Как измерить радиус электрона

Как измерить радиус электрона

Подсчитаем собственную электрическую энергию сферического заряда, у которого электричество распределено на поверхности. Электрическое поле имеется в таком случае только вне заряда, и поэтому нам надо просуммировать энергию поля во внешнем по отношению к сфере пространстве. Напряженность поля заряда, если он расположен в вакууме, выражается формулой плотность энергии в любой точке пространства будет иметь вид . Разобьем мысленно все пространство на сферические слои. Внутри такого слоя, ограниченного радиусами будет заключена энергия (объем слоя). Так как объем слоя равен -то энергия в этом шаровом слое представится простым выражением Чтобы найти полную энергию поля, надо проинтегрировать это выражение в пределах от а (так мы обозначим радиус сферы) до бесконечности. Итак,

Такой вид имеет формула энергии шарика, заряженного электричеством.

Предоставляем читателю проверить, что для заряда, распределенного по всему объему шарика, мы получили бы почти такую же формулу энергии, отличающуюся лишь близким к единице числовым коэффициентом.

К каким результатам мы придем, если применим полученную формулу к элементарным частицам, например к электрону?

Согласно принципу относительности (см. стр. 384) внутренняя энергия тела с массой выражается формулой где с — универсальная постоянная, равная скорости распространения электромагнитных волн в вакууме. Приравнивая два выражения энергии, мы получаем возможность вычислить радиус электрона:

Подстановка чисел в эту интересную формулу дает см. Значительное число косвенных физических фактов указывает на то, что по порядку величины размер электрона определен этим вычислением вполне правильно.

Тем не менее представление об электроне как об «обычной» электрической частице явно несостоятельно. Ведь сразу же возникает вопрос о силах, удерживающих части электрона столь близко

друг от друга. Силы отталкивания электрических частиц, находящихся на расстоянии порядка см, должны быть огромными.

Имеются и другие трудности у теории. Так, из теории относительности следует, что электрон должен быть математической точкой. В то же время электрическая энергия заряда, сосредоточенного в точке, должна быть бесконечно велика.

Это затруднение является типичным для так называемой классической физики, в основном созданной в XIX в. Классическая физика превосходно объясняет поведение макроскопических тел. Многим исследователям, работавшим на рубеже XIX и XX столетий, казалось, что здание классической физики настолько совершенно, что физика как наука близка к завершению. После того как были открыты элементарные частицы, возникло естественное стремление перенести законы, установленные для больших тел, на элементарные частицы. Тогда и начались «неудачи» классической физики. Сейчас мы знаем, что такое перенесение понятий, заимствованных из наблюдений над макромиром, на атомы, ядра и электроны несправедливо.

Проблема электрона не может быть решена в рамках классических представлений. Серьезные успехи в теории электрона достигнуты в последние годы, однако завершенной теории не существует. Излагаемая в этой части книги классическая теория электричества (электродинамика) имеет поэтому некоторые ограничения, с которыми приходится сталкиваться при изучении взаимодействия элементарных частиц. Во всех же случаях, когда речь идет о поведении одной элементарной частицы в полях, создаваемых большими телами, и тем более при рассмотрении взаимодействия макроскопических тел, результаты классической электродинамики безупречно совпадают с опытными данными.

Источник

Чему равен радиус электрона?

Уже несколько дней собираюсь написать статью на эту тему (с вычислениями, разумеется), но вот сегодня увидел на Ютубе в канале
Физика от Побединского в комментариях к ролику «О чем теория струн? Самое простое и понятное объяснение» вот такое примечание автора:

«под размером электрона подразумевается его характерный размер, вычисленный по взаимодействию с другими частицами (около 4,5х10^-17 м)»

и решил больше не тянуть с написанием, а взять и написать прямо сейчас.

Когда-то, лет 40 назад, я уже вычислял радиус электрона, приравняв энергию его электрического поля к энергии покоя электрона по формуле Эйнштейна m·c^2 и как сейчас помню, радиус получился гораздо больше, порядка 10^–15 м. Ну что ж, 40 лет назад не было ни интернета, ни компьютера с приложением MathCAD, а теперь есть, и это повод выполнить вычисления ещё раз, чтобы поделиться ими с общественностью. При вычислении делаем упрощение, будто бы электрон — это пустой шар, весь заряд которого сосредоточен равномерно по его поверхности, и электрон не имеет массы кроме массы, соответствующей энергии его электростатического поля в соответствии с формулой Эйнштейна. Это очень сильное упрощение, так как электрон имеет также и магнитное поле, и собственный механический момент импульса (равный 1/2 от постоянной Планка).

Итак, вспоминаем закон Кулона для напряжённости поля точечного заряда в вакууме E(r) и формулу для плотности энергии электрического поля w(r):

Очевидно, что радиус электрона не может быть равен 4,5·10^–17 м, так как для этого масса электрона должна быть гораздо больше чем на самом деле только на создание электрического поля. А ведь у электрона есть ещё магнитное поле (магнитный момент), и механический момент импульса.

Пока делал рисунки, в голову пришла идея считать электрон не заряженным по поверхности шариком, а шариком, однородно заряженным по всему объёму. Нужно будет составить ещё один интеграл для внутреннего поля, сложить с уже вычисленным, и в результате получим радиус немного больше, чем ранее вычисленный.

Заметим, что в формулах ни разу не использовалась постоянная Планка! Это потому что квантова механика описывает электрон как точечную частицу во внешнем поле, размазанную по очень небольшому пространству.

Дополнение от 18.07.2020.

На сайте Википедия нашёл статью по запросу «Классический радиус электрона» (https://ru.wikipedia.org/wiki/Классический_радиус_электрона). Вычисления практически совпадают с моими, только почему-то берётся не вся масса электрона, а только половина. Поэтому радиус получается в 2 раза больше.

Смотри также: «Какая температура в космосе?» , «Чему равен радиус электрона?» , «На первый взгляд очень сложная задача по электростатике» , «Как складывать приближённые числа?», «Несобственный неберущийся интеграл иногда очень легко вычисляется!», «Материально ли электромагнитное поле? А гравитационное?», «Расчёт полей в разветвлённом магнитопроводе с учётом кривой намагничивания», «Сравниваем онлайн калькуляторы интегралов», «Сравниваем онлайн переводчики», «Что такое обобщённые функции?», «Что такое радиус сходимости степенного ряда? Визуализация радиуса сходимости в приложении MathCAD», «Вольт-амперная характеристика несамостоятельного разряда в газах», «Дифракция Френеля на щели: самая сложная задача по физике, которую я решал», «Странная задача: вычислить время пуска двигателя (даже не сказано какого!)», «Расщепление уровней в квантовой механике. Одномерная задача», «Материальны ли волны де Бройля? Редукция волновой функции при поглощении частицы», «», «», «», «», «», «», «», «», «Почему все такие тупые? Часть 1. Немецкий профессор Зигфрид Ауст (книга Погода из серии «Что есть что?»)», «Почему все такие тупые? Часть 2. Суров, Вихарев, Долгова, Барабанов. Задачник по гидравлике для студентов АЛТИ (АГТУ, САФУ)», «Почему все такие тупые? Часть 3. Ляпсусы в задачниках по физике.», «Почему все такие тупые? Часть 4», «Почему все такие тупые? Часть 5», «Зачем я учу китайский язык?»

Не забываем лайкать и подписываться! Комментарии приветствуются (но только по теме)!

Ваш 数学老师 shùxué lǎoshī — шусюе лаоши (учитель математики)

物理学老师 wùlǐxué lǎoshī — улисюе лаоши (учитель физики)

热工程老师 règōngchéng lǎoshī — жегончен лаоши (учитель теплотехники)

水力学老师 shuǐlìxué lǎoshī — шўэйлисюе лаоши (учитель гидравлики)

金属科学老师 jīnshǔkēxué lǎoshī — циншукёсюе лаоши (учитель металловедения)

电子老师 diànzǐ lǎoshī (учитель электротехники)

电气老师 diànqì lǎoshī (учитель электроники)

液压系统老师 yèyā xìtǒng lǎoshī (учитель машиностроительной гидравлики)

材料强度老师 Cáiliào qiángdù lǎoshī — цхайляо цьенду лаошы (учитель сопромата)

机器和机制理论老师 Jīqì hé jīzhì lǐlùn lǎoshī — тьцици хё тьциджы лилуэн лаошы (учитель ТММ — теории машин и механизмов)

Источник

Как измерить радиус электрона

Анализ размерностей представляет собой общий метод, позволяющий с точностью до безразмерной константы получить выражение для нужной физической величины, размерность которой нам известна. Для этого выбираются «базовые» величины, ни одна из которых не может быть выражена через остальные. Их комбинация и даст интересующий результат. Анализ размерностей приводит к оценке по порядку величины, причём иногда получаются точные аналитические выражения.

В качестве примера приведём доказательство теоремы Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c:

Острый угол напротив стороны a обозначим A . Из соображений размерности площадь треугольника S пропорциональна квадрату одной из сторон, скажем, гипотенузы:

Высота h , опущенная из прямого угла на гипотенузу, разбивает треугольник на два ему подобных, причём их гипотенузы равны a и b соответственно. Острый угол каждого из этих треугольников равен A , поэтому их площади могут быть выражены как

Подставляя эти формулы в очевидное равенство

и сокращая на общий множитель f ( A ), приходим к искомой теореме:

Перейдём к физическим приложениям.

1.1. Классическая электродинамика.

В предлагаемом курсе мы будем пользоваться, главным образом, симметричной, или гауссовой системой единиц. В ней электрические величины измеряются в единицах СГСЭ, а магнитные — в единицах СГСМ. Лишь в отдельных случаях мы будем употреблять систему СИ, специально это оговорив, а там, где это уместно — и внесистемные единицы, такие как электрон–вольт (эВ) или ридберг ( Ry ). Применяемые значения констант взяты из статьи “ The Fundamental Physical Constants ”, опубликованной на странице 9 журнала “ Physics Today ” Volume 49, Number 8, Part 2, авторы — E. Richard Cohen и Barry N. Taylor .

Итак, массу мы измеряем в граммах (г), размеры — в сантиметрах ( см ) и время — в секундах (с). В качестве базовых величин возьмем элементарный электрический заряд e , массу электрона m e и скорость света c :

Это — экспериментальные величины, не определяемые теоретически.

Классический радиус электрона.

Сформируем имеющую размерность длины комбинацию для релятивистской, но не квантовой величины: в ней должна присутствовать скорость света, но нет постоянной Планка. Для этого составим уравнение вида

Для размерностей это выглядит так:

Приравняв степени при одинаковых единицах размерности в левой и правой частях последней формулы, получим систему из трех линейных уравнений:

Решение этой системы дает:

Таким образом, комбинация базовых величин (1.1) с размерностью длины имеет вид:

Мы получили выражение для так называемого классического радиуса электрона r e . Численно он равен

Перепишем формулу для r e в виде

В правой части последнего уравнения стоит кулоновская энергия взаимодействия зарядов e , находящихся на расстоянии r e , а в левой части — энергия покоящегося электрона. Таким образом, r e представляет собой такой размер шарика с зарядом e , при котором энергия взаимодействия электрона с возбуждаемым им полем равна его энергии покоя m e c 2 .

В атомной физике энергию часто выражают в электронвольтах (эВ). Такую энергию приобретает электрон после прохождения разности потенциалов, равной одному вольту. Напомним, что вольт — это единица измерения разности потенциалов в системе СИ, она примерно в триста раз меньше соответствующей единицы гауссовой системы:

Отсюда вытекает связь между электронвольтом и эргом — единицей энергии в системе Гаусса:

1 эВ = 1.602192·10 -12 эрг ≈ 1.6·10 -12 эрг.

Хотя для температуры принята своя единица измерения — градус Кельвина, тем не менее, и здесь иногда прибегают к электронвольтам. Чтобы выразить температуру в энергетических единицах, надо выполнить замену

где k — постоянная Больцмана,

Отсюда легко вычислить температуру, соответствующую одному электронвольту :

Выразим энергию покоя электрона в электронвольтах :

Известна реакция образования электрон-позитронных пар — превращение гамма–кванта ( γ ) в электрон ( e – ) и позитрон ( e + ):

Позитрон — это элементарная частица, масса которой равна массе электрона; заряды электрона и позитрона равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Говорят, что позитрон является античастицей по отношению к электрону. Пороговая энергия реакции определяется суммарной энергией покоя электрона и позитрона и составляет около одного мегаэлектронвольта . Имеет место и обратная реакция — аннигиляция электрона и позитрона:

В этой реакции возникают два или три фотона.

Другая важная для атомной физики частица — протон относится к классу нуклонов. Нуклон — это обобщённое наименование протона и нейтрона, частиц, из которых состоит ядро атома. Протон значительно тяжелее электрона:

m p = 1836.11· m e = 1.672661·10 -24 г.

Энергия покоя протона m p c 2 равна 938 МэВ. Нейтрон слегка тяжелее протона, его масса равна 1.6750·10 -24 г, а соответствующая ему энергия покоя составляет 940 МэВ. Аннигиляция нуклона и антинуклона чаще всего приводит к образованию π –м езонов.

Ленгмюровская частота.

Вещество во Вселенной находится, главным образом, в виде плазмы — полностью или частично ионизованного газа. В достаточно больших объёмах плазма электронейтральна , то есть, количество положительного и отрицательного зарядов в ней одинаково. Однако в небольших областях и на короткое время возникают флуктуации заряда. Электроны, стараясь их компенсировать, приходят в движение и получаются колебания вокруг положения равновесия. Эти колебания называются плазменными, или ленгмюровскими , по имени учёного, впервые обратившего на них внимание.

Помимо элементарного заряда и массы электрона, частота плазменных колебаний ω0 зависит от концентрации электронов N e — их числа в единице объёма. Комбинация e 2 / m e имеет размерность см 3 / с 2 . Умножив её на N e , получим с точностью до безразмерной константы:

Точное выражение для ω 0 содержит множитель ( 4π ) 1/2 :

Излучение в плазме не может распространяться на частотах ниже ленгмюровской . В земной ионосфере электронная плотность может быть оценена как 10 6 см –3 . Соответственно, от неё отражаются радиоволны с линейной частотой n

1.2 Квантовая физика.

Переходим к оценкам, в которых присутствует постоянная Планка

h = 6.62620·10 –27 эрг· с ,

имеющая размерность действия. Это означает, что мы выходим за пределы применимости классической механики и вступаем в область квантовой теории. Во многих формулах удобно пользоваться модифицированной («перечёркнутой») постоянной Планка:

ħ = h /2 π = 1.05459·10 –27 эрг · с .

В классической физике действие сохраняется как адиабатический инвариант. Например, медленное изменение длины математического маятника сопровождается изменением энергии и частоты его колебаний, так что остаётся постоянным их отношение:

В квантовой физике этому соотношению отвечает формула,

связывающая энергию и частоту фотона. Длина волны λ излучения связана с импульсом фотона p , если его рассматривать как частицу:

Здесь k — волновой вектор. Он направлен по направлению движения волны, а его модуль равен 2 p / λ . Постоянная Планка h представляет собой элементарную порцию, или квант, действия. Действие квантуется: оно принимает дискретный ряд значений, пропорциональных h , и не может быть меньше h .

Размерность действия имеет также момент орбитального количества движения частицы, равного векторному произведению её количества движения на радиус-вектор:

Момент вращения тоже квантуется. Кроме того, квантуется произведение дисперсий импульса и координаты

Последняя формула представляет собой известное соотношение неопределённостей Гайзенберга . Произведение дифференциалов трёх координат

и трёх составляющих импульса

можно рассматривать как элемент объёма в 6–мерном фазовом пространстве. Каждая пара произведений импульса и координаты D p i · D r i имеет размерность действия. Соответственно, число квантовых состояний dN в элементе фазового объёма

d G = dpx · dpy · dpz · dx · dy · dz

Этим соотношением мы будем пользоваться неоднократно, например, при выводе формулы Планка для спектра чернотельного излучения, а также формулы ионизационного равновесия, носящей имя Сахá .

Скорость электрона в атоме

Масштабы величин в нерелятивистской квантовой теории определяют элементарный заряд e , масса электрона m e и постоянная Планка ħ :

Комбинация с размерностью скорости получается из двух констант:

Это скорость электрона на первой боровской орбите. Умножив числитель и знаменатель на скорость света c , перепишем выражение для V 0 в виде

V 0 = a · c = 2.18·10 8 см/ с .

Безразмерная величина a называется постоянной тонкой структуры:

Она играет важную роль в релятивистской квантовой теории. Для построения квантовой электродинамики существенно, что a значительно меньше единицы и может рассматриваться как малый параметр.

Энергия атома

Зная величину V 0 , оценим энергию электрона на первой боровской орбите. С точностью до константы

Это атомная единица энергии — хартри. Половина этой величины называется ридбергом:

В дальнейшем мы увидим, что ридберг практически равен потенциалу ионизации атома водорода из основного состояния. Сопоставим (2.5) с энергией покоя электрона m e c 2 :

Таким образом, энергетические масштабы атомных и ядерных процессов различаются на четыре порядка величины.

Размер атома

Рассмотрим систему протон–электрон. Согласно теореме вириала, при кулоновском взаимодействии средние значения кинетической T и потенциальной U энергии электрона связаны соотношением

Поэтому с точностью до постоянной величины имеем:

где a 0 — радиус орбиты электрона. Из последней формулы получим

Здесь введена единица измерения ангстрем:

Ею часто пользуются при решении задач атомной физики. Величина a 0 называется боровским радиусом. Он равен радиусу орбиты электрона в основном состоянии атома водорода.

Дебройлевская длина волны

Далее мы увидим, что электрон, как и любая другая частица, проявляет не только корпускулярные, но и волновые свойства. Для их описания используется дебройлевская длина волны λ D . Оценим её из соображений размерности. По аналогии с формулой (2.1) для электрона как волны имеем

где волновые свойства электрона описываются параметром ω , имеющим размерность частоты. Ему соответствует характерное время D t =1/ ω , откуда

Из скорости электрона V и промежутка времени D t составим комбинацию с размерностью длины:

Она называется дебройлевской длиной волны и, согласно приведённым выкладкам, равна

К той же самой величине мы приходим, исходя из соотношения неопределённостей (2.2), если определим длину волны де Бройля как неопределённость положения электрона по одному измерению:

Волновые свойства электрона проявляются в опытах по дифракции электронов на кристалле. Постоянная решётки, то есть расстояние между ионами у большинства кристаллов порядка одного ангстрема. Дифракционные явления наблюдаются у электронов, длина волны которых сравнима с постоянной кристаллической решётки. Такие электроны, согласно (2.5) и (2.7), обладают энергией около 10 эВ.

1.3 Квантовая теория излучения и магнитные явления

В квантовую теорию излучения входят три параметра: заряд, постоянная Планка и скорость света. Сопоставим размеры атома и электрона. Их отношение равно

Классический радиус электрона на четыре порядка величины меньше боровского радиуса, что аналогично соотношению энергий (2.6). Последний результат не должен вызывать удивления, так как энергия кулоновского взаимодействия обратно пропорциональна первой степени расстояния.

Рассмотрим ещё одну важную величину — комптоновскую длину волны, определив её как среднее геометрическое r e и a 0 :

.

Она характеризует эффект отдачи: обусловленное квантовой природой света изменение энергии фотона при комптоновском рассеянии. Длина волны фотона, рассеянного на прямой угол неподвижным свободным электроном возрастает на величину

также называемой комптоновской длиной волны. Между тремя масштабами длины имеет место соотношение:

(3.3)

Комптоновская длина волны описывает релятивистские эффекты в квантовой электродинамике, например — рождение пар. Если длина волны фотона меньше комптоновской длины волны, то его энергия превышает m e c 2 — масштаб пороговой энергии для рождения электрон–позитронных пар.

Комптоновская длина волны обратно пропорциональна массе частицы. Перейдём от масштаба комптоновской длины волны электрона к размерам ядра. Тогда величине соответствуют частицы в сотни раз массивнее электрона. Такие частицы существуют — это π –м езоны с массой 270 m e , они определяют взаимодействие нуклонов в ядре.

Масштабы частоты и времени, характерная длина волны излучения.

Оценим период обращения электрона вокруг протона в атоме водорода. Отношение

называется атомной единицей времени, а обратная величина

,

соответственно, атомной единицей частоты. В случае удалённых от ядра орбит частота излучаемого кванта не сильно отличается от ω 0 . Отсюда следует оценка длины волны

Å,

Весьма важно, что длина волны света в тысячи раз превышает размеры атома. Этот факт позволяет выполнить классификацию типов излучения, а именно — выделить его дипольную и квадрупольную составляющие.

Напряженность электрического поля и магнитный момент

Оценим величину электрического поля в атоме:

e / a 0 ≈ 300·4.8·10 – 10 / (0.5·10 – 8 ) 2 ≈ 5· 10 9 В / см.

Столь сильное поле задаёт жёсткую структуру атома. Напомним, что размерный множитель 300 соответствует переходу от единиц напряженности системы СГСЭ к вольтам, более удобным единицам.

Пусть электрон вращается на расстоянии r от ядра со скоростью V по круговой орбите, площадь которой обозначим S . При движении электрона возникает ток величиной I = e V / r . Согласно определению, величина магнитного момента равна отношению

Магнитный момент μ , как и напряжённость магнитного поля H , является псевдовектором, или аксиальным вектором. От обычного, то есть, полярного вектора они отличаются сменой направления при операции инверсии координат.

Магнитный момент любой системы определяет её потенциальную энергию U в магнитном поле:

В задаче о вращении электрона вокруг ядра произведение pr , согласно соотношению неопределённостей (2.2), должно быть порядка ħ , откуда

называется магнетоном Бора. Она определяет магнитные свойства атома.

Эффект Зеемана.

Применим результаты предыдущего раздела к эффекту Зеемана — расщеплению спектральных линий в магнитном поле. Сдвиг линий происходит вследствие изменения положения энергетических уровней под действием внешнего магнитного поля. Оценим величину поля, которое обусловливает изменение энергии уровня D E , скажем, на одну миллионную его первоначального значения E :

Согласно разделу (1.2), энергия электрона в атоме порядка одного ридберга, следовательно, D E

10 –11 эрг. Подставляя D E = U в формулу (3.4), получим

Поля такой величины встречаются в отдельных областях поверхности Солнца и некоторых звёзд, такие области называются «магнитными пятнами», или просто «пятнами». Магнитные пятна занимают относительно небольшую часть, около десяти процентов поверхности звезды. На большей части поверхности Солнца и других звёзд магнитное поле также присутствует, но его величина не превышает нескольких гаусс.

1.4 Квантовая теория гравитации

Квантовая теория гравитации ещё не создана. Тем не менее, мы можем сделать некоторые выводы из анализа размерностей, опираясь на гравитационную постоянную

G = 6.67390 ·10 –8 см 3 с –2 г –1 ,

постоянную Планка ħ и скорость света c . Из этих трёх величин получим выражения для планковской длины

и планковской массы

На этих масштабах ломается привычная для нас метрика, а геометрия пространства приобретает квантовые свойства. Отметим относительно большую величину планковской массы:

Частицу с массой m P называют максимоном ( фридмоном ). Энергия, соответствующая массе покоя максимона , равна m P c 2 ≈ 5·10 28 эВ. Частицы с такой энергией в космосе не наблюдаются.

По теории Гамова в момент времени

t P произошёл так называемый «большой взрыв». То, что осталось от него, мы наблюдаем в виде реликтового излучения. В настоящий момент времени t 0 температура излучения равна T 0 = 2.73 K ≈ 10 –4 эВ.

Допустим, что температура T и время t связаны между собой по закону

В момент времени t L ≈ 1 c при температуре T L ≈ 10 6 эВ происходит аннигиляции лептонов. Зная t 0 и t L , а так же соответствующие этим моментам времени температуры, найдем показатель n :

Отсюда n = 10/17 ≈ 1/2. Теперь мы можем оценить температуру в момент времени t P :

Полученное значение энергии по порядку величины совпадает с энергией максимонов . Таким образом, на временах порядка t P , действительно могли существовать частицы больших энергий, порядка энергии максимонов .

Источник

Поделиться с друзьями
Моя стройка
Adblock
detector