Меню

Измерение углов по клеткам



Построение острых углов на клетчатой бумаге

Геометрия – часть математики, изучающая пространственные отношения и формы, а также другие отношения и формы, сходные с пространственными по своей структуре. Происхождение термина «геометрия» с греческого означает «землемерие» [гео– «земля» и метрео – «измеряю»].

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки. Углы измеряются в градусах и радианах. Угол, образованный продолжением сторон данного угла, называется вертикальным к данному. Угол, образованный одной из сторон данного угла и продолжением другой стороны, называется смежным с ним. Приспособление для построения углов на чертежах, называется транспортир.

Значение геометрии в развитии математике

Применение евклидовой геометрии представляет самое обычное явление всюду, где определяются площади, объемы и т. п. Геометрия изучает пространственную непрерывность. Общая роль геометрии в математике состоит также в том, что с нею связано идущее от пространственных представлений точное синтетическое мышление, часто позволяющее охватить в целом то, что достигается анализом и выкладками лишь через длинную цепь шагов. Геометрия характеризуется не только своим предметом, но и методом, идущим от наглядных представлений и оказывающимся плодотворным в решении многих проблем других областей математики. Геометрия имела решающее значение в возникновении и развитии анализа. Интегрирование происходит от нахождения площадей и объемов. Графическое представление функций сыграло важную роль в выработке понятий анализа и сохраняет свое значение. Геометрия оказывает влияние на алгебру, и даже на арифметику – теорию чисел, поэтому роль геометрии в развитии математике очень велика.

Цель работы: найти способ построения углов без транспортира.

Гипотеза: Любой острый угол можно построить без транспортира по узлам клетки.

• рассмотреть углы и найти их связь с узлами клеток.

Построим с помощью транспортира углы от 10° до 80° со стороной, идущей по горизонтальной линии сетки.

Отметим у каждого угла ближайший узел сетки, через который прошла другая сторона каждого угла.

Определим «путь» из вершины угла в отмеченную точку и занесем данные в таблицу:

Величина угла Клеток → Клеток ↑

Если сравнить данные таблицы для углов 10° и 80°, 20° и 70°, 30° и 60°, 40° и 50°, то можно заметить, что количество клеток вправо и количество клеток вверх меняются местами.

Используя данные таблицы, можно приближенно построить любой острый угол без транспортира.

Таким образом, обычный лист бумаги в клетку может выполнять функцию своеобразного инструмента для построения геометрических фигур. В 7 классе мы начинаем изучать геометрию и, полученными результатами, можно будет пользоваться при изучении курса планиметрии для построения схематических чертежей, точнее соответствующих условию задач.

Читайте также:  Фазово импульсный метод измерения

Также, выполняя презентацию работы, я совершенствовала свои навыки работы на компьютере.

Источник

Угол на клетчатой бумаге

Угол на клетчатой бумаге. В этой статье мы с вами рассмотрим задачу, суть которой заключается в том, чтобы найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла, построенного на листе в клетку. Такие задания входят в состав экзамена по математике.

Способы решения существуют разные, их более трёх. Подход изложенный ниже можно было бы назвать универсальным. Если у вас найдутся задачи, которые вы таким способом решить не сможете, пришлите мне их, подберём другой. Углы могут быть построены следующим образом (примеры):

Итак, рассмотрим задание:

Найдите тангенс угла AOB. В ответе укажите значение тангенса, умноженное на 8.

Соединим точки А и В. Получили треугольник АОВ. На сторонах полученного треугольника построим прямоугольные треугольники так, чтобы эти стороны являлись гипотенузами.

Суть подхода такова: находим все стороны треугольника (это можно сделать по теореме Пифагора); далее используя теорему косинусов, мы можем найти косинус угла; зная косинус мы без труда найдём остальные тригонометрические функции (синус, тангенс, котангенс).

АВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 3,

ОВ это гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 1,

OА является гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами 4 и 2,

По теореме косинусов: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Из основного тригонометрического тождества можем найти sin AOB:

*Обратите внимание, что перед знаком корня у нас «+», так как угол острый (от 0 до 90 градусов). А синус острого угла имеет положительное значение.

Теперь можем найти тангенс:

Умножим результат на 8 и запишем ответ:

Ещё раз повторим: как бы не был построен угол, мы всегда можем достроить его до треугольника, найти стороны этого треугольника (используя теорему Пифагора), далее используя теорему косинусов найти косинус угла (заданного в условии). Затем не составит труда, используя основное тригонометрическое тождество, найти синус. Тангенс и котангенс далее не сложно найти по их формулам.

Ниже предложено самостоятельно решить задачи. При их решении на сайте использовались и другие способы (вы решите представленным выше):

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.

Найдите тангенс угла AOB.

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на половину корня из пяти.

Найдите косинус угла AOB. В ответе укажите значение косинуса, умноженное на два корня из пяти.

Читайте также:  Мы с тобой по разные стороны измерений

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на два корня из двух.

Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на 2 корня из двух.

Найдите тангенс угла AOB.

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!

Источник

Измерение углов по клеткам

Найдите тангенс угла AOB. Сторона одной клетки равна 1.

Достроим угол до треугольника Из рисунка находим: , , Воспользуемся теоремой косинусов:

Поэтому угол равен 135°, а его тангенс равен −1.

Приведём другое решение.

Пусть тогда и, следовательно,

Приведём другое решение.

Отложим на продолжении прямой за точку отрезок и проведём отрезок Заметим, что Поэтому треугольник — прямоугольный равнобедренный, углы при его основании равны , а тогда и

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

Достроим угол до треугольника OBA, OB = BA. BK делит основание OA пополам, значит, BK — высота. Из рисунка находим

Можно заметить и доказать, что равнобедренный треугольник ABO является прямоугольным. Тогда углы AOB и OАB равны 45°, а их тангенсы равны 1.

Ещё один способ: тангенс искомого угла можно найти по формуле разности тангенсов через углы, тангенсы которых равны 3 и

я не понимаю, что значит «Из рисунка находим OK=BK=корень из 5» КАК вы нашли, что именно ок=корень из 5?

ОК — корень из 5 по теореме Пифагора: присмотритесь, ОК — гипотенуза треугольника с катетами 2 и 1.

А бывает такое? Я просто как бы мысленно отпустил фигуру и увидел , что угол 45 градусов. И ответил правильно . Так можно решать ? Или мне сейчас повезло?

Это хорошее интуитивное представление, но лучше решать расчётом, не всегда угол можно увидеть «на глаз».

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

Проведем перпендикуляр BK из точки B к лучу OA. Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Принимая во внимание, что BK = OK, получим:

Приведём другое решение.

Проведем перпендикуляр BK из точки B к лучу OA. Из равенства катетов построенного прямоугольного треугольника KOB заключаем, что оба его острых угла равны 45°. Следовательно, искомый тангенс равен 1.

Приведём ещё одно решение.

Луч OB проходит ровно по диагоналям клеток квадратной решетки. Поэтому он составляет с лучом ОА угол 45°. Тангенс этого угла равен 1.

Найдите тангенс угла AOB.

проведем высоту BK из точки B на продолжение стороны OA. Тогда:

Читайте также:  Как избавиться от волнения перед измерением давления

Аналоги к заданию № 27451: 27452 27453 510060 Все

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

Достроим угол до треугольника OBA, OB=BA. BK делит основание OA пополам, значит, BK — высота. Из рисунка находим

Можно заметить и доказать, что равнобедренный треугольник ABO является прямоугольным. Тогда углы AOB и OАB равны 45°, а их тангенсы равны 1.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

Достроим угол до треугольника OBA, OB=BA. BK делит основание OA пополам, значит, BK — высота. Из рисунка находим

Можно заметить и доказать, что равнобедренный треугольник ABO является прямоугольным. Тогда углы AOB и OАB равны 45°, а их тангенсы равны 1.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

Достроим угол до треугольника OBA, OB=BA. BK делит основание OA пополам, значит, BK — высота. Из рисунка находим

Можно заметить и доказать, что равнобедренный треугольник ABO является прямоугольным. Тогда углы AOB и OАB равны 45°, а их тангенсы равны 1.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

Проведем перпендикуляр из точки к отрезку Тогда:

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

Проведем высоту BK из точки B на сторону OA. Тогда получим:

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

Проведем высоту BK из точки B на сторону OA. Тогда получим:

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

Проведем высоту BK из точки B на сторону OA. Тогда получим:

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

Проведем высоту BK из точки B на сторону OA.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

Проведем высоту BK из точки B на сторону OA. Тогда, принимая во внимание, что получим:

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с центром O. Найдите высоту трапеции, если её средняя линия равна 3 и

Пусть Изобразим две ситуации: когда угол острый и когда — тупой.

Проведём высоту и диагональ Отрезок равен средней линии. Из прямоугольного треугольника найдём высоту: Последнее равенство верно, поскольку вписанный угол в два раза меньше центрального угла Воспользуемся формулой тангенса половинного угла:

Если то и

Если то и

Источник