ЕГЭ – 2021)

Сегодня за 10 минут ты разберешься в одной из самых важных тем стереометрии.

И получишь за неё баллы на ЕГЭ!

Определения двугранного угла и угла между плоскостями

Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.

При этом прямая \( \displaystyle AB\) – это ребро двугранного угла, а полуплоскости \( \displaystyle \alpha \) и \( \displaystyle \beta \) – стороны или грани двугранного угла.

Двугранный угол получает обозначение по своему ребру: «двугранный угол \( \displaystyle AB\)».

С понятием двугранного угла тесно связано понятие угол между плоскостями.

Угол между плоскостями – наименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей.

Итак, внимание! Различие между двугранным углом и углом между плоскостями в том, что:

Двугранный угол может быть и острым, и тупым, а угол между плоскостями только острым! НЕ ПУТАЙ!

Линейный угол двугранного угла

Как измерить двугранный угол?

Нужно поступить так: из произвольной точки на ребре двугранного угла провести в каждой плоскости по перпендикуляру к этому ребру.

В плоскости \( \displaystyle \alpha \) провели перпендикуляр \( \displaystyle MD\) к ребру \( \displaystyle AB\). Что получилось? Обычный, плоский угол \( \displaystyle \varphi \).

Вот этот угол и называется: линейный угол двугранного угла \( \displaystyle AB\).

Зачем этот линейный угол? Запомни, это очень ВАЖНО:

Двугранный угол измеряется величиной своего линейного угла.

То есть математически договорились, что если угол φ будет равен, к примеру \( \displaystyle 20<>^\circ \), то это будет автоматически означать, что угол \( \displaystyle AB\) равен \( \displaystyle 20<>^\circ \).

Вот и ключ к поиску величины двугранного угла и угла между плоскостями:

Чтобы найти величину двугранного угла или угла между плоскостями, нужно построить линейный угол и найти величину этого линейного угла.

Ещё раз немного о названиях.

Прямой двугранный угол – двугранный угол, который равен \( \displaystyle 90<>^\circ \), то есть тот, у которого линейный угол равен \( \displaystyle 90<>^\circ \).

Как найти угол между плоскостями

Найти угол между плоскостями можно двумя способами: геометрическим и алгебраическим.

Геометрический способ

При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.

Алгебраический способ

Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.

Подробнее про уравнение плоскости ты можешь прочитать в статье «Расстояние от точки до плоскости»!

Какой же способ лучше? Зависит от задачи.

Если нужно найти, скажем, двугранный угол при основании правильной , то проще использовать геометрический способ.

А если линейный угол двугранного угла никак не хочет проходить ни через какие удобные точки, то можно использовать метод координат как палочку выручалочку.

Но тогда нужно очень твёрдо знать формулы и не делать арифметических ошибок при многочисленных подсчётах – ведь придётся искать \( \displaystyle <_<1>>,<_<1>>,<_<1>>,<_<2>>,<_<2>>,<_<2>>\), а потом ещё и \( \displaystyle \cos \gamma \).

Давай разберём несложную задачу для примера. Мы применим оба метода. А в твоих задачах выбор за тобой!

Автор этого учебника, Алексей Шевчук, проводит бесплатные вебинары по самым сложным задачам ЕГЭ по математике и информатике.

На вебинарах все будет еще понятнее. Шорткаты, лайфхаки, разбор «капканов» — все там.

Регистрируйся здесь и приходи!

Задача

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро в три раза больше ребра основания. Найти двугранный угол при основании пирамиды.

Решение геометрическим способом

Пусть \( \displaystyle K\) – середина \( \displaystyle AC\), а стороны \( \displaystyle AB\), \( \displaystyle BC\) и \( \displaystyle AC\) равна \( \displaystyle a\). \( \displaystyle \Delta SAC\) –равнобедренный, \( \displaystyle \Delta ABC\) — правильный (это всё от того, что пирамида правильная).

Поэтому \( \displaystyle SK\bot AC\) и \( \displaystyle BK\bot AC\) (медианы \( \displaystyle SK\) и \( \displaystyle BK\) являются также и высотами).

Значит \( \displaystyle \angle SKB\) – линейный угол двугранного угла \( \displaystyle AC\).

Осталось его найти.

(теорема Пифагора для \( \displaystyle \Delta CBK\))

(это теорема косинусов для \( \displaystyle \Delta SKB\)).

Итак, \( \displaystyle \cos \angle SKB=\frac<1><\sqrt<105>>\)

Ответ: \( \displaystyle arccos\frac<1><\sqrt<105>>\).

Решение алгебраическим способом (методом координат)

Введём систему координат с центром в центре основания, \( \displaystyle Ox\parallel AB\); \( \displaystyle Oy\) вдоль \( \displaystyle OC\), \( \displaystyle Oz\) — вдоль высоты пирамиды.

Тогда плоскость \( \displaystyle ABC\) имеет уравнение \( \displaystyle z=0\), то есть \( \displaystyle <_<1>>=0\), \( \displaystyle <_<1>>=0\), \( \displaystyle <_<1>>=1\).

Найдём уравнение плоскости \( \displaystyle SAC\).

Точка \( \displaystyle C\) имеет координаты \( \displaystyle \left( 0;\frac<\sqrt<3>a><3>;0 \right)\), так как \( \displaystyle OC\) – радиус описанной окружности \( \displaystyle \Delta ABC\). Точка \( \displaystyle A\) имеет координаты \( \displaystyle \left( \frac<2>;-\frac><6>;0 \right)\). Точка \( \displaystyle S\) имеет координаты \( \displaystyle \left( 0;0;OS \right)\)

То есть \( \displaystyle S\left( 0;0;\frac<\sqrt<26\text< >\!\!

Ищем уравнение плоскости:

Можно считать, что \( \displaystyle <_<2>>=-a\) так как \( \displaystyle <_<2>>\ne 0\).

По-моему, здесь геометрический способ проще!

Ответ: \( \displaystyle arccos\frac<1><\sqrt<105>>\)

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.

Угол между плоскостяминаименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей.

Двугранный угол может быть и острым ,и тупым, а угол между плоскостями только острым! НЕ ПУТАЙ!

Прямой двугранный угол – двугранный угол, который равен \( \displaystyle 90<>^\circ \), то есть тот, у которого линейный угол равен \( \displaystyle 90<>^\circ \).

Два способа найти угол между плоскостями:

Источник

Поделиться с друзьями
Моя стройка
Adblock
detector