Меню

Что значит сравнить функции



Математический анализ — лекции / 3. Предел функции. Сравнение функций / Сравнение функций

§ 7. Сравнение функций.

Определение 1. Если для двух функций f и g существуют такие постоянные C > 0 и > 0, что |f(x)|  C|g(x)| при 0 x, a x – 1  xlna (a > 0), ln(1 + x)  x , .

Теорема 2. Для того, чтобы функции f и g были эквивалентными при xx, необходимо и достаточно, чтобы при xx выполнялось хотя бы одно из условий

f(x) = g(x) + o или g(x) = f(x) + o.

Доказательство. 1. Необходимость. Пусть f(x)  g(x) при xx, т.е. f(x) = (х)g(x), где . Тогда f(x) = g(x) + [(х) – 1]g(x) = g(x) + (x)g(x), причем (x) = (х) – 1 0 при xx.

2. Достаточность. Пусть, например, при xx имеет место соотношение f(x) = g(x) + o, т.е. f(x) = g(x) + (x)g(x), где . Тогда f(x) = (1 + (x))g(x) = (х)g(x), где , т.е. f(x)  g(x) при xx.

п. 3. Метод выделения главной части.

Определение 5. Пусть и — две функции, определенные в некоторой . Если при xx (х) = (х) + о, то функция называется главной частью функции .

Аналогичным образом вводятся понятия главной части для случаев: xx -, xx +, x  , x  +, x  — .

Из теоремы 2 следует, что если f(x)  g(x) при xx, то g — главная часть функции f, f — главная часть функции g при xx.

Вопросы и упражнения.

Пусть при xx. Следует ли отсюда, что f(x) = g(x)?

Показать, что + = при xx.

Доказать следующие свойства «о – малого» при xx:

а) о()  о() = о(); б) о(с) = о() с  0; в) nN;

г) n о() = о( n +1 ) nN; д) nN, n  2; е) ;

, либо оба предела не существуют.

8) Вычислить пределы: а) , б) , в) .

9) Сравнить пары б/ м функций: а) и (х) = х при х  0;

б) и (х) = (х – 1) 2 при х  1;

в) и при х  .

10) Записать асимптотические формулы для функций: а) ln(1 + x + sin x) при х  0;

б) cos lnx при х  1.

§ 8. Предел функции по базе.

Во всех определениях предела функции f в точке х (по Коши) требуется, чтобы  > 0  = () > 0  , где . При этом множества имеют разный вид при различных х (х – конечная или бесконечная точка). Если рассматривать еще односторонние пределы, то вместо окрестности нужно брать только ее часть.

Таким образом, если условимся в едином обозначении, как проколотой окрестности, так и ее части (левой или правой полуокрестности) конечной или бесконечной точки, то можно сформулировать единое определение предела функции в точке.

Читайте также:  Как сравнить два стихотворения 7 класс по литературе

Пусть есть или , или полуокрестность окрестности , где х – конечная или бесконечная точка, и пусть . Ясно, что для возможности дать определение предела функции в точке х нужно предполагать, что и пересечение двух любых множеств совокупности <> представляет собой некоторое множество той же совокупности.

Определение 1. Будем говорить, что бесконечная совокупность В =<> подмножеств множества Df образует базу или базис фильтра множества Df, если для элементов этой совокупности выполнены два требования: 1) каждый ; 2) в пересечение двух любых множеств совокупности <> обязательно содержится некоторый элемент этой же совокупности.

Ясно, что база множества Df представляет собой более широкое понятие, чем множества, участвующие в определении предела ранее, т.к. не обязательно и пересечение двух любых множеств и лишь содержит в себе (а не совпадает) третье множество . Однако ранее рассматриваемые множества , точнее, их совокупность, представляет собой базу множества Df, которые обозначали символами хх, хх-, хх+, где х – конечная или бесконечная точка. Если Df = N, то например, есть база множества <n>, которую обозначали символом n   и которая участвует в определении предела последовательности.

Пусть f задана на Df и В =<> – база множества Df.

Определение 2. Число а называется пределом функции f по базе В множества ее задания Df, если  > 0 B: f()  O(a).

Этот факт символически записывается так: .

Легко проверить, что определение предела функции по базе содержит в себе как частные случаи все виды пределов, рассмотренных ранее. Также легко убедиться, что для определения предела функции по базе остаются верными все основные свойства предела, отвечающие, например, базе х  х. Например,

Критерий Коши. Для существования предела функции f по базе В, необходимо и достаточно, чтобы  > 0 B, образ которого f() содержится в некотором интервале длины 2.

Определение 3. Базы В и множества Df называются эквивалентными, если : и : . Совокупность всевозможных эквивалентных между собой баз В множества Df называется фильтром множества Df.

Нетрудно убедиться, что утверждения о пределах функции по эквивалентным базам В и справедливы одновременно.

Определение предела функции по фильтру было дано А. Картаном в 1937 году.

Вопросы и упражнения.

Из каких элементов состоят базы: а) хх, б) х  ?

Докажите, что для определения предела по базе верны теоремы о пределе суммы, произведения, частного двух функций.

Источник

Функция. Предел функции. Сравнение функций

Страницы работы

Содержание работы

Функция. Если каждому значению переменной х из множества Х ставится в соответствие по известному закону некоторое число у, то говорят, что на множестве Х задана функция у=у(х);

Читайте также:  Шкода кодиак мицубиси аутлендер сравнить

1. Пусть Х и Y – метрические пространства, пусть функция у=у(х) определена в окрестности точки х, говорят, что g – предел функции при х à х0, если для каждой последовательности n> из ε окрестности х, сходящейся к х с членами, отличными от х, соответствующая последовательность f(x) (последовательность значений функции) сходится к числу g.

a. Если для любого ε>0 найдется δ>0, что ρ (f(x),g) 0 существовала такая N(x), что знания f(x) для всех числе N(x) (за искл. быть может, x) приближали число g с погрешностью 0, то найдется α>0, что в окрестности x : f(x)>α>0; x!=x (доказательство в соотв. с необх. и дост. условием)

Теорема о предельном переходе в нер-ве: Если lim f1,2(x)=g1,2, для любого х из N(x) имеет место неравенство f1(x)≤f2(x), тогда g1≤g2

Теорема о пределе промежуточной переменной: Если lim f1(x)=lim f2(x)=g (xàx), и в некоторой N(x) имеет место неравенство f1(x) ≤ φ(x) ≤ f2(x), то функция φ(x) имеет предел g (Док-во через определение предела)

Функция f(x) называется непрерывной в точке x=x, если предел

Свойства непрерывных функций: Если f,g непрерывны в т. x , то c*f(x) (c-const); f(x)+g(x); f(x)*g(x); f(x)/g(x) (g(x)!=0) тоже непрерывные функции.

Функция α называется бесконечно малой при x→x , если lim α(x)=0 [xàx];

Функция f называется бесконечно большой при xàx, если lim f(x)=∞ [xàx];

Лемма. Конечный предел f(x)=a ó f(x)=a+α(x) (α(x)-беск. малая)

Теорема. Сумма и произведение конечного числа бесконечно мылах функций, а также произведение бесконечно малой на ограниченную дает бесконечно малую.

Теорема. Если f(x)-бесконечно большая, то 1/f(x) – бесконечно малая.

Сравнение функций.

Если для функций f(x) и g(x) существует такое c>0, что для любых ч из окрестности x выполняется неравенство |f(x)| ≤ c|g(x)|, то f называется ограниченной по сравнению с g. В этом случае f(x)=O(g(x), xàx)

Лемма. Если f(x) представима в виде f(x)=φ(x)*g(x), х из окрестности х и существует конечный предел lim φ(x)≤ x k , А!=0, то среди всех главных частей такого вида она определена единственным образом.

1. Пусть f(x) опред. В N(x). Точка x называется точкой разрыва функции, если f не определена в т.x или определена, но не является в ней непрерывной.

Источник

Сравнение функций

Рассмотрим бесконечно малые функции f ( х ) и g ( х ) в точке x 0 , причем

g ( x ) ≠ 0 в окрестности точки x 0 .

( f ( х ) g ( х ) при x → x ).

Пример : sin x х , x → 0 .

малости, если lim

Этот факт записывают иногда как ( f ( x ) = O [ g ( x ) ] ) и говорят, что функция

f есть «О-большое» от функции g

3. Говорят, что функция f ( х ) большего порядка малости, чем функция

g ( х ) при x → x , если

Этот факт записывают иногда как

( f ( x ) = 0 [ g ( x ) ] ) и говорят, что функция

Читайте также:  Сравнение двух показателей таблица

f есть «о-малое» от функции g .

Предел функции. Непрерывность функций

Можно проверить, что имеют место следующие эквивалентности:

x sin x tg x arcsin x arctg x ( e x − 1 ) ln(1 + x ) при x → 0 ;

Эквивалентность функций может быть использована при вычислении пределов функций.

lim arcsin16 x = lim

§ 3. Непрерывность функции в точке

С пределом функции тесно связано одно из важных понятий математического анализа – непрерывность функции (значительный вклад внесли Больцано, Коши).

Пусть функция y = f ( x ) является предельной точкой, принадлежащей множеству Х .

Определение 1. Функция y = f ( x ), x X называется непрерывной в точке x 0 X , если она определена в самой точке x 0 , а также в некоторой ее окрестности и справедливо следующее равенство

lim f ( x ) = f ( x 0 )

т.е. существует предел функции в точке

x 0 и этот предел равен значению

функции в этой точке.

Символически (1) можно записать как

lim f ( x 0 ) = f (lim x ) , т.е. возможен

предельный переход под знаком функции.

Определение непрерывности можно сформулировать на языке

последовательностей или на языке « ε – δ ».

Определение 2. Функция f ( x ) непрерывна в точке x 0 ,

последовательности значений аргумента

Лекция №10 Предел функции. Непрерывность функций проф. Дымков М.П. 86

соответствующая последовательность значений функции < f ( x n )>сходится к

Источник

Сравнение функций

Рассмотрим бесконечно малые функции f ( х ) и g ( х ) в точке x 0 , причем

g ( x ) ≠ 0 в окрестности точки x 0 .

( f ( х ) g ( х ) при x → x ).

Пример : sin x х , x → 0 .

малости, если lim

Этот факт записывают иногда как ( f ( x ) = O [ g ( x ) ] ) и говорят, что функция

f есть «О-большое» от функции g

3. Говорят, что функция f ( х ) большего порядка малости, чем функция

g ( х ) при x → x , если

Этот факт записывают иногда как

( f ( x ) = 0 [ g ( x ) ] ) и говорят, что функция

f есть «о-малое» от функции g .

Предел функции. Непрерывность функций

Можно проверить, что имеют место следующие эквивалентности:

x sin x tg x arcsin x arctg x ( e x − 1 ) ln(1 + x ) при x → 0 ;

Эквивалентность функций может быть использована при вычислении пределов функций.

lim arcsin16 x = lim

§ 3. Непрерывность функции в точке

С пределом функции тесно связано одно из важных понятий математического анализа – непрерывность функции (значительный вклад внесли Больцано, Коши).

Пусть функция y = f ( x ) является предельной точкой, принадлежащей множеству Х .

Определение 1. Функция y = f ( x ), x X называется непрерывной в точке x 0 X , если она определена в самой точке x 0 , а также в некоторой ее окрестности и справедливо следующее равенство

lim f ( x ) = f ( x 0 )

т.е. существует предел функции в точке

x 0 и этот предел равен значению

функции в этой точке.

Символически (1) можно записать как

lim f ( x 0 ) = f (lim x ) , т.е. возможен

предельный переход под знаком функции.

Определение непрерывности можно сформулировать на языке

последовательностей или на языке « ε – δ ».

Определение 2. Функция f ( x ) непрерывна в точке x 0 ,

последовательности значений аргумента

Лекция №10 Предел функции. Непрерывность функций проф. Дымков М.П. 86

соответствующая последовательность значений функции < f ( x n )>сходится к

Источник