Меню

Как измерить площадь поверхности призмы



Площадь призмы

Призма – это многогранник, в основаниях которого два равных многоугольника, а боковые грани представляют собой параллелограммы.

Площадь боковой поверхности призмы также как и прямоугольного параллелепипеда состоит из прямоугольников, если призма прямая, сторонами которых являются сторона многоугольника в основании и высота, а их количество зависит от количества сторон в многоугольнике. Поэтому площадь боковой поверхности призмы вычисляется умножением периметра основания на высоту: Sб.п.=Ph=nah

Если в основании призмы лежит правильный треугольник, то в формуле соответственно вместо n мы напишем 3 : Sб.п.=3ah

Если в основании призмы лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат, то формула будет выглядеть так: Sб.п.=4ah

Формула для прямоугольника: Sб.п.=2(a+b)h

Формула для пятиугольника: Sб.п.=5ah

Формула для шестиугольника: Sб.п.=6ah

Чтобы найти площадь полной поверхности, нужно традиционно добавить к площади боковой два основания:

Для правильного треугольника в основании:

Для прямоугольника в основании: Sп.п.=2ab+2bc+2ac

Для пятиугольника в основании:

Для шестиугольника в основании:

Источник

Как найти площадь поверхности треугольной призмы

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.

Количество просмотров этой статьи: 147 232.

Призма представляет собой объемную (трехмерную) фигуру с двумя параллельными (и равными) гранями. [1] X Источник информации Две параллельные грани являются треугольниками и называются основаниями. Также в треугольной призме есть три боковые грани. Чтобы найти площадь поверхности треугольной призмы, сначала нужно вычислить площадь боковой поверхности, затем вычислить общую площадь оснований и, наконец, сложить эти площади. Площадь поверхности призмы находится по формуле: S A = L + 2 B <\displaystyle SA=L+2B> , где S A <\displaystyle SA> – площадь поверхности, L <\displaystyle L> – площадь боковой поверхности, B <\displaystyle B> – площадь одного основания.

Источник

Как найти площадь поверхности призмы?

В пространственной геометрии при решении задач с призмами часто возникает проблема с расчетом площади сторон или граней, которые образуют эти объемные фигуры. Данная статья посвящена вопросу определения площади основания призмы и ее боковой поверхности.

Перед тем как переходить к рассмотрению формул для площади основания и поверхности призмы того или иного вида, следует разобраться, о какой фигуре идет речь.

Поверхность призмы. Площадь основания и боковой поверхности. Площадь основания треугольной призмы

Фигура призма

Призма в геометрии представляет собой пространственную фигуру, состоящую из двух параллельных многоугольников, которые равны между собой, и нескольких четырехугольников или параллелограммов.

Количество последних всегда равно числу вершин одного многоугольника. Например, если фигура образована двумя параллельными n-угольниками, тогда количество параллелограммов будет равно n.

Соединяющие n-угольники параллелограммы называются боковыми сторонами призмы, а их суммарная площадь — это площадь боковой поверхности фигуры. Сами же n-угольники называются основаниями.

Читайте также:  Датчик для измерения скорости ветра

Выше рисунок демонстрирует пример призмы, изготовленной из бумаги. Желтый прямоугольник является ее верхним основанием. На втором таком же основании фигура стоит. Красный и зеленый прямоугольники — это боковые грани.

Какие призмы бывают?

Существует несколько типов призм. Все они отличаются друг от друга всего двумя параметрами:

  • видом n-угольника, образующего основания;
  • углом между n-угольником и боковыми гранями.

Например, если основания являются треугольниками, тогда и призма называется треугольной, если четырехугольниками, как на предыдущем рисунке, тогда фигура называется четырехугольной призмой, и так далее. Кроме этого, n-угольник может быть выпуклым или вогнутым, тогда к названию призмы тоже добавляется это свойство.

Угол между боковыми гранями и основанием может быть либо прямой, либо острый или тупой. В первом случае говорят о прямоугольной призме, во втором — о наклонной или косоугольной.

В особый тип фигур выделяют правильные призмы. Они обладают самой высокой симметрией среди остальных призм. Правильной она будет только в том случае, если является прямоугольной и ее основание — это правильный n-угольник. Рисунок ниже демонстрирует набор правильных призм, у которых число сторон n-угольника изменяется от трех до восьми.

Поверхность призмы

Под поверхностью рассматриваемой фигуры произвольного типа понимают совокупность всех точек, которые принадлежат граням призмы. Поверхность призмы удобно изучать, рассматривая ее развертку. Ниже дан пример такой развертки для треугольной призмы.

  • Видно, что вся поверхность образована двумя треугольниками и тремя прямоугольниками.
  • В случае призмы общего типа ее поверхность будет состоять из двух n-угольных оснований и n четырехугольников.
  • Рассмотрим подробнее вопрос вычисления площади поверхности призм разных типов.

Площадь основания призмы правильной

Пожалуй, самой простой задачей при работе с призмами является проблема нахождения площади основания правильной фигуры. Поскольку оно образовано n-угольником, у которого все углы и длины сторон являются одинаковыми, то всегда можно разделить его на одинаковые треугольники, у которых известны углы и стороны. Суммарная площадь треугольников будет площадью n-угольника.

Еще один способ определить часть площади поверхности призмы (основание) заключается в использовании известной формулы. Она имеет следующий вид:

То есть площадь Sn n-угольника однозначно определяется исходя из знания длины его стороны a. Некоторую сложность при расчете по формуле может составить вычисление котангенса, особенно когда n>4 (для n≤4 значения котангенса — это табличные данные). Для определения этой тригонометрической функции рекомендуется воспользоваться калькулятором.

При постановке геометрической задачи следует быть внимательным, поскольку может потребоваться найти площадь оснований призмы. Тогда полученное по формуле значение следует умножить на два.

Читайте также:  Калибровка поверка средств измерений нормативный документ

Площадь основания треугольной призмы

На примере треугольной призмы рассмотрим, как можно найти площадь основания этой фигуры.

Сначала рассмотрим простой случай — правильную призму. Площадь основания вычисляется по приведенной в пункте выше формуле, нужно подставить в нее n=3. Получаем:

S3 = 3/4*a2*ctg(pi/3) = 3/4*a2*1/√3 = √3/4*a2

Остается подставить в выражение конкретные значения длины стороны a равностороннего треугольника, чтобы получить площадь одного основания.

Теперь предположим, что имеется призма, основание которой представляет собой произвольный треугольник. Известны две его стороны a и b и угол между ними α. Эта фигура изображена ниже.

Как в этом случае найти площадь основания призмы треугольной? Необходимо вспомнить, что площадь любого треугольника равна половине произведения стороны и высоты, опущенной на эту сторону. На рисунке проведена высота h к стороне b. Длина h соответствует произведению синуса угла альфа на длину стороны a. Тогда площадь всего треугольника равна:

S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)

Это и есть площадь основания изображенной треугольной призмы.

Боковая поверхность

Мы разобрали, как найти площадь основания призмы. Боковая поверхность этой фигуры всегда состоит из параллелограммов. Для прямых призм параллелограммы становятся прямоугольниками, поэтому суммарную их площадь вычислить легко:

Здесь b — длина бокового ребра, ai — длина стороны i-го прямоугольника, которая совпадает с длиной стороны n-угольника. В случае правильной n-угольной призмы получаем простое выражение:

Если призма является наклонной, тогда для определения площади ее боковой поверхности следует сделать перпендикулярный срез, рассчитать его периметр Psr и умножить его на длину бокового ребра.

Рисунок выше показывает, как следует делать этот срез для наклонной пятиугольной призмы.

Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности призмы

Призма Рисунок Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности
Куб
  • V = a3,
  • Sбок = 4a2,
  • Sполн = 6a2,
  • где a – длина ребра куба.
Прямоугольный параллелепипед
  1. V = abc,
  2. Sбок = 2ac + 2bc,
  3. Sполн = 2ac + 2bc +2ab,
  4. где a, b – длины ребер основания параллелепипеда,c — высота параллелепипеда.
Прямой параллелепипед,в основании которого лежит параллелограмм со сторонами a, b и углом φ
  • Sосн = ab sin φ,
  • V = Sосн h = abh sin φ,
  • Sбок = 2ah + 2bh,
  • Sполн = 2ab sin φ + 2ah +2bh,
  • где a, b – длины ребер основания параллелепипеда,φ – угол между ребрами основания параллелепипеда,h — высота параллелепипеда.
Произвольный параллелепипед
  1. Sосн = ab sin φ,
  2. V = Sосн h = abh sin φ,
  3. V = Sперп с,
  4. Sбок = Pперп с,
  5. Sполн = 2ab sin φ + Pперп с,
  6. где a, b – длины ребер основания параллелепипеда,φ – угол между ребрами основания параллелепипеда,c – длина бокового ребра параллелепипеда,h — высота параллелепипеда.
Прямая призма
  • V = Sосн h,
  • Sбок = Pосн h,
  • Sполн = 2Sосн + Sбок,
  • где h — высота прямой призмы.
Правильнаяn – угольная призма
  1. V = Sосн h,
  2. Sбок = Pосн h = anh,
  3. Sполн = 2Sосн + Sбок,

Источник

Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности правильной призмы разных видов (треугольной, четырехугольной и шестиугольной), а также, разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. А прямой фигура является в том случае, если ее боковые грани перпендикулярны основаниям.

Формула площади правильной призмы

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и двух площадей основания.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равняется произведению периметра ее основания на высоту.

Формула периметра и площади основания правильной призмы зависит от вида многогранника. Ниже мы рассмотрим самые популярные виды.

2. Площадь правильной треугольной призмы

Основание: равносторонний треугольник.

» data-lang=»default» data-override=»<"emptyTable":"","info":"","infoEmpty":"","infoFiltered":"","lengthMenu":"","search":"","zeroRecords":"","exportLabel":"","file":"default">» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Площадь Формула
основание » data-order=»«>
боковая поверхность
полная » data-order=»«>

3. Площадь правильной четырехугольной призмы

Основание: квадрат.

» data-lang=»default» data-override=»<"emptyTable":"","info":"","infoEmpty":"","infoFiltered":"","lengthMenu":"","search":"","zeroRecords":"","exportLabel":"","file":"default">» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Площадь Формула
основание
боковая поверхность
полная

Примечание: Если высота правильной четырехугольной призмы равняется длине стороны ее основания, значит мы имеем дело с кубом, площадь одной грани которого равна a 2 . А так как все шесть граней куба равны, то полная площадь его поверхности равняется 6a 2 .

4. Площадь правильной шестиугольной призмы

Основание: правильный шестиугольник

» data-lang=»default» data-override=»<"emptyTable":"","info":"","infoEmpty":"","infoFiltered":"","lengthMenu":"","search":"","zeroRecords":"","exportLabel":"","file":"default">» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Площадь Формула
основание » data-order=»«>
боковая поверхность
полная » data-order=»«>

Примеры задач

Задание 1:
Сторона правильной треугольной призмы равна 6 см, а ее высота – 8 см. Найдите полную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные нам значения:

Задание 2:
Площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы составляет 400 см 2 . Найдите ее высоту, если известно, что сторона основания равна 5 см.

Решение:
Выведем выражение для нахождения высоты призмы из формулы ее полной площади:

Источник