Энергия магнитного поля соленоида единицы измерения



Физика

Энергия однородного магнитного поля определяется значением его индукции, магнитными свойствами среды и объемом пространства, занятого полем:

W = B 2 V 2 µ 0 µ ,

где B — модуль индукции магнитного поля; V — объем пространства, занятого полем; µ 0 — магнитная постоянная, µ 0 = 4π ⋅ 10 –7 Гн/м; µ — магнитная постоянная.

В Международной системе единиц энергия магнитного поля измеряется в джоулях (1 Дж).

Энергия магнитного поля в соленоиде ( катушке ) может быть рассчитана по формуле

где L — индуктивность соленоида (катушки); I — сила тока в обмотке соленоида (катушки).

Плотность энергии магнитного поля — энергия единицы объема пространства, занятого полем:

где W — энергия магнитного поля, занимающего объем V .

В Международной системе единиц плотность энергии магнитного поля измеряется в джоулях, деленных на кубический метр (1 Дж/м 3 ).

Плотность энергии магнитного поля в соленоиде ( катушке ) также определяется отношением

где W — энергия магнитного поля в соленоиде, W = LI 2 /2; L — индуктивность соленоида; I — сила тока в обмотке соленоида; V — объем внутреннего пространства соленоида, V = Sl ; S — площадь поперечного сечения соленоида; l — длина соленоида.

Пример 24. Соленоид длиной 25 см и площадью поперечного сечения 4,0 см 2 имеет индуктивность 0,25 мГн. При какой силе тока энергия единицы объема магнитного поля внутри соленоида будет равна 1,0 мДж/м 3 ?

Решение . Плотность энергии магнитного поля определяется отношением:

где W — энергия магнитного поля; V — объем пространства, занятого магнитным полем.

Если магнитное поле создается внутри соленоида, по которому протекает ток, то его энергия может быть рассчитана по формуле

где L — индуктивность соленоида, L = 0,25 мГн; I — сила тока, протекающего по обмотке соленоида (искомая величина).

где S — площадь поперечного сечения соленоида, S = 4,0 см 2 ; l — длина соленоида.

Подставим выражения для W и V в формулу для расчета плотности энергии магнитного поля

и выразим отсюда искомую силу тока:

I = 2 ⋅ 4,0 ⋅ 10 − 4 ⋅ 25 ⋅ 10 − 2 ⋅ 1,0 ⋅ 10 − 3 0,25 ⋅ 10 − 3 = 28 ⋅ 10 − 3 А = 28 мА .

Заданная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида обеспечивается при силе тока, приблизительно равной 28 мА.

Источник

Энергия магнитного поля соленоида

Рассчитаем энергию однородного магнитного поля длинного соленоида, индуктивность которого определяется по формуле . В этом случае формула (4.14) примет вид

.

Учитывая, что напряженность поля внутри бесконечно длинного соленоида H = nI, получаем

. (4.15)

Выразим энергию магнитного поля через индукцию :

(4.16)

(4.17)

Е д и н и ц а — Дж (джоуль).

Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри него. Энергия магнитного поля, заключенная в единице объёме соленоида называется объёмной плотностью энергии и определяется по формуле

(4.18)

Е д и н и ц а w — (джоуль на кубический метр).

В случае неоднородного магнитного поля энергия определяется по формуле

.

Магнитные свойства вещества

Всякое вещество является магнетиком, т.е. способно под действием внешнего магнитного поля намагничиваться. Магнитная индукция внутри магнетика зависит от магнитной проницаемости вещества :

, (4.19)

где -вектор магнитной индукции внешнего магнитного поля.

Магнитная проницаемость у всех веществ различна. Она может быть как больше, так и меньше единицы. Различают диамагнетики ( 1), ферромагнетики

( >> 1). Магнитная проницаемость парамагнетиков и диамагнетиков не зависит от индукции B (напряженности H) внешнего магнитного поля. У ферромагнетиков зависит от внешнего магнитного поля, т.е. между B и H существует нелинейная зависимость. График зависимости магнитной индукции B некоторых ферромагнетиков от напряженности H внешнего магнитного поля представлен на рис. 4.3.

Вопросы для самоконтроля

1. Запишите выражение и сформулируйте основной закон электромагнитной индукции (закон Фарадея – Ленца).

2. Что называется явлением самоиндукции?

3. Напишите выражение для э.д.с. самоиндукции.

4. Что такое индуктивность контура (соленоида) и от чего она зависит?

5. Назовите единицу индуктивности.

6. Каков физический смысл индуктивности?

7. Запишите выражение для определения индуктивности соленоида.

8. Запишите закон изменения силы тока в цепи, содержащей последовательно включённые R и L при включении и выключении источника постоянного тока. Постройте график и поясните его.

9. Дайте определение явления взаимной индукции, напишите формулу определения ЭДС взаимной индукции.

10. От чего зависит взаимная индуктивность? В каких единицах измеряется? По какой формуле определяется взаимная индуктивность двух контуров?

11. Как рассчитывается энергия и плотность энергии магнитного поля?

12. Действие каких электрических приборов основано на явлении взаимной индукции?

Примеры решения задач

Задача 1.При скорости изменения силы тока в соленоиде, равной 50 А/с, на его концах возникает ЭДС самоиндукции В. Определить индуктивность L cоленоида.

Дано: Решение.

А/с Индуктивность соленоида связана с ЭДС

самоиндукции и скоростью изменения силы

В тока в его обмотке соотношением

.

L — ? Вынося постоянную величину L за знак приращения,

.

Опустив знак «минус» в этом равенстве (направление э.д.с. в данном случае несущественно) и выразив интересующую нас величину – индуктивность, получим

; (мГн).

Ответ:L = 1,6 мГн.

Задача 2.Катушка имеет сопротивление R = 10 Ом и индуктивность L = 0,1 Гн. Через сколько времени после выключения в катушке возникнет ток, равный половине установившегося?

Дано: Решение.

R = 10 Ом При выключении тока в катушке он не мгновенно

L = 0,1 Гн становится равным нулю. При убывании тока

в катушке возникает ЭДС самоиндукции, пре-

пятствующая убыванию тока.

Возникает экстраток размыкания. Этот ток будет изменятся по закону

,

где — установившийся ток в катушке (в начальный момент времени ), I – ток в момент времени t, R – сопротивление катушки, L – её индуктивность. Тогда

; , отсюда

Вычислим : .

Ответ:t = c.

Задача 3.Источник тока замкнули на катушку с сопротивлением R = 10 Ом и индуктивностью L = 1 Гн. Через сколько времени сила тока замыкания достигает 0,9 предельного значения.

Дано: Решение.

R = 10 Ом Закон изменения силы тока при замыкании цепи

L = 1 Гн имеет вид:

I = 0,9∙I ,

т.к. , то 0,9 , отсюда . Логарифмируем это выражение:

; => .

Вычислим: (с).

Ответ:t = 0,23 с.

Задача 4. На железный стержень длиной = 50 см и сечением = 2 см 2 намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию магнитного поля в сердечнике соленоида, если сила тока в обмотке = 0,5 А.

Дано: Решение

= 50 см = 0,5 м Энергия магнитного поля

S = 2 см 2 = 2 . 10 -4 м2

= 20 .

Индуктивность соленоида

,

— ? где = 4p · 10 -7 .

Магнитная проницаемость сердечника соленоида: ,

где В – индукция магнитного поля внутри соленоида, Н – напряженность.

Подставив в формулу энергии индуктивность L и магнитную проницаемость , получим расчетную формулу:

,

где .

Найдем напряженность Н: Н = 2 . 10 3 . 0,5 = 10 3 ( ) .

Индукцию В можно найти из графика зависимости В от Н (см. рис. 4.3). При Н = 10 3 индукция равна : В = 1,3 Тл.

Вычислим энергию магнитного поля, подставив числовые значения в расчетную формулу.

= 0,065 (Дж).

Ответ: = 0,065 Дж.

Задача 5.Индуктивность L соленоида длиной ℓ = 60 см и площадью поперечного сечения S = 4 см² равна 4 Гн. При какой силе тока I объёмная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида составляет 2 Дж/м³?

Дано: Решение.

L = 4 Гн Энергия магнитного поля внутри соленоида

ℓ = 60 см = 0,6 м ,

S = 4 см² = 4 м² где I – сила тока.

= 2 Дж/м³

Объёмная плотность энергии , откуда ,

где V = ℓS — объём соленоида, тогда , отсюда

;

(А).

Ответ:I = 1,55 A.

Задача 6. На один немагнитный сердечник намотаны две катушки, имеющие индуктивности L₁ = 0,2 Гн и L₂ = 0,8 Гн. Какой ток потечет во второй катушке, если ток I₁ = 0,3 А в первой катушке выключить в течение = 0,001 с. Сопротивление второй катушки R₂ = 600 Ом.

Дано: Решение

L₁ = 0,2 Гн ; ;

L₂ = 0,8 Гн .

I = 0,3 A — индуктивность 1-ой катушки (4.20)

— индуктивность 2-ой катушки (4.21)

R₂ = 600 Ом — взаимная индуктивность. (4.22)

Из (4.20) выразим , из (4.21) выразим , подставим в (4.22) и получим , откуда .

Тогда .

.

Подставляя числовые значения, находим:

(А).

Ответ: I₂ = 0,2 А.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 4.1.При помощи реостатаравномерно увеличивают силу тока в катушке на А в секунду. Индуктивность катушки Гн. Найти среднее значение ЭДС самоиндукции.

Ответ: =1 мВ.

Задача 4.2.В соленоиде без сердечника, содержащем N = 1000 витков, при увеличении силы тока магнитный поток увеличился на = 1 мВб. Определить среднюю ЭДС самоиндукции , возникающую в соленоиде, если изменение силы тока произошло за время = 0,1 с. Ответ: =10 В.

Задача 4.3.Если сила тока, проходящего в некотором соленоиде, изменяется на = 40 А/с, то на концах соленоида возникает среднее значение ЭДС самоиндукции = 0,1 В. Найти индуктивность соленоида.

Ответ:L = 2,5 мГн.

Задача 4.4.Катушка длиной ℓ = 50 см и диаметром d = 5 см содержит N = 200 витков. По катушке течёт ток I = 1 А. Определить: 1) индуктивность катушки L; 2) магнитный поток , пронизывающий площадь её поперечного сечения.

Ответ:1) L = 197 мкГн; 2) Ф = 986 нВб.

Задача 4.5.Длинный соленоид индуктивностью L = 4 мГн содержит N = 600 витков. Площадь поперечного сечения соленоида S = 20 см². Определить магнитную индукцию поля B внутри соленоида, если сила тока I, протекающего по его обмотке, равна 6 А.

Ответ:B = 0,02 Тл.

Задача 4.6.Определить, сколько витков проволоки N, вплотную прилегающих друг к другу, диаметром d = 0,5 мм с изоляцией ничтожной толщины надо намотать на картонный цилиндр диаметром D = 1,5 см, чтобы получить однослойную катушку индуктивностью L = 100 мкГн.

Ответ:N = 225 витков.

Задача 4.7.По соленоиду течёт ток I = 2 А. Магнитный поток пронизывающий поперечное сечение соленоида, равен 4 Вб. Определить индуктивность соленоида L, если он имеет N = 800 витков.

Ответ:L =1,6 мГн.

Задача 4.8. Обмотка соленоида с железным сердечником содержит N = 500 витков. Длина сердечника равна 50 см. Как и во сколько раз изменится индуктивность L соленоида, если сила тока, протекающего по обмотке, возрастет от А до А. Зави-

симость B = f(H) дана на рис.4.3.

Ответ: —уменьшится в 6,5 раза.

Задача 4.9.Две длинные катушки намотаны на общий сердечник, причём индуктивность этих катушек L = 0,64 Гн и 0,04 Гн. Определить, во сколько раз число витков первой катушки больше, чем второй.

Ответ: = 4 .

Задача 4.10.По катушке, индуктивность которой L = 0,03 Гн, течет ток силой I =0,6 А. При размыкании цепи сила тока изменяется практически до нуля за время = 120 мс. Определить среднюю ЭДС самоиндукции , возникающую в контуре.

Ответ: =0,15 В.

Задача 4.11.На картонный каркас длиной = 50 см и площадью сечения S = 4 см ,намотан в один слой провод диаметромd =0,2 мм так, что витки плотно прилегают друг к другу (толщиной изоляции пренебречь). Вычислить индуктивность L получившегося соленоида.

Ответ:L =6,28 мГн.

Задача 4.12.Соленоид, площадь сечения которого равна S = 5 см , содержит N = 1200 витков. Индукция В магнитного поля внутри соленоида при силе тока I =2 А равна 0,01 Тл. Определить индуктивность соленоида L.

Ответ:L = 3 мГн.

Задача 4.13.Две катушки намотаны на один общий сердечник. Определить их взаимную индуктивность, если при скорости изменения силы тока в первой катушке А/с во второй катушке индуцируется ЭДС В.

Ответ:M =0,1 Гн.

Задача 4.14.Две катушки намотаны на один сердечник. Индуктивность первой катушки L₁ = 0,12 Гн, второй — Гн. Сопротивление второй катушки R₂ = 300 Ом. Определить силу тока I₂ во второй катушке, если за время с силу тока в первой катушке уменьшить от I₁ = 0,5 А до нуля.

Ответ:I₂ = 0,1 А.

Задача 4.15.Две катушки расположены на небольшом расстоянии одна от другой. Когда сила тока в первой катушке изменяется с быстротой , во второй катушке возникает ЭДС индукции В. Определить коэффициент взаимной индуктивности катушек М.

Ответ:M = 0,02 Гн.

Задача 4.16.На соленоид с немагнитным сердечником длиной = 0,2 м и площадью поперечного сечения S = 3 ∙ 10 -3 м² надет проволочный виток. Число витков соленоида N = 320. Какая средняя ЭДС взаимоиндукции возникнет в витке, если ток соленоида I = 3 А выключить в течение Δt = 0,001 с.

Ответ: =0,018 В.

Задача 4.17.Два соленоида (L = 0,64 Гн, L = 1 Гн) одинаковой длины и практически равных сечений вставлены один в другой. Определить взаимную индуктивность М соленоидов.

Ответ:М= 0,8 Гн.

Энергия, объемная плотность энергии

Задача 4.18.Сила тока I в обмотке соленоида, содержащей N = 1500 витков, равна 5 А. Магнитный поток через поперечное сечение соленоида составляет 200 мкВб. Определить энергию магнитного поля в соленоиде.

Ответ: =0,75 Дж.

Задача 4.19.Обмотка электромагнита, находясь под постоянным напряжением, имеет сопротивление R = 15 Ом и индуктивность L = 0,3 Гн. Определить время t, за которое в обмотке выделится количество теплоты Q, равное энергии магнитного поля в сердечнике.

Ответ: ∆t = 0,01 с.

Задача 4.20.Соленоид без сердечника с однослойной обмоткой из проволоки диаметром d = 0,5 мм имеет длину ℓ = 0,4 м и поперечное сечение S = 50 см². Какой ток I течёт по обмотке при напряжении U = 10 В, если за время t = 0,5 мс в обмотке выделяется количество теплоты Q, равное энергии поля внутри соленоида? (Поле считать однородным).

Ответ:I = 995 мА.

Задача 4.21.По соленоиду длиной = 0,5 м, имеющему число витков N = 250, течет ток силой I = 5 А. Площадь поперечного сечения S = 25 см . В соленоид вставлен железный сердечник. Найти энергию магнитного поля соленоида. Зависимость B = f(H) дана на рис. 4.3.

Ответ: =2,18 Дж.

Задача 4.22.Индуктивность соленоида при длине = 1 м и площади поперечного сечения S = 20 см² равна 0,4 мГн. Определить силу тока I в соленоиде, при которой объёмная плотность энергии магнитного поля внутри соленоида равна 0,1 Дж/м³.

Ответ:I = 1 А.

Задача 4.23.Тороид с воздушным сердечником содержит N = 20 витков на 1 см. Определить объёмную плотность энергии в тороиде, если по его обмотке протекает ток I = 3 А.

Ответ: =22,6 Дж/м³.

Задача 4.24.Определить объёмную плотность энергии магнитного поля в стальном сердечнике, если индукция В магнит-

ного поля равна 0,5 Тл ( см. рис. 4.3).

Ответ: =25 Дж/м .

Задача 4.25.При некоторой силе тока I объемная плотность энергии магнитного поля соленоида (без сердечника) равна 0,2 Дж/м . Во сколько раз увеличится плотность энергии поля при той же силе тока, если соленоид будет иметь железный сердечник

Ответ:В 1600 раз.

Токи при замыкании и размыкании цепи

Задача 4.26.Катушку индуктивностью L = 0,6 Гн подключают к источнику тока. Определить сопротивление катушки R, если за время t = 3 с сила тока I через катушку достигает 80% предельного значения.

Ответ:R = 322 мОм.

Задача 4.27.Определить, через сколько времени t сила тока замыкания I достигнет 0,95 предельного значения, если источник тока замыкают на катушку сопротивлением R = 12 Ом и индуктивностью L = 0,5 Гн.

Ответ:t = 125 мс.

Задача 4.28.Имеется катушка индуктивностью L = 0,1 Гн и сопротивлением R = 0,8 Ом. Определить, во сколько раз уменьшится сила тока I в катушке через 30 мс, если источник тока отключить и катушку замкнуть накоротко.

Ответ: .

Задача 4.29.Определить силу тока I в цепи через 0,01 с после её размыкания. Сопротивление цепи R = 20 Ом, индуктивность L = 0,1 Гн. До размыкания в цепи шёл ток А.

Ответ:I =6,75 А.

Задача 4.30.Электрическую цепь сопротивлением R = 10 Ом и индуктивность L = 1 Гн разомкнули. Через сколько времени сила тока уменьшится до 0,001 первоначального значения?

Ответ:t = 0,69 с.

ГЛАВА 5.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Источник