Меню

Измерение вероятностных характеристик случайных процессов



Измерение вероятностных характеристик случайных процессов.

В информационных измерительных системах, контролируемых параметры технологических процессов, большую роль имеют случайные процессы. Анализ различных задач показывает, что почти любой сигнал, несущий информацию, можно рассматривать как случайный, точнее стохастический.

Изучение случайных процессов требует применения статических методов анализа. При статическом подходе нет необходимости определять точный результат отдельного измерения, а можно основываться на исследование множества опытов. Случайные процессы наиболее полно описываются законами распределения вероятностей: одномерными, двумерными и т.д.

Основные характеристики случайных процессов: μ(ч) и τ(х).

Измерение параметров и характеристик случайных процессов существенно упрощается при его стационарности и эргодичности. Стационарными называются случайные процессы, статические характеристики которых не изменяются во времени. Свойства стационарных процессов характеризуют следующими условиями: математическое ожидание стационарного случайного процесса постоянно, дисперсия по сечениям является постоянной величиной.

При исследованиях случайных процессов отражают его отдельными реализациями. Полное представление о случайном процессе можно получить с помощью бесконечной совокупности его реализаций или их, так называемого ансамбля.

Ансамбль реализаций – математическая абстракция, аналитическая модель случайного процесса.

Конкретные реализации, наблюдаемые при исследованиях, представляют собой физические процессы, явления или объекты и входят в ансамбль как его неотъемлемая часть. Например, ансамблем реализации случайного процесса является группа сигналов, наблюдаемых одновременно с помощью многоканального осциллографа на выходах идентичных генераторов шумового напряжения, полученных в результате изменения ряда неслучайных функций хi(t).

Обычно реальные информационные случайные процессы относятся к стационарным. Подавляющее большинство случайных процессов обладает свойством эргодичности. Случайный процесс является эргодическим, если усреднение по ансамблю реализаций можно заменить усреднением по времени одной реализации в пределах бесконечно длинного интервала tx.

Основные числовые характеристики стационарного эргодического случайно процесса:

-матожидание случайного процесса вычисляют путем усреднения значения заданной реализации.

— дисперсия случайного процесса.

На практике вместо среднего значения, дисперсии и СКО результата измерения случайного процесса находят их оценки.

Различают две группы статистических характеристик случайных процессов:

— распределение его значения во времени (матожидание, дисперсия, функция распределения, функция корреляции)

— распределение энергии процесса по частоте (спектральная плотность)

Источник

Методы измерений вероятностных характеристик случайных процессов

Вероятностные характеристики случайного процесса определяются либо усреднением по совокупности ансамбля реализаций хi(t):

, (5.36)

где g[xi(t)] – некоторое преобразование, лежащее в основе определения вероятностной характеристики,

либо усреднением по времени с использование k-й реализации:

. (5.37)

Как и другие измерения, измерение статистических характеристик производится с помощью специальных средств, реализующих алгоритм измерений, в том числе и меры, воспроизводящей известную величину.

Используют [15] три алгоритма измерений:

(5.38)

где Sd – оператор усреднения (если усреднение по совокупности d=N, если усреднение по времени, d=Т), r — оператор сравнения, – результат измерения (оценка) характеристики .

Как видно, алгоритмы (5.36) отличаются только позициями, занимаемыми в выражении соответствующими операторами. Операция сравнения с мерой может быть: первой в цепи преобразований, второй – после реализации оператора g; и последней, что и отражено в структурных схемах (рис. 5.15).

Рис. 5.15. Структура измерений вероятностных характеристик случайных

процессов: а — сравнение с образцовой мерой является первой операцией;

б — выполняется до усреднения; в — является заключительной операцией

Обозначения структурных элементов на схемах соответствуют обозначениям тех операторов, которые ими реализуются. В качестве устройства усреднения Sd может быть использован сумматор или интегратор.

На рис. 5.15, а показана реализация следующей процедуры: на первом этапе с помощью блока r формируется массив числовых эквивалентов мгновенных значений реализаций случайного процесса, после чего преобразование g и усреднение Sd проходят в цифровой форме. Эти процессы могут быть реализованы последовательным соединением аналого-цифрового преобразователя и вычислительного устройства (например, микропроцессорного). На выходе АЦП формируется массив мгновенных значений, а процессор по определенной программе обеспечивает реализацию операторов g и Sd.

Процедура, осуществляемая структурой б (см.рис.5.15), начинается с преобразования совокупности реализаций i(t)> в совокупность преобразованных реализаций i(t)]>; затем с помощью компаратора r выполняется сравнение с известной величиной g. На выходе компаратора формируется числовой массив i(ti)]>, который поступает в вычислительное устройство, осуществляющее операцию усреднения Sd и выдающее результатв цифровой форме.

Читайте также:  Точные манометры для измерения артериального давления

Структура, показанная на схеме в (см.рис. 5.15) реализует процедуру измерений, которая на первом этапе проходит так же, как в предыдущем случае, но затем совокупность i(t)]> поступает на усреднение Sd, после которого величина Sd[i(t)]>] поступает на компаратор r, осуществляющий сравнение с известной величиной q . На выходе компаратора имеем .

Рассмотрим алгоритмы измерений основных статистических характеристик [15].

Измерение математического ожидания. Чаще всего производится усреднением по времени.

. (5.39)

Структурная схема реализации данного алгоритма (рис. 5.16) в простейшем случае включает набор последовательно соединенных масштабного преобразователя МП, интегратора И, аналогового измерителя АИ.

Рис. 5.16. Структура измерений математического ожидания

Основным преобразователем в измерительной цепи является интегратор И, осуществляющий усреднение по времени. Возможны варианты схемы с выходом интегратора на цифровой измерительный прибор, самопишущий прибор и т.д.

Дисперсия случайного процесса характеризует математическое ожидание квадрата отклонения мгновенных значений реализаций от математического ожидания.

Алгоритм измерений, реализуемый структурой, представленной на рис.5.17:

. (5.40)

Одномерная интегральная функция распределения F(х), определяемая как вероятность того, что в произвольный момент времени мгновенное значение реализации не превысит заданного уровня, т.е. xi(tj)£x, определяется как предел выборочного среднего

, (5.41)

где

Рис. 5.17. Структура измерений дисперсии случайного процесса:

ВУ – вычитатель; КУ — квадратирующее устройство

Практически выражение (5.41) представляется как алгоритм измерения оценки в виде

. (5.42)

Обобщенная схема реализации алгоритма (5.42) показана на рис.5.18. Здесь: УС устройство сравнения, работающее в режиме вычитателя, формирующего сигнал xk(t)-x; ФП – функциональный преобразователь,

реализующий функцию j[ xk(t),x], И – интегратор, Т— время наблюдения.

Рис. 5.18. Структурная схема измерения интегральной функции

Выражение для алгоритма измерения дифференциальной функции распределения вероятностей f(x) может быть получено, если учесть, что f(x) и F(x) связаны между собой известными соотношениями:

.

Тогда справедливо выражение

, (5.43)

где

При соблюдении условий стационарности и эргодичности интегральная функция распределения может характеризоваться относительным временем пребывания значений реализации ниже заданного уровня х:

, (5.44)

где i – интервал времени пребывания; n – число интервалов.

Соответственно выражение для дифференциальной функции можно представить в виде

, (5.45)

где – ширина «дифференциального коридора», т.е. расстояние между соседними уровнями хк и хк+1; Dtii -й интервал времени пребывания реализации между уровнями хк и хк+1.

На основании (5.44) и (5.45) алгоритмы измерений:

. (5.46)

Применяются и другие алгоритмы, например, основанные на методе дискретных выборок.

Измерение корреляционной функции с усреднением по времени производятся по алгоритму

. (5.47)

Структура измерительного устройства, реализующего данный алгоритм, представлена на рис. 5.19.

Рис. 5.19. Схема измерений корреляционной функции

С выхода масштабного преобразователя МП сигнал разветвляется, одновременно поступая на перемножающее устройство ПУ и на устройство временной задержки УЗ, с помощью которого получается сигнал xk(t-t). Этот сигнал также поступает на ПУ, осуществляющее перемножение мгновенных значений, сдвинутых на интервал t. Результирующий сигнал поступает на интегратор И, с помощью которого осуществляется операция усреднения. На выходе интегратора получаем оценку корреляционной функции .

Измерение спектра мощности сигнала производится в соответствии с формулой

, (5.48)

где xiT(w) — спектральная плотность сигнала на интервале усреднения Т, определяется согласно преобразованию Фурье по формуле

. (5.49)

В соответствии с (5.48) алгоритм измерения

. (5.50)

Схема реализации данного алгоритма показана на рис. 5.20.

Рис. 5.20. Схема измерения спектра мощности

Источник

Измерение вероятностных характеристик случайных процессов

В информационных измерительных системах, контролируемых параметры технологических процессов, большую роль имеют случайные процессы. Анализ различных задач показывает, что почти любой сигнал, несущий информацию, можно рассматривать как случайный, точнее стохастический.

Изучение случайных процессов требует применения статических методов анализа. При статическом подходе нет необходимости определять точный результат отдельного измерения, а можно основываться на исследование множества опытов. Случайные процессы наиболее полно описываются законами распределения вероятностей: одномерными, двумерными и т.д.

Основные характеристики случайных процессов: μ(ч) и τ(х).

Измерение параметров и характеристик случайных процессов существенно упрощается при его стационарности и эргодичности. Стационарными называются случайные процессы, статические характеристики которых не изменяются во времени. Свойства стационарных процессов характеризуют следующими условиями: математическое ожидание стационарного случайного процесса постоянно, дисперсия по сечениям является постоянной величиной.

Читайте также:  Единица измерения качества меда

При исследованиях случайных процессов отражают его отдельными реализациями. Полное представление о случайном процессе можно получить с помощью бесконечной совокупности его реализаций или их, так называемого ансамбля.

Ансамбль реализаций – математическая абстракция, аналитическая модель случайного процесса.

Конкретные реализации, наблюдаемые при исследованиях, представляют собой физические процессы, явления или объекты и входят в ансамбль как его неотъемлемая часть. Например, ансамблем реализации случайного процесса является группа сигналов, наблюдаемых одновременно с помощью многоканального осциллографа на выходах идентичных генераторов шумового напряжения, полученных в результате изменения ряда неслучайных функций хi(t).

Обычно реальные информационные случайные процессы относятся к стационарным. Подавляющее большинство случайных процессов обладает свойством эргодичности. Случайный процесс является эргодическим, если усреднение по ансамблю реализаций можно заменить усреднением по времени одной реализации в пределах бесконечно длинного интервала tx.

Основные числовые характеристики стационарного эргодического случайно процесса:

-матожидание случайного процесса вычисляют путем усреднения значения заданной реализации.

— дисперсия случайного процесса.

На практике вместо среднего значения, дисперсии и СКО результата измерения случайного процесса находят их оценки.

Различают две группы статистических характеристик случайных процессов:

— распределение его значения во времени (матожидание, дисперсия, функция распределения, функция корреляции)

— распределение энергии процесса по частоте (спектральная плотность)

Источник

Измерение вероятностных характеристик случайных процессов

Измерения вероятностных характеристик случайных процессов (статистические измерения) составляют один из наиболее быстро развивающихся разделов измерительной техники. В настоящее время область распространения статистических методов исследования и обработки сигналов измерительной информации практически безгранична. Связь, навигация, управление, диагностика (техническая, медицинская), исследование среды и многие другие области немыслимы без знания и использования свойств сигналов и помех, описываемых их вероятностными характеристиками.

Потребность в изучении свойств случайных процессов привела к развитию соответствующих методов и средств (преимущественно электрических). Появление анализаторов функций распределения вероятностей, коррелометров, измерителей математического ожидания, дисперсиометров и других видов измерителен вероятностных характеристик открыло новые возможности в области создания современной информационной и управляющей техники.

Рассмотрим необходимые исходные определения и общие сведения о статистических измерениях (см. также § 2-2, 4-4).

В теории статистических измерений используют следующие понятия и их аналоги, заимствованные из теории случайных функций (аналоги из математической статистики): реализация случайного процесса (выборочная функция), мгновенное значение (выборочное значение), совокупность мгновенных значений (выборка), вероятностная характеристика (предел выборочного среднего).

Введем следующие обозначения: — случайный процесс; — порядковый номер реализации случайного процесса — мгновенное значение процесса соответствующее значению реализации в момент времени. Случайным называют процесс мгновенные значения которого суть случайные величины.

На рис. 16-1 представлена в качестве примера совокупность реализаций случайного процесса, воспроизводящих зависимости некоторого параметра X от времени

Рис. 16-1. Совокупность реализаций случайного процесса

В теории случайных процессов их полное описание производится с помощью систем вероятностных характеристик: многомерных функций распределения вероятности, моментных функций, характеристических функций и т. п. В теории статистических измерений исследуемый случайный процесс представляется своими реализациями, причем полное представление осуществляется с помощью так называемого ансамбля, т. е. бесконечной совокупностью реализаций. Ансамбль — математическая абстракция, модель рассматриваемого процесса, но конкретные реализации, используемые в измерительном эксперименте, представляют собой физические объекты или явления и входят в ансамбль как его неотъемлемая часть.

Если случайный процесс представлен ансамблем реализаций то вероятностная характеристика 0 может быть определена усреднением по совокупности, т. е.

где некоторое преобразование, лежащее в основе определения вероятностной характеристики 0. Так, например, при определении дисперсии При этом полагаем, что процесс характеризуется нулевым математическим ожиданием.

Вместо усреднения по совокупности может быть использовано усреднение по времени с использованием реализации и тогда

Например, при определении математического ожидания

В общем случае результаты усреднения по совокупности (16-1) и по времени (16-2) неодинаковы. Предел выборочного среднего по совокупности (16-1) представляет собой вероятностную характеристику, выражающую зависимость вероятностных свойств процесса от текущего времени. Предел выборочного среднего по времени (16-2) представляет собой вероятностную характеристику, выражающую зависимость вероятностных свойств процесса от номера реализации.

Читайте также:  Какие единицы для измерения длины вы знаете

Наличие и отсутствие зависимости вероятностных характеристик от времени или от номера реализации определяет такие фундаментальные свойства процесса, как стационарность и эргодичность. Стационарным называется процесс, вероятностные характеристики которого не зависят от времени; соответственно эргодическим называется процесс, вероятностные характеристики которого не зависят от номера реализации.

Следовательно, стационарный неэргодический случайный процесс — это такой процесс, у которого эквивалентны временные сечения (вероятностные характеристики не зависят от текущего времени), но не эквивалентны реализации (вероятностные характеристики зависят от номера реализации). Нестационарный эргодический процесс — это процесс, у которого эквивалентны реализации (вероятностные характеристики не зависят от номера реализации), но не эквивалентны временные сечения (вероятностные характеристики зависят от текущего времени).

Классифицируя случайные процессы на основе этих признаков (стационарность и эргодичность), получаем следующие четыре класса процессов: стационарные эргодические, стационарные неэргодические, нестационарные эргодические, нестационарные неэргодические.

Учет и использование описанных свойств случайных процессов играет большую роль при планировании эксперимента по определению их вероятностных характеристик.

Поскольку измерение представляет собой процедуру нахождения величины опытным путем с помощью специальных технических средств, реализующих алгоритм, включающий в себя операцию сравнения с известной величиной, в статических измерениях должна применяться мера, воспроизводящая известную величину.

Типовые алгоритмы измерений вероятностных характеристик случайных процессов, различающиеся способом применения меры в процессе измерений, представляются в следующем виде:

Рис. 16-2. Средства измерений вероятностных характеристик случайных процессов, когда сравнение с образцовой мерой является заключительной (а), выполняется до усреднения (б) и является начальной (в) операцией

где — оператор усреднения; К — оператор сравнения; — результат измерения характеристики

Данные алгоритмы различаются порядком выполнения операций. Операция сравнения с образцовой мерой может быть заключительной [см. (16-4)], выполняться после реализации оператора но до усреднения [см. (16-5)] и, наконец, быть начальной [см. (16-6)]. Соответствующие обобщенные структурные схемы средств измерений значений вероятностных характеристик представлены на рис. 16-2.

На этих рисунках для обозначения блоков, реализующих операторы, входящие в выражения (16-4) — (16-6), используются те же обозначения. Так, — устройство, выполняющее преобразование, лежащее в основе определения вероятностной характеристики — устройство усреднения (сумматор или интегратор); К — компаратор (сравнивающее устройство),

мера, с помощью которой формируется известная величина или

Представленное на рис. 16-2, а средство измерений реализует следующую процедуру: на вход поступает совокупность реализаций (при использовании усреднения по времени — одна реализация на выходе узла имеем совокупность преобразованных реализаций после усреднения получаем величину которая поступает на компаратор, осуществляющий сравнение с известной величиной в результате чего получаем значение измеряемой вероятностной характеристики в

Отличие процедуры, реализуемой средством измерений, представленным на рис. 16-2, б, заключается в том, что послеформирования совокупности она поступает не на усреднитель, а на компаратор, который выполняет сравнение с известной величиной на выходе компаратора формируется числовой массив и усреднение выполняется в числовой форме. На выходе усреднителя имеем результат измерения

Средство измерений (рис. 16-2, в) основано на формировании массива числовых эквивалентов мгновенных значений реализаций случайного процесса после чего преобразование и усреднение выполняются в числовой форме. Это устройство эквивалентно последовательному соединению аналого-цифрового преобразователя (АЦП) и вычислительного устройства (процессора). На выходе АЦП формируется массив мгновенных значений, а процессор по определенной программе обеспечивает реализацию операторов и

Погрешность результата измерения вероятностной характеристики случайного процесса

Для статистических измерений характерно обязательное наличие составляющей методической погрешности, обусловленной конечностью объема выборочных данных о мгновенных значениях реализаций случайного процесса, ибо при проведении физического эксперимента принципиально не может быть использован бесконечный ансамбль реализаций или бесконечный временной интервал. Соотношение (16-7) определяет результирующую погрешность, включающую в себя как методическую, так и инструментальную составляющие. В дальнейшем будут приводиться соотношения только для определения специфической для статистических измерений методической погрешности, обусловленной конечностью числа реализаций и временного интервала.

Источник