Меню

Как измерить градусы дуги



Как измерять дугу окружности

Дугу окружности можно измерять в градусах.

Если дуга АВ окружности с центром О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ:

Если центральный угол меньше или равен 180°, то градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла:

Длина дуги окружности, если она меньше полуокружности или является полуокружностью

Если же дуга АLВ больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной 360° минус центральный угол:

Если центральный угол больше 180°, то градусная мера дуги равна:

Отсюда следует, что сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360 о :

Длина дуги окружности, если дуга больше полуокружности

Источник

Градусная мера дуги окружности

Урок 29. Геометрия 8 класс ФГОС

Конспект урока «Градусная мера дуги окружности»

Рассмотрим окружность. Отметим на ней две точки А и B. Эти точки разделяют окружность на две дуги.

Возникает вопрос, а как узнать про какую дугу говорить? Ведь и одна и вторая дуги стягивается хордой АB. Именно для того, чтобы различать дуги, берутся дополнительные точки на этих дугах. Дуги обозначаются специальным знаком и тремя заглавными буквами. Запишем дуги, которые у нас получились: ᴗ, ᴗ. Иногда дуга может обозначаться двумя буквами, но только в том случае, когда точно ясно о какой дуге идет речь. Например, если дуга стягивается диаметром ᴗ. Такая дуга носит особое название – полуокружность.

Давайте введем еще одно определение. Угол с вершиной в центре этой окружности называется центральным углом.

По рисунку видно, что центральный угол может быть любым: как меньше развернутого, так и больше развернутого. Давайте попробуем на рисунке указать центральные углы.

Центральными углами будут углы AOB и EOF. Пусть стороны центрального угла окружности пересекают ее в точках А и B. Центральному углу AOB соответствуют две дуги с концами А и B. Если этот угол развернутый, то ему соответствуют две полуокружности. Если угол не развёрнутый, то говорят, что дуга АB, расположенная внутри этого угла, меньше полуокружности. Про другую дугу говорят, что она больше полуокружности.

Мы помним, что длина окружности вычисляется по формуле . И измеряется длина только в единицах измерения длины. А дуга может измеряться, как в единицах измерения длины, так и в градусах.

Читайте также:  Прибор для измерения напряжения аккумулятора автомобиля

, , ; , , ,

Если дуга AB окружности меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера равна градусной мере центрального угла АОB. Мы знаем, что градусная мера круга равна 360º, поэтому если дуга AB больше полуокружности, то ее градусная мера .

Решим задачу. Найти градусную меру дуг по рисункам.

На первом рисунке дуга BMA меньше полуокружности: .

На втором рисунке изображены две полуокружности, их градусные меры равны .

На третьем рисунке дуга BMA меньше полуокружности и, значит, ее градусная мера равна ,

Решим несколько задач.

Задача. Начертить окружность с центром и отметить на ней точку . Построить хорду так, чтобы:

а) , б) , в) , г)

Построим окружность, с центром в точке О. Отметим на окружности точку А. Соединим точки А и О.

Возьмем циркуль и померяем получившийся отрезок ОА. И таким же радиусом проведем окружность, центром которой будет точка А. Эта окружность пересечет исходную окружность в двух точках. Обозначим одну из нах буквой B. Рассмотрим треугольник AOB. Поскольку точка B лежит на окружности, то ОА и ОB равны как радиусы, поскольку из точки А мы проводили окружность с таким же радиусом, то ОА равно AB. Таким образом, треугольник АОВ – равносторонний. Углы равностороннего треугольника равны по 60 градусов, то есть угол АОВ =60º.

Таким образом, мы построили хорду АB так, чтобы угол АОB был равен 60 º.

Теперь давайте построим хорду АБ так, чтобы угол АОB= 90º.

Проведем через точки А и О диаметр окружности. Из точки О проведем перпендикуляр к построенному диаметру, полученный перпендикуляр пересекает окружность в двух точках. Обозначим одну из них за B. Хорда АB и будет искомая.

Теперь давайте построим хорду АB так, чтобы угол АОB=120º.

Для этого проведем через точки О и А диаметр окружности. Он делит окружность на две полуокружности, градусная мера которых равна 180º.

Построим хорду АB, так, чтобы один из центральных углов был равен 60º.

Обозначим вторую точку диаметра C и проведем окружность с радиусом равным радиусу исходной окружности и центром в точке C. Обозначим одну из точек пересечения окружностей за B и получим, что угол COB= 60º, (мы уже выяснили почему), тогда угол АОB= 180-60= 120º. То есть хорда АB – искомая.

Читайте также:  Правила для измерения цвд

Теперь нам надо построить хорду Аб так, чтобы угол АОБ был бы равен ста восьмидесяти градусам. Такой хордой, будет диаметр проведенный через точку А.

Обозначим второй конец диаметра буквой Б и получим искомую хорду.

Задача. Хорды и окружности с центром равны. Доказать, что две дуги с концами и соответственно равны двум дугам с концами и . Найти градусные меры дуг с концами и , если .

Решение. Выполним чертеж.

и

и по условию

Ответ:.

Задача. На полуокружности взяты точки и так, что , . Найдите хорду , если .

Решение. Выполним чертеж.

− равносторонний

(см)

Ответ: см.

Итак, давайте повторим главное: Дуга – часть окружности. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом этой окружности. Если дуга АB окружности меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера равна градусной мере центрального угла АОB. Мы знаем, что градусная мера круга равна 360º, поэтому если дуга AB больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной .

Источник

Углы и дуги. Готовимся к ОГЭ

В предыдущей статье мы находили длину дуги и площадь кругового сектора. (Ссылка будет в конце статьи).

Вспомним и закрепим наши знания и навыки:
1. как соотносятся градусные меры центрального и вписанного углов, опирающихся на одну дугу;
2. как найти градусную меру угла/ дуги по рисунку;
3. как найти длину большей дуги, если известны градусные меры меньшей дуги и угла, который на неё опирается.

По ходу занятия решим несколько типовых задач из ОГЭ.

1. центральный и вписанный углы, опирающиеся на одну дугу

Сначала вспомним, что это за углы такие:

А теперь посмотрите на картинку ниже. Диаметр окружности — это тоже центральный угол!

Наконец, рассмотрим два угла, которые опираются на одну и ту же дугу:

Сделаем ещё один вывод:
стороны центрального угла содержат радиусы ,
а стороны вписанного могут содержать хорды , диаметр, касательную. Но о касательных мы будем говорить отдельно в одной из следующих статей.
Вот и всё.
Открываем КИМы, сайты, задачники — начинаем тренироваться.

Читайте также:  Шаблоны применяемые для измерения колесных пар вагонов

2. Как найти градусную меру угла/ дуги по рисунку.

Задание 1.
ВС и АL – диаметры окружности с центром в точке О. Угол АВС равен 23°. Найдите градусную меру дуги ВL.

У этого задания несколько простых способов решения.

1 СПОСОБ.
Долгий путь, но показательный. Поучимся находить углы и дуги.

2 СПОСОБ.
Вспоминаем, что мы знаем об углах.

3 СПОСОБ.
Самый простой и даже элегантный 🙂
Будем крутить и разглядывать рисунок!

Прорешайте несколько таких задач, чтобы появилась уверенность.

Задание 2.
Найдите угол ВАС, если угол CВА равен 70 градусам.

На нашем рисунке видно, что АВ — диаметр. Но иногда эта информация может быть «зашифрована». Например, центр описанной окружности лежит на стороне АВ или Сторона АВ содержит центр окружности, описанной около треугольника АВС и т.п.

С дугами и вписанными углами разобрались. Но остался ещё один тип заданий, без разбора которого наши знания не будут полными.

3. Как найти длину большей дуги, если известны градусные меры меньшей дуги и угла, который на неё опирается.

В прошлой статье мы учились находить длину дуги и немного говорили о её градусной мере. Сегодня объдиним наши знания, чтобы решить такую задачу:

Задание 3.
Дана окружность с центром в т. О.
Угол АОВ равен 100 градусов. Длина меньшей дуги АВ равна 60. Найдите длину большей дуги АВ.

Сначала изобразим окружность и угол:

Обратите внимание на единицы измерения!
100 — это градусная мера угла.
60 — длина дуги. Это не градусы. Предположим, это сантиметры или метры. Вот в чём дело!
Если бы дуга была дана в градусах, то её величина была бы равна величине угла и указана в градусах.

Главное — не запутаться в единицах измерения:

Рассуждаем так:
1. Вся окружность — 360 градусов. Градусная мера дуги АВ = 100 градусов, как и градусная мера центрального угла.
2. Найдём градусную меру большей дуги: 360 — 100 = 260 градусов.
3. Длину меньшей дуги мы знаем — 60. Длину большей дуги нужно найти — пусть она будет Х.

Источник