Меню

Измерение площади произвольных фигур



Измерение площади произвольных фигур

Несмотря на информативность такого параметра плоских фигур как площадь (в различного рода исследованиях, в том числе медико-биологических, например, в микробиологии для подсчета размера колоний микроорганизмов, площади биопленок, в ортопедической стоматологии для оценки усадки альгинатных оттисков и т.д.), соответствующие измерительные средства почти не представлены на мировой площадке компьютерных программ. Авторам известна только один представитель «империи» Software – программный комплекс SigmaScan Pro компании SYSTAT [6], который может анализировать различные параметры плоских изображений любой формы, включая их площадь. Однако вследствие достаточно высокой цены программы (около 1500$) она недоступна для широкого круга исследователей.

Материалы и методы исследования

В данном сообщении предложены три варианта способов подсчета площади плоских фигур, граница которых не может быть выражена аналитической функцией, более доступными программными средствами:

– в системе компьютерной алгебры Mathcad;

– с помощью редактора графических файлов Adobe Photoshop;

– в свободно распространяемой программе обработки графики ImageJ.

Рассмотрим анализ размеров площади фигур нерегулярной формы на примере изображения колонии одноклеточных микроорганизмов Candida albicans – представителя дрожжеподобных грибков, паразитирующих в организме человека (рис. 1). Candida albicans является условно-патогенным микроорганизмом для человека. Свои болезнетворные свойства грибок проявляет в основном при ослаблении иммунитета.

Рис. 1. Цветное изображение колонии Candida albicans

Рис. 2. Черно-белое изображение колонии Candida albicans

Результаты исследования и их обсуждение

1. Под геометрической плоской фигурой будем понимать часть плоскости, ограниченную со всех сторон. Под площадью геометрической плоской фигуры – некоторую аддитивную числовую характеристику фигуры, показывающую её размер. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов. Эти простые сведения из геометрии позволяют рассчитать площадь плоской фигуры в системе компьютерной алгебры Mathcad [5].

Математический процессор Mathcad в своем арсенале имеет инструменты для чтения и отображения файлов изображений: команду READBMP («File»), которая может считывать изображения в оттенках серого цвета из файла, что позволяет получить массив целых чисел от 0 до 255.

Для импортирования растрового графического изображения из файла с расширением *.bmp выполняют действия:

• нажимают кнопку на месте предполагаемой вставки черно-белового изображения;

• выбирают меню Insert (Вставить), а потом в раскрывающемся меню пункт Picture (Рисунок). Откроется шаблон рисунка с местозаполнителем в левом нижнем углу;

• вводят в местозаполнитель двойные кавычки, между которыми необходимо ввести имя файла, который содержит точечный рисунок с неизвестной площадью;

• указывают полный путь к файлу, например: «D:\Pictures\Candida albicans.bmp».

А1 := READBMP («D:\ Pictures\Candida albicans.bmp»).

Далее пишется следующая процедура программы. Создаем циклы по двум направлениям (ширине и высоте). В цикле суммируем только те точки, которые меньше по яркости некоторого порога. При этом подразумеваем, что белый фон имеет значение яркости около 255, а граница изображения – около 0:

Площадь фигуры в пикселях:

squareCandida albicansPx := countZeros (A1).

Авторы надеются, что приведенные выше фрагменты листинга процедуры в какой-то мере сберегут время пользователей Mathcad, заинтересовавшихся измерением площади плоских фигур, граница которых не поддается аналитическому описанию.

2. Adobe Photoshop – гораздо более доступный, чем SigmaScan Pro редактор растровых изображений, имеющий в своем арсенале богатый инструментарий для анализа графических файлов [1, 2]. Определение количества тех или иных пикселей это приём, относительно несложный для Adobe Photoshop , который позволяет рассчитать площадь плоских фигур с очень высокой точностью.

Итак, под площадью фигур мы понимали совокупность всех составляющих её пикселей. Для подсчета площади запускаем программу. С помощью меню «File» – «Open file», находим файлы, выбранные для исследования, и открываем их. Переводим изображения в пространство градаций серого с помощью вкладки «Image» – «Grayscale». Далее потребуется инструмент «Histogram» («Гистограмма»). Гистограмма (яркостная гистограмма) – это график, у которого по оси абсцисс отложена яркость от минимального значения 0, соответствующего черному цвету изображения, до максимального значения 255, сообразного белому фону. По оси ординат – количество пикселей, имеющих данную яркость.

Возможно, инструмент «Гистограмма» первоначально выключен. Если вы не видите его в палитре, необходимо зайти в меню «Window» – «Histogram».

Чтобы была доступна статистическая информация по изображению, нужно кликнуть по пиктограмме в правом верхнем углу панели и в ниспадающем списке выбрать пункт «Expanded view».

Как видно из рисунка, гистограмма содержит 2 столбика. В левой части – столбик, высота которого отражает число пикселей изображения с яркостью 0, т.е. черных пикселей и серых пикселей, яркость которых близка к нулю. В правой части гистограммы столбик значительно ниже, его высота соответствует количеству пикселей с яркостью 255, т.е. части изображения белого цвета или серого цвета, по яркости близкого к белому. Нас интересует левая часть гистограммы, так как именно она отображает интересующую нас часть диапазона яркости.

Читайте также:  Режим измерения сопротивления при помощи измерителя rcl

При наведении курсора на левый столбик в поле «Count» мы получаем отображение информации о количестве пикселей с нулевой яркостью (10642). Собственно это и есть площадь фигуры – 10642 px. Поле «Percentile» показывает их процент по отношению к пикселям всех остальных яркостей (как видно, число черных пикселей не преобладает над числом белых, а их доля равна 15,91 %). Кроме того, доступны другие точечные оценки описательной статистики для яркости пикселей изображения: среднее значение Mean, медиана Median и стандартное отклонение Std Dev, а также общее число пикселей Pixels.

Рис. 3. Внешний вид вкладки «Гистограмма» программы Adobe Photoshop Creative Cloud

3. В то же время существует, хотя и менее известна, программа обработки графики ImageJ (полное название – Image Processing and Data Analysis in Java) [3, 4]. Это приложение, специально разработано для анализа изображений, полученных при биологических и медицинских исследованиях. Написано оно сотрудниками National Institutes of Health (как следует из названия, на языке Java) и распространяется без лицензионных ограничений как общественное достояние и является продуктом с открытым исходным кодом. Открытость интерфейса программирования ImageJ позволяет гибко наращивать исходный функционал за счёт возможности подключать свои плагины, а встроенный макроязык позволяет автоматизировать повторяющиеся действия. Плагины сторонних разработчиков могут охватывать широкий круг задач анализа и обработки изображений. Это упрощает 3D визуализацию в диапазоне от клеток до рентгеновских изображений, автоматические сравнения вплоть до создания автоматизированных систем изучения.

В ImageJ можно вычислять площади, статистические показатели пиксельных значений различных выделенных областей на изображениях, которые выделяются вручную или при помощи специально назначенных пороговых функций. ImageJ поддерживает почти все известные форматы изображений (GIF, TIFF, jpg, BMP, PNG и другие). Интерфейс данного программного обеспечения весьма простой и не требует наличия специальной начальной подготовки у пользователей, необходимой для двух предыдущих приложений.

Площадь фигуры при работе с программой принимается равной сумме пикселей нулевой яркости. Для этого исходное изображение может быть конвертировано в черно-белое.

Как следует из рис. 4 искомая площадь колонии бактерий в пикселях равна 10642.

Рис. 4. Вкладки программы ImageJ: а – инструмент «Гистограмма», позволяющий анализировать яркостную гистограмму изображения; б – форма «List», с помощью которой выводятся результаты анализа в виде массива

Предложенные для измерения площади плоских фигур произвольной и сложной формы программные средства достаточно доступны для пользователей. На примере анализа площади одного изображения (колонии микроорганизмов Candida albicans) показано, что все они дают один и тот же результат измерения площади с точностью до одного пикселя и поэтому могут быть рекомендованы для практического применения в научных и прикладных исследованиях.

Источник

Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение

Пусть F — произвольная плоская фигура. В геометрии считают, что она имеет площадь S(F), если выполняются следующие условия: сущест­вуют многоугольные фигуры, которые содер­жат F (назовем их объемлющими); существуют многоугольные фигуры, которые содержатся в F (назовем их входящими); площади этих мно­гоугольных фигур как угодно мало отличаются от S(F). Поясним эти положения. На рисунке показано, что фигу­ра Q содержит фигуру F , т.е. Q — объемлющая фигура, а фигура Рсодержится в F, т.е. Р входящая фигура. На теоретико-множествен­ном языке это означает, что

Р ⊂ F ⊂Q следовательно, можно записать, что S(Р)≦ S(F) S(Q).

Если разность площадей объемлющей и входящей фигур может стать как угодно малой, то, как установлено в математике, существует един­ственное число S(F), удовлетворяющее неравенству S(Р)≦ S(F) S(Q)для любых многоугольных фигур Р и Q. Данное число и считают площадью фигуры F.

Этими теоретическими положениями пользуются, например, когда выводят формулу площади круга. Для этого в круг радиуса r вписы­вают правильный n-угольник Р, а около окружности описывают пра­вильный n- угольник Q. Если обозначить символами S(Q)и S(Р)пло­щади этих многоугольников, то будем иметь, что S(Р)≦ S(F) S(Q), причем при возрастании числа сторон вписанных и описанных много­угольников площади S(Р) будут увеличиваться, оставаясь при этом меньше площади круга, а площади S(Q) будут уменьшаться, но оста­ваться больше площади круга.

Площадь правильного n-угольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной в него окружности. При возрас­тании числа его сторон периметр стремится к длине окружности 2πr, а площадь — к площади круга. Поэтому S = 2πr r = πr 2 .

Для приближенного измерения площадей плоских фигур можно использовать различные приборы, в частности, палетку.

Палетка — это прозрачная пластина, на которой нанесена сеть квадратов. Сторона квадрата принимается за 1, и чем меньше эта сторона, тем точнее можно измерить площадь фигуры.

Читайте также:  Какие есть системы измерения температуры

Накладываем палетку на данную фигуру F. Квадраты, которые цели­ком лежат внутри фигуры F, образуют многоугольную фигуру F; квадра­ты, имеющие с фигурой F общие точки и целиком лежащие внутри фигуры F

образуют многоугольную фигуру Q. Площади S(Р) и S(Q) находят про­стым подсчетом квадратов. За приближенное значение площади фигуры Fпринимается сред­нее арифметическое найденных площадей: S(F) = (S(Р) +S(Q))/2.

В начальном курсе математики учащиеся измеряют площади фигур с помощью палет­ки таким образом: подсчитывают число квадратов, которые лежат внутри фигуры F, и число квадратов, через которые проходит контур фигуры; затем второе число делят пополам и прибавляют к первому. Полученную сумму считают площадью фигуры F.

Палетка позволяет измерить площадь фигуры F с определенной точностью. Чтобы получить более точный результат, нужно взять па­летку с более мелкими квадратами. Но можно поступить иначе: нало­жить одну и ту же палетку на фигуру по-разному и найти несколько приближенных значений площади фигуры F. Их среднее арифметиче­ское может быть лучшим приближением к численному значению пло­щади фигуры F.

Упражнения

1. На фигуру F наложили палетку и подсчитали, что внутри фигу­ры Fсодержится фигура, составленная из 28 единичных квадратов, а фигура Fсодержится внутри фигуры, состоящей из 35 единичных квад­ратов. Каково приближенное значение площади фигуры F.

2. Начертите круг радиуса 2 см на клетчатой бумаге и найдите его площадь, используя клетчатую бумагу как палетку, состоящую из квадратов со стороной, равной: а) 1 см; б) 0,5 см. Вычислите площадь этого круга по формуле, приняв π = 3,14. Сравните полученные результаты.

Основные выводы

В данном параграфе мы уточнили ряд понятий, известных из школьного курса математики:

— длина отрезка, численной значение длины отрезка (мера длины отрезка);

величина угла; численное значение величины угла (мера величины угла);

площадь фигуры; численное значение площади фигуры (мера площади фигуры);

площадь многоугольника и произвольной плоской фигуры;

равновеликие и равносоставленные фигуры.

Вспомнили косвенные способы вычисления площадей прямоугольника, треугольника, параллелограмма, произвольного многоугольника, рассмотрели теоремы о взаимосвязи равновеликости и равносоставленности многоугольных фигур; обосновали способ измерения площади фигуры при помощи палетки.

Отметили, что длина, площадь, величина угла характеризуются одинаковыми свойствами, но заданы на разных классах фигур: длина – на множестве отрезков, площадь – на множестве многоугольных и криволинейных фигур; величина угла – на множестве углов.

Лекция 59. Геометрические величины: масса, время

1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерение.

2. Масса тела и ее измерение.

3. Время и его измерение. Объем тела и его измерение.

4. Другие величины, рассматриваемые в начальном курсе математики. Пропорциональная зависимость между величинами (скорость, время, расстояние; цена, количество, стоимость и др.).

Источник

Площадь фигур

Площадь фигуры является суммарной числовой характеристикой всех единичных квадратных элементов плоскости. В зависимости от размера фигур стороны квадрата единичного элемента могут быть равны 1 мм, см, м, дюйму, км и пр. S фигур могут измеряться в следующих единицах измерения: мм2, см2, м2, гектарах, квадратных километрах и пр.

Вычислить, найти площадь геометрических фигур

Онлайн Расчеты и формулы площади для плоских фигур
Площадь треугольника
калькулятор нахождения площади треугольников
Площадь прямоугольного треугольника
онлайн формула площади прямоугольного треугольника
Площадь равнобедренного треугольника
найти площади равнобедренных треугольников
Площадь равностороннего треугольника
вычислить площадь равностороннего треугольника
Площадь треугольника по формуле Герона
площадь Герона, формула
Площадь квадрата
чему равна площадь квадрата
Площадь прямоугольника
как найти чему равна площадь прямоугольника
Площадь круга
онлайн калькулятор площади круга через радиуса
Площадь ромба
как найти площадь ромба через диагонали и т.д.
Площадь параллелограмма
онлайн калькулятор для нахождения площади параллелограмма
Площадь трапеции
площадь прямоугольной и равнобедренной трапеции
Площадь эллипса
формула площади эллипса онлайн
Площадь кольца
как вычислить площадь кольца онлайн
Площадь четырехугольника
чему равна площадь четырехугольника, формула
Площадь сектора кольца
подсчитать площади сектора кольца
Площадь сектора круга
получить площадь сектора круга
Площадь сегмента круга
решить площадь сегмента круга
Онлайн Расчеты и формулы площади для объемных фигур
Площадь шара
калькулятор нахождения площадь поверхности сферы или шара
Площадь куба
как найти чему равна площадь поверхности куба
Площадь цилиндра
калькулятор для нахождения площади поверхности и основания цилиндра
Площадь пирамиды
формулы расчета площади боковой поверхности и основания пирамиды
Площадь параллелепипеда
калькулятор площади параллелепипеда прямоугольного и др.
Площадь конуса
нахождение площади поверхностей конуса
Площадь усеченного конуса
калькулятор нахождения площади поверхности усеченного конуса
Площадь тетраэдра
площадь поверхности и грани тетраэдра
Площадь призмы
калькулятор нахождения площади поверхности и боковой площади призмы

Площадь фигуры сложной формы может составляться из различных элементарных фигур: треугольников, квадратов, прямоугольников и пр. Общая площадь будет высчитываться путем суммирования площадей составляющих компонент.

Набор онлайн-калькуляторов страницы дает возможность оперативного вычисления не только S плоских фигур (квадрата, прямоугольника, круга, ромба, эллипса), но и площадей объемных фигур (куба, призмы, конуса, цилиндра, сферы, тетраэдра и пр.), являющихся совокупностью нескольких плоскостей.

Читайте также:  Единицы измерения времени презентации для начальной школы

Вычисление площадей фигур востребовано для решения различных задач:
— строительных;
— кадастровых;
— инженерных и пр.

Государство осуществляет кадастровый учет земельных участков, основным учитываемым параметром которых является площадь. Специалистами БТИ фиксируется общая и полезная жилая площадь квартир. В быту иногда нужно вычислять площадь ковра, натяжного потолка, площадь дачного участка и пр.

Источник

Формулы площадей всех основных фигур

1. Формула площади круга через радиус или диаметр

Зная диаметр или радиус круга, можно найти его площадь.

r — радиус круга

D — диаметр

Формула площади круга, (S):

2. Формула расчета площади треугольника

h высота треугольника

a основание

Площадь треугольника (S):

3. Площадь треугольника, формула Герона

a , b , c , стороны треугольника

p— полупериметр, p=( a + b + c )/2

Формула ( Герона ) площади треугольника через полупериметр ( S ):

4. Площадь прямоугольного треугольника по катетам

Зная катеты прямоугольного треугольника, можно по формуле, найти его площадь.

a , b — катеты треугольника

Формула площади прямоугольного треугольника, (S):

5. Как вычислить площадь равнобедренного треугольника ?

b — основание треугольника

a равные стороны

h — высота

Формула площади треугольника через высоту h и основание b , ( S ):

Формула площади треугольника через, стороны a , b , (S):

6. Площадь равностороннего треугольника равна:

Формулы расчета, площади равностороннего треугольника.

a — сторона треугольника

h — высота

Площадь треугольника только через сторону a , (S):

Площадь треугольника только через высоту h , ( S ):

Площадь треугольника через сторону a и высоту h , (S):

7. Найти площадь треугольника, угол и две стороны

Зная у треугольника, две стороны и синус угла между ними, находим по формуле, его площадь.

a , b , c — стороны треугольника

α , β , γ — углы

Формулы площади треугольника, через две стороны и угол между ними, ( S ):

8. Площадь треугольника по стороне и двум углам, формула.

a , b , c — стороны треугольника

α , β , γ — противолежащие углы

Площадь треугольника через сторону и два угла (S):

9. Формула расчета площади прямоугольника

b — длина прямоугольника

a — ширина

Формула площади прямоугольника, (S):

10. Как рассчитать площадь квадрата через диагональ или сторону

a — сторона квадрата

c — диагональ

Формула площади квадрата через сторону a , (S):

Формула площади квадрата через диагональ c , (S):

11. Формулы площади параллелограмма

1. Формула площади параллелограмма через стороны и углы

a, b — стороны параллелограмма

α , β — углы параллелограмма

Формула площади через стороны и углы параллелограмма, ( S ):

2. Формула площади параллелограмма через сторону и высоту

a, b — стороны параллелограмма

H b — высота на сторону b

H a — высота на сторону a

Формула площади через стороны и высоты параллелограмма, (S):

3. Формула площади параллелограмма через диагонали и угол между ними

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α , β — углы между диагоналями

Формула площади через диагонали параллелограмма и угол между ними , (S):

12. Площадь произвольной трапеции

1. Формула площади трапеции через основания и высоту

b — верхнее основание

a — нижнее основание

m — средняя линия

h — высота трапеции

Формула площади трапеции, (S):

2. Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними

d 1, d 2 — диагонали трапеции

α , β — углы между диагоналями

Формула площади трапеции, (S):

3. Формула площади трапеции через четыре стороны

b — верхнее основание

a — нижнее основание

c, d — боковые стороны

Формула площади трапеции, (S):

13. Площадь равнобедренной трапеции

1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

b — верхнее основание

a — нижнее основание

c — равные боковые стороны

α — угол при нижнем основании

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):

2. Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности

R — радиус вписанной окружности

D — диаметр вписанной окружности

O — центр вписанной окружности

H — высота трапеции

α , β — углы трапеции

Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности, (S):

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобокую трапецию:

3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

d — диагональ трапеции

α , β — углы между диагоналями

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):

4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

m — средняя линия трапеции

c — боковая сторона

α , β — углы при основании

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):

5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

b — верхнее основание

a — нижнее основание

h — высота трапеции

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):

Источник