Измерение числа пи с помощью взвешивания

Измерение числа пи с помощью взвешивания

Главная
• Список секций
• Математика
• Определение числа пи экспериментальными методами

Определение числа пи экспериментальными методами

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Я перешел в 9 класс. На уроках математики еще в 6 классе мы изучили темы «Длина окружности» и «Площадь круга», и познакомились с числом ?.

Школьникам кажется, что это очень простое число, равное примерно 3,14. Но математики говорят, что в таких числах, как ?, зашифрована вся Вселенная. Без знаний о константе π нельзя вычислить длину окружности, площадь круга, выполнить многие расчеты в радиотехнике и космонавтике. История возникновения этого числа заинтересовала меня, и уже с 6 класса мне захотелось узнать, как вычисляли значение ? в древние времена и как вычисляют его сейчас, и попытаться самому вычислить приближенное значение числа π. Работу над этим вопросом мы начали в 2018 г, но по ряду причин пришлось закончить только в 2020 г.

Тема исследования: Определение числа π экспериментальными методами

Объект исследования: Число π.

Гипотеза: экспериментальные методы дают хорошую точность при определении числа π.

Исследовать число π и научиться вычислять его опытным путём.

1. Познакомиться подробнее с числом π.

2. Провести практическую работу нахождения числа π.

3. Найти занимательные факты и правила для запоминания числа π.

Работа с учебной и научно – популярной литературой, ресурсами сети Интернет;

Анкетный опрос, собеседование;

3. Лабораторный эксперимент;

4. Анализ и классификация данных полученных в ходе экспериментов.

Глава 1. Число π в современной математике

Число π – математическая константа, равная отношению длины окружности к длине её диаметра. Обозначается буквой греческого алфавита π «пи». Число ? нельзя представить в виде конечной десятичной дроби или бесконечной периодической десятичной дроби. Оно выражается бесконечной непериодической десятичной дробью. 3

Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом π английский математик У. Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова «periferia», что в переводе означает «окружность». Введённое У. Джонсоном обозначение стало общеупотребительным после опубликования работ Леонарда Эйлера, который воспользовался введённым символом впервые в 1736 г. 4

С появлением ЭВМ значения числа π было вычислено с достаточно большой точностью. В США, например, был получен результат с более 30 млн. знаков. Если распечатать значение числа, полученное в США, то оно займёт 30 томов по 400 страниц в каждом. Вычисление такого числа знаков для π не имеет практического значения, а лишь показывает огромное преимущество и совершенство современных средств и методов вычисления по сравнению со старыми.

Так за полвека вырастала запись точного значения числа ? с помощью компьютера:

1949 год — 2037 десятичных знаков

1958 год — 10000 десятичных знаков

1961 год — 100000 десятичных знаков

1973 год — 10000000 десятичных знаков

3 Мерзляк А.Г. Математика, 6 класс : учеб. для общеобразоват. организаций/ Мерзляк А.Г . – М.: Вентана – Граф , 2016.

4 Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики: учеб. пособие/пер. с немецкого Погребысский И.Б. – М.: Наука, 1984. – 284 с.

? 1986 год — 29360000 десятичных знаков

1987 год — 134217000 десятичных знаков

1989 год — 1011196691 десятичный знак

1991 год — 2260000000 десятичных знаков

1994 год — 4044000000 десятичных знаков

1995 год — 4294967286 десятичных знаков

1997 год — 51539600000 десятичных знаков

1999 год — 206 158 430 000 десятичных знаков.

2 августа 2010 года американский студент Александр Йи и японский исследователь Сигэру Кондо рассчитали последовательность с точностью в 5 триллионов цифр после запятой. 5

5 Википедия. Свободная энциклопедия [Электронный ресурс] / – URL :

http://ru.wikipedia.org/ (дата обращения 10.02.2018)

Глава 2. Вычисление числа π учеными Древнего мира

История числа , выражающего отношение длины окружности к её диаметру, началась в Древнем Египте. Площадь круга диаметром d египетские математики определяли как (эта запись дана здесь в современных символах). Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число считали равным дроби , или , т.е. = 3,160. В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в VI в. до н.э.) имеется указание, из которого следует, что число в то время принимали равным 3,162. Древние греки Евдокс, Гиппократ и другие измерение окружности сводили к построению отрезка, а измерение круга — к построению равновеликого квадрата. Следует заметить, что на протяжении многих столетий математики разных стран и народов пытались выразить отношение длины окружности к диаметру рациональным числом.

А вот так началась письменная история числа π :

В знаменитом папирусе Ахмеса приводится такое указание для построения квадрата, равного по площади кругу:

« Отбрось от диаметра его девятую часть и построй квадрат со стороной, равной остальной части, будет он эквивалентен кругу».

Из этого следует, что у Ахмеса π ≈ 3,1605.

В Вавилоне в V веке до н. э. пользовались числом 3 ≈ 3,1215, а в древней Греции числом ( ) ≈3,1462643.

В индийских «сутрах» VI – V в до н. э. имеются правила, из которых вытекает, что π ≈3,008.

Архимед в III в. до н.э. создал небольшую работу об «Измерении круга» и обосновал в ней три положения:

Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;

Площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14;

Отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 ? 1/7 и больше 3 ? 10/71.

По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3 и 3 , а это означает, что = 3,1419. Истинное значение этого отношения 3,1415922653. В V в. до н.э. китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более точное значение этого числа: 3,1415927. . 1 В первой половине XV в. в обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик Ал-Каши вычислил с 16 десятичными знаками. Андриан Ван Ромен (Бельгия) в XVI в. получил 17 верных десятичных знаков, а голландский вычислитель- Лудольф ван- Цейлен (1540-1610), вычисляя π , получил 35 верных знаков для π . Ученый обнаружил большое терпение и выдержку, затратив несколько лет на определение числа π . В его честь современники назвали π «Лудольфово число». Согласно завещанию, на его надгробном камне было высечено найденное им значение π . Спустя полтора столетия в Европе Ф. Виет нашёл число только с 9 правильными десятичными знаками. Только через 250 лет после Ал-Каши его результат был превзойдён. 5

1 Глейзер Г.И. История математики в школе: пособие для учит. / Глейзер Г.И. – М.: Просвещение, 1983. – 351с.

5 Википедия. Свободная энциклопедия [Электронный ресурс] / – URL :

http://ru.wikipedia.org/ (дата обращения 10.02.2018)

Глава 3. Нахождение числа π экспериментальными методами

Из различных источников я узнал, что загадочное число ? применяется в математике, физике, информатике, географии. Нами были опрошены учащиеся 6 — 9 классов, учителя школы, для того, чтобы выяснить, как могут применить число π ребята и учителя. В опросе участвовал 51 человек: 43 ученика и 8 учителей. Всем участникам предлагалась анкета (Приложение 5). По ответам на 1 вопрос можно сделать вывод, что среди учащихся нашей школы есть ученики, которые знают о широком применении числа π в различных областях знаний (Приложение 1, диаг.1) На второй вопрос большинство ответили, что данное число применяется в физике и математике. В школе это действительно так (Приложение 1, диаг.2). 42 человека проводили опыты по нахождению числа ? на уроках математики (Приложение 1, диаг. 3). Мы также попытались опытным путем получить число π. На экспериментальные методы нахождения числа ? нас натолкнули статьи журнала «Квант». 6

Опыт №1 «Определение числа ? методом рядов»

Как известно, что отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная, и она называется π . Если катить какое либо колесо, то за один оборот, оно пройдет путь равный длине окружности. Если измерить путь за один оборот и диаметр колеса и разделить первую величину на вторую, то мы найдем числи π . При кажущейся простоте метода в нем скрывается несколько недостатков, которые влияют на точность вычисления этого числа. Чтобы уменьшить погрешность измерений мы воспользовались методом рядов: это метод определения размеров частицы, когда длину ряда делят на количество частиц в ряду. Для этого мы увеличили число оборотов ? в 22 раза и подобрали колесо, которое не проскальзывает при качении по ровной поверхности.

6 Сайт журнала «Квант» [Электронный ресурс]/ – URL : http://kvant.mirror0.mccme.ru/ (дата обращения 02.12.2019)

На колесе детской машинки сделали метку фломастером (Приложение 2, рис. 1). На поверхности, в начале и в конце движения, тоже сделали метки (Приложение 2, рис. 2). Измерили диаметр колеса и расстояние между метками на горизонтальной поверхности (Приложение 2, рис. 3, рис. 4).

Гипотеза: Используя метод рядов, можно экспериментально найти значение числа ? с точностью до сотых.

Результаты измерений и расчетов:

Вывод: Гипотеза подтвердилась. В результате измерений и расчетов получено стандартное значение числа ? .

Опыт №2 «Вычисление числа ? с помощью взвешивания»

Гипотеза: при взвеши­вании картонных фигур возможно получить такие значе­ния масс, которые обеспечат приближение числа π с точ­ностью до 0,1.

Приближенное зна­чение π зависит от точности взвешивания. Если взвеши­ваемые картонные фигуры будут довольно большими, то возможно даже на обычных весах получить значе­ния масс, которые обеспечат приближенное значение числа π. 6 Емельянова Лариса Вячеславовна, учитель математики и физики, объяснила мне связь математических формул (нахождение площади и объема) с физической формулой нахождения массы тела через плотность и объем, которые я буду изучать в 7 классе (Приложение 2, рис. 5)

m =? V , V = Sh _,где ? и h — соответственно плот­ность и толщина картона, S — площадь фигуры. Используя эту формулу мы получили формулы для нахождения массы квадрата и круга: = h = ;

6 Сайт журнала «Квант» [Электронный ресурс]/ – URL : http://kvant.mirror0.mccme.ru/ (дата обращения 02.12.2019)

Затем нашли отношение этих масс и получили формулу для нахождения числа ?. , т.е ? = .

На листе картона мы начертили квадрат и вырезали его, вписали в него окружность (Приложение 2, рис. 6) Определили массу картонного квадрата с помощью электронных весов (Приложение 2, рис. 7). Вырезали из квад­рата круг и взвесили его (Приложение 2, рис. 8, рис. 9).

Получили следующие данные: m _кв = 37 г, m _кр = 29 г. Подставили их в формулу для нахождения числа ?: ? =

Вывод: Гипотеза подтвердилась. При взвешивании мы получили такие значения масс картонных фигур, которые дали нам возможность вычислить число ? с точностью до 0,1.

3.3.Опыт №3 «Исследование зависимости длины окружности от ее диаметра»

Гипотеза: длина окружности прямопропорциональна диаметру этой окружности. Коэффициент пропорциональности – есть число π

Для опыта мы взяли:

1) 3 тела цилиндрической формы: пластмассовое кольцо,

алюминиевый стакан и пластмассовую розетку (Приложение 2, рис. 10);

2) измерительная лента (бумажная);

Для проведения данного эксперимента нам необходимо:

1)измерить длины нескольких разных окружностей и их диаметры;

2)построить график зависимости L от D;

3)по графику определить значение числа π.

Измеряли длины окружностей и диаметры всех тел (Приложение 2, рис. 11, рис. 12, рис. 13, рис. 14, рис. 15).

Результаты измерений занесли в таблицу (Приложение 4, табл. 1).

На миллиметровой бумаге построили график зависимости длины окружности от ее диаметра (Приложение 2, рис. 16). Взяли на графике произвольную точку (Приложение 3, граф. 1) и нашли значение числа ?.

Вывод: Длина окружности прямопропорциональна диаметру этой окружности ( L

D ). Из графика значение коэффициента пропорциональности равно 3,13.

Глава № 4. Интересные факты о числе π и правила для запоминания его значения

Существует художественный фильм, названный в честь числа π .

Герой фильма (1999г) Даррена Ароновски молодой человек по имени Макс пытается найти на своём огромном компьютере, который занимает всю его комнату, значение числа π. А вернее, хочет найти систему в записи числа, но пока в его голове только хаос.

Существует памятники числу π в Сиэтле, в Волгограде, в Тольятти и других городах (Приложение 2, рис. 17, рис.18, рис. 19).

Германский король Фридрих Второй был настолько очарован этим числом, что посвятил ему…целый дворец Кастель дель Монте, в пропорциях которого можно вычислить π. Сейчас волшебный дворец находится под охраной ЮНЕСКО (Приложение 2, рис. 20)

У числа π есть день рождения.

Праздник был учрежден в 1987 году физиком из Сан-Франциско Ларри Шоу, который подметил, что в американской системе записи дат (месяц / число) дата 14 марта — 3/14 — и время 1:59 совпадает с первыми разрядами числа π = 3,14159. С тех пор каждый год люди не равнодушные к математике отмечают день числа π. Главная церемония проходит в музее. Кульминация приходится на 1час 59 минут 26 секунд после полудня. Участники праздника маршируют вдоль стен Круглого зала. В центре зала размещают латунную тарелку, на которой выгравировано число p с первыми 100 знаками после запятой. 5 В этот день принято читать хвалебные речи в честь числа Пи, его роли в жизни человечества, пекут и едят ПИ-рог с изображением греческой буквы Пи или с первыми цифрами самого числа, пьют напитки и играют в игры, начинающиеся на пи, решают математические головоломки и в игры,

начинающиеся на пи, решают математические головоломки и загадки, водят

хороводы вокруг предметов, связанных с этим числом. в игры, начинающиеся на пи, решают математические головоломки и

Итальянцы, наверное, в этот день готовят ПИццу, англичане – жареную ПИкшу, немцы ставят на стол свиной шПИк, французы непременно готовят что-нибудь ПИкантное. В России же пекут ПИроги.

Еще одной датой, связанной с числом ?, является 22 июля, которое называется «Днем приближенного числа ?», т.к. в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближенным значением числа ?.

Мнемонические правила для запоминания значения числа π

У наших предков не было компьютеров, калькуляторов и справочников, но со времен Петра I они занимались геометрическими расчетами в астрономии, в машиностроении, в корабельном деле. Впоследствии сюда добавилась электротехника — там есть понятие «круговой частоты переменного тока». Для запоминания числа » π » было придумано стихотворение. 2

1. Чтобы нам не ошибиться,

Надо правильно прочесть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

5 Википедия. Свободная энциклопедия [Электронный ресурс] / – URL :

http://ru.wikipedia.org/ (дата обращения 10.02.2018)

2 Киселев А.П. Геометрия: учебник для средней школы/ Электронная библиотека/ Киселев А.П. – учпедгиз, 1938.

2.Надо только постараться

И запомнить все как есть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

3.Три, четырнадцать, пятнадцать

Девять, два, шесть, пять, три, пять.

Чтоб наукой заниматься,

Это каждый должен знать.

Подсчитайте количество букв в каждом слове в нижеприведенных фразах (без учета знаков препинания) и запишите эти цифры подряд – не забывая про десятичную запятую после первой цифрой «3» , разумеется. Получится приближенное число π. 5

Число ? присутствует в чертежах и вычислениях, выполняемых электронными машинами при подготовке и проведении полетов в космос; оно предоставляет необходимое количество десятичных знаков всякий раз, когда они нужны инженерам, рассчитывающим цилиндрические, сферические или конические части машин; физикам и астрономам, когда они проводят приближенные вычисления по формулам, в которых среди фундаментальных постоянных появляется и ?, как, например, в формуле для периода колебания маятника, и в тысячах и тысячах других случаев. Куда бы мы ни обратили свой взор, мы видим проворное и трудолюбивое число ?: оно заключено и в самом простом колесике, и в самой сложной автоматической машине.

5 Википедия. Свободная энциклопедия [Электронный ресурс] / – URL :

http://ru.wikipedia.org/ (дата обращения 10.02.2018)

В настоящее время с числом ? связано труднообозримое множество формул, математических и физических фактов. Их количество продолжает стремительно расти. Всё это говорит о возрастающем интересе к важнейшей математической константе, изучение которой насчитывает уже более двадцати двух веков.

В своей работе я подробнее познакомился с числом π – одной из вечных ценностей, которой человечество пользуется уже много веков. Узнал некоторые аспекты его богатейшей истории. На основе экспериментов мы вычислили приближенное значение числа различными способами. Провели обработку и анализ результатов эксперимента. Нам удалось экспериментально определить значение числа π, используя современные инструменты и методы, а так же увидеть на опыте смысловое значение этого числа.

Общий результат исследовательской работы:

Все предложенные нами экспериментальные методы дают хорошую точность при определении числа π

Глейзер Г.И. История математики в школе: пособие для учит. / Глейзер Г.И. – М.: Просвещение, 1983. – 351с.

Киселев А.П. Геометрия: учебник для средней школы/ Электронная библиотека/ Киселев А.П. – учпедгиз, 1938.

Мерзляк А.Г. Математика, 6 класс : учеб. для общеобразоват. организаций/ Мерзляк А.Г . – М.: Вентана – Граф , 2016.

Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики: учеб. пособие/пер. с немецкого Погребысский И.Б. – М.: Наука, 1984. – 284 с.

Википедия. Свободная энциклопедия [Электронный ресурс] / – URL :

http://ru.wikipedia.org/ (дата обращения 10.02.2018)

Сайт журнала «Квант» [Электронный ресурс]/ – URL : http://kvant.mirror0.mccme.ru/ (дата обращения 02.12.2019)

Рис. 1 Метка на колесе. Начало движения

Рис. 2 Подсчет количества оборотов при движении колеса

Рис. 3 Измерение диаметра колеса

Рис. 4 Расстояние между метками

Рис. 5 Объяснение учителем Емельяновой Л.В. вывода формулы для вычисления ? через массы квадрата и круга

Рис. 6 Окружность вписывается в квадрат

Рис. 7 Определение массы картонного квадрата

Рис. 8 Вырезание из квадрата круга

Рис. 9 Определение массы круга

Рис. 10 Три тела для опыта №3

Рис. 11 Измерение длины окружности кольца

Рис. 12 Измерение длины окружности алюминиевого стакана

Рис. 13 Измерение длины окружности пластмассовой розетки

Рис. 14 Определение диаметра алюминиевого стакана

Рис. 15 Определение диаметра пластмассовой розетки

Рис. 16 Построение графика зависимости длины окружности от ее диаметра

Рис. 17 Памятник числу ? в Сиэтле

Рис. 18 Памятник числу ? в Волгограде

Рис. 19 Памятник числу ? в Тольятти

Рис. 20 Дворец Кастель дель Монте

График 1. Зависимость длины окружности от ее диаметра

Источник

Дополнительные факты о числе

Памятник числу «пи» на ступенях перед зданием Музея искусств в Сиэтле [1].

Древние египтяне и Архимед принимали величину от 3 до 3,160, арабские математики считали число.

Мировой рекорд по запоминанию знаков числа после запятой принадлежит китайцу Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки. В том же 2006 году японец Акира Харагути заявил, что запомнил число до 100-тысячного знака после запятой, однако проверить это официально не удалось.

В штате Индиана (США) в 1897 году был выпущен билль, законодательно устанавливающий значение числа Пи равным 3,2. Данный билль не стал законом благодаря своевременному вмешательству профессора университета Пердью, присутствовавшего в законодательном собрании штата во время рассмотрения данного закона.

«Число Пи для гренландских китов равно трем» написано в «Справочнике китобоя» 1960-х годов выпуска.

По состоянию на 2010 год вычислено 5 триллионов знаков после запятой.

По состоянию на 2011 год вычислено 10 триллионов знаков после запятой.

Существует художественный фильм, названный в честь числа Пи [4].

Неофициальный праздник «День числа пи» ежегодно отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа. Считается, что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Ларри Шоу, обративший внимание на то, что 14 марта ровно в 01:59 дата и время совпадают с первыми разрядами числа Пи = 3,14159.

Ещё одной датой, связанной с числом , является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» (англ. Pi Approximation Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа .

Практическое вычисление числа Простейшее измерение

Начертим на плотном картоне окружность диаметра d (=15 см), вырежем получившийся круг и обмотаем вокруг него тонкую нить [1]. Измерив длину l (=46,5 см) одного полного оборота нити, разделим l на длину диаметра d окружности. Получившееся частное будет приближенным значением числа , т. е. = l / d = 46,5 см / 15 см = 3,1. Данный довольно грубый способ дает в обычных условиях приближенное значение числа с точностью до 1.

Измерение с помощью взвешивания

На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг [1]. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата с помощью школьных весов. Вырежем из квадрата круг. Взвесим и его. Зная массы квадрата m_кв (=10 г) и вписанного в него круга m_кр (=7,8 г) воспользуемся формулами

где p и h –соответственно плотность и толщина картона, S – площадь фигуры. Рассмотрим равенства:

Естественно, что в данном случае приближенное значение зависит от точности взвешивания. Если взвешиваемые картонные фигуры будут довольно большими, то возможно даже на обычных весах получить такие значения масс, которые обеспечат приближение числа с точностью до 0,1.

Метод Монте-Карло

Это фактически метод статистических испытаний[1]. Свое экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, можно получить случайные числа и при помощи …дождя.

Для опыта приготовим кусок картона, нарисуем на нем квадрат и впишем в квадрат четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть Nкр – число капель в круге, Nкв – число капель в квадрате, тогда

Дождь можно заменить таблицей случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе. Каждому следу капли поставим в соответствие два случайных числа, характеризующих его положение вдоль осей Ох и Оу. Случайные числа можно выбрать из таблицы в любом порядке, например, подряд. Пусть первое четырехзначное число в таблице 3265. Из него можно приготовить пару чисел, каждое из которых больше нуля и меньше единицы: х=0,32, у=0,65. Эти числа будем считать координатами капли, т. е. капля как будто попала в точку (0,32; 0,65). Аналогично поступаем и со всеми выбранными случайными числами. Если окажется, что для точки (х; у) выполняется неравенство, то, значит, она лежит вне круга. Если х + у = 1, то точка лежит внутри круга.

Для подсчета значения снова воспользуемся формулой (1). Ошибка вычислений по этому методу, как правило, пропорциональна , где D – некоторая постоянная, а N –число испытаний. В нашем случае N = Nкв. Из этой формулы видно: для того чтобы уменьшить ошибку в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N, т. е. объем работы, в 100 раз. Ясно, что применение метода Монте-Карло стало возможным только благодаря компьютерам. Программа 2 реализует на компьютере описанный метод.

REM «Вычисление пи»

REM «Метод Монте-Карло «

INPUT «Введите число капель «, n

t = INT(RND(1) * 10000)

IF x ^ 2 + y ^ 2 3 / 5 3 4 5 > Следующая > >>

Источник