Смежные и вертикальные углы
Смежные углы
Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой. Следовательно, два смежных угла составляют развёрнутый угол. Общая сторона двух смежных углов называется наклонной к прямой, на которой лежат другие стороны (только в том случае, когда смежные углы не равны).
∠ABD и ∠DBC — это смежные углы, AC — прямая, луч BD — общая сторона углов и наклонная к прямой AC, ∠ABC — развёрнутый угол, B — основание наклонной.
Чтобы построить угол, смежный с данным углом, нужно одну из сторон угла продлить за вершину:
Сумма смежных углов
Любые два смежных угла составляют в сумме развёрнутый угол. Развёрнутый угол равен двум прямым углам, поэтому можно сказать, что сумма двух смежных углов равна двум прямым углам.
где d — это обозначение прямого угла (d = 90°).
Вертикальные углы
Вертикальные углы — это пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого угла. Пересечение двух прямых линий образует две пары вертикальных углов:
∠AOB и ∠COD, а также ∠AOD и ∠BOC — вертикальные углы.
Равенство вертикальных углов
Вертикальные углы равны между собой. Рассмотрим вертикальные углы 1 и 3:
Сумма ∠1 и ∠2 равна развёрнутому углу (180°). Сумма ∠2 и ∠3 тоже равна развёрнутому углу (180°). Значит:
Следовательно, ∠1 = ∠3. Равенство вертикальных углов доказано.
Источник
Смежные углы. Свойства смежных углов
Определение 1. Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а другие стороны являются продолжениями друг друга.
 |
На Рис.1 углы AOB и BOC смежные, так как сторона OB общая для этих углов, а стороны OA и OC являются продолжениями друг друга. Поскольку угол AOC является развернутым углом, то сумма смежных углов равна 180°:
 . | (1) |
Свойства смежных углов
1. Сумма смежных углов равна 180°
2. Если оба смежных угла равны между собой, то они являются прямыми.
3. В паре смежных углов всегда один острый, а другой тупой, или оба угла прямые.
4. Синусы смежных углов равны.
5. Косинусы, тангенсы и котангенсы смежгых углов равны, но имеют противоположный знак.
Справедливость пунктов 2 и 3 очевидны и следуют из (1).
Доказательство пункта 4. Обозначим через α один из смежных углов. Тогда величина другого угла будет равна 180°−α. Но (см. статью Формулы приведения тригонометрических функций онлайн)
 . |
То есть синусы смежных углов равны.
Доказательство пункта 5. Обозначим через α один из смежных углов. Тогда величина другого угла будет равна 180°−α. Но
 , |
 , |
 . |
То есть косинусы, тангенсы и котангенсы смежных углов равны, но имеют противоположный знак.
Источник
Измерение углов
Измерить угол — значит найти его величину. Величина угла показывает, сколько раз угол, выбранный за единицу измерения, укладывается в данном углу.
Обычно за единицу измерения углов принимают градус. Градус — это угол, равный 
части развёрнутого угла. Для обозначения градусов в тексте, используется знак ° , который ставится в правом верхнем углу числа, показывающего количество градусов (например, 60°).
Измерение углов транспортиром
Для измерения углов используют специальный прибор — транспортир:
У транспортира две шкалы — внутренняя и внешняя. Начало отсчёта у внутренней и у внешней шкал располагается с разных сторон. Чтобы получить правильный результат измерения, отсчёт градусов должен начинаться с правильной стороны.
Измерение углов производится следующим образом: транспортир накладывают на угол так, чтобы вершина угла совпала с центром транспортира, а одна из сторон угла прошла через нулевое деление на шкале. Тогда другая сторона угла укажет величину угла в градусах:
Говорят: угол BOC равен 60 градусов, угол MON равен 120 градусов и пишут: ∠BOC = 60°, ∠MON = 120°.
Для более точного измерения углов используют доли градуса: минуты и секунды. Минута — это угол, равный 
части градуса. Секунда — это угол, равный части минуты. Минуты обозначают знаком ‘ , a секунды — знаком » . Знак минут и секунд ставится в правом верхнем углу числа. Например, если угол имеет величину 50 градусов 34 минуты и 19 секунд, то пишут:
Свойства измерения углов
Если луч делит данный угол на две части (на два угла), то величина данного угла равна сумме величин двух полученных углов.
Рассмотрим угол AOB:
Луч OD делит его на два угла: ∠AOD и ∠DOB. Таким образом, ∠AOB = ∠AOD + ∠DOB.
Развёрнутый угол равен 180°.
Любой угол имеет определённую величину, большую нуля.
Источник
Как измерить величину смежного угла
Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту
- Главная
- 4-Класс
- Математика
- Видеоурок «Сравнение углов. Измерение углов. Угловой градус. Транспортир»
В этом уроке научимся сравнивать и измерять углы.
Вспомним, что угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла).
Давайте сравним два угла с помощью наложения и выясним, равны углы или нет.
Возьмём два угла.
Один угол закрасим в синий цвет, а другой – в красный и наложим красный угол на синий.
На рисунке видно, что синий угол больше, чем красный, но мы не знаем на сколько больше. Чтобы сравнивать углы, надо научиться точно их измерять.
Измеряют величину угла так же, как и любую другую величину.
Для этого выбирают единицу измерения (мерку) и узнают, сколько раз она содержится в измеряемой величине.
Представим себе такую ситуацию: Серёжа, Петя и Коля решили измерить угол, но мерку каждый решил сделать себе сам.
Что же получилось?
Оказалось, что один и тот же угол у Серёжи равен трём его меркам, у Пети – четырем меркам, а у Коли – шести меркам.
Кто из них прав?
Какой величины этот угол на самом деле?
В геометрии существует общепринятая, единая для всех, мерка – это 1/90 часть прямого угла. Эту мерку называют градусом и обозначают: 1°.
Таким образом, прямой угол равен 90°, а развёрнутый – 180°.
Любой острый угол будет меньше 90°, а любой тупой будет больше 90°.
При сложении углов их градусные меры складываются, а при вычитании – вычитаются, например:
Надо также запомнить, что сумма смежных углов всегда равна 180°.
Давайте попробуем решить задачу, используя наши знания.
Дан угол ОМР – он прямой, т.е. 90°, два луча разделили его на три угла.
Как видно из рисунка, один угол – 18 градусов, а другой – 23 градуса.
Нам нужно вычислить, чему равен угол КМN?
Чтобы найти величину угла КМN, нужно из градусной меры угла ОМР вычесть градусные меры углов КМР и NМО:
∠КМN = ∠ОМР – ∠КМР – ∠NМО = 90° – 18° – 23° = 49°
Угол КМN равен 49°.
Решим ещё одну задачу.
На рисунке мы видим, что ∠КОС – развёрнутый, значит, он равен 180°.
∠КОВ = 60° и ∠АОС = 60°.
Найдём величину ∠ВОА.
∠ВОА = ∠КОС – ∠КОВ – ∠АОС = 180° – 60° – 60° = 60°
Чтобы измерить угол в градусах, необходимо знать, сколько раз в нем содержится мерка 1°. Для измерения углов в градусах используют специальный инструмент – транспортир.
Транспортир состоит из линейки (прямолинейной шкалы) и полукруга (угломерной шкалы), разделённого на градусы от 0 до 180. В некоторых моделях, например, круговой транспортир – от 0 до 360. Шкала транспортира располагается на полуокружности.
Центр этой полуокружности отмечен на транспортире черточкой, его называют центр транспортира.
Давайте измерим ∠МКТ.
Для этого наложим транспортир так, чтобы центр транспортира совпал с точкой К — началом луча КТ, а сам луч КТ прошел через начало отсчета шкалы транспортира. Градусную меру угла покажет штрих на шкале транспортира, через который проходит другая сторона угла.
Итак, ∠МКТ равен 32°.
С помощью транспортира можно не только измерять, но и строить углы.
Давайте построим угол, равный 110°, одной стороной которого служит луч ОА.
Сначала проведем луч ОА.
Затем наложим транспортир на наш луч так, чтобы центр транспортира совпал с точкой О — началом луча ОА, а сам луч ОА прошел через начало отсчета шкалы транспортира.
Поставим точку В против штриха шкалы транспортира с отметкой 110° и проведем луч ОВ.
Получим ∠АОВ, содержащий 110°.
Для удобства отсчет градусов по шкале транспортира идет в двух направлениях, и, когда мы измеряем или строим угол, всегда нужно помнить, что острый угол меньше 90°, а тупой больше 90°.
Подведем итоги нашего урока:
1. Углы измеряют при помощи транспортира.
2. Чтобы измерить угол транспортиром, нужно:
· приложить центр транспортира к вершине угла;
· расположить транспортир так, чтобы одна сторона угла прошла через начало отсчета шкалы транспортира деление 0;
· посмотреть, через какое деление этой шкалы пройдет другая сторона угла;
· при измерении нужно помнить, что острый угол меньше 90°, а тупой больше 90°.
3. Чтобы построить угол определенной величины, нужно:
· наложить на этот луч транспортир так, чтобы центр транспортира совпал с началом луча, а сам луч прошел через начало отсчета шкалы транспортира деление 0;
· поставить точку против штриха шкалы транспортира с отметкой нужной нам величины и провести через эту точку второй луч от начала исходного луча.
4. Прямой угол равен 90°, острый угол — меньше 90°, а тупой угол — больше 90°, развернутый угол равен 180°.
5. При сложении углов их градусные меры складываются, а при вычитании – вычитаются.
Источник
Углы. Смежные углы.
Какие углы называются смежными?
Смежными углами называется пара углов с общей вершиной и одной
общей стороной. 2 оставшиеся стороны делают продолжение друг
другу, образовывая прямую линию. Для угла 135 градусов смежным
будет угол равный 45 градусам. Для угла x градусов смежным
является угол (180 – x) градусов.
Два смежных угла — это углы, с одной общей стороной, а остальные стороны находятся на одной прямой.
При пересечении 2-х прямых получается 4-ре пары смежных углов:
Но, так как ∠1 =∠4, ∠2 = ∠3 (как вертикальные), то достаточно рассматривать
только одну из этих пар.
Свойство смежных углов.
Чему равна сумма смежных углов?
Смежные углы равны: сумма смежных углов 180º.
Следствия из теоремы о смежных углах.
- Если 2 угла равны, то смежные им углы тоже равны.
- Если угол не развернутый, значит он ≠180°.
- Смежный угол для прямого угла (т.е. угла, у него градусная мера = 90°), тоже прямой.
- Смежный угол для острого угла (градусная мера меньше 90°), будет тупым (градусная мера больше
90°), а смежный тупому — острым.
Тригонометрические соотношения.
- Синусы смежных углов одинаковы. Их косинусы и тангенсы равны по величине, но имеют
противоположные знаки (исключение неопределенные значения).
- Чтобы построить угол, смежный существующему, необходимо одну из сторон нашего угла продлить
Задание. Чему будет равна градусная мера угла α, когда градусная мера смежного ему угла = 70°?
Как найти смежный угол?
Решение. Из теоремы о смежных углах находим:
Источник