Меню

Как находятся абсолютные погрешности при прямом измерении физических величин типы погрешностей



Погрешности при измерении физических величин

При измерении любой физической величины принципиально невозможно определить ее истинное значение. Погрешности измерений могут быть связаны с техническими трудностями (несовершенство измерительных приборов, ограниченные возможности зрительного аппарата человека, с помощью которого во многих случаях регистрируются показания приборов, и т.д.), а также с целым рядом факторов, которые трудно или невозможно учесть (колебания температуры воздуха, движение потоков воздуха вблизи измерительного прибора, вибрации измерительного прибора вместе с лабораторным столом и т.п.).

Разность между измеренным и истинным значениями физической величины называется погрешностью (ошибкой) измерения.

Методические погрешности обусловлены недостатками применяемого метода измерения, несовершенством теории физического явления, к которому относится измеряемая величина, неточностью расчетной формулы. Например, при взвешивании тела на аналитических весах методическая ошибка может быть связана с тем, что не учитывается разность выталкивающих сил, действующих со стороны окружающего воздуха на тело и разновесы. Методические погрешности могут быть уменьшены при изменении и усовершенствовании метода измерения, а также введением уточнений или поправок в расчетную формулу.

Приборные погрешности обусловлены несовершенством конструкции и неточностью изготовления измерительных приборов. Например, ход секундомера может изменяться при резких колебаниях температуры, центр шкалы секундомера может не точно совпадать с осью вращения его стрелки и т.д. Уменьшение приборной погрешности достигается применением более точных (но вместе с тем и более дорогостоящих) приборов. Полностью устранить приборную погрешность невозможно.

Случайные погрешности вызываются многими факторами, не поддающимися учету. Например, на показания чувствительных рычажных весов могут повлиять:

  • вибрации здания от проезжающих по улице автомобилей
  • пылинки, оседающие на чашки весов во время взвешивания
  • удлинение одной половины коромысла весов, вблизи которой находится рука экспериментатора
  • и т.д.

Полностью избавиться от случайных погрешностей невозможно, но их можно уменьшить за счет многократного повторения измерений. При этом влияние факторов, приводящих к завышению и занижению результатов измерений, может частично компенсироваться. Расчет случайных погрешностей производится на основе теории вероятностей.

В качестве результата измерения какой-либо физической величины принимают среднее арифметическое Аср серии из n измерений:

Модуль отклонения результата i-го измерения Аi от среднего арифметического Аср называется абсолютной погрешностью данного измерения:

Средней абсолютной погрешностью величины Аср серии из n измерений называется величина:

Для сравнения точности измерения физических величин подсчитывают относительную погрешность Е (которую обычно выражают в процентах):

Окончательно результат измерения физической величины А представляют в виде:

причем в качестве абсолютной погрешности АА принимают наибольшую из средней абсолютной и приборной погрешностей (в более строгих расчетах погрешность АА выбирают на основании сопоставления случайной и приборной погрешностей). Подобная запись говорит о том, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале от Аср — ▵А до Аср + ▵А.

На шкалах многих измерительных приборов указывается так называемый класс точности. Условным обозначением класса точности является цифра, обведенная кружком. Класс точности определяет абсолютную приборную погрешность в процентах от наибольшего значения величины, которое может быть измерено данным прибором. Например, амперметр имеет шкалу от 0 до 5 А, его класс точности равен 1,0. Абсолютная погрешность измерения силы тока таким амперметром составляет 1,0 % от 5 А, т.е. ▵Априб =±0,05 А.

Если класс точности на шкале прибора не указан, то абсолютную погрешность прибора обычно принимают равной половине цены наименьшего деления шкалы прибора. Например, абсолютная погрешность измерения длины миллиметровой линейкой часто принимается равной ±0,5 мм.

При определении абсолютной погрешности прибора по цене деления следует обращать внимание на то, как производится измерение данным прибором, чем и как регистрируются результаты измерения, каково расстояние между соседними штрихами на шкале прибора и т.д. Если, например, расстояние от пола до подвешенного на нити груза измеряется с помощью миллиметровой линейки без каких-либо указателей, визиров и т.п., то абсолютная погрешность измерения не может быть принята меньшей 1 мм. Приборная погрешность принимается равной цене деления и в тех случаях, когда деления на шкале прибора нанесены очень часто, когда указателем прибора является не плавно перемещающаяся, а «скачущая» стрелка (как, например, у ручного секундомера), и т.д.

Рассмотрим пример обработки результатов прямых измерений. При прямом измерении некоторой физической величины А выполняют следующие действия:

  1. измеряют физическую величину n раз (А1, А2, …, Аn)
  2. находят среднее значение измеряемой величины Аср по формуле
  3. находят абсолютные погрешности каждого измерения и среднюю абсолютную погрешность всей серии измерений по формуле; в качестве абсолютной погрешности берут либо среднюю абсолютную погрешность, либо приборную погрешность (в зависимости от того, какая из этих погрешностей больше)
  4. записывают результаты измерений в виде, представленном формулой
  5. округляют абсолютную погрешность результата до двух значащих цифр, если первая из них 1 или 2, и до одной значащей цифры во всех остальных случаях; среднее значение измеряемой величины округляется или уточняется
  6. подсчитывают относительную погрешность результата

Пример. Измерение диаметра d шарика производилось пять раз с помощью микрометра, абсолютная погрешность которого dприб = ±0,01 мм. Результаты измерения диаметра шарика: d1= 5,27 мм, d2 = 5,30 мм, d3 = 5,28 мм, d4 = 5,32 мм, d5 = 5,28 мм.

Находим среднее значение диаметра шарика:
dср = (5,27 + 5,30 + 5,28 + 5,32 + 5,28)/5 = 5,29 мм.
Абсолютные погрешности измерений равны: ▵d1 = 0,02 мм, ▵d2 = 0,01 мм, ▵d3 = 0,01 мм, ▵d4 = 0,03 мм, ▵d5 = 0,01 мм, а средняя абсолютная погрешность:
▵dср = (0,02 + 0,01 + 0,01 + 0,03 + 0,01)/5 = 0,016 мм.

Читайте также:  Алфавитный подход позволяет измерить информационный объем сообщения независимо от его содержания

Поскольку средняя абсолютная погрешность больше приборной, результат измерения d = (5,290 ± 0,016) мм.

Относительная погрешность измерения диаметра шарика
Е = 0,016 / 5,29 =0,003 = 3 %.

Источник

Определение погрешностей при прямых измерениях

Измерение физических величин и классификация погрешностей

В физическом практикуме каждая из лабораторных работ посвящается воспроизведению опытов для наблюдения физических явлений или законов, изучению различных свойств веществ. Свойства тел или физических явлений, которые количественно могут отличаться у разных тел или изменяться у одного и того же тела, называются физическими величинами. К таким величинам относятся масса, объем, длина, температура, давление, скорость, ускорение, плотность и т.д.

Как правило, при выполнении лабораторных работ необходимо производить измерения той или иной физической величины, характеризующей рассматриваемое явление, закон или свойство изучаемого вещества. Измерить какую-либо физическую величину — это значит узнать, сколько раз заключается в ней однородная величина, принятая за единицу измерения. Измерения разделяют на прямые и косвенные.

При прямых измерениях определяемая величина сравнивается с единицей измерения непосредственно или при помощи измерительного прибора проградуированного в соответствующих единицах. Примерами прямых измерений является измерение длины линейкой или штангенциркулем, измерение времени секундомером, величины электрического тока амперметром, напряжения вольтметром, сопротивления омметром, температуры термометром и т.д.

При косвенных измерениях определяемая величина находится из результатов прямых измерений тех величин, которые связаны с определяемой величиной функциональной зависимостью. Например, чувствительность осциллографа определяется выражением:

,

где l — длина светящейся линии на экране осциллографа, расположенная вдоль оси X или Y; Uэф — эффективное напряжение, подаваемое на соответствующий вход (X или Y) прибора. Параметры l и Uэф можно определить прямыми измерениями, используя линейку и вольтметр, а величину S — из указанной выше функциональной зависимости.

Физическую величину невозможно измерить абсолютно точно, поскольку любое измерение сопровождается той или иной ошибкой(погрешностью).Погрешности измерений бывают систематические и случайные.

Погрешность, сохраняющая величину и знак от опыта к опыту, называется систематической. Систематическая погрешность может оставаться постоянной и закономерно изменяться как при изменении одной и той же величины, так и при изменении в некотором диапазоне, например, в диапазоне измерения прибора. По происхождению систематические погрешности можно классифицировать на следующие:

1. Методические (теоретические) погрешности, связанные с недостаточно точным обоснованием самого метода измерения, с допущениями при выводе формул, с зависимостью измеряемой величины от параметров приборов и т.д.

2.Инструментальные погрешности, связанные с конструктивными недостатками прибора, неисправностью или неправильной градуировкой прибора и т.д.

3. Погрешности установки, возникающие из-за неправильной установки прибора и неточной установки стрелки на ноль.

4. Личные погрешности(субъективные), проявляющиеся из-за индивидуальных особенностей экспериментатора при отсчете измеряемой величины (из-за неправильного расположения экспериментатора относительно прибора, неточность интерполяции показания в пределах одного деления и т.д.).

5. Погрешности, вызываемые изменением внешних условий (изменение температурных, магнитных и электрических полей, частоты, напряжения, давления, влажности, ускорения и т.д.).

Погрешность, которая непредсказуемым образом изменяет свою величину и знак от опыта к опыту, называется случайной. Случайная погрешность является результатом действия большого числа случайных причин на каждое измерение, величина и природа которой остается неопределенной. Случайный характер этих погрешностей проявляется в том, что при многократном повторении опыта в одинаковых условиях и с одинаковой тщательностью получаются различные результаты. Погрешности, возникающие в результате неправильного отсчета по шкале прибора, неверной записи отсчетов, грубых нарушений условий измерения и т.д., называются промахами.Измерения, содержащие промахи, не учитываются. В подобных случаях делается повторное (контрольное) измерение.

В основе теории определения погрешностей лежат два положения, подтвержденные опытом.

1. При большом числе измерений физической величины случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто.

2. Погрешности большие по абсолютной величине встречаются реже, чем малые, т.е. вероятность появления погрешности уменьшается с ростом величины погрешности.

Допустим, что мы произвели n прямых измерений некоторой физической величины А, истинное значение которой нам неизвестно. Обозначим через А1, А2, А3, . . . Аn результаты отдельных измерений. Абсолютнуюпогрешность DАn n-го измерения, представляющую собой разность между истинным значением А и измеряемой величиной Аn, можно записать следующим образом: DАn=А-Аn, тогда результаты отдельных измерений можно представить в виде:

, , …, (1)

Абсолютные погрешности DА1, DА2, . . . DАn могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Суммируя левую и почленно правую стороны равенства (1), получаем:

Читайте также:  Призма для измерения вала

(2)

Разделив обе стороны равенства (2) на число n и учитывая,что среднеарифметическая величина:

(3)

(4)

после перестановки членов получим:

(4)

Так как в серии большого числа измерений всякой положительной погрешности можно сопоставить равную ей по абсолютной величине отрицательную погрешность, то на основании положения 1, указанного выше,

(5)

(5)

Тогда из уравнения (4) следует:

при (6)

(6a)

При ограниченном числе измерений (n¹¥) среднеарифметическое значение будет отличаться от истинного значения А, т.е. равенство (6) будет приближенным:

(6а)

(7)

В этом случае необходимо оценить величину этого расхождения. Как показывают соответствующие расчеты, вместо приближенного равенства (6а), можно записать:

(7)

(7a)

или

(7а)

где определяется выражением (3), а для определения используется формула:

(8)

Отношения называются относительными ошибками отдельных измерений.

Отношение средней абсолютной ошибки результата к среднему значению дает среднюю относительную ошибку измерений

(9)

Так как относительную ошибку принято выражать в процентах, то

(9а)

(9a)

Из уравнения (7) и (7а) видно, что знаки “+” и ”-” показывают не наличие двух истинных значений измеряемой величины, а интервал, в котором находится единственное значение этой величины.

Более точную формулу для вычисления абсолютной ошибки результата дает теория вероятностей:

(10)

Абсолютная ошибка, определяемая уравнением (10), называется наиболее вероятной ошибкой.

Окончательное значение измеряемой физической величины в этом случае записывается следующим образом:

(11)

Окончательный результат (11) можно записать с учетом среднеквадратичной ошибки, которая определяется уравнением:

(12)

Пример.Определить абсолютную и относительную погрешность диаметра свинцового шарика по пяти измерениям, результаты которых указаны ниже.

d,мм 1,47 1,46 1,43 1,45 1,44

Среднее из пяти найденных значений:

Абсолютные ошибки отдельных измерений:

Средняя абсолютная ошибка результатов:

Результат измерений:

Аналогично можно произвести обработку результата измерений с наиболее вероятной ошибкой или с учетом средней квадратичной ошибки, используя формулу (10) или (12).

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Погрешности измерений, представление результатов эксперимента

п.1. Шкала измерительного прибора

Примеры шкал различных приборов:


Манометр – прибор для измерения давления, круговая шкала

Вольтметр – прибор для измерения напряжения, дуговая шкала

Индикатор громкости звука, линейная шкала

п.2. Цена деления

Пример определения цены деления:

Определим цену деления основной шкалы секундомера.
Два ближайших пронумерованных деления на основной шкале: a = 5 c
b = 10 c Между ними находится 4 средних деления, а между каждыми средними делениями еще 4 мелких. Итого: 4+4·5=24 деления.

Цена деления: \begin \triangle=\frac\\ \triangle=\frac<10-5><24+1>=\frac15=0,2\ c \end

п.3. Виды измерений

Физическую величину измеряют с помощью прибора

Измерение длины бруска линейкой

Физическую величину рассчитывают по формуле, куда подставляют значения величин, полученных с помощью прямых измерений

Определение площади столешницы при измеренной длине и ширине

п.4. Погрешность измерений, абсолютная и относительная погрешность

Определяется погрешностью инструментов и приборов, используемых для измерений (принципом действия, точностью шкалы и т.п.)

Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.

Погрешность теории (модели)

Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.

Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.

Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.

В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:

  • определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
  • определение объема с помощью мензурки.

Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:

Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями.
Цена деления такой линейки: \begin \triangle=\frac= \frac<1\ \text<см>><1+1>=0,5\ \text <см>\end Инструментальная погрешность: \begin d=\frac<\triangle><2>=\frac<0,5><2>=0,25\ \text <см>\end Истинное значение: \(L_0=4\ \text<см>\)
Результат измерений: $$ L=L_0\pm d=(4,00\pm 0,25)\ \text <см>$$ Относительная погрешность: $$ \delta=\frac<0,25><4,00>\cdot 100\text<%>=6,25\text<%>\approx 6,3\text <%>$$
Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями.
Цена деления такой линейки: \begin \triangle=\frac= \frac<1\ \text<см>><9+1>=0,1\ \text <см>\end Инструментальная погрешность: \begin d=\frac<\triangle><2>=\frac<0,1><2>=0,05\ \text <см>\end Истинное значение: \(L_0=4,15\ \text<см>\)
Результат измерений: $$ L=L_0\pm d=(4,15\pm 0,05)\ \text <см>$$ Относительная погрешность: $$ \delta=\frac<0,05><4,15>\cdot 100\text<%>\approx 1,2\text <%>$$

Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.

п.5. Абсолютная погрешность серии измерений

Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).

Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.

Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.

Составим расчетную таблицу:

№ опыта 1 2 3 Сумма
Масса, г 99,8 101,2 100,3 301,3
Абсолютное отклонение, г 0,6 0,8 0,1 1,5

Сначала находим среднее значение всех измерений: \begin m_0=\frac<99,8+101,2+100,3><3>=\frac<301,3><3>\approx 100,4\ \text <г>\end Это среднее значение принимаем за истинное значение массы.
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности \(m_0\) и измерения. \begin \triangle_1=|100,4-99,8|=0,6\\ \triangle_2=|100,4-101,2|=0,8\\ \triangle_3=|100,4-100,3|=0,1 \end Находим среднее абсолютное отклонение: \begin \triangle_=\frac<0,6+0,8+0,1><3>=\frac<1,5><3>=0,5\ \text <(г)>\end Мы видим, что полученное значение \(\triangle_\) больше инструментальной погрешности d.
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: \begin \triangle m=max\left\<\triangle_; d\right\>=max\left\<0,5; 0,05\right\>\ \text <(г)>\end Записываем результат: \begin m=m_0\pm\triangle m\\ m=(100,4\pm 0,5)\ \text <(г)>\end Относительная погрешность (с двумя значащими цифрами): \begin \delta_m=\frac<0,5><100,4>\cdot 100\text<%>\approx 0,050\text <%>\end

п.6. Представление результатов эксперимента

Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.

Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.

п.7. Задачи

Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно?

Составим таблицу для расчета цены деления:

№ мензурки a, мл b, мл n \(\triangle=\frac\), мл
1 20 40 4 \(\frac<40-20><4+1>=4\)
2 100 200 4 \(\frac<200-100><4+1>=20\)
3 15 30 4 \(\frac<30-15><4+1>=3\)
4 200 400 4 \(\frac<400-200><4+1>=40\)

Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):

№ мензурки Объем \(V_0\), мл Абсолютная погрешность
\(\triangle V=\frac<\triangle><2>\), мл
Относительная погрешность
\(\delta_V=\frac<\triangle V>\cdot 100\text<%>\)
1 68 2 3,0%
2 280 10 3,6%
3 27 1,5 5,6%
4 480 20 4,2%

Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.

Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка

Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0\pm 0,1)\ \text<м>,\ \ x_2=(4,0\pm 0,03)\ \text <м>$$ Какое из этих измерений точней и почему?

Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: \begin \delta_1=\frac<0,1><4,0>\cdot 100\text<%>=2,5\text<%>\\ \delta_2=\frac<0,03><4,0>\cdot 100\text<%>=0,75\text <%>\end Относительная погрешность второго измерения меньше. Значит, второе измерение точней.
Ответ: \(\delta_2\lt \delta_1\), второе измерение точней.

Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Абсолютная погрешность скорости каждой машины равна инструментальной, т.е. половине деления спидометра: $$ \triangle v_1=\frac<10><2>=5\ (\text<км/ч>),\ \ \triangle v_2=\frac<1><2>=0,5\ (\text<км/ч>) $$ Показания каждого из спидометров: $$ v_1=(54\pm 5)\ \text<км/ч>,\ \ v_2=(72\pm 0,5)\ \text <км/ч>$$ Скорость сближения равна сумме скоростей: $$ v_0=v_<10>+v_<20>,\ \ v_0=54+72=125\ \text <км/ч>$$ Для суммы абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. $$ \triangle v=\triangle v_1+\triangle v_2,\ \ \triangle v=5+0,5=5,5\ \text <км/ч>$$ Скорость сближения с учетом погрешности равна: $$ v=(126,0\pm 5,5)\ \text <км/ч>$$ Относительная погрешность: $$ \delta_v=\frac<5,5><126,0>\cdot 100\text<%>\approx 4,4\text <%>$$ Ответ: \(v=(126,0\pm 5,5)\ \text<км/ч>,\ \ \delta_v\approx 4,4\text<%>\)

Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.

Инструментальная погрешность линейки \(d=\frac<0,1><2>=0,05\ \text<см>\)
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20\pm 0,05)\ \text<см>,\ \ b=(60,10\pm 0,05)\ \text <см>$$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): \begin \delta_1=\frac<0,05><90,20>\cdot 100\text<%>\approx 0,0554\text<%>\approx \uparrow 0,056\text<%>\\ \delta_2=\frac<0,05><60,10>\cdot 100\text<%>\approx 0,0832\text<%>\approx \uparrow 0,084\text <%>\end Площадь столешницы: $$ S=ab,\ \ S=90,2\cdot 60,1 = 5421,01\ \text<см>^2 $$ Для произведения относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей слагаемых: $$ \delta_S=\delta_a+\delta_b=0,056\text<%>+0,084\text<%>=0,140\text<%>=0,14\text <%>$$ Абсолютная погрешность: \begin \triangle S=S\cdot \delta_S=5421,01\cdot 0,0014=7,59\approx 7,6\ \text<см>^2\\ S=(5421,0\pm 7,6)\ \text<см>^2 \end Ответ: \(S=(5421,0\pm 7,6)\ \text<см>^2,\ \ \delta_S\approx 0,14\text<%>\)

Источник