Меню

Измерение центрального угла окружности



Центральные и Вписанные углы

О чем эта статья:

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, что и вписанный угол.

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Угол AOC и угол ABC, вписанный в окружность, опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

  • Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается и половине градусной меры центрального угла, опирающегося на эту же дугу.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу. ㄥACB = ?

Как решаем: окружность 360° — AC — CB = 360 — 200 — 80 = 80
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Читайте также:  Оборудование для геометрических измерений

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

СB = ⅕ от 360 = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому CAB = ½ от CB = 72/36 = 36°

Еще больше примеров и задачек на уроках математики в онлайн-школе Skysmart. Наши преподаватели объяснят любую, даже самую остроугольную тему. Ребенка ждут захватывающие примеры в интерактивном формате, карта прогресса в личном кабинете и даже онлайн-доска, на которой можно чертить вместе с учителем.

Записывайтесь на бесплатный вводный урок математики и занимайтесь в удовольствие!

Источник

Центральный угол

Окружность и круг

Чтобы обсуждать центральный угол, нужно понимать, что такое окружность. Окружность – это множество точек, равноудаленных от центра окружности. Кругом называется фигура, заключенная внутри окружности или фигура, ограниченная окружностью.

Различие окружности и круга в том, что окружность это линия, а круг – фигура. Поэтому у окружности есть длина, но нет площади. А у круга есть площадь, но нет длины.

Окружность и круг часто путают, а это недопустимо для правильного решения задач.

Рис. 1. Окружность и круг.

Элементы окружности

Перечислим основные элементы окружности:

  • Хорда – отрезок, который соединяет любые две точки окружности.
  • Диаметр – отрезок, соединяющий две противоположные точки окружности. Диаметр всегда проходит через центр окружности и его длина равна длине двух радиусов. Любой диаметр это хорда, но не каждая хорда может считаться диаметром.
  • Радиус – отрезок, соединяющий точку, лежащую на окружности и центр окружности.
  • Дуга – часть окружности, ограниченная углом или сектором
  • Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.
  • Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Теперь подробнее разберемся с центральным углом.

Рис. 2. Элементы окружности.

Центральный угол и сектор

Вообще, для измерения любых углов в окружности используется дуга. Сама по себе дуга – это результат поворота радиуса вокруг центра окружности, а так как угол также является мерой поворота чего-либо, то дуга используется в качестве меры угла и измеряется в градусах.

Теорема о центральном угле гласит: величина центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. При этом, величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Сектором зовется площадь центрального угла. Это часть площади всего круга, поэтому зная формулу площади с помощью центрального угла можно узнать площадь сектора.

Рис. 3. Вписанный и центральный углы окружности.

Выведем формулу площади сектора. Для этого, нужно вспомнить, что полный круг равен 360 градусам. Тому же значению равна и дуга всей окружности. А центральный угол – это часть дуги. Площадь круга равна:

Площадь сектора равна:

$$S=>*pi*r^2$$ – где а это градусная мера угла части круга.

Вот так, зная дугу центрального угла можно найти площадь сектора.

Не забывайте, что любой формулой можно пользоваться как справа налево, так и слева направо. С помощью приведенной формулы можно найти значение центрального угла.

Что мы узнали?

Мы поговорили о круге и окружности. Узнали, чем они отличаются. Выделили основные элементы окружности и круга. Привели определение центрального угла. Рассказали, как найти центральный угол через дугу окружности и сектор. Вывели формулу площади сектора круга.

Источник

Что такое центральный угол

Что такое центральный угол? Что значит, что центральный угол опирается на дугу или на хорду окружности?

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности, а стороны пересекают окружность.

Стороны центрального угла делят окружность на две дуги. Одна из дуг лежит внутри центрального угла, другая — вне его.

Когда говорят, что центральный угол опирается на дугу, то имеют в виду внутреннюю дугу, лежащую между сторонами угла.

Читайте также:  Измерение теленка по ленте

Например, на рисунке 1 ∠AOC — центральный.

Его вершина — точка O — центр окружности.

Стороны — лучи OA и OC — пересекают окружность.

Вписанный угол AOC опирается на дугу AC.

Также говорят, что центральный угол опирается на хорду. В этом случае речь идет о хорде, соединяющей точки пересечения сторон центрального угла с окружностью.

Например, на рисунке 2

центральный угол AOC опирается на хорду AC.

Говорят также, что хорду AC видно из центра окружности под углом AOC.

Выражение «сторона BC треугольника видна из центра описанной окружности под углом альфа» означает, что центральный угол, на сторонах которого лежат точки B и C, равен альфа:

В следующий раз рассмотрим, как связаны между собой центральный и вписанный углы.

Источник

Углы, связанные с окружностью

Вписанные и центральные углы
Углы, образованные хордами, касательными и секущими
Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Фигура Рисунок Теорема
Вписанный угол
Вписанный угол Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный угол Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный угол Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный угол Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Фигура Рисунок Теорема Формула
Угол, образованный пересекающимися хордами
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания
Угол, образованный касательной и секущей
Угол, образованный двумя касательными к окружности

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Формула:
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула:

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Формула:
Формула:

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы:

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

В этом случае справедливы равенства

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

В этом случае справедливы равенства

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Источник

Сравнить или измерить © 2021
Внимание! Информация, опубликованная на сайте, носит исключительно ознакомительный характер и не является рекомендацией к применению.