Меню

Измерение расстояний между двумя недоступными точками



Определение недоступных расстояний.

Так, для определения недоступного расстояния d измеряют лентой длину базиса b (рис. 8.3, а, б) и углы a и b . Из DABC находят

d = b sin a / sin (a + b),

где учтено, что sin g = sin (180°-a-b) = sin (a + b).

Рис. 8.3. Определение недоступного расстояния

Для контроля расстояние d определяют ещё раз из треугольника ABC1 и при отсутствии недопустимых расхождений вычисляют среднее.

8.3. Нитяный дальномер

Теория нитяного дальномера. Зрительные трубы многих геодезических приборов снабжены нитяным дальномером. Сетка нитей зрительной трубы, кроме основных штрихов (вертикальных и горизонтальных), имеет дальномерные штрихи a и b (рис. 8.4, а). Расстояние D от оси вращения прибора MM (рис. 8.4, б) до рейки AB равно

где L — расстояние от фокуса объектива до рейки; f — фокусное расстояние; d — расстояние между объективом и осью вращения прибора.

Лучи, идущие через дальномерные штрихи сетки a и b параллельно оптической оси, преломляются объективом, проходят через его фокус F и проецируют изображения дальномерных штрихов на точки A и B, так что дальномерный отсчёт по рейке равен n. Обозначив расстояние между дальномерными штрихами p, из подобных треугольников ABF и a¢b¢F находим L = n f / p. Обозначив f / p = K и f + d = c , получаем

где K — коэффициент дальномера и c — постоянная дальномера.

Рис. 8.4. Нитяный дальномер: а) – сетка нитей; б) – схема определения расстояния

При изготовлении прибора f и p подбирают такими, чтобы K=100, а постоянная c была близкой к нулю. Тогда D = 100 n.

Точность измерения расстояний нитяным дальномером » 1/300.

Определение горизонтального проложения линии, измеренной нитяным дальномером. При измерении наклонной линии отсчёт по рейке это отрезок n = AB (рис. 8.5). Если бы рейку наклонить на угол n, то отсчёт был бы равен n = AB = n cosn и наклонное расстояние D=Kn+c = Kn×cosn+c.

Рис. 8.5. Измерение нитяным дальномером наклонного расстояния

Умножив наклонное расстояние D на cosn, получим горизонтальное расстояние d = K n cos 2 n + c cos n.

Прибавив и отняв с× cos 2 n, после преобразований получим

Вторым слагаемым по его малости пренебрежем. Получим

Вычисления упрощаются, если воспользоваться составленными с использованием этой формулы «Тахеометрическими таблицами».

Источник

Определение недоступных расстояний

В практике инженерно-геодезических работ часто оказывается невозможным непосредственное измерение расстояний между двумя точками, когда встречается местное препятствие (река, котлован, здание и т. д.). Такие расстояние называют недоступными и определяют косвенным путем. Например, для определения недоступного расстояния d через реку измеряют длину базиса b (рисунок 6.12) и углы α и β. По теореме синусов из треугольника АВС получим

d / sin α = b / sin γ = b / sin(180 0 – α – β) = b / sin α + β) или d = b sin α / sin(α + β).

Для контроля расстояние d определяют еще раз из треугольника АВС1. При отсутствии недопустимых расхождений из двух результатов принимают среднее арифметическое значение.

Точность определения недоступных расстояний во многом зависит от формы треугольника. Наилучшим считается равносторонний треугольник.

В том случае, когда на линии АВ нет видимости (рисунок 6.13), то для определения недоступного расстояния АВ измеряют длины сторон b1 и b2 и угол γ на точке С.

Расстояние d определяют по теореме косинусов:

Наиболее благоприятным считается вариант, когда b1 = b2 и угол γ близок к 180 о

sin α = b2 sin γ / d; sin β = b1 sin γ / d.

Углы α и β вычисляют для того, чтобы в точках А и В можно было указать направление линии d.

Источник

Ekzamen_geodezia (1) / 27.Определение недоступных расстояний между двумя взаимно видимыми и невидимыми точками

27. Косвенные измерения длин линий

При измерении расстояний лентой или рулеткой встречаются случаи, когда местное препятствие (река, овраг, здание, дорога и т.п.) делает непосредственное измерение невозможным. Тогда применяют косвенные методы определения расстояний.

Читайте также:  Измерения гарвардского степ теста

Различают три случая определения недоступных расстояний.

1. При взаимной видимости точек разбивают базис b и измеряют горизонтальные углы и

Рис. 51. Косвенное измерение расстояния через озеро

Для определения расстояния АВ используют теорему синусов

2. При взаимной невидимости точек (рис. 52) выбирают точку С из которой видны точки А и В, измеряют расстояния S1, S2 и угол .

Рис. 52. Косвенное измерение расстояния через

Используя теорему косинусов, находят расстояние АВ

.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Источник

Учебный проект «Определение расстояния до недоступного предмета» (геометрия на местности)

МБОУ Алексинская СОШ

Дорогобужского района Смоленской области

( геометрия на местности )

ученик 9 класса Мережко Андрей

учитель математики Законова Т.Н.

«Окружающий нас мир – это мир геометрии, чистой, истинной, безупречной в наших глазах. Все вокруг – геометрия».

Актуальность темы исследования .

Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Геометрия зародилась в глубокой древности. Строя жилища и храмы, украшая их орнаментами, размечая землю, измеряя расстояния и площади, человек применял свои знания о форме, размерах и взаимном расположении предметов, полученные из наблюдений и опытов.

Тема нашей исследовательской работы актуальна тем, что принцип определения расстояний до «недоступного» предмета на земле, с одной стороны, лежит в основе определения расстояний до небесных тел, а с другой стороны, неоценим с точки зрения приложения его в практической жизни: на стройках, при геодезических работах, прокладке трасс, в военном деле и т. д.

Цель исследовательской работы : определить расстояние до недоступного предмета геометрическими способами без специальных приборов.

рассмотреть различные способы определения расстояния до выбранного недоступного предмета;

провести соответствующие измерения и вычисления;

Объект исследования: недоступные предметы на местности.

Предмет исследования: определение расстояния до недоступного предмета различными способами.

Гипотеза: можно ли определить расстояние до недоступного предмета на местности без специальных приборов.

Практическая значимость исследования состоит в получении знаний об измерительных работах на местности, изучении и применении полученных знаний на уроках геометрии, в повседневной жизни.

Методы исследования: знакомство и обработка литературных материалов, данных из Интернета, проведение экспериментальной работы, обработка результатов.

Этапы выполнения исследовательской работы:

Включает в себя: изучение поставленных задач, определение значимых понятий, подбор источников информации, сбор информации.

Для выполнения задачи было предложено пять геометрических способов (приведены их геометрические чертежи):

Источниками наших способов явились литература и сайты Интернет научно-популярного характера.

Этап «Экспериментальная работа».

Включает в себя проведение эксперимента по определению расстояния до недоступного предмета на местности различными геометрическими методами. Каждый эксперимент представить в виде пошагового выполнения и измерительных расчетов.

Оборудование: фотоаппарат, рулетка, вешки, калькулятор, блокнот, карандаш или ручка, тонкая проволока или слабо растягивающийся шнур, колышки, молоток.

1 способ: (с помощью равнобедренного прямоугольного треугольника)

Стать напротив недоступной точки В и зафиксировать свое положение А колышком.

С помощью шнура и двух колышков построить угол ВАС, равный 90 0 (шнур и колышки используются вместо циркуля).

Следы прямых на местности задают шнуры, натянутые между колышками.

Аналогично правее точки А построить ещё один угол 90 0 , который необходимо разделить пополам с помощью того же шнура и колышков и зафиксировать угол 45 0 планкой.

Осуществляя параллельный перенос планки вправо-влево, добиться того, чтобы направление планки совпало с направлением на недоступный объект (на точку В), в результате чего будет найдена точка С, в которой ВС и АС образуют угол 45 0 .

Измерить расстояние АС, которое заведомо будет равно АВ, так как треугольник АВС – прямоугольный и равнобедренный.

Читайте также:  Измерение жесткости беговых лыж

2 способ: (с помощью подобия треугольников)

Стать напротив недоступной точки В и зафиксировать свое положение А колышком.

С помощью шнура и двух колышков построить угол ВАС, равный 90 0 .

Из произвольной точки Е, лежащей на прямой АЕ, задать планкой направление на недоступный объект (на точку В) под произвольным углом.

Правее точки А построить ещё один угол D СЕ равный 90 0 . Точка D образуется на пересечении двух планок.

Треугольник АВЕ подобен треугольнику CDE , откуда следует пропорция AB : CD = AE : CE . Из пропорции следует формула:

Произвести вычисления по формуле

3 способ: (с помощью подобия треугольников)

Стать напротив недоступной точки В и зафиксировать свое положение А колышком.

С помощью шнура и двух колышков построить угол ВАЕ, равный 90 0 .

Из произвольной точки Е, лежащей на прямой АЕ, задать планкой направление на недоступный объект (на точку В) под произвольным углом. Из точки Е перпендикулярно ВЕ направить планку;

Точка С лежит на пересечении планок ЕС и АС.

Из подобия прямоугольных треугольников ВЕС и ЕАС получить расчётную формулу, произвести нужные измерения и вычислить АВ по формуле:

4 способ: (с помощью равенства треугольников)

Стать напротив недоступной точки В и зафиксировать свое положение А колышком.

Двигаясь из точки А перпендикулярно вправо определенное расстояние, зафиксировать положение точкой Е.

Зафиксировать середину С отрезка АЕ.

Из точки С планкой задать направление на недоступный объект (точку В), впоследствии планку следует удлинить с помощью шнура.

Из точки Е перпендикулярно АЕ пройти расстояние и найти точку F , которая лежит на прямой ВС.

Треугольники АВС и EFC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Произвести измерения и вычислить AB = EF

5 способ: ( с помощью двойного равенства треугольников)

Стать напротив недоступной точки В и зафиксировать свое положение А колышком.

По направлению ВА пройти определенное расстояние АЕ и зафиксировать положение Е;

Двигаясь из точки А перпендикулярно вправо определенное расстояние, зафиксировать положение точкой D ;

Отмерить FD = DE и зафиксировать точку F ;

Отмерить DQ = DA и зафиксировать точку Q ;

Из точки F по прямой FQ пройти расстояние и найти точку Н, из которой через точку D видна точка В (при помощи вешек).

Треугольники ABD и QHD равны по второму признаку, а значит и отрезки AB и HQ тоже равны.

Провести измерения и вычислить HQ = AB .

Этап «Анализ данных»

Мы рассмотрели несколько геометрических методов определения расстояния до выбранной нами недоступной точки. Все эти методы основаны либо на определении понятия длины отрезка и измерения, либо на свойствах равнобедренного треугольника, на свойствах равенства или подобия треугольников.

Эксперименты проводились в неблагоприятных условиях: пасмурная погода, холод, отсутствие опыта и сноровки.

Результаты различных экспериментов отличались.

разница между наибольшим и наименьшим значениями расстояний:

Мы можем предположить, что расстояние до выбранной нами недоступной точки около 14,5 метров. Такой результат получен вторым способом (с помощью подобия треугольников) и четвёртым способом (с помощью равенства треугольников), то есть будем считать их наиболее точными.

Самым простым методом мы считаем четвёртый способ с помощью равенства треугольников.

Вообще, используя данные методы, можно найти расстояние до любой недоступной (видимой) точки. Так, например, с помощью второго способа легко решается задача нахождения высоты дерева, если считать верхушку дерева недоступной точкой. Решение опирается на тему подобия треугольников. Многие из нас, изучая математику в школе, думали: «Зачем всё это? Как это применяется?» Вместо ответа разберём очень интересный отрывок из повести Эрнеста Сетона-Томпсона «Маленькие дикари»:

«— Ставлю свой скальп против твоего, что определю высоту вон того дерева точнее, чем ты! — сказал Маленький Бобр.

Читайте также:  Методика измерения уровня тревожности спилберга

— Нет, скальп я не буду ставить, а вот кто проиграет, тому мыть посуду.

— Лучше брать до той ветки. Ведь на макушку не влезешь, чтобы проверить, — сказал Чёрный Ястреб. — Ты суди, Дятел.

— Нет, я тоже хочу попробовать! Второй будет мыть посуду в следующую очередь.

Чёрный Ястреб внимательно осмотрел ствол и записал: тридцать восемь футов.

— Ястреб, — сказал Сэм, — около дерева надо вбить колышек, чтобы мерить от определенного места. Земля-то ведь неровная.

Чёрный Ястреб пошёл вбивать колышек и тем самым помог Дятлу — теперь у Дятла было с чем сравнивать. Он знал, что Чёрный Ястреб ростом чуть больше пяти футов. И Сэм написал: тридцать пять.

Теперь пришла очередь Яна. Ян отошёл от дерева и воткнул в землю шест в десять футов длиной. Затем лёг на землю так, чтобы его глаз был на одной линии с верхушкой шеста и веткой. Конец этой линии он отметил колышком.

Ян измерил расстояние от этого колышка до шеста: оно равнялось тридцати одному футу, а от колышка до основания дерева — восьмидесяти семи; тогда он составил уравнение: число тридцать один (расстояние от колышка до шеста) относится к десяти, то есть высоте шеста, как восемьдесят семь (расстояние от колышка до дерева) — к высоте дерева. Вышло: высота дерева равнялась двадцати восьми футам.

Один из бойлеров влез на дерево и верёвкой измерил высоту. Оказалось двадцать девять футов. Победителем стал Ян.

Индейцы присудили Маленькому Бобру «ку» за его знания. Но Рафтен, услыхав об этом, воскликнул:

— Послушайте! Это же великолепно, что он делает! И он не успокоился до тех пор, пока Ян не получил «гран ку».»

Ян — один из героев этого произведения — применил на практике свойства подобных треугольников. И благодаря этому получил главный приз в их мальчишеском соревновании. Вот как всё это можно схематично представить:

«Главная сила математики состоит в том, что вместе с решением одной конкретной задачи она создаёт общие приёмы и способы, применимые во многих ситуациях, которые даже не всегда можно предвидеть».

Список использованных источников и литературы:

1. Я. И. Перельман. Занимательная геометрия. – М.: АСТ, 2005.

2.Л. С. Атанасян и др. Геометрия: учебник для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2017.

3. http://piterhunt.ru/pages/nk-os/5/15.htm сайт «Питерский охотник»

4. http://www.scouts.ru «Центральный сайт скаутов-разведчиков России»

5. А.В.Погорелов Геометрия: учебник для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2016.

6. Математика для всех/Яндекс Дзен

7. Эрнест Сетон-Томпсон «Маленькие дикари»- ЗАО «ЭНАС-КНИГА», 2012

Источник

Измерение расстояний между двумя недоступными точками

Определение неприступных расстояний

В некоторых случаях, вследствие каких-либо препятствий, измерить линию продольного хода непосредственно лентой невозможно.

1 случай: (точка В недоступна для линейных измерений). По теореме синусов.

Разбиваем на местности ≈ равносторонний треугольник. Измеряем углы: β1, β2, β’1, β’2 и базисы b1, b2. Тогда неприступное расстояние АВ определяется по теореме синусов:

При заданной точности измерения базисов 1:2000, предельное расхождение между двумя определениями d не должно превышать 1:1000. За окончательное значение берется среднее из двух определений.

2 случай. По теореме косинусов:

Этот способ применяется, когда между точками A и В нет взаимной видимости. Разбиваем на местности примерно равнобедренные треугольники ABC и ABC1.

Расстояние определяется по теореме косинусов. Расстояние определяется дважды.

Расхождение между двумя определениями допускается – 1/1500. За окончательное значение берется среднее из двух определений.

Источник