Меню

Как проводить измерения с математическим маятником



Исследовательская работа по физике Маятники. Определение своего роста с помощью математического маятника

Исследовательская работа по определению роста человека с помощью математического маятника

Скачать:

Вложение Размер
mat_mayatnik.docx 48.21 КБ

Предварительный просмотр:

III школьная научно-практическая конференция

Математический маятник и его виды. Измерение своего роста с помощью математического маятника

Автор работы: Романчук Екатерина, ученица 9 а класса МАОУ ООШ № 10

Руководитель проекта: учитель физики и математики Елизарова Валентина Борисовна

В этом году, изучая тему «Механические колебания», мы рассматривали колебательные движения на примере двух маятников – нитяного и пружинного. Узнали, какими основными физическими величинами характеризуется колебательное движение: периодом, частотой и амплитудой. Формулы периодов были даны без выводов, без объяснений, почему такая зависимость от длины и ускорения свободного падения, например, для нитяного маятника. В связи с этим возникла проблема исследования: экспериментально провести опыты, позволяющие убедиться в справедливости формулы периода нитяного или математического маятника. Отсюда вытекает тема исследования : «Математический маятник и его виды. Измерение своего роста с помощью математического маятника».

Цель исследования . Изучить теоретические основы колебательного движения, провести серию опытов и измерений, выявляющих, от чего и как зависит, период нитяного маятника.

Объект исследования:
Математический маятник

  • Изучить учебную литературу о колебаниях.
  • Проследить историю маятников.
  • Изучить методику проведения экспериментов.
  • Провести эксперименты и сделать выводы.
  1. Изучение и анализ литературы по этой теме.
  2. Проведение экспериментов.
  3. Систематизация работы
  4. Подбор наглядного материала. Написание работы.

Галилео Галилей (1564-1642)

Великий итальянский ученый – один из создателей точного естествознания.

Родился в городе Пизе. Учился сначала в монастырской школе, а затем в университете. Уже в студенческие годы Галилей увлекся изучением колебаний. Он обнаружил, что колебания маятника не зависят от его массы, а определяются длиной подвеса.

Сохранилось предание о том, как молодой студент медицинского факультета Галилео Галилей в одно из воскресений 1583 года с интересом следил за качаниями зажженных лампад в церкви. По ударам пульса он определил время, необходимое для полного размаха лампад. С этого времени медицину пришлось ему оставить и сосредоточиться на физике.

Гюйгенс Христиан (1629 – 1695)

Формула периода колебаний математического маятника впервые была получена на опыте голландским ученым Х. Гюйгенсом, современником И. Ньютона.

В 1656 году в возрасте 27 лет Гюйгенсом были сконструированы первые маятниковые часы со спусковым механизмом. Создание часов, измеряющих время с невиданной точностью, имело далеко идущие последствия для развития физического эксперимента и практической деятельности человека. До этого, время измеряли по истечению воды, горению факела или свечи.

Колебательную систему образуют: нить с прикрепленным телом и Земля

Маятник Фуко находится в Исаакиевском соборе и он служит для демонстрации вращения Земли вокруг своей оси. Вначале опыт был выполнен в узком кругу, но так заинтересовал НаполеонаIII, французского императора, что он предложил Фуко повторить его публично в грандиозном масштабе под куполом Пантеона в Париже. Эту публичную демонстрацию, устроенную в 1851 году, и принято называть опытом Фуко.

В работе мы также решили проверить, как влияет среда на колебания. Измерили время, за которое колебания затухают в воздухе, а затем опустили маятник в воду и снова измерили период его колебаний и время затухания.

Так как маятник качается в малосопротивляющейся среде, то, казалось бы, нет причины, которая могла бы заметно изменить скорость его качания. Между тем опыт показывает, что маятник в таких условиях качается медленнее (практически не качается), чем это может быть объяснено сопротивлением среды.

Это загадочное на первый взгляд явление объясняется выталкивающим действием воды на погруженные в нее тела. Оно как бы уменьшает вес маятника, не изменяя его массы. Значит, маятник в воде находится совершенно в таких же условиях, как бы он был перенесен на другую планету, где ускорение силы тяжести слабее. Отсюда следует, что с уменьшением ускорения силы тяжести время колебания должноуменьшится: маятник будет колебаться медленнее.

Нахождение роста с помощью математического маятника по формуле:

Сначала я отложила свой рост.

Я подошла к двери, приложила карандаш к ней и сделала отметку.

Затем я отрезала ленту такой же длины, что и мой рост, прикрепила к ней грузик и повесила с помощью скотча в дверной проём.

Я отсчитала время за 10 и 15 колебаний.

По формуле я начала производить расчёты, но с первого раза у меня не вышло так, как я взяла слишком большую амплитуду, а нужно взять примерно 2-3 см от положения равновесия шарика

Но со второго раза у меня получилось 1,6 м.

Расчеты верны так, как мой рост 160 см.

Период колебания математического маятника прямо пропорционален длине маятника и обратно пропорционален ускорению свободного падения .

Практическое использование колебаний маятника

Маятники используют для регулировки хода часов, поскольку любой маятник имеет вполне определённый период колебаний.

Ускорение свободного падения меняется с географической широтой, так как плотность земной коры различна. В районах, где залегают плотные породы, ускорение несколько больше. Прибор с маятником применили для разведки полезных ископаемых. Подсчитав число качаний, можно обнаружить в земных недрах руды или уголь. С помощью математического маятника я измерила свой рост (так как период колебаний зависит от длины маятника).

О маятнике, его роли и влиянии на жизнь и судьбу человека, писали многие философы и великие ученые: Аристотель, Плутарх, Платон, Сократ, Архимед.

С помощью маятника однажды удалось отыскать пропавшего ребенка. Это произошло в 1934 году. Малыша на глазах у многих свидетелей унес орел.

После того как полицией были предприняты безуспешные попытки отыскать его, было решено прибегнуть к помощи маятника, который стали раскачивать над картой, и в том месте, где амплитуда его колебаний достигла максимальной силы, было решено искать ребенка. К удивлению многих, именно там и оказался пропавший мальчик. Эти сенсационные факты были опубликованы в швейцарской газете «Трибюн де Женев».

Блудов М.И., Беседы по физике. М.: Просвещение, 2001 г.

Кабардин О.Ф., Факультативный курс физики 8 класс. М.: Просвещение, 2009.

Перельман Я. И., Знаете ли вы физику? Домодедово «ВАП», 2000г.

Пинский А.А., Физика и астрономия. М.: Просвещение, 2010 г.

Рабиза Ф., Простые опыты. М.: Детская литература 2009 г..

Перышкин А.В., Физика 9 класс. М.:Дрофа 2011

Источник

Колебательное движение. Математический маятник

п.1. Механические колебания

Кроме прямолинейного и криволинейного движения, с которыми мы уже познакомились, существует еще один вид механического движения – колебательный.

Примеры колебательных движений:

  • движение маятника в часах;
  • колебание автомобиля на рессорах;
  • покачивание деревьев на ветру;
  • раскачивание качели;
  • сокращения сердца и легких;
  • движение крыльев насекомых и птиц.

п.2. Математический маятник

В положении равновесия тело (шарик) находится внизу.
Отклонение от положения равновесия называют смещением тела, обозначают буквой x и измеряют в метрах (в СИ).
Наибольшее смещение маятника от положения равновесия называют амплитудой колебаний, обозначают буквой A.
В проекции на горизонтальную ось OX смещение изменяется в интервале \(-A\leq x\leq A\).
В положении равновесия x=0.
Если маятник после смещения в положение 1, прошел положение равновесия 2, отклонился в положение 3, опять прошел положение 2, и вернулся в положение 1, говорят, что маятник совершил полное колебание.

п.3. Параметры колебаний математического маятника

Период и частота колебаний – взаимно обратные величины
Период в СИ измеряют в секундах, частоту – в герцах: 1 Гц=1 c -1
Формула для периода колебаний справедлива для небольших отклонений маятника (на угол порядка 15-20° от положения равновесия).

п.4. Задачи

Задача 1. Маятник совершил 3 полных колебания за 9 с. Найдите период и частоту его колебаний. Чему равна длина нити, на которой подвешен маятник (ответ дайте в см, с округлением до целых)?

Дано:
\(N=3\)
\(t=9\ c\)
__________________
\(T,\ f,\ L-?\)
Период колебаний: \(T=\frac tN\)
Частота колебаний: \(f=\frac 1T=\frac Nt\)
Длина нити: $$ T=2\pi\sqrt<\frac Lg>\Rightarrow \sqrt<\frac Lg>=\frac<2\pi>\Rightarrow \frac Lg=\left(\frac<2\pi>\right)^2\Rightarrow L=g\left(\frac<2\pi>\right)^2 $$ Подставляем: \begin T=\frac 93=3\ (c)\\ f=\frac 13\ (Гц)\\ L=9,8\cdot\left(\frac<3><2\pi>\right)^2\approx 2,234\ (м)\approx 223\ (см) \end Ответ: 3 с; 1/3 Гц; 223 см

Задача 2. Математический маятник колеблется с частотой 20?тиы кГц. Найдите период колебаний и число колебаний в минуту.

Дано:
\(f=20\ кГц=2\cdot 10^4\ Гц\)
\(t=1\ мин=60\ с\)
__________________
\(T,\ N-?\)
Период колебаний: \(T=\frac 1f\)
Частота колебаний за время \(t:\ N=ft\)
Подставляем: \begin T=\frac<1><2\cdot 10^4>=0,5\cdot 10^<-4>\ (c)=50\cdot 10^<-6>\ (c)=50\ (мкс)\\ N=2\cdot 10^4\cdot 60=1,2\cdot 10^6 \end Ответ: 50 мкс; 1,2·10 6

Задача 3. Расстояние от улья до цветочного поля 600 м. Пчела летит за нектаром со скоростью 8 м/с и машет крылышками с частотой 440 Гц. Возвращаясь в улей с нектаром, пчела летит со скоростью 5 м/с и машет крылышками с частотой 320 Гц. Найдите разность в количестве взмахов крылышками на пути туда и обратно.

Время полета из улья за нектаром \(t_1=\frac\)
Количество взмахов крылышками \(N_1=f_1 t_1=f_1\frac\)
Аналогично количество взмахов на пути назад \(N_2=f_2\frac\)
Найдем каждое из \(N\): \begin N_1=440\cdot\frac<600><8>=33000\\ N_2=320\cdot\frac<600><5>=38400 \end На пути обратно пчела с грузом делает больше взмахов. Искомая разность: $$ \triangle N=N_2-N_1=38400-33000=54000 $$ Ответ: 5400

Задача 4. Определите длину математического маятника с периодом колебаний 1с, если он находится: а) на Луне (\(g_л=1,6\ м/с^2\)); б) на Марсе (\(g_м=3,6\ м/с^2\)). Ответ запишите в см, с точностью до десятых.

Длина нити: \begin T=2\pi\sqrt<\frac Lg>\Rightarrow\sqrt <\frac Lg>=\frac<2\pi>\Rightarrow\frac Lg=\left( \frac<2\pi>\right)^2\Rightarrow L = g\left(\frac<2\pi>\right)^2 \end На Луне: $$ L_л=1,6\cdot\left(\frac<1><2\pi>\right)^2\approx 0,0405\ (м)\approx 4,1\ (см) $$ На Марсе: $$ L_м=3,6\cdot\left(\frac<1><2\pi>\right)^2\approx 0,0912\ (м)\approx 9,1\ (см) $$ Ответ: 4,1 см; 9,1 см

п.5. Лабораторная работа №4. Исследование колебаний математического маятника

Цель работы
Исследовать, от каких величин зависит период колебаний математического маятника.

Теоретические сведения
При малых отклонениях (порядка 15-20° от вертикали) период колебаний математического маятника определяется формулой: $$ T=2\pi\sqrt <\frac Lg>$$ где \(L\) – длина маятника, \(g\) – ускорение свободного падения.
Для работы принять \(g\approx 9,80665\ м/с^2\).
При заданном периоде колебаний для длины маятника получаем: $$ L=g\left(\frac<2\pi>\right)^2 $$

Приборы и материалы
Два лабораторных грузика по 100 г, крепкая нить (1,5-2 м), линейка (30-50 см), штатив, секундомер.

Ход работы
1. Рассчитайте длину нитей, необходимых для создания маятников с периодами колебаний \(T_1=1 с;\ T_2=2 с\).
2. Закрепите один грузик на нити и подвесьте его на штативе так, чтобы длина подвеса была равна расчетной длине \(L_1\).
3. Отклоните грузик на небольшой угол, отпустите его и с помощью секундомера измерьте время, за которое маятник совершит 10 полных колебаний. Повторите опыт 5 раз. Проведите расчеты для определения периода колебаний \(T_<1\ эксп>\) по методике, изложенной в лабораторной работе №2 (см. §4 данного справочника).
4. Теперь подвесьте грузик так, чтобы длина подвеса была равна расчетной длине \(L_2\). Повторите серию из 5 экспериментов и определите \(T_<2\ эксп>\).
5. При длине подвеса \(L_2\) подвесьте к первому грузику второй. Повторите серию из 5 экспериментов и определите \(T ‘\). Сравните \(T ‘\) и \(T_<2\ эксп>\).
6. Сделайте выводы о проделанной работе.

Результаты измерений и вычислений

Расчет длины нитей \begin L=g\left(\frac<2\pi>\right)^2\\ T_1=1\ c,\ \ L_1=9,80665\cdot\left(\frac<1><2\pi>\right)^2\approx 0,248\ (м)=24,8\ (см)\\ T_2=2\ c,\ \ L_1=9,80665\cdot\left(\frac<2><2\pi>\right)^2\approx 0,9994\ (м)=99,4\ (см) \end

Определение \(T_<1\ эксп>\)
Инструментальная погрешность секундомера \(d=\frac<\triangle><2>=0,1\ c\)
Время 10 колебаний

№ опыта 1 2 3 4 5 Сумма
\(t,\ c\) 9,7 10,2 9,8 9,9 10,3 50
\(\triangle\ c\) 0,3 0,2 0,2 0,1 0,3 1

\begin t_=\frac<50><5>=10\\ \triangle_=\frac 15=0,2 \end Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ \triangle t=max\left\\right\>=max\left\<0,1;0,2\right\>=0,2\ \text $$ Результат измерения времени 10 колебаний: \begin t=t_0\pm\triangle t,\ \ t=(10,0\pm 0,2)\ c \end Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T_<1\ эксп>=\frac<1><10>(t_0\pm\triangle t),\ \ T_<1\ эксп>=(1,00\pm 0,02)\ c $$ Относительная погрешность измерений: $$ \delta_T=\frac<\triangle T>>\cdot 100\text<%>=\frac<0,02><1>\cdot 100\text<%>=2,0\text <%>$$

Определение \(T_<2\ эксп>\)
Время 10 колебаний

№ опыта 1 2 3 4 5 Сумма
\(t,\ c\) 19,7 20,1 19,8 20,2 19,7 99,5
\(\triangle\ c\) 0,2 0,2 0,1 0,3 0,2 1

\begin t_=\frac<99,5><5>=19,9\\ \triangle_=\frac 15=0,2 \end Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ \triangle t=max\left\\right\>=max\left\<0,1;0,2\right\>=0,2\ \text $$ Результат измерения времени 10 колебаний: \begin t=t_0\pm\triangle t,\ \ t=(19,9\pm 0,2)\ c \end Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T_<2\ эксп>=\frac<1><10>(t_0\pm\triangle t),\ \ T_<2\ эксп>=(1,99\pm 0,02)\ c $$ Относительная погрешность измерений: $$ \delta_T=\frac<\triangle T>>\cdot 100\text<%>=\frac<0,02><1,99>\cdot 100\text<%>\approx 1,0\text <%>$$

Определение \(T ‘\) (с двумя грузиками)
Время 10 колебаний

№ опыта 1 2 3 4 5 Сумма
\(t,\ c\) 20,2 19,7 19,6 20,0 20,3 99,8
\(\triangle\ c\) 0,24 0,26 0,36 0,04 0,34 1,24

\begin t_=\frac<99,8><5>=19,96\\ \triangle_=\frac<1,24><5>\approx 0,25 \end Среднее абсолютное отклонение больше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ \triangle t=max\left\\right\>=max\left\<0,1;0,25\right\>=0,25\ \text $$ Результат измерения времени 10 колебаний: \begin t=t_0\pm\triangle t,\ \ t=(19,96\pm 0,25)\ c \end Период колебаний в 10 раз меньше: $$ T’=\frac<1><10>(t_0\pm\triangle t),\ \ T’=(1,996\pm 0,025)\ c $$ Относительная погрешность измерений: $$ \delta_T=\frac<\triangle T>\cdot 100\text<%>=\frac<0,025><1,996>\cdot 100\text<%>\approx 1,3\text <%>$$

Полученные на опыте интервалы для \(T_<2\ эксп>\) и \(T’\) (одинаковая длина нити \(L_2\) и разные массы грузиков – 100 г и 200 г соответственно): \begin 1,97\leq T_<2\ эксп>\leq 2,01\\ 1,971\leq T’\leq 2,021 \end Таким образом, \(T_<2\ эксп>\approx T’\), т.е. период колебаний математического маятника не зависит от массы груза.

Выводы
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.

В работе с помощью расчетной формулы были определены длины нитей подвеса для маятников с периодами колебаний \(T_1=1\ с;\ T_2=2\ с\).
Полученный на опыте период колебаний для подвеса с \(L_1=24,8\ см\) с грузиком 100 г равен $$ T_<1\ эксп>=(1,00\pm 0,02)\ c,\ \ \delta=2,0\text <%>$$ Полученный на опыте период колебаний для подвеса с \(L_2=99,4\ см\) с грузиком 100 г равен $$ T_<2\ эксп>=(1,99\pm 0,02)\ c,\ \ \delta=1,0\text <%>$$ Полученный на опыте период колебаний для подвеса с \(L_2=99,4\ см\) с грузиком 200 г равен $$ T’=(1,996\pm 0,025)\ c,\ \ \delta=1,3\text <%>$$ Формула \(T=2\pi\sqrt<\frac Lg>\) данными экспериментами подтверждена.
Период колебаний математического маятника зависит от длины подвеса и не зависит от массы грузика на подвесе.

Источник

Измерение ускорения свободного падения на различных высотах при помощи математического маятника

1. Введение

Первым человеком, изучавшим природу падения тел, был греческий ученый Аристотель. Затем Галилео Галилей обобщил и не проанализировал опыт и эксперименты нескольких поколений исследователей. Он предположил, что в среде, свободной от воздуха, все тела будут падать с одинаковой скоростью. Также Галилей предположил, что во время падения скорость тел постоянно увеличивается. Экспериментировать со свободным падением тел продолжил Исаак Ньютон. В его выводах прослеживается мысль, что на Луне и на других планетах сила тяжести, воздействующая на одно и то же тело, будет неодинакова, зависит она напрямую от массы космического тела. Например, ускорение g на Луне в несколько раз меньше, чем на Земле. Таким образом, зная массу планеты, можно вычислить ускорение свободного падения тела на этой планете.

Цель настоящего исследования состояла в получении значения ускорения свободного падения при помощи математического маятника в условиях разного уровня высоты на уровнем моря. Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие задачи исследования:

  1. Ознакомиться с историей открытия свободного падения тел;
  2. Изучить методы измерения ускорения свободного падения на поверхности Земли;
  3. Провести самостоятельные измерения ускорения свободного падения при помощи математического маятника;
  4. Провести измерения на различных высотах.

Гипотеза исследования: логично предположить, что ускорение свободного падения, полученные в разных экспериментах, должны быть близки к значению 9,8 м/с 2 и отличаться на сотые или тысячные доли на глубине станции метро Кремлевская (–34 м) и на высоте небоскреба «Лазурные небеса» (+120 м). Также результаты измерений и вычислений могут отличаться погрешностью измерений.

Методы изучения: самостоятельная, индивидуальная работа в сочетании с теоретическими исследовательскими, проектными формами работы.

Читая много различной в том числе и технической литературы, я узнал о практическом применении различия ускорения свободного падения в разных точках на поверхности Земли. Я измерял g различными способами, рассчитывал погрешности измерений, опираясь на общепринятое значение g, учился грамотно проводить эксперимент. Выяснил, что свободное падение – движение равноускоренное. Ускорение свободного падения не зависит от массы тела. Гипотезу о том, что значения ускорения свободного падения должны быть близки к значению 9,8 м/с 2 и отличаться только погрешностью измерений удалось подтвердить разными экспериментами. Наиболее точный результат ускорения свободного падения у меня получился с помощью математического маятника. Поэтому для исследования изменения значения ускорения свободного падения с высотой я выбрал именно этот способ измерения. Погрешность составила не более 10%.

В дальнейшем я хотел бы самостоятельно исследовать зависимость значения ускорения свободного падения от географического положения.

2. Основная часть

2.1. Исторические сведения об открытии свободного падения и методах его измерения

Еще тысячелетия назад люди замечали, что большая часть предметов падает все быстрее и быстрее, а некоторые падают равномерно. Но как именно падают эти предметы – этот вопрос первобытных людей не занимал. Тем не менее нашлись люди, которые по мере возможностей начали исследовать это явление. Сначала они проделывали опыты с двумя предметами. Например, брали два камня, и давали возможность им свободно падать, выпустив их из рук одновременно. Затем снова бросали два камня, но уже в стороны по горизонтали. Потом бросали один камень в сторону, и в тот же момент выпускали из рук второй, но так, чтобы он просто падал по вертикали. Люди извлекли из таких опытов много сведений о природе. Из опытов с падающими телами люди установили, что маленький и большой камни, выпущенные из рук одновременно, падают с одинаковой скоростью. То же самое можно сказать о кусках свинца, золота, железа, стекла, и т.д. самых разных размеров. Из подобных опытов выводиться простое общее правило: свободное падение всех тел происходит одинаково независимо от размера и материала, из которого тела сделаны. Между наблюдением за причинной связью явлений и тщательно выполненными экспериментами, вероятно, долго существовал разрыв. Две тысячи лет назад некоторые древние ученые, по-видимому, проводили вполне разумные опыты с падающими телами. Великий греческий философ и ученый Аристотель, по-видимому придерживался распространенного представления о том, что тяжелые тела падают быстрее, чем легкие. Аристотель и его последователи стремились объяснить, почему происходят те или иные явления, но не всегда заботились о том, чтобы пронаблюдать, что происходит и как происходит. Он говорил, что тела стремятся найти свое естественное место на поверхности Земли. В XIV столетии группа философов из Парижа восстала против теории Аристотеля и предложила значительно более разумную схему, которая передавалась из поколения в поколение и распространилась до Италии, оказав двумя столетиями позднее влияние на Галилея. Парижские философы говорили об ускоренном движении и даже о постоянном ускорении, объясняя эти понятия архаичным языком. Великий итальянский ученый Галилео Галилей обобщил имеющиеся сведения и представления и критически их проанализировал, а затем описал и начал распространять то, что считал верным. Галилей понимал, что последователей Аристотеля сбивало с толку сопротивление воздуха. Он указал, что плотные предметы, для которых сопротивление воздуха несущественно, падают почти с одинаковой скоростью.

Предположив, что произошло бы в случае свободного падения тел в вакууме, Галилей вывел следующие законы падения тел для идеального случая: все тела при падении движутся одинаково; начав падать одновременно, они движутся с одинаковой скоростью; движение происходит с «постоянным ускорением»; темп увеличения скорости тела не меняется, т.е. за каждую последующую секунду скорость тела возрастает на одну и ту же величину. Существует легенда, будто Галилей проделал большой демонстрационный опыт, бросая легкие и тяжелые предметы с вершины Пизанской падающей башни (одни говорят, что он бросал стальные и деревянные шары, а другие утверждают, будто это были железные шары весом 0,5 и 50 кг). Описаний такого публичного опыта нет, и Галилей, несомненно, не стал таким способом демонстрировать свое правило. Галилей знал, что деревянный шар намного отстал бы при падении от железного, но считал, что для демонстрации различной скорости падения двух неодинаковых железных шаров потребовалась бы более высокая башня. Итак, мелкие камни слегка отстают в падении от крупных, и разница становится тем более заметной, чем большее расстояние пролетают камни. И дело тут не просто в размере тел: деревянный и стальной шары одинакового размера падают не строго одинаково. Галилей знал, что простому описанию падения тел мешает сопротивление воздуха. Но он мог лишь уменьшить его и не мог устранить его полностью. Поэтому ему пришлось вести доказательство, переходя от реальных наблюдений к постоянно уменьшающимся сопротивлением воздуха к идеальному случаю, когда сопротивление воздуха отсутствует. Позже, оглядываясь назад, он смог объяснить различия в реальных экспериментах, приписав их сопротивлению воздуха.

Вскоре после Галилея были созданы воздушные насосы, которые позволили произвести эксперименты со свободным падением в вакууме. С этой целью Ньютон выкачал воздух из длинной стеклянной трубки и бросил сверху одновременно птичье перо и золотую монету. Даже столь сильно различающиеся по своей плотности тела падали с одинаковой скоростью. Именно этот опыт дал решающую проверку предположения Галилея. Опыты и рассуждения Галилея привели к простому правилу, точно справедливому в случае свободного падения тел в вакууме. Это правило в случае свободного падения тел в воздухе выполняется с ограниченной точностью. Поэтому верить в него, как в идеальный случай нельзя. Для полного изучения свободного падения тел необходимо знать, какие при падении происходят изменения температуры, давления, и др., то есть исследовать и другие стороны этого явления. Так Галилей установил признак равноускоренного движения:

Таким образом, можно предположить, что свободное падение есть равноускоренное движение. Так как для равноускоренного движения перемещение рассчитывается по формуле, то если взять три некоторые точки 1,2,3 через которые проходит тело при падении и записать: (ускорение при свободном падении для всех тел одинаково), получится, что отношение перемещений при равноускоренном движении равно:

Остается еще добавить небольшой комментарий относительно экспериментов со свободным падением тел Исаака Ньютона. В его выводах прослеживается мысль, что на Луне и на других планетах сила тяжести, воздействующая на одно и то же тело, будет неодинакова, зависит она напрямую от массы космического тела. Например, ускорение g на Луне в несколько раз меньше, чем на Земле. Таким образом, зная массу планеты, можно вычислить ускорение свободного падения тела на этой планете.

2.2. Практическая значимость нахождения значения ускорения свободного падения

Я много читаю и, как следствие склонен фантазировать. Для меня практическая значимость исследования заключается в возможности прогнозирования форм жизни на небесных телах, с которыми человечество столкнется при неизбежном освоении космоса. Ведь от значения g на другой планете зависит не только сила тяжести. Люди заранее смогут узнать, какие существа встретят их на той или иной планете, какими физическими характеристиками они будут обладать.

2.3. Методы измерения ускорения свободного падения

На самом деле методов по измерению ускорения свободного падения достаточно много. Приведу только те, которые сам испробовал.

1) Измерение ускорения свободного падения с помощью наклонной плоскости

Понадобится следующее оборудование:деревянный брусок, трибометр, штатив с муфтой и лапкой, электронный секундомер, динамометр, измерительная лента, линейка. Рассматривая движение бруска вниз по наклонной плоскости, можно записать второй закон Ньютона в векторном виде:

Записывая второй закон Ньютона в проекциях на оси координат:

и учитывая, что N = mgcos α ; Fтр = μN; можно решить данную систему уравнений и получить ускорение свободного падения:

g = a
sin α – μcos α

При этом ускорение a можно вычислить из формулы

S = a t 2 ,
2

так как начальная скорость бруска при скольжении по наклонной плоскости равна 0:

a = 2S .
t 2

Видим, что для этого нужно измерить длину наклонной плоскости и время скольжения по ней бруска.

Для вычисления sinα и cosα нужно знать длину S и высоту h наклонной плоскости:

sin α = h
S

Для определения коэффициента трения скольжения положим трибометр на горизонтальную поверхность и с помощью динамометра равномерно протащим по нему брусок. В этом случае на брусок будут действовать 4 силы: сила тяжести, сила упругости пружины динамометра, сила трения, сила реакции опоры.

При равномерном движении бруска эти силы будут попарно равны: Fтр = Fупр, Fтяж = N, т. е. Fупр = μFтяж, тогда коэффициент трения равен

μ = Fy
Fт

Для меня в этом методе оказалось слишком много математических действий, с которыми в курсе математики я еще не знаком. Поэтому даже не буду приводить результаты проделанных измерений и вычислений.

2) Определение g благодаря давлению жидкости

Как известно давление столба жидкости обусловлено следующими факторами: плотность жидкости, непосредственно высота столба жидкости и само значение ускорения свободного падения на данной планете.

Если преобразовать формулу P = ρ gh, получится формула нахождения g. Эта формула выглядит так g = P / ρ h, где Р – давление в жидкости на глубине h, которое можно узнать с помощью манометра, ρ – плотность воды равное 1000 кг/м 3 .

При подобных измерениях нужно учитывать погрешность измерительного прибора, манометра. Достаточно точного мне найти не удалось, поэтому для своих исследований я выбрал другой метод.

3) Измерение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Необходимое оборудование: секундомер, штатив с муфтой и лапкой, шарик на нерастяжимой нити, измерительная лента. При малых размерах шарика по сравнению с длиной нити и небольших отклонениях (до 10°) от положения равновесия период колебаний равен периоду колебаний математического маятника

С другой стороны период колебаний маятника можно расчитать из определения, ведь период – это время одного полного колебания. Тогда период

T = t ,
N

и ускорения свободного падения может быть вычислено по формуле

g = 4 π 2 l N 2 .
t 2
Подготовка к проведению работы

В работе используется простейший маятник – шарик на нити. При малых размерах по сравнению с длиной нити и небольших отклонениях от положения равновесия период колебаний равен периоду колебаний математического маятника

T = t ,
N

и ускорения свободного падения может быть вычислено по формуле

g = 4 π 2 l N 2 .
t 2

Результаты измерений и вычислений представлены в разделе 2.5

2.4. Теоретические расчеты по определению ускорения свободного падения различных высотах

Теоретически значение ускорения свободного падения на поверхности планеты Земля можно приблизительно подсчитать, представив планету точечной массой M, и вычислив гравитационное ускорение на расстоянии её радиуса R:

g = G M ,
R 2

где G — гравитационная постоянная (G = 6,6743 · 10 –11 (H ·м 2 )/кг 2 ).

При вычислениях я применял такие значения:

R = 6370 · 10 3 м – радиус Земли на широте Казани;

M = 5,9722 · 10 24 кг – масса Земли.

Таким образом теоретическое значение gт = 9,823386 м/с 2 .

g = G M ,
(R ± h) 2

естественно предположить, что ускорение свободного падения на разных высотах будет немного отличаться: на глубине будет больше, а на высоте меньше вычисленного выше.

Возможно эту небольшую разницу можно объяснить погрешностью измерений. Проверим.

Результаты вычислений значения ускорения свободного падения на различных высотах представлены в таблице:

На станции метро Кремлевская

На 36-м этаже небоскреба

2.5. Экспериментальное определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника

Как уже говорилось ранее, оборудование для проведения измерений требовалось весьма не замысловатое: секундомер, штатив с муфтой, шарик на нерастяжимой нити, измерительная лента. При малых размерах шарика по сравнению с длиной нити и небольших отклонениях (до 10°) от положения равновесия период колебаний равен периоду колебаний математического маятника

С другой стороны период колебаний маятника можно расчитать из определения, ведь период – это время одного полного колебания. Тогда период

T = t ,
N

и ускорения свободного падения может быть вычислено по формуле

g = 4 π 2 l N 2 .
t 2

Ход работы

Для начала я проделал все необходимые измерения в классе, в кабинете физики Лицея № 110. Кабинет находится на втором этаже. Учитывая высоту потолков (около 3 м), логично предположить, что вычисленные значения g должны быть близки к gт.

Источник

Читайте также:  Реактивная энергия единица измерения