Измерение объема тела геометрия

Формулы вычисления объема всех геометрических фигур

Объём — это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства. Первые точные определения были даны Пеано (1887) и Жорданом (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.

Для определения объёма существует несколько существенно различных подходов, которые дополняют друг друга и согласованы по конечному результату на «хороших множествах». Обычно под понятием объёма понимается мера Жордана, но иногда мера Лебега. Для римановых многообразий понятие объёма вводится аналогично понятию площади поверхности.

Все формулы объема геометрических тел

Объем куба

Объем куба равен кубу длины его грани.

Формула объема куба:

V — объем куба,
a — длина грани куба.

Объем призмы

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы:

V- объем призмы,
S_o — площадь основания призмы,
h — высота призмы.

Объем параллелепипеда

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Формула объема параллелепипеда:

V- объем параллелепипеда,
S_o — площадь основания,
h — длина высоты.

Объем пирамиды

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S (ABCDE) на высоту h (OS).

V — объем пирамиды,
S_o — площадь основания пирамиды,
h — длина высоты пирамиды.

Объем усеченной пирамиды

Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S₁(abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S₂ (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.

Формула объема усеченной пирамиды:

S1 — площадь верхнего основания усеченной пирамиды,
S2 — площадь нижнего основания усеченной пирамиды,
h — высота усеченной пирамиды.

Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

V — объем цилиндра,
S_o — площадь основания цилиндра,
R — радиус цилиндра,
h — высота цилиндра,
π = 3.141592

Объем правильной треугольной пирамиды

Формула объема правильной треугольной пирамиды:

V — объем пирамиды;
h — высота пирамиды;
a — сторона основания пирамиды.

Объем конуса

Объем круглого конуса равен трети произведения площади основания S на высоту H.

V — объем конуса;
R — радиус основания;
H — высота конуса;
I — длина образующей;
S — площадь боковой поверхности конуса.

Объем усеченного конуса

Объем усеченного конуса равен разности объемов двух полных конусов.

Формула объема усеченного конуса:

V — объем усеченного конуса;
H — высота усеченного конуса;
R и R 2 — радиусы нижнего и верхнего оснований.

Объем тетраэдра

Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.

V — объем тетраэдра;
a — ребро тетраэдра.

Объем шара

Объем шара равен четырем третьим от его радиуса в кубе перемноженного на число пи.

V — объем шара;
R — радиус шара;
S — площадь сферы.

Объем шарового сегмента и сектора

Шаровый сегмент — это часть шара отсеченная плоскостью. В данном примере, плоскостью ABCD.

Формула объема шарового сегмента:

R — радиус шара
H — высота сегмента
π ≈ 3,14

Формула объема шарового сектора:

h — высота сегмента
R — радиус шара
π ≈ 3,14

Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда:

V — объем прямоугольного параллелепипеда,
a — длина,
b — ширина,
h — высота.

Источник

Объём тела

Урок 47. Геометрия 9 класс ФГОС

Конспект урока «Объём тела»

В повседневной жизни мы часто встречается с понятием объема. На этом уроке мы поговорим об объеме тел. Выясним основные свойства объема.

Мы с вами начали изучать стереометрию. Напомню, что стереометрия – это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Как вы уже поняли, пространственные фигуры, или как их еще называют тела, в отличие от плоских фигур, обладают вместимостью, т.е. они имеют объем.

Такие фигуры называют объемными. Значит, мы с вами можем найти объем тела. А теперь давайте разберемся, как же мы будем его вычислять.

Из курса планиметрии вам известно понятие площади многоугольника. Напомню, что площадь – это величина части плоскости, которую занимает многоугольник. Или площадь – это положительная величина, определенная для каждого многоугольника, числовое значение которой обладает следующими свойствами:

1) равные многоугольники имеют равные площади;

2) если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников;

3) площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения длины, равна единице.

Каждый многоугольник имеет площадь, которая измеряется с помощью выбранной единицы измерения площадей. В качестве единицы измерения площадей обычно берут квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.

Площадь может измеряться , , и т.д.

Процедура измерения объёмов аналогична процедуре измерения площадей. При выбранной единице измерения объём тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объёмов и её частей укладываются в этом теле.

Чтобы измерить объем, надо выбрать единицу измерения объемов. Куб, ребро которого равно единице измерения длины, называется единичным. Объем единичного куба принимается за единицу измерения объемов.

Например: объем куба с ребром 1см равен одному кубическому сантиметру, пишут так: 1 куб. см, или так 1 . Точно также определяются и кубический миллиметр (1 ), кубический дециметр (1 ), кубический метр (1 ), кубический километр (1 ).

Легко заметить, что название единицы объема получается из названия единицы длины присоединением прилагательного «кубический».

Измерить объем тела означает найти число, которое показывает, сколько единичных кубов содержится в этом теле.

Проще всего измерить объем прямоугольного параллелепипеда. Пусть у нас есть прямоугольный параллелепипед с измерениями: длина 5 см, ширина 3 см и высота 2 см.

Посчитаем, сколько единичных кубов с ребром 1 сантиметр вмещается в нем.

Нижняя грань параллелепипеда имеет длину 5 см и ширину 3 см. Поэтому, на ней можно расположить единичных кубов, т.е. 15 единичных кубов.

Чтобы заполнить весь прямоугольный параллелепипед, нужно вложить 2 таких слоя, т.к. высота параллелепипеда 2 см. Значит, всего таких кубов, которые вместятся в этом параллелепипеде, будет равно . Следовательно, объем этого параллелепипеда .

Напомню, что объем обозначается заглавной латинской буквой V.

Итак, объем – это положительная величина, определенная для каждого из рассматриваемых тел, числовое значение которой имеет следующие свойства:

1) равные геометрические тела имеют равные объемы;

2) если геометрическое тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел;

3) объем куба, ребро которого равно единице измерения длины, равен единице.

Рассмотрим первое свойство. Равенство двух фигур, в частности двух тел, в стереометрии определяется так же, как и в планиметрии: два тела называются равными, если их можно совместить наложением.

На рисунке изображены два равных прямоугольных параллелепипеда. Так как они равны, то каждый из них содержит столько же единиц измерения объемов, сколько и второй.

Рассмотрим второе свойство.

На рисунке изображено тело, составленное из нескольких тел, причем внутренние области этих тел не имеют общих точек. Понятно, что объем всего тела складывается из объемов составляющих его тел.

Первое и второе свойства называются основными свойствами объемов.

Для нахождения объемов тел часто удобно пользоваться теоремой, получившей название принцип Кавальери. Разберемся, в чем же состоит суть этого принципа. Рассмотрим два тела, заключенные между двумя параллельными плоскостями α₁ и α₂. Допустим, что любая плоскость, расположенная между плоскостями α₁ и α₂ и параллельная им, пересекает оба тела так, что площадь сечения первого тела в k раз больше площади сечения второго тела, причем число k – одно и то же для любой такой секущей плоскости. В этом случае, согласно принципу Кавальери, объем первого тела в k раз больше объема второго тела.

В практической деятельности человек часто встречается с необходимостью вычисления объемов, например при изготовлении каких-либо деталей, или при строительстве различных сооружений. Многие строительные объекты и детали конструкций имеют форму геометрических тел: параллелепипедов, призм, пирамид, шаров и т.д.

Подведем итоги урока. На этом уроке мы поговорили об объеме, одной из важных величин, связанной с геометрическими телами.

Итак, объем – это положительная величина, определенная для каждого из рассматриваемых тел, числовое значение которой имеет следующие свойства:

1) равные геометрические тела имеют равные объемы;

2) если геометрическое тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел;

3) объем куба, ребро которого равно единице измерения длины, равен 1.

Источник

Лекция 13. Объем геометрического тела и его измерение.

Лекция 13. Объем геометрического тела и его измерение.

Объем– это положительная скалярная величина, характеризующая размер геометрического тела.

Объемом тела называется положительная скалярная величина, определенная для каждого геометрического тела так, что:

1. равные тела имеют равные объемы;

2. если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме их объемов.

Будем объем тела Q обозначать V(Q).

Чтобы измерить объем тела, нужно выбрать единицу объема. Таковой является куб со стороной, равной единице длины, его объем равен е 3 . Измерение объема состоит в сравнении объема данного тела с объемом единичного куба. Результатом этого сравнения является такое число х такое, что V(Q) = х ∙ е 3 , которое называют численным значением объема при данной единице объема.

Свойства численных значений объема

1. Если тела равны, то равны и численные значения их объемов:

2. Если тело Q состоит из тел Q ₁ , Q ₂ ,…, Q _n , то численное значение объема тела равно сумме численных значений объемов этих тел.

3. При замене единицы измерения объема численное значение объема увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько раз уменьшается (увеличивается) единица объема.

Выразим, например, 9 дм 3 в кубических сантиметрах. Известно, что 1 дм 3 = 1000 см 3 , и, следовательно, 9 дм 3 = 9 ∙ 1 дм 3 = 9 ∙ (1000 см 3 ) = (9 ∙ 1000) ∙ см 3 = = 9000 см 3 .

Для измерения объемов площадей используют стандартные единицы площади: м 3 , дм 3 , см 3 , мм 3 . Основная единица измерения объема – кубический метр. Соотношения между единицами объема: 10 -9 км 3 = 1 м 3 = 10 3 дм 3 = 10 6 см 3 = 10 9 мм 3 .

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту.

Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Объем прямого цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Объем усеченного конуса, высота которого равна , а площади оснований и , вычисляется по формуле .

Объем шара радиуса равен.

Задания для самостоятельной работы по теме:

Ребро данного куба равно 1/3 ребра единичного куба. Чему равен объем данного куба?

Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона которого 5см., а высота 8 см.

Источник

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:

Объём прямоугольного параллелепипеда.

Формула объёма прямоугольного параллелепипеда.

Объём тела– величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и определяемая формой и линейными размерами этого тела.

Основные свойства объёма:

— равные тела имеют равные объёмы;

— если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

Атанасян Л. С. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы [текст]: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255 с. С. 130–133.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

С понятием объёмного тела, отличающегося от плоской фигуры, мы познакомились ещё в начальной школе.

Объёмом принято называть положительную величину, характеризующую часть пространства, занимаемую телом, и определяемую формой и линейными размерами этого тела.

Мы можем вычислить объём тела точно так же, как ранее находили площадь фигуры. Объём принято измерять в единицах измерения объёма (единицах измерения размера пространства, занимаемого телом), то есть в кубических метрах, сантиметрах, миллиметрах и так далее. За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (обозначение: см 3 ). По аналогии, можно за единицу измерения объёма принять кубический миллиметр (1 мм 3 ), кубический метр (1 м 3 ) и тому подобное.

Объём выражается в положительных числах. Это число показывает, сколько единиц измерения содержится в теле. Например, сколько кубических миллиметров в аквариуме, сколько кубических метровв бассейне и так далее.

Объём обозначается заглавной латинской буквой V.

Объём книги400 кубических сантиметров запишут: V = 400см 3 .

Рассмотрим свойства объёмов.

Свойство № 1. Равные тела имеют равные объёмы. Это означает, что если два тела идентичны, то есть имеют равное количество единиц измерения и частей, то равны и их объёмы. Например, 2 одинаковых пакета молока равны в объёме.

Свойство № 2. Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

Следствие из основных свойств объёмов.

Объём куба с ребром 1/n равен 1/n 3

Доказательство. Рассмотрим куб, объём которого принят за единицу измерения объёмов, тоесть равный некоторому числукубических сантиметров. Его ребро равно единице измерения отрезков. Разобьём каждое ребро этого куба на произвольное количество частей – nтак, чтобы провести плоскости, перпендикулярные к этому ребру.

По второму свойству объёмов, сумма объёмов всех кубиков равна объёму всего куба (1 см 3 ). Следовательно, поскольку мы разбили каждое ребро на n частей, то каждый маленький куб внутри большого куба будет иметь ребро

Объём каждого из маленьких кубиков при этом будет равен 1/n 3 .

Объём прямоугольного параллелепипеда

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Обозначимизмеренияпрямоугольного параллелепипеда P буквами a,b,c, его объём буквой V, и докажем, что V = a ∙ b ∙ c.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай первый. Измерения a, b и c представляют собой конечные десятичные дроби, у которых число знаков после запятой не превосходит n (можно считать, что n больше или равно 1). В этом случае числа a ∙10 n , b∙10 n , c∙10 n , являются целыми. Разобьём каждое ребро параллелепипеда на равные части длины: 1/10 n и через точки разбиения проведём плоскости, перпендикулярные к этому ребру. Параллелепипед P разобьётся на abc∙10 3n равных кубов с ребром 1/10 n . Так как объём каждого куба равен 1/10 3n , что мы доказали ранее, то объём всего параллелепипеда P = abc, что и требовалось доказать.

Хотя бы одно из измерений a, b, c представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим конечные десятичные дроби: a_n, b_n, c_n, которые получаются из чисел a, b, c, если отбросить в каждом из них все цифры после запятой, начиная с n + 1. Очевидно, a_n ≤ a ≤ a_n’, где a_n’ = a_n+1 : 10 n . Аналогичные неравенства справедливы для b и c. Перемножив эти неравенства, получим произведение a_nb_nc_n ≤ abc ≤ a_n’b_n’c_n’, где b_n’= b_n+1 : 10 n , c_n’ = c_n+1 : 10 n

По доказанному в первом случае, левая часть неравенства представляет собой объём V_n прямоугольного параллелепипеда P_n с измерениями a_n, b_n, c_n, а правая часть – это объём V_n’ прямоугольного параллелепипеда P_n’ с измерениями a_n’, b_n’, c_n’. Так как параллелепипед P содержит в себе параллелепипед P_n, а сам содержится в параллелепипеде P_n’, то объём V параллелепипеда P заключён между V_n, = a_nb_nc_n и V_n’= a_n’b_n’c_n’. Будем неограниченно увеличивать n. Тогда 1/10 n будет становиться сколь угодно малым, и поэтому произведение a_n’b_n’c_n’ будет сколь угодно мало отличаться от числа, выраженного произведением a_nb_nc_n. Отсюда следует, что число V сколь угодно мало отличается от числа, выраженного произведением a_nb_nc_n, а значит, они равны.V = abc, что и требовалось доказать.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля.

№1.Длины сторон основания прямоугольного параллелепипеда равны 15 см и 20 см. Высота параллелепипеда равна диагонали основания. Найдите объём этого параллелепипеда.

Найдём длину диагонали основания, для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

А теперь найдём объём параллелепипеда:

V = 15 ∙ 20 ∙ 25 = 7500 см 3

Ответ: V = 7500 см 3 .

№2.

Найдите площадь закрашенной фигуры, если объём прямоугольного параллелепипеда равен 960 см 3 , AB = 8 см, АА_{1 =} 20 см.

Найдём длину АD:

AD = 960 : 8 : 20 = 6 см

Найдём АС, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Закрашенная фигура – прямоугольник. Вычислим его площадь: 10∙20= 200 см 2 .

Ответ: площадь закрашенной фигуры 200 см 2 .

Источник