Как обозначить объем 4 измерения

Геометрия

Объем

План урока:

Понятие объема

Понятие объема появилось у человечества задолго до того, как геометрия оформилась как строгая наука. Многие вещества и товары, такие как зерно, рис и вода, необходимо хранить и транспортировать в различных упаковках (сосуды, бочки, ящики, контейнеры). При этом разные емкости могут вместить разное количество товаров. Например, пусть есть бочка, имеющая форму цилиндра, и контейнер, выглядящий как прямоугольный параллелепипед:

Предположим, что в бочку можно поместить 5 кг пшеницы, а в контейнер помещается уже 15 кг пшеницы, то есть в контейнер можно положить в 3 раза больше пшеницы, чем в бочку. Можно сказать, что вместимость контейнера втрое больше вместимости бочки. Однако измерять вместимость емкости с помощью массы пшеницы, помещаемой в него, неудобно, ведь в них можно класть и другие вещества. Мы можем положить в емкости что-нибудь более тяжелое, например сухой песок. Тогда в бочку может влезть уже 10 кг песка, а в контейнер – 30 кг. И снова получается, что вместимость контейнера втрое больше, хотя масса вещества увеличилась.

Именно для измерения вместимости и было введено понятие объема. Если в одну упаковку помещается вдвое больше товаров, чем во вторую упаковку, то и объем у нее будет вдвое больше. С древнейших времен замечено, что отношение объемов двух сосудов не зависит от того вещества, которое в них хранят. Например, если в один сосуд помещается в 5 раз больше риса, чем в другой сосуд, то в него также будет помещаться в 5 раз больше воды, в 5 раз больше песка, в 5 раз больше нефти и т. д. Таким образом, в практическом смысле объем – это количественная характеристика вместимости тех или иных упаковок.

В рамках стереометрии изучаются не реальные сосуды, а абстрактные тела. Каждое из них занимает определенную часть пространства, большую или меньшую. Объем используется для измерения этих частей пространства. Для обозначения объема используется латинская буква V.

Для измерения объема необходима единица измерения. Условно принимается, что куб, чьим ребром является единичный отрезок, имеет объем, равный единице. Такой куб именуется единичным. Заметим, что грани единичного куба – это единичные квадраты .

В случае, когда длина ребра куба является безразмерной величиной, то объем также будет безразмерной величиной. Если же указана единица измерения длины, то объем куба будет измеряться этой же единицей, к которой приписано слово «кубический». Например, если ребро куба равно 1 м, то объем куба будет равен 1 кубическому метру, или 1 м 3 . Объем куба с ребром 1 мм будет составлять 1 мм 3 и т. д.

,

Свойства объема

Свойства объема во многом совпадают со свойствами площади . Ясно, что у равных тел будут одинаковы и объемы.

Второе свойство объема связано с тем, что он является аддитивной величиной. Это значит, что если тело можно разбить на несколько тел, то его объем будет равен сумме объемов этих тел.

Это свойство аддитивности объема уже позволяет решать некоторые стереометрические задачи.

Задание. Тело состоит из цилиндра объемом 12 см 3 и конуса объемом 4 см 3 . Каков объем этого тела?

Решение. Здесь надо просто сложить объемы цилиндра и конуса, чтобы найти общий объем всей фигуры:

Задание. Найдите объем фигуры, показанной на рисунке:

Решение. Данную фигуру несложно разбить на три единичных куба:

Тогда объем тела будет равен сумме объемов трех единичных кубов, то есть трем:

Задание. Вычислите объем фигуры, получающейся при рассечении куба плоскостью, проходящей через два его ребра.

Решение. Ясно, что такая секущая плоскость будет делить куб на две равные фигуры (иначе просто не удастся провести плоскость через два ребра):

Также понятно, что два получившихся многогранника равны друг другу. Обозначим объем каждого из них как V. Тогда в сумме их объем должен быть равен 1, ведь вместе эти фигуры образуют единичный куб. Это позволяет составить уравнение, из которого можно вычислить величину V:

Объем куба и прямоугольного параллелепипеда

Докажем важную вспомогательную теорему:

Действительно, пусть у двух параллелепипедов одинаковы основания. Тогда их можно совместить. Пусть общим основанием будет АВСD, а высотами параллелепипедов будут отрезки АР и АК, причем АР АР/АК, рассматривается аналогичным образом). Тогда возьмем какое-нибудь рациональное число R, находящееся между числами k и АР/АК:

(Примечание. Здесь мы неявно используем утверждение, которое можно доказать в рамках алгебры – между любыми двумя различными действительными числами располагается хотя бы одно рациональное число).

Умножим это неравенство на длину АК:

Построим параллелепипеды с общим основанием АВСD и высотами АК и АР, а также с высотой АЕ = R•АК. Так как R•АК 3 .

Куб можно рассматривать как прямоугольный параллелепипед с одинаковыми измерениями. Поэтому для вычисления его объема надо умножить ребро куба само на себя дважды, то есть возвести его в куб.

Задание. Вычислите объем куба с ребром 8 метров.

Решение. Просто возводим сторону ребро куба в третью степень:

Задание. Если ребро куба увеличить на 2 дм, то его объем вырастет на 98 дм 3 . Какова длина ребра этого куба?

Решение. Обозначим длину ребра буквой х. Тогда объем куба будет составлять х 3 дм. Если ребро увеличить на 2 дм, то оно будет иметь длину х + 2 дм, и тогда объем куба будет равен уже (х + 2) 3 дм. Условие задачи можно записать в виде уравнения:

Это квадратное уравнение имеет два корня, 3 и (– 5), что можно проверить с помощью теоремы Виета . Корень х = – 5 не имеет геометрического смысла, поэтому остается ответ х = 3.

Далее рассмотрим перевод единиц измерения объема. Например, как перевести 1 м 3 в кубические сантиметры? Рассмотрим куб с ребром 1 м. Ясно, что его объем будет равен 1 м 3 . С другой стороны, можно сказать, что длина ребра этого куба составляет 100 см:

Тогда объем этого куба можно посчитать так:

Аналогично можно переводить и другие единицы измерения.

Объем прямой призмы

Рассмотрим сначала прямую призму, в чьем основании располагается прямоугольный треугольник. Ее можно достроить до прямоугольного параллелепипеда:

Ясно, что объем параллелепипеда будет вдвое больше объема исходной призмы, ведь он состоит из двух таких призм. Аналогично и площадь основания у параллелепипеда будет вдвое больше. Обозначим площадь основания призмы буквой S, а ее высоту как h, тогда площадь основания параллелепипеда будет 2S, а его объем составит 2S•h. Тогда объем призмы будет вдвое меньше, то есть он окажется равным S•h.

Далее рассмотрим прямую призму, в основании которой лежит уже произвольный треугольник. Проведем в этом треугольнике высоту, которая упадет на противоположную сторону (такую высоту всегда можно провести). Далее через эту высоту проведем плоскость, перпендикулярную основанию. В результате мы разделим призму на две прямых призмы, в основании каждой из которых будет лежать прямоугольный треугольник:

Пусть площади получившихся прямоугольных треугольников обозначены как S₁и S₂, а общая площадь основания исходной призмы – это S. Мы можем вычислить объемы этих призм:

Теперь, наконец, рассмотрим прямую призму, чье основание – произвольный многоугольник. Этот многоугольник можно разбить на несколько треугольников с площадями S₁, S₂, S₃…, а призма соответственно будет разбита на несколько треугольных призм с объемами V₁, V₂, V₃ и. т. д.

Объем каждой треугольный призмы мы можем рассчитать:

Задание. Все ребра правильной шестиугольной призмы одинаковы, их длина обозначена буквой а. Найдите объем такой призмы.

Решение. Сначала необходимо найти площадь основания призмы, то есть площадь правильного шестиугольника. Напомним формулы для правильных многоугольников, изученные ещё в девятом классе :

Для вычисления объема надо лишь умножить полученную площадь на высоту призмы, а она также равна а:

Задание. В кубе АВСDА₁В₁С₁D₁ через середины ребер СD и BC проведено сечение, параллельное ребру СС₁. Это сечение отсекает от куба треугольную призму, чей объем равен 19. Найдите объем куба.

Решение. Ясно, что и куб, и треугольная призма будут прямыми призмами, причем у них одинаковая высота СС₁. Тогда можно утверждать, что отношение их объемов равно отношению площадей их оснований:

Пусть сторона АВ имеет длину а. Тогда площадь квадрата АВСD будет составлять а 2 . Отрезки ЕС и FC будут вдвое короче АВ, то есть их длина составляет a/2. ∆EFC – прямоугольный, и его площадь может быть рассчитана как половина произведения его катетов:

Объем цилиндра

Цилиндр не получится разбить на несколько призм, поэтому для вычисления его объема используется другой метод. Впишем цилиндр в правильную n-угольную призму. Одновременно построим и другую правильную n-угольную призму, которая сама будет вписана в цилиндр. Объем вписанной призмы обозначим как V_в, а объем описанной призмы как V_о. Объем самого цилиндра – это V_ц. При этом высоты всех трех фигур одинаковы:

Ясно, что объем вписанной призмы меньше объема цилиндра, а тот в свою очередь меньше объема описанной призмы:

Теперь будем неограниченно увеличивать число n. При этом площади S_в и S_о будут стремиться к площади основания цилиндра, равной величине πr 2 , где r– радиус основания цилиндра. Это возможно лишь в том случае, если справедливо равенство

Задание. Найдите объем цилиндра с высотой 5 см и радиусом 6 см.

Решение. Сначала находим площадь основания:

Задание. Известно, что высота цилиндра вдвое больше его радиуса, а объем цилиндра равен 54π. Найдите радиус цилиндра.

Решение. Обозначим радиус цилиндра буквой х. Тогда по условию высота будет вдвое больше, то есть она составит 2х. Вычислим объем цилиндра:

Задание. Труба изготовлена из металла с плотностью 11,4 г/см 3 . Внутренний диаметр трубы равен 13 мм, а ее стенка имеет толщину 4 мм. Длина трубы – 25 метров. Какова ее масса?

Решение. Для расчета массы необходимо сперва вычислить объем трубы. Ясно, что если к объему трубы прибавить объем внутреннего отверстия, то в итоге получится объем большого цилиндра, чей диаметр равен наружному диаметру трубы:

Легко найти объем отверстия, ведь оно имеет форму цилиндра. Его радиус вдвое меньше диаметра, то есть он равен 13/2 = 6,5 мм. При расчете важно не забыть перевести высоту в миллиметры:

Сегодня мы узнали о такой характеристике тел, как объем. Если объем куба и прямоугольного параллелепипеда мы умели находить ещё в средней школе, то определять объем цилиндра и прямой призмы мы научились только сейчас. Однако все эти случаи по сути одинаковы – надо перемножить высоту фигуры и площадь ее основания. В будущем мы научимся вычислять объемы более сложных фигур – пирамиды, конуса, шара.

Источник

Как обозначить объем 4 измерения

Правила написания обозначений единиц измерений при производстве книжной и журнальной полиграфической продукции определены ГОСТ 8.417-2002 «Государственная система обеспечения единства измерений».

Для написания значений величин в полиграфии следует применять обозначения единиц буквами или специальными знаками (…°,… ‘ ,… «), причем устанавливаются два вида буквенных обозначений: международные (с использованием букв латинского или греческого алфавита) и русские (с использованием букв русского алфавита).

Международные и русские обозначения относительных и логарифмических единиц следующие: процент (%), промилле (‰), миллионная доля (ррm, млн. -1 ), бел (B, Б), децибел (dB, дБ), октава (-, окт), декада (-, дек), фон (phon, фон).

В печатных изданиях допускается применять либо международные, либо русские обозначения единиц. Одновременно применение обоих видов обозначений в одном и том же издании не допускается, за исключением публикаций по единицам физических величин.

В нормативно-технической конструкторской, технологической и другой технической документации на различные виды изделий и продукции, используемые только в Российской Федерации, применяют предпочтительно русские обозначения единиц. При этом независимо от того, какие обозначения единиц использованы в документации на средства измерений при указании единиц физических величин на табличках, шкалах и щитках этих средств измерений применяют международные обозначения единиц.

Буквенные обозначения единиц должны печататься прямым шрифтом. В обозначениях единиц точка как знак сокращения не ставится.

Между последней цифрой числа и обозначением единицы следует оставлять пробел.

Правильно:	Неправильно:
100 kW; 100 кВт	100kW; 100кВт
80 %	80%
20 °С	20° С; 20°С

Исключения составляют обозначения в виде знака, поднятого над строкой, перед которыми пробела не оставляют.

Правильно:	Неправильно:
20°	20 °

При наличии десятичной дроби в числовом значении величины обозначение единицы следует помещать после всех цифр.

Правильно:	Неправильно:
423,06 m; 423,06 м	423 m, 0,6; 423 м, 06
5,758° или 5°45,48′ или 5°45’28,8″	5°, 758 или 5° 45′, 48 или 5°45’28»,8

При указании значений величин с предельными отклонениями следует заключать числовые значения с предельными отклонениями в скобки и обозначения единицы помещать после скобок или проставлять обозначения единиц после числового значения величины и после ее предельного отклонения.

Правильно:	Неправильно:
(100,0 ± 0,1) kg	100,0 ± 0,1 kg
50 g ± 1 g	50 ± 1 g

Допускается применять обозначения единиц в заголовках граф и в наименованиях строк (боковиках) таблиц.

Примеры обозначения единиц в таблицах

Номинальный расход, m 3 /h	Верхний предел показаний, m 3	Цена деления крайнего правого ролика, m 3 , не более
40 и 60	100000	0,002
100, 160, 250, 400, 600 и 1000	1000000	0,02
2500, 4000, 6000 и 10000	10000000	0,2

Тяговая мощность, kW	18		37
Габаритные размеры, mm: длина	3080	3500	4090
ширина	1430	1685	2395
высота	2190	2745	2770
Колея, mm	1090	1340	1823
Просвет, mm	275	640	345

Допускается применять обозначения единиц в пояснениях обозначений величин к формулам. Помещение обозначений единиц в одной строке с формулами, выражающими зависимости между величинами или между их числовыми значениями, представленными в буквенной форме, не допускается.

Правильно:	Неправильно:
v = 3,6 s/t, где v — скорость в km/h s — путь в m; t — время в s	v = 3,6 s/t km/h, где s — путь в m; t — время в s

Буквенные обозначения единиц, входящих в произведение, следует отделять точками на средней линии, как знаками умножения.

Правильно:	Неправильно:
N • m; Н • м	Nm; Нм
A • m 2 ; А • м 2	Am 2 ; Ам 2
Pa • s; Па • с	Раs; Пас

Допускается буквенные обозначения единиц, входящих в произведение, отделять пробелами, если это не приводит к недоразумению. В буквенных обозначениях отношений единиц в качестве знака деления должна применяться только одна косая или горизонтальная черта. Допускается применять обозначения единиц в виде произведения обозначений единиц, возведенных в степени (положительные и отрицательные).

Примечание: Если для одной из единиц, входящих в отношение, установлено обозначение в виде отрицательной степени (например s -1 , m -1 , K -1 , c -1 , м -1 , K -1 ), применять косую или горизонтальную черту не допускается.

Правильно:	Неправильно:
W • m -2 • K -1 ; Вт • м -2 • К -1	W/m 2 /K; Вт/м 2 /К

При применении косой черты обозначения единиц в числителе и знаменателе следует помещать в строку, произведение обозначений единиц в знаменателе следует заключать в скобки.

Правильно:	Неправильно:
m/s; м/с	m/s; м/с
W/(m • K); Вт/(м • К)	W/m • K; Вт/м • К

При указании производной единицы, состоящей из двух и более единиц, не допускается комбинировать буквенные обозначения и наименования единиц, т. е. для одних единиц приводить обозначения, а для других — наименования.

Правильно:	Неправильно:
80 км/ч	80 км/час
80 километров в час	80 км в час

Примечание: Допускается применять сочетания специальных знаков . °, . ‘, . «, % и ‰ с буквенными обозначениями единиц, например . °⁄s и т. д.

Технические правила набора и верстки текста

Набор и верстка должны выполняться в соответствии с разметкой оригинала, макетом верстки и указаниями издательской спецификации. Оригиналы должны точно соответствовать требованиям ГОСТ 7.89-2005 «Оригиналы текстовые авторские и издательские. Общие требования». Подробнее о правилах набора и верстки текста

Источник