Как обрабатывают результаты прямых измерений

Содержание

Порядок обработки результатов прямых измерений
Обработка результатов прямых измерений
Оценка достоверности результатов измерений
Методика обработки результатов прямых измерений

Порядок обработки результатов прямых измерений

1. Перед обработкой результатов измерений необходимо задать значение доверительной вероятности α (обычно 0,9 или 0,95).

2. Проанализировать таблицу записи результатов и выявить возможные промахи. Результаты, содержащие промахи, следует отбросить.

3. Вычислить среднее арифметическое значение серии измерений:

(1)

где n – число измерений, A_i – результат i-го измерения.

4. Найти погрешности отдельных измерений:

5. Вычислить среднеквадратичную погрешность среднего арифметического результата серии измерений:

(3)

6. Оценить вклад случайных погрешностей в полуширину доверительного интервала:

где t(n,α) – коэффициент Стьюдента (таблица 1).

Таблица 1 —Коэффициент Стьюдента при различных значениях доверительной вероятности α и различном количестве опытов n

α	Количество опытов, n
0,9	6,3	2,9	2,4	2,1	2,0	1,9	1,9	1,9	1,8	1,8	1,8	1,7	1,7	1,7	1,7
0,95	12,7	4,3	3,2	2,8	2,6	2,4	2,4	2,3	2,3	2,2	2,2	2,1	2,1	2,0	2,0
0,99	63,7	9,9	5,8	4,6	4,0	3,7	3,5	3,4	3,3	3,2	3,1	2,9	2,8	2,8	2,7

7. Определить погрешность прибора ΔА_пр (абсолютная погрешность прибора указана в паспорте прибора или рассчитывается на основании класса точности прибора).

8. Найти полуширину доверительного интервала (абсолютную погрешность) измеряемой величины по приближенной формуле:

(5)

(Более точные формулы для обработки результатов прямых измерений приведена, например, в [2]).

9. Записать результат измерений в виде доверительного интервала:

10. Определить относительную погрешность:

(7)

Источник

Обработка результатов прямых измерений

В общем случае порядок обработки результатов прямых измерений следующий (предполагается, что систематических ошибок нет).

Случай 1. Число измерений меньше пяти.

1) По формуле (6) находится средний результат x, определяемый как среднее арифметическое от результатов всех измерений, т.е.

2) По формуле (12) вычисляются абсолютные погрешности отдельных измерений

3) По формуле (14) определяется средняя абсолютная погрешность

4) По формуле (15) вычисляют среднюю относительную погрешность результата измерений

5) Записывают окончательный результат по следующей форме:

, при .

Случай 2. Число измерений свыше пяти.

1) По формуле (6) находится средний результат

2) По формуле (12) определяются абсолютные погрешности отдельных измерений

3) По формуле (7) вычисляется средняя квадратическая погрешность единичного измерения

4) Вычисляется среднее квадратическое отклонение для среднего значения измеряемой величины по формуле (9).

5) Записывается окончательный результат по следующей форме

Иногда случайные погрешности измерений могут оказаться меньше той величины, которую в состоянии зарегистрировать измерительный прибор (инструмент). В этом случае при любом числе измерений получается один и тот же результат. В подобных случаях в качестве средней абсолютной погрешности принимают половину цены деления шкалы прибора (инструмента). Эту величину иногда называют предельной или приборной погрешностью и обозначают (для нониусных приборов и секундомера равна точности прибора).

Оценка достоверности результатов измерений

В любом эксперименте число измерений физической величины всегда по тем или иным причинам ограничено. В связи с этим может быть поставлена задача оценить достоверность полученного результата. Иными словами, определить, с какой вероятностью можно утверждать, что допущенная при этом ошибка не превосходит наперед заданную величину ε. Упомянутую вероятность принято называть доверительной вероятностью. Обозначим её буквой .

Может быть поставлена и обратная задача: определить границы интервала , чтобы с заданной вероятностью можно было утверждать, что истинное значение измерений величины не выйдет за пределы указанного, так называемого доверительного интервала.

Доверительный интервал характеризует точность полученного результата, а доверительная вероятность — его надёжность. Методы решения этих двух групп задач имеются и особенно подробно разработаны для случая, когда погрешности измерений распределены по нормальному закону. Теория вероятностей даёт также методы для определения числа опытов (повторных измерений), при которых обеспечивается заданная точность и надёжность ожидаемого результата. В данной работе эти методы не рассматриваются (ограничимся только их упоминанием), так как при выполнении лабораторных работ подобные задачи обычно не ставятся.

Особый интерес, однако, представляет случай оценки достоверности результата измерений физических величин при весьма малом числе повторных измерений. Например, . Это именно тот случай, с которым мы часто встречаемся при выполнении лабораторных работ по физике. При решении указанного рода задач рекомендуется использовать метод, в основе которого лежит распределение (закон) Стьюдента.

Для удобства практического применения рассматриваемого метода имеются таблицы, с помощью которых можно определить доверительный интервал , соответствующий заданной доверительной вероятности или решить обратную задачу.

Ниже приведены те части упомянутых таблиц, которые могут потребоваться при оценке результатов измерений на лабораторных занятиях.

Пусть, например, произведено равноточных (в одинаковых условиях) измерений некоторой физической величины и вычислено её среднее значение . Требуется найти доверительный интервал , соответствующий заданной доверительной вероятности . Задача в общем виде решается так.

По формуле с учётом (7) вычисляют

Затем для заданных значений n и находят по таблице (табл. 2) величину . Искомое значение вычисляется на основе формулы

(16)

При решении обратной задачи вначале вычисляют по формуле (16) параметр . Искомое значение доверительной вероятности берётся из таблицы (табл. 3) для заданного числа и вычисленного параметра .

Таблица 2. Значение параметра при заданных числе опытов

Источник

Методика обработки результатов прямых измерений

Методическое пособие

По обработке результатов

Экспериментальных наблюдений

(в помощь студентам младших курсов МГТУ)

Введение

Обработка результатов измерений является важнейшей частью любого физического эксперимента. Студенты и курсанты МГТУ впервые сталкиваются с ней на первом курсе обучения при выполнении лабораторных работ на кафедре физики. Вместе с тем, полноценное понимание того, как это делать правильно, возможно только после усвоения учащимися соответствующих глав математического анализа и теории вероятности, которые, если и предусмотрены учебной программой, излагаются позднее. Данное руководство призвано устранить возникающее противоречие и помочь учащимся на первых этапах обучения.

При проведении физических измерений приходится отвечать на вопросы, имеющие решающее значение при интерпретации полученных данных. Например: насколько достоверны результаты эксперимента?; согласуется ли с ними теоретическая модель изучаемого явления?; насколько статистически надёжен метод измерения?; не происходило ли сбоев в работе приборов? и т.п. Знание истинного значения измеряемой физической величины позволило бы легко ответить на эти и иные важные вопросы. Однако неизбежный статистический разброс фиксируемых измерений в совокупности с погрешностью приборов приводит к тому, что оно оказывается нам недоступным. Поэтому на практике используют среднее значение измеряемой физической величины с указанием интервала (пределов) в котором лежит её истинное значение. Их вычисление важнейшая задача, возникающая в ходе физического практикума.

Изучение правил обработки экспериментальных данных необходимо начать с изучения видов измерений и их возможных погрешностей (ошибок). Мы будем различать два вида измерений: прямые равноточные и косвенные.

Под прямым измерением понимают непосредственное измерение прибором искомой величины (амперметром – силу тока, вольтметром – напряжения, линейкой – длину и т.д.). Равноточными называются измерения, выполненные в одинаковых условиях:неизменными должны оставаться объекты исследования, используемые приборы, условия и время проведения эксперимента. Их обработка довольно проста и осваивается всеми без исключения студентами. Однако, «счастливые» случаи прямых измерений редко встречаются в лабораториях физики, чаще всего приходится измерять сопутствующие величины, подставлять полученные значения в формулу и вычислять искомую физическую величину. Такие измеренияназываются косвенными.

Независимо от вида измерений различают следующие погрешности: 1) случайные; 2) систематические; 3) грубые промахи.

Случайные погрешности – это ошибки, которые имеют вероятностный характер, их величину и знак предсказать заранее и контролировать невозможно. Именно случайностью их появления определяется разброс данных около некоторого среднего значения измеряемой величины. Избавиться от этого вида погрешностей нельзя. На практике во многих случаях бывает достаточно обработать только эти ошибки, что позволяет существенно облегчить расчёты.

Систематические ошибки – это погрешности, которые проявляются от измерения к измерению одинаковым образом. Например, при измерении ускорения свободного падения g с помощью математического маятника не учитывают силу трения. Её влиянием действительно можно пренебречь, если подвешенное на нити тело достаточно мало и при этом обладает значительной массой. При использовании тел с малым весом пренебрежение работой силы трения приведёт к систематическому завышению каждого измеренного периода колебаний и, как следствие, занижению среднего значения g. От систематических ошибок следует избавляться, устраняя причину их появления или корректируя расчетную формулу, если причина неустранима. Одним из важнейших видов систематической ошибки является инструментальная погрешность — следствие неточности изготовления измерительных приборов. Эту ошибку можно исключить, превратив в случайную, просто производя каждое новое измерение идентичными, но разными инструментами (что не всегда возможно по экономическим причинам). Под инструментальной ошибкой понимают максимально возможную неточность исправного прибора, которая определяется классом точности указанным на циферблате предприятием изготовителем измерительных инструментов. Класс точности большинства приборов равен максимально возможной относительной погрешности прибора, выраженной в процентах от величины верхнего предела шкалы (класс точности, обведённый в кружок, показывает относительную погрешность прибора в процентах от измеренного значения). Его значение маркируется в виде числа в нижней части шкалы прибора. Гостом установлены следующие классы точности: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0 .

Обозначим класс точности . Исходя из определения,

где — максимально возможная абсолютная приборная погрешность измерения, — величина верхнего предела шкалы измерительного прибора.

а максимальная относительная приборная погрешность i-го измерения вычисляется по формуле

(%) .

Так, например, у вольтметра класса точности 0,2, предназначенного для измерения напряжения до = 300В, максимальная относительная приборная погрешность у верхнего предела измерений равна 0,2%, что соответствует абсолютной ошибке = 0,6В. При измерении меньшего напряжения = 5В максимальная относительная погрешность возрастаетдо величины 12% [(0,6В / 5В) * 100% = 12%] (абсолютная ошибка не меняется). Следовательно, измерения в начальной части шкалы нежелательны.

Если класс точности не указан, то за инструментальную погрешность принимают половину цены деления прибора (у приборов оснащённых нониусом за инструментальную погрешность принимают цену деления — штангельцуркуль, микрометр). [Совет – если вы не разобрались, что такое класс точности и зачем он нужен, не паникуйте. Примите за инструментальную погрешность цену деления прибора.]

Грубыми промахами называются ошибки, связанные с нарушением методики проведения эксперимента. Иначе говоря, это результаты измерений не имеющие отношения к проводимому эксперименту («любимый» студентами вид ошибок). Причина их возникновения, как правило, «человеческий фактор» (неправильно записали измеренное число, недостаточно изучили технологию проведения измерений и т.д.). Такие данные необходимо исключать из рассмотрения как будто их никогда не было. Но при этом возникает вопрос: А как определить является ли подозрительное измерение(я) грубым промахом? В общем случае ответ на этот вопрос требует проведения анализа полученных результатов и вызывает затруднения у студентов. Простое правило позволяет избежать многих неприятностей. Возникли сомнения — проведите повторное измерение!

Пример 1: при измерении в одинаковых условиях времени падения шарика в вязкой среде были получены следующие результаты: 5,13с.; 5,17с.; 5,23с.; 5,09с.; 5,24с.; 7,01с. Легко заметить что, последняя запись резко выделяется из общего ряда. Скорее всего, это промах. Необходимо вычеркнуть его и провести повторное измерение. Существует строгий математический способ определения ошибок подобного рода. Если подозрительное значение отличается от среднего более чем на ( — среднеквадратическое отклонение среднего, смысл этой величины и способ вычисления даны ниже), то считаем его грубой ошибкой и вычеркиваем.

§1

Методика обработки результатов прямых измерений

Теперь мы можем приступить к изучению элементарных правил обработки экспериментальных данных. Начнём с самой простой и одновременно важнейшей методики обработки результатов прямых измерений.

Обозначим через измеряемую физическую величину. Пусть в результате нескольких опытов получено n пронумерованных значений (i – номер измерения, i = 1,2,3,…,n). Зададимся вопросом: Какую ошибку мы допустили в каждом отдельном измерении? При известном истинном значение , решение очевидно .

Поскольку, нам не доступно, то его заменяют средним значением , которое легко найти по известной формуле.

или . (1)

Тогда, ошибка отдельного измерения ( ) (несмотря на неизбежную небольшую неточность этих вычислений) легко вычисляется

(2)

Зная ошибку каждого измерения, следующим шагом найдем, так называемоесреднеквадратическое отклонение среднего :

или . (3)

(Внимание! Среднеквадратическое отклонение среднего вычисляют с точностью 10%-20%, не более 2 значащих цифр)

Формула для вычисления доказывается в теории вероятности! Для практических целей существенное значение имеет её смысловое наполнение. Отложим на оси всевозможных , значения, , , .

Оказывается, что при проведении новых серий экспериментов, следующие средние значения будут попадать в интервал от ( ) до ( ) примерно 68 раз из 100. С точки зрения теории вероятности можно утверждать, что истинное значение лежит в интервале с вероятностью 68%.

Вероятность , с которой среднее значение попадает в некоторый интервал, называется доверительной вероятностью, при этом интервал называют доверительным интервалом .

Однако 68% невысокая вероятность. В подавляющем большинстве случаев требуется знать интервал с доверительной вероятностью = 90% , 95%, 98%. Найти его очень просто, если известны и специальные коэффициенты Стьюдента , зависящие от числа измерений и доверительной вероятности .