Как рассчитать относительную погрешность косвенного измерения формула
Погрешности прямых измерений. Промах. Систематическая погрешность. Случайная погрешность. Полная погрешность. Погрешности косвенных измерений. Запись результата измерений
- Оценка погрешности прямых измерений
Измерить физическую величину – это значит сравнить ее с однородной величиной, принятой за единицу меры.
Различают прямые и косвенные измерения.
Если измеряемая величина непосредственно сравнивается с мерой, то измерения называются прямыми. Например, измерения линейных размеров тел с помощью масштабной линейки и т.д.
Если измеряется не сама искомая величина, а некоторые другие величины, связанные с ней функциональной зависимостью, то измерения называются косвенными. Например, измерения объема, ускорения и т.д.
Из-за несовершенства средств и методик измерения, органов чувств при любом измерении неизбежны отклонения результатов измерений от истинных величин. Эти отклонения называются погрешностями измерений.
Погрешности измерений делятся на систематические, случайные и промахи.
1.1. Промахи, связанные с неправильными отсчетами по прибору, неправильными записями и т.д., приводят к очень большой по абсолютной величине погрешности. Они, как правило, не укладываются в общую закономерность измеренных величин. Обнаруженный промах следует отбросить.
1.2. Систематическими погрешностями Δxсист называются погрешности, которые сохраняются при повторных измерениях одной и той же величины x или изменяются по определенному закону.
Систематические погрешности подразделяются на несколько групп. Отметим только приборную погрешность.
Систематическая приборная погрешность определяется по классу точности прибора, который указывается на приборе следующими цифрами: 0,01; 0,02; 0,05; 1,0; 2,5; 4,0. Класс точности показывает предельно допустимое значение систематической погрешности, выраженной в процентах от верхнего предела на выбранном диапазоне измерений. Например, предел измерения вольтметра с классом точности 0,5 равен 200 В. Систематическая погрешность равна 0,5% от 200В. Следовательно, систематическая погрешность вольтметра равна 1 В.
Если на приборе класс точности не указан, то погрешность равна половине цены наименьшего деления шкалы прибора.
1.3. Случайными называются погрешности, которые изменяются беспорядочно при повторных измерениях одной и той же физической величины при одинаковых условиях.
Оценим случайную погрешность. Пусть при измерении какой-либо физической величины было произведено N измерений и были получены значения x1, x2, … xN. Тогда наиболее вероятным значением измеряемой величины является ее среднее арифметическое значение
Результаты измерений x1, x2, … xN «рассеиваются» вокруг среднего. В качестве меры «рассеяния» результатов наблюдения вокруг среднего служит среднее квадратичное отклонение
Пусть a будет истинным, но неизвестным значением измеряемой величины x. Доказано, что вероятность попадания результатов измерения величины x в интервал значений от (a – S) до (a + S) оказывается равной α = 0,68.
Вероятность попадания результатов наблюдений в более широкие интервалы (a – 2S, a + 2S) и (a – 3S, a + 3S) равна α = 0,95 и α = 0,99 соответственно.
Вероятность попадания в заданный интервал значений величины x называется доверительной вероятностью, а сам интервал – доверительным интервалом.
Однако, таким образом полученный доверительный интервал справедлив при большом значении N. В учебных лабораториях, как правило, приходится ограничиваться небольшим числом измерений. В этом случае доверительный интервал находят с помощью коэффициента Стьюдента, который зависит от числа измерений N и доверительной вероятности α. В таблице 1 приведены коэффициенты Стьюдента для различного числа наблюдений при доверительных вероятностях α = 0,68; 0,95; 0,99.
Источник
Определение погрешности косвенного измерения
Формулы вычисления погрешностей косвенных измерений основаны на представлениях дифференциального исчисления.
Пусть зависимость величины Y от измеряемой величины Z имеет простой вид:
.
Здесь 
и 
— постоянные, значения которых известны. Если z увеличить или уменьшить на некоторое число 
, то 
соответственно изменится на 
:
Если — погрешность изме-ренной величины Z, то 
соответственно будет пог-решностью вычисляемой ве-личины Y.
Получим формулу абсолютной погрешности в общем случае функции од-ной переменной 
. Пусть график этой функции имеет вид, показанный на рис.1. Точному значению
аргумента z0 соответствует
точное значение функции
y0 = f(z0). Измеренное зна-чение аргумента отличается от точного значения аргумента на величину Δz вследствие ошибок измерений. Значение функции будет отличаться от точного на величину Δy.
Из геометрического смысла производной как тангенса угла наклона касательной к кривой в данной точке (рис. 1) следует:
. (10)
Формула для относительной погрешности косвенного измерения в случае функции одной переменной будет иметь вид:
. (11)
Учитывая, что дифференциал функции 
равен 
, получим
(12)
Если косвенное измерение представляет собой функцию m переменных 
, то погрешность косвенного измерения будет зави-сеть от погрешностей 
прямых измерений 
. Частную погрешность, связанную с ошибкой измерения аргумента , обозначим 
. Она составляет приращение функции за счет приращения при условии, что все остальные аргументы неизменны. Таким образом, частную абсолютную погрешность запишем согласно (10) в следующем виде:
(13)
Таким образом, чтобы найти частную погрешность косвенного измерения , надо, согласно (13), частную производную 
умножить на погрешность прямого измерения . При вычислении частной производной функции по остальные аргументы считаются постоянными.
Результирующая абсолютная погрешность косвенного измерения определяется по формуле, в которую входят квадраты частных погрешностей
косвенного измерения [1]:
или с учетом (13)
(14)
Относительная погрешность косвенного измерения 
определяется по формуле:
Или с учетом (11) и (12)
. (15)
Пользуясь (14) и (15), находят одну из погрешностей, абсолютную или относительную, в зависимости от удобства вычислений. Так, например, если рабочая формула имеет вид произведения, отношения измеряемых величин, ее легко логарифмировать и по формуле (15) определить относительную погрешность косвенного измерения. Затем абсолютную погрешность вычислить по формуле (16):
. (16)
Для иллюстрации вышеизложенного порядка определения погреш-ности косвенных измерений вернемся к виртуальной лабораторной работе «Определение ускорения свободного падения при помощи математического маятника».
Рабочая формула (1) имеет вид отношения измеряемых величин:
.
Поэтому начнем с определения относительной погрешности. Для этого прологарифмируем данное выражение, а затем вычислим частные произ-водные :
; 
; 
.
Подстановка в формулу (15) приводит к формуле относительной погрешности косвенного измерения:
(17)
После подстановка результатов прямых измерений
< 
; 
> в (17) получаем:
(18)
Для вычисления абсолютной погрешности используем выражение (16) и ранее вычисленное значение (9) ускорения свободного падения g:
.
Результат вычисления абсолютной погрешности округляем до одной значащей цифры. Вычисленное значение абсолютной погрешности определяет точность записи окончательного результата :
, α ≈ 1. (19)
При этом доверительная вероятность определяется доверительной вероятностью тех из прямых измерений, которые внесли решающий вклад в погрешность косвенного измерения. В данном случае это измерения периода.
Таким образом, с вероятностью близкой к 1 величина g лежит в пределах от 8 до 12 
.
Для получения более точного значения ускорения свободного падения
g необходимо совершенствовать методику измерений. С этой целью надо уменьшить относительную погрешность 
, которая в основном, как следует из формулы (18), определяется погрешностью измерения времени.
Для этого надо измерять время не одного полного колебания, а, например, 10-ти полных колебаний. Тогда, как следует из (2), формула относительной погрешности примет вид:
. (20)
В табл.4 представлены результаты измерения времени 
для N = 10
полных колебаний маятника.
| № | τi, , с |  |  , с 2 |
| 20,4 | 0,4 | 16 10 -2 | |
| 19,8 | 0,2 | 4 10 -2 | |
| 20,4 | 0,4 | 16 10 -2 | |
| 19,8 | 0,2 | 4 10 -2 | |
| 19,6 | 0,4 | 16 10 -2 |
; 
.
Проведя расчет по формуле (8) (как и в случае измерения периода возьмем α = 0,7), получаем
.
Полная погрешность измерения времени
.
Здесь случайной погрешности соответствует доверительная вероятность α = 0,7, а приборной погрешности соответствует доверительная вероятность, близкая к 1. В данном случае случайная и приборная погрешности оказались сопоставимы между собой. В такой ситуации берется наименьшая из доверительных вероятностей. Следовательно, для полной погрешности следует взять α = 0,7.
Для величины L возьмем результаты измерений из табл.2. Подставляя результаты прямых измерений в формулу (20), найдем относительную погрешность косвенного измерения:
.
По формуле (2) вычислим значение косвенно измеряемой величины:
.
Далее вычислим абсолютную погрешность:
.
Окончательный результат записывается в виде:
; 
; 
.
В этом примере показана роль формулы относительной погрешности в анализе возможных направлений совершенствования методики измерений.
Источник
Расчет погрешностей при косвенных измерениях
В большинстве случаев конечной целью лабораторной работы является вычисление искомой величины с помощью некоторой формулы, в которую входят величины, измеряемые прямым путем. Такие измерения называются косвенными. В качестве примера приведем формулу плотности твердого тела цилиндрической формы
, (П.5)
где r – плотность тела, m – масса тела, d – диаметр цилиндра, h – его высота.
Зависимость (П.5) в общем виде можно представить следующим образом:
, (П.6)
где Y – косвенно измеряемая величина, в формуле (П.5) это плотность r; X1, X2,. , Xn – прямо измеряемые величины, в формуле (П.5) это m, d, и h.
Результат косвенного измерения не может быть точным, поскольку результаты прямых измерений величин X1, X2, . , Xn всегда содержат в себе погрешность. Поэтому при косвенных измерениях, как и при прямых, необходимо оценить доверительный интервал (абсолютную погрешность)полученного значения DY и относительную погрешность e.
При расчете погрешностей в случае косвенных измерений удобно придерживаться такой последовательности действий:
1) получить средние значения каждой прямо измеряемой величины áX1ñ, áX2ñ, …, áXnñ;
2) получить среднее значение косвенно измеряемой величины áYñ, подставив вформулу (П.6) средние значения прямо измеряемых величин;
3) провести оценки абсолютных погрешностей прямо измеряемых величин DX1, DX2, . DXn, воспользовавшись формулами (П.2) и (П.3);
4) основываясь на явном виде функции (П.6), получить формулу для расчета абсолютной погрешности косвенно измеряемой величины DY и рассчитать ее;
5) рассчитать относительную погрешность измерения 
;
6) записать результат измерения с учетом погрешности.
Ниже без вывода приводится формула, позволяющая получить формулы для расчета абсолютной погрешности, если известен явный вид функции (П.6):
, (П.7)
где ¶Y¤¶X1 и т. д. – частные производные от Y по всем прямо измеряемым величинам X1, X2, …, Xn (когда берется частная производная, например по X1, то все остальные величины Xi в формуле считаются постоянными), DXi– абсолютные погрешности прямо измеряемых величин, вычисленные согласно (П.3).
Рассчитав DY, находят относительную погрешность 
.
Однако если функция (П.6) является одночленом, то намного легче сначала рассчитать относительную погрешность, а затем уже абсолютную.
Действительно, разделив обе части равенства (П.7) на Y, получим
.
Но так как 
, то можно записать
. (П.8)
Теперь, зная относительную погрешность, определяют абсолютную 
.
В качестве примера получим формулу для расчета погрешности плотности вещества, определяемой по формуле (П.5). Поскольку (П.5) является одночленом, то, как сказано выше, проще сначала рассчитать относительную погрешность измерения по (П.8). В (П.8) под корнем имеем сумму квадратов частных производных от логарифма измеряемой величины, поэтому сначала найдем натуральный логарифм r:
ln r = ln 4 + ln m – ln p –2 ln d – ln h,
а потом уже воспользуемся формулой (П.8) и получим, что
. (П.9)
Как видно, в (П.9) используются средние значения прямо измеряемых величин и их абсолютные погрешности, рассчитанные методом прямых измерений по (П.3). Погрешность, вносимую числом p, не учитывают, поскольку ее значение всегда можно взять с точностью, превышающей точность измерения всех других величин. Рассчитав e, находим 
.
Если косвенные измерения являются независимыми (условия каждого последующего эксперимента отличаются от условий предыдущего), то значения величины Y вычисляются для каждого отдельного эксперимента. Произведя n опытов, получают n значений Yi. Далее, принимая каждое из значений Yi (где i – номер опыта) за результат прямого измерения, вычисляют áYñ и DY по формулам (П.1) и (П.2) соответственно.
Окончательный результат как прямых, так и косвенных измерений должен выглядеть так:
, (П.10)
где m – показатель степени, u – единицы измерения величины Y.
Источник