Как найти среднее значение измерений физика



Вычисление средних значений физических величин

Для характеристики случайной величины часто пользуются понятием среднего значения, которое определяется как:

(14)

Мерой отличия случайной величины x от среднего значения является дисперсия (среднеквадратичное отклонение), которая определяется как:

(15)

Раскрывая скобки и пользуясь определением средних величин можно получить простое выражение для расчета дисперсии:

(16)

В качестве примера рассчитаем средние значения и дисперсию для биноминального распределения. Установим среднее значение числа частиц попадающих в область V1. По определению среднее значение

.

Для расчета дисперсии биноминального распределения воспользуемся формулой (15) и результатом вычисления . Расчет можно провести аналогично :

Подстановка этой формулы в (15) приводит к значению дисперсии в биноминальном распределении:

Вычисление средних значений физических величин, зависящих от случайной величины x, проводится аналогично (14). Если известны вероятности различных состояний системы pi, при этом требуется вычислить значения какой-либо физической величины u имеющей разные значения в каждом из состояний ui=u(xi). Вычисление среднего значения производится в соответствии с формулой:

(17)

В случае непрерывного распределения вероятности выражение для среднего значения величины u(x) определяется через функцию плотности вероятности f(x):

(15)

Распределение Гаусса

Распределение Гаусса достаточно часто встречается при описании реальных физических систем. Одной из основных задач, приводящих к получению распределения Гаусса, является задача о случайном блуждании частицы на плоскости. Если частица начинает блуждания из начала координат, то вероятность ее обнаружения через некоторое время в области площадью dxdy в окрестности точки (x0, y0), определяется в виде:

где функция f(x) — распределение Гаусса для случайной величины x:

(16)

Здесь — среднее значение случайной величины x, — среднеквадратичное отклонение случайной величины x. График функции f(x) приведен на рис.2

Распределение Максвелла

Распределение Максвелла определяет функцию распределения частиц идеального газа по скоростям. По своему виду распределение Максвелла совпадает с распределением Гаусса, когда в качестве случайных величин выбираются проекции скорости молекул. Функция плотности вероятности для проекции скорости :

(17)

Поскольку компоненты скорости являются независимыми, то выражение (17) может быть перенесено и на компоненты скорости и . Общий вид графика функции (17) соответствует зависимости представленной на рис. 2.

В соответствии с (17) может быть получено распределение по модулю скорости:

(18)

График функции F(v) зависит от температуры

Распределение Максвелла F(v) может быть охарактеризовано несколькими характерными значениями скорости:

,

где — среднее значение модуля скорости, — наиболее вероятное значение скорости, — среднеквадратичное значение модуля скорости.

Вычисление среднего значения кинетической энергии молекул идеального газа, описываемых распределением Максвелла, может быть получено в виде:

(19)

Методика моделирования

Рассмотрим N частиц, идеального газа, имеющих одинаковую массу m, находящихся в закрытом сосуде. Каждая из частиц характеризуется вектором скорости или проекциями скоростей vxi, vyi, vzi.

Предположим, что в начальный момент времени частицы идеального газа являются неподвижными. Поскольку частицы являются неподвижными, то кинетическая энергия равна нулю, а, следовательно, и температура, соответствующая такому состоянию, равна нулю (см. формулу (19)).

Если частицы газа взаимодействуют с поверхностью сосуда (посредством абсолютно упругого удара, т.е. условие идеальности газа не нарушается), находящегося при некоторой температуре Tсосуда, то температура газа постепенно увеличиваться до тех пор пока не будет достигнуто состояние термодинамического равновесия и температура газа не станет равной Tгаза=Tсосуда. При каждом акте соударения со стенками сосуда происходит случайное изменение проекций импульса частиц газа. Предположим, что при каждом соударении (либо между собой, либо со стенками сосуда) изменяется только одна из проекций импульса на некоторую малую случайную величину Dp.

Таким образом, в системе реализуется случайное блуждание частиц из начального состояния (vxi=0, vyi=0, vzi=0) с постоянным шагом Dp/m. При чем на каждом шаге изменяется только одна из проекций скорости. Так как температура газа имеет связь со средней кинетической энергией, то случайное блуждание в пространстве импульсов прекращается при достижении термодинамического равновесия со стенками сосуда (т.е. при равенстве температуры газа и температуры сосуда):

.

В результате расчета распределение частиц по скоростям будет соответствовать распределению Максвелла, записанному в формулах (17) и (18).

3. Практические задания

Выполнение работы с помощью программы LabStat.exe. Внешний вид программы представлен на рис.4. Для выполнения упражнений 1-3 необходимо выбрать соответствующую кнопку в диалоговом окне программы.

Рисунок 4Внешний вид программы LabStat.exe

Первые два упражнения являются ознакомительными, поскольку позволяют с помощью вычислительного эксперимента познакомиться с некоторыми закономерностями теории вероятностей, применяемыми в молекулярной физике.

В третьем упражнении предлагается проведение моделирования распределения частиц по проекции скорости и модулю скорости (распределение Максвелла).

Источник

НАХОЖДЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

1 Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Калужский филиал И.Н. Радченко НАХОЖДЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Методические указания к проведению семинарского занятия 4 по курсу общей физики 1

2 УДК :539. ББК.314:.37 Р15 Рецензент: канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Общая физика» КГУ А.С. Кожевников Утверждено методической комиссией КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана (протокол 6 от 4.1.1) Р15 Радченко И. Н. Нахождение средних значений физических величин : методические указания к проведению семинарского занятия 4 по курсу общей физики. М. : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, с. ISBN Методические указания содержат теоретическую часть, посвященную определению физических величин с использованием вероятностного подхода и операторного исчисления. Указания предназначены для преподавателей и студентов второго курса всех специальностей КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана. УДК :539. ББК.314:.37 Радченко И.Н., 14 Издательство МГТУ ISBN им. Н.Э. Баумана, 14

3 ВВЕДЕНИЕ Методические указания к семинарскому занятию по теме «Нахождение средних значений физических величин» являются дополнительным учебно-методическим материалом к лекционному курсу общей физики по разделу «Измерения в квантовой механике». Методические указания составлены в соответствии с требованиями программы общего курса физики для студентов технического вуза. Методические указания содержат вводную теоретическую часть раздела квантовой физики, изучающего процессы измерения и определения физических величин с использованием вероятностного подхода (волновых функций квантовых состояний) и операторного исчисления. Во вводной части приведен вывод формулы вычисления средних значений физических величин. Методика использования аппарата математической физики, в частности операторного исчисления, при решении задач квантовой механики позволяет глубже понять изучаемый раздел квантовой физики. После теоретического раздела приведены примеры решения типичных задач по разобранной теме и предложены задачи для решения в ходе семинарского занятия и для самостоятельного решения. Поскольку данные методические указания содержат практически все основные расчетные формулы, а также список литературы, рекомендуемой для более углубленного изучения темы, эти методические указания можно считать достаточно полными и весьма полезными как для преподавателей кафедры физики, так и для студентов второго курса всех специальностей КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана. 3

4 1. ИЗМЕРЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ПОДХОД. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Процесс измерения любой физической величины (энергии, импульса и т. п.), характеризующей состояние микрочастицы (или любой другой квантовой системы), связан с взаимодействием микрочастицы с макроскопическими приборами, определяющими данную физическую величину. Поэтому подход к результатам измерения физических величин в квантовой механике принципиально отличается от случая классической механики и носит вероятностный, статистический характер. С другой стороны, состояние квантовой системы однозначно и полностью описывается волновой функцией, которая содержит информацию обо всех физических параметрах данного состояния квантовой системы. Очевидно, что результаты определения любой физической величины должны быть связаны с волновой функцией. Каков же будет результат измерения некоторой физической величины для микрочастицы в заданном квантовом состоянии, т. е. когда волновая функция Ψ ( x, yzt,, ) известна? Рассмотрим процесс определения некоторого физического параметра квантовой системы в серии одинаковых опытов. Возможны два случая: 1. Для некоторых квантовых состояний системы измерения физической величины f в ряде опытов дают каждый раз один и тот же результат (с учетом экспериментальных погрешностей, разумеется). В этом случае говорят об определенном значении физической величины f в данном квантовом состоянии, которое называют собственным состоянием оператора ˆФ, соответствующего измеряемой величине f. Как уже говорилось, результатом измерения физической величины f могут быть только собственные значения соответствующего ей оператора ˆФ. При этом квантовая система находится в состоянии, описываемом волновой функци- 4

5 ей Ψ, которая обязательно является одной из собственных функций оператора ˆФ.. Существуют такие квантовые состояния, когда серия измерений, проведенных в одних и тех же условиях, каждый раз дает различные значения f1, f, и т. д. Тогда говорят, что физическая величина f не имеет определенного значения, и при её измерении с определенной вероятностью получены значения из спектра собственных значений оператора ˆФ. В этом случае можно рассчитать вероятность P получения некоторого результата f, зная которую, можно определить среднее значение величины f = Pf и её среднеквадратичное отклонение (дисперсию) ( f ) f. функция ( x, yzt,, ) Волновая Ψ такого квантового состояния не является собственной функцией оператора ˆФ, а состояние системы можно представить в виде суперпозиции собственных состояний этого оператора. Для определения вероятности P получения значения f воспользуемся тем, что любую волновую функцию ( x) жить в ряд по собственным функциям ( x ) Ψ можно разло- ψ оператора ˆФ (свойство полноты системы собственных функций эрмитовых операторов): Ψ x = c ψ x ( ) ( ). Коэффициенты c определяются из условия ортонормированности собственных функций эрмитовых операторов. Умножим последнее выражение на ψ m ( x ) и проинтегрируем по всей области * изменения переменной x. При этом в правой части из всей суммы останется только одно слагаемое при = m: * * ψ Ψ x dx = c ψ ψ x dx, = m, т. е. c ( ) ( ) m m * * * ( x) dx и c = ψψ ( ) = ψ Ψ x dx. 5

6 6 Вероятность P получения значения f определяется как * = =, P c c c и среднее значение измеряемой величины f при большом числе измерений:. f = Pf = c f Преобразуем это выражение так, чтобы, зная вид квантового оператора ˆФ, соответствующего физической величине f, можно было рассчитать её среднее значение f. Для этого подставим выражение * для коэффициента c в формулу определения среднего значения: * f = c f = c c f = ( ) ( ) * * = c f ψ Ψ x dx= c Ψ x ψ f dx. Так как ˆФ ψ = f ψ, то ( ) * f = c Ψ x ˆФ ψ dx. Поскольку оператор ˆФ является линейным, т. е. результат его действия на суперпозицию функций равен суперпозиции результатов действия на функции по отдельности, можно внести суммирование с коэффициентами c под интеграл. Тогда с учетом линейности оператора ˆФ получаем * * f ( x) Фˆ = ( ) Ф ˆ Ψ cψ dx = Ψ x Ψ( x) dx. Таким образом, мы получили выражение для определения среднего значения некоторой физической величины f по известной волновой функции квантового состояния и по виду соответствующего квантового оператора ˆФ.

7 Примеры решения задач. Задача 1. Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид A e r a ψ=, r где A и a некоторые постоянные; r расстояние частицы от силового центра. Определите среднее значение квадрата расстояния r частицы до силового центра. Решение. По определению среднее значение физической величины где dv = 4 π r dr. Тогда ( ) r = r ψ r dv, A r a ( ) 4 4 r r = r ψ r π r dr = r e π r dr = 3 r a π 4 a πa 3 = 4π A r e dr = 4 π A = A. 3 Ответ. r = A. πa Задача. Используя условие нормировки вероятностей, определите нормировочный коэффициент A волновой функции A e ra ψ= r некоторой квантовой частицы (r расстояние этой частицы от силового центра; a некоторая постоянная) и среднее расстояние r частицы до силового центра. Решение. Условие нормировки вероятности для ψ-функции: V A ra dv dv r dr ( r) e ψ = 1; = 4 π ; ψ =. r 7

8 8 Подставляя ψ ( r), получаем: ra ra 4π ra r A e 4π r dr = 4π A e dr = A ae = 4π A a = 1, и тогда 1 A =. πa Среднее расстояние до силового центра: с учетом r ra ( ) 4 πar r = r ψ r dv = e π r dr = xe ra 1 a = re dr a = = a a kx dx=! ( k ) + 1. ( ) 1 Ответ. A = π a, r = a/. Задача 3. Нормированные волновые функции частицы в одномерной прямоугольной потенциальной «яме» шириной l c бесконечно высокими «стенками» имеют вид π ψ ( x) = si x, l l где = 1,. Определите среднее значение координаты x частицы. Решение. По определению среднего значения физической величины l ( ) x = x ψ x dx. Подставляя в это выражение ψ ( x), получаем:

9 l π 1 π l x = xsi x dx= x 1 cos x dx=. l l l l l Ответ. x =. Задачи для самостоятельного решения. Задача 4. Волновая функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид ψ= Ae ra, 3 где A= 1 π a некоторая постоянная; r расстояние электрона от ядра; a первый боровский радиус. Определите среднее значение квадрата расстояния r электрона до ядра в основном состоянии. Ответ. r = 3 a. Задача 5. Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид 3 3 ( ) ψ=, Ae r a где A= 1 π a нормировочный коэффициент; a некоторая постоянная; r расстояние частицы до силового центра. Определите среднее значение расстояния r до силового центра. a Ответ. r =. π Задача 6. Волновая функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид 1 ra ψ 1 = e, 3 πa где r расстояние электрона от ядра; a первый боровский радиус. Найти для основного состояния атома водорода среднее значение F модуля кулоновской силы. 9

10 Ответ. F e = πε a. Задача 7. Нормированная волновая функция, описывающая 1sсостояние электрона в атоме водорода, имеет вид 3 ψ= Ae ra, где A= 1 π a нормировочный множитель; r расстояние электрона от ядра; a первый боровский радиус. Найти среднее значение U потенциальной энергии электрона в поле ядра. e Ответ. U =. 4 πε a Задача 8. Частица находится в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной «яме» шириной l в первом возбужденном состоянии. Найдите среднее значение квадрата импульса p частицы. Ответ. p 4π =. l 1

11 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА [1] Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. Москва, Наука, [] Горбунов А.К., Радченко И.Н. Курс лекций по квантовой механике и физике твердого тела. Калуга, Манускрипт, 6. [3] Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. Москва, Высшая школа,. [4] Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике. Москва, Высшая школа, [5] Иродов И.Е. Задачи по общей физике. Москва, БИНОМ, [6] Иродов И.Е. Квантовая физика. Основные законы. Москва, Лаборатория базовых знаний, 1. [7] Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Квантовая физика. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 4. [8] Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Методические указания к решению задач по курсу общей физики: «Измерение физических величин в квантовых системах». Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,. [9] Савельев И.В. Курс общей физики. В 5 кн. Кн. 5. Москва, Наука, [1] Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. 6-е изд., испр. Москва, Интеграл-Пресс, СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ ИЗМЕРЕНИЯ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ПОДХОД. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН. 4 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

12 Ирина Николаевна Радченко НАХОЖДЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Методические указания Редактор С.Н. Капранов Корректор Т.В. Тимофеева Технический редактор А.Л. Репкин Подписано в печать Формат Печать офсетная. Бумага офсетная. Гарнитура «Таймс». Печ. л.,75. Усл. п. л.,69. Тираж 5 экз. Заказ 47 Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 175, Москва, -я Бауманская, 5 Санитарно-эпидемиологическое заключение Д от.4.8 г. Изготовлено в редакционно-издательском отделе КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана 48, г. Калуга, ул. Баженова,, тел ISBN X

Источник

Поделиться с друзьями
Моя стройка
Adblock
detector