Как рассчитывается погрешность измерения при косвенных измерениях

Как рассчитывается погрешность измерения при косвенных измерениях

Погрешности прямых измерений. Промах. Систематическая погрешность. Случайная погрешность. Полная погрешность. Погрешности косвенных измерений. Запись результата измерений

1. Оценка погрешности прямых измерений

Измерить физическую величину – это значит сравнить ее с однородной величиной, принятой за единицу меры.

Различают прямые и косвенные измерения.

Если измеряемая величина непосредственно сравнивается с мерой, то измерения называются прямыми. Например, измерения линейных размеров тел с помощью масштабной линейки и т.д.

Если измеряется не сама искомая величина, а некоторые другие величины, связанные с ней функциональной зависимостью, то измерения называются косвенными. Например, измерения объема, ускорения и т.д.

Из-за несовершенства средств и методик измерения, органов чувств при любом измерении неизбежны отклонения результатов измерений от истинных величин. Эти отклонения называются погрешностями измерений.

Погрешности измерений делятся на систематические, случайные и промахи.

1.1. Промахи, связанные с неправильными отсчетами по прибору, неправильными записями и т.д., приводят к очень большой по абсолютной величине погрешности. Они, как правило, не укладываются в общую закономерность измеренных величин. Обнаруженный промах следует отбросить.

1.2. Систематическими погрешностями Δx_сист называются погрешности, которые сохраняются при повторных измерениях одной и той же величины x или изменяются по определенному закону.

Систематические погрешности подразделяются на несколько групп. Отметим только приборную погрешность.

Систематическая приборная погрешность определяется по классу точности прибора, который указывается на приборе следующими цифрами: 0,01; 0,02; 0,05; 1,0; 2,5; 4,0. Класс точности показывает предельно допустимое значение систематической погрешности, выраженной в процентах от верхнего предела на выбранном диапазоне измерений. Например, предел измерения вольтметра с классом точности 0,5 равен 200 В. Систематическая погрешность равна 0,5% от 200В. Следовательно, систематическая погрешность вольтметра равна 1 В.

Если на приборе класс точности не указан, то погрешность равна половине цены наименьшего деления шкалы прибора.

1.3. Случайными называются погрешности, которые изменяются беспорядочно при повторных измерениях одной и той же физической величины при одинаковых условиях.

Оценим случайную погрешность. Пусть при измерении какой-либо физической величины было произведено N измерений и были получены значения x₁, x₂, … x_N. Тогда наиболее вероятным значением измеряемой величины является ее среднее арифметическое значение

Результаты измерений x₁, x₂, … x_N «рассеиваются» вокруг среднего. В качестве меры «рассеяния» результатов наблюдения вокруг среднего служит среднее квадратичное отклонение

Пусть a будет истинным, но неизвестным значением измеряемой величины x. Доказано, что вероятность попадания результатов измерения величины x в интервал значений от (a – S) до (a + S) оказывается равной α = 0,68.

Вероятность попадания результатов наблюдений в более широкие интервалы (a – 2S, a + 2S) и (a – 3S, a + 3S) равна α = 0,95 и α = 0,99 соответственно.

Вероятность попадания в заданный интервал значений величины x называется доверительной вероятностью, а сам интервал – доверительным интервалом.

Однако, таким образом полученный доверительный интервал справедлив при большом значении N. В учебных лабораториях, как правило, приходится ограничиваться небольшим числом измерений. В этом случае доверительный интервал находят с помощью коэффициента Стьюдента, который зависит от числа измерений N и доверительной вероятности α. В таблице 1 приведены коэффициенты Стьюдента для различного числа наблюдений при доверительных вероятностях α = 0,68; 0,95; 0,99.

Источник

Как рассчитывается погрешность измерения при косвенных измерениях

Чтобы найти погрешность косвенных измерений, надо воспользоваться формулами, приведенными в таблице. Эти формулы могут быть выведены «методом границ».

Сначала надо вспомнить основные понятия теории погрешности.

Абсолютная погрешность физической величины ΔА — это разница между точным значением физической величины и ее приближенным значением и измеряется в тех же единицах, что и сама величина:

Так как мы никогда не знаем точного значения величины А, а лишь определяем из опыта ее приближенное значение, то и величину абсолютной погрешности мы можем определить лишь при­бли­зи­тель­но. Наиболее просто находится максимальная величина абсолютной погрешности, которая и используется нами в лабораторных работах.

Относительная погрешность измерения ε_А равна:

При косвенных измерениях величину погрешности искомой величины вычисляют по формулам:

В случае, когда искомая величина находится по формуле, в которой в основном присутствуют произведение и частное, удобней находить сначала относительную погрешность. Если при этом один из множителей представляет собой сумму или разность, нужно предварительно найти его абсолютную погрешность (сложением абсолютных погрешностей слагаемых), а затем относительную.

Зная относительную погрешность, найти абсолютную погрешность измерений можно так:

«Правило ничтожных погрешностей»

при суммировании погрешностей любым из слагаемых можно пренебречь, если оно не превосходит ⅓ – ⅟ 4 от другого.

Запись результата с указанием погрешности.

Абсолютная погрешность измерений обычно округляется до 1 значащей цифры, а, если эта цифра 1, то до двух.

Результат записывается в виде:

А = А_изм ± ΔА, например: ℓ = (13 ± 2) мм.

При этом в измеренном значении следует оставлять столько десятичных знаков, сколько их в значении погрешности (последняя цифра погрешности «поправляет» последнюю цифру измеренного значения) . Значение величины и погрешность следует выражать в одних и тех же единицах!

Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 1

Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 2

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите плотность вещества, из которого сделан куб со стороной 7,00 ± 0,15 см, если его масса 847 ± 2 г. Что это за вещество?

Задание 2. Найдите удельную теплоту сгорания топлива, 2,10 ± 0,15 г которого хватило, чтобы нагреть 400 ± 10 мл воды на 35°С ± 2°С. Что это за топливо?

© Ивашкина Д.А., 2017. Публикация материалов с сайта разрешена только при наличии активной ссылки на главную страницу.

Источник

Вычисление погрешностей при косвенных измерениях

Большинство измерений являются косвенными. В этом случае искомая величина Х является функцией нескольких переменных а, b, c…, значения которых можно найти прямыми измерениями: Х = f(a,b,c…).

Среднее арифметическое результата косвенных измерений будет равно:

Одним из способов вычисления погрешности является способ дифференцирования натурального логарифма функции Х = f(a,b,c…). Если, например, искомая величина Х определяется соотношением Х = , то после логарифмирования получаем: lnX = lna + lnb + ln(c+d).

Дифференциал этого выражения имеет вид:

.

Применительно к вычислению приближенных значений его можно записать для относительной погрешности в виде:

e = . (4)

Абсолютная погрешность при этом рассчитывается по формуле:

Таким образом, расчет погрешностей и вычисление результата при косвенных измерениях производят в следующем порядке:

1) Проводят измерения всех величин, входящих в исходную формулу для вычисления конечного результата.

2) Вычисляют средние арифметические значения каждой измеряемой величины и их абсолютные погрешности.

3) Подставляют в исходную формулу средние значения всех измеренных величин и вычисляют среднее значение искомой величины:

4) Логарифмируют исходную формулу Х = f(a,b,c…) и записывают выражение для относительной погрешности в виде формулы (4).

5) Рассчитывают относительную погрешность e = .

6) Рассчитывают абсолютную погрешность результата по формуле (5).

7) Окончательный результат записывают в виде:

Х = Хср ± DХ e = …%

Абсолютные и относительные погрешности простейших функций приведены в таблице:

Источник

Методика расчета погрешностей косвенных измерений

Большинство измерений в лабораторном практикуме по физике являются косвенными. Ошибка результата косвенного измерения зависит от ошибок всех прямых измерений, а также от вида той математической формулы, которая связывает искомую с непосредственно измеряемыми величинами. Пусть искомая физическая величина γ связана с непосредственно измеряемыми величинами А, В, С, … какой-то функциональной зависимостью:

,

искомое значение ХХХ находят путем подстановки в формулу (1.3) средних значений А, В, С, т.е. Если искомая величина у является функцией многих переменных, то сначала удобно найти относительную погрешность результата, а затем, используя соотношение найти абсолютную погрешность . Рассмотрим, как находят выражение для расчета относительной погрешности косвенного результата. Воспользуемся для этого законами дифференциального исчисления, считая непосредственно измеряемые величины А, В, С,… аргументами, а косвенно измеряемую величину у – функцией этих переменных.

Искомую функцию (расчетную формулу) логарифмируют:

Находят полный дифференциал логарифма функции:

(1.6)

Здесь – частная производная от ln f (А, В, С…) по аргументу А и т.д. Частная производная находится обычным дифференцированием функции по аргументу А в предположении, что все другие аргументы В, С,…, кроме А, – константы.

Заменяют в полученном выражении (1.6) знак дифференциала d знаком абсолютной погрешности .

Каждое слагаемое выражения (1.6) возводят в квадрат и получают следующую формулу для расчета относительной ошибки косвенного результата:

. (1.7)

Подставляют значения абсолютных ошибок прямых измерений средние значения , и рассчитывают относительную ошибку ε, а затем – абсолютную .

Сравнивают слагаемые в выражении (1.7), чтобы выяснить влияние ошибок различных аргументов (А, В,…) на окончательный результат. Делают заключение, какие физические величины необходимо измерить с большей точностью.

Лабораторная работа 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
РАЗМЕРОВ ТЕЛА (4 ч)

Цель – овладеть техникой физических измерений линейных размеров тел, освоить методику подбора и использования измерительных приборов в прямых измерениях.

Приборы и материалы: штангенциркуль, микрометр, исследуемое тело.

Теория линейного нониуса

Линейные размеры тела можно определить с точностью до 1 мм обычной масштабной линейкой. Для измерения с точностью до долей миллиметра применяется нониус – устройство, позволяющее повысить точность многих измерительных приборов.

Линейный нониус представляет собой небольшую линейку N, скользящую вдоль обычной линейки.

Пусть на нониусе m делений (рис. 1.1), которые наносят так, чтобы длина всех делений нониуса была равна длине (m – 1) наименьших делений масштабной линейки. Пусть b – длина деления масштабной линейки, а – цена деления нониуса. Тогда m ∙ a определяет длину всех делений нониуса, а (m – 1) ∙ в – длину делений масштабной линейки. Очевидно,

или

где – точность нониуса.

Пример. Цена наименьшего деления шкалы масштабной линейки в = 1 мм, на нониусе m = 20 делений.

.

Измерения с помощью линейного нониуса производят следующим образом: совмещают левый конец измеряемого тела с нулевым делением масштабной линейки, а к правому концу подводят нониус (рис. 1.2).

Если правый конец тела оказался между К и К + 1 делениями масштабной линейки, то длина измеряемого тела L равна:

где ΔL – неизвестная пока еще доля (К + 1) деления масштабной линейки.

Обозначим через n деление нониуса, которое совпадает с каким-то делением масштабной линейки. Из рис. 1.2 видно, что номер этого деления К + n. Тогда

Следовательно, чтобы найти длину измеряемого тела с помощью нониуса, необходимо определить число целых наименьших делений масштабной линейки, укладывающихся по длине тела, и записать их длину, к ней прибавить неизвестную длину ΔL, определяемую произведением точности нониуса на номер деления нониуса, совпадающего с одним из делений масштабной линейки ( ).

Штангенциркуль состоит из шкалы прибора Д в миллиметровом масштабе, жестко связанной со щекой А (рис. 1.3).

Вдоль шкалы масштаба может перемещаться нониус N, с которым жестко связана вторая щека В. Подвижная часть штангенциркуля снабжена зажимным винтом С. Когда между щеками А и В отсутствует зазор, нулевые метки нониуса и шкалы совпадают. Для промера наружных размеров измеряемый предмет вводят между щеками А и В, которые сдвигают до соприкосновения с предметом. Затем закрепляют подвижную щеку В зажимом С и производят отсчет. Число целых миллиметров отсчитывается непосредственно по шкале прибора до нулевой метки нониуса, число долей миллиметра – по нониусу. При внутренних промерах используют щеки А₁ и В₁. Штангенциркули изготовляют с нониусами, имеющими число делений, равное 10, 20, 50, 100.

Микрометр обычно представляет собой массивную металлическую скобу, на концах которой находятся друг против друга неподвижный упор А и микрометрический винт В, жестко связанный с барабаном С. Барабан делится на 100 или 50 делений. Поступательное перемещение винта измеряется по смещению среза барабана винта вдоль шкалы Д; шаг винта обычно равен 1 или 0,5 мм. Измеряемое тело зажимают между упорами А и В и производят отсчет его размера (рис. 1.4).

Для равномерного нажима микрометрического винта на поверхность измеряемых тел микрометр снабжается фрикционной головкой Е (трещоткой), вращение которой вызывает перемещение винта только до упора его в поверхность измеряемого тела с определенным нажимом, после чего фрикционная головка свободно прокручивается, издавая треск. Шкала имеет верхний и нижний пределы измерений. По нижней шкале необходимо отсчитывать целые миллиметры, по верхней – полумиллиметры, по круговому нониусу барабана – сотые доли миллиметра.

Перед началом измерений микрометром необходимо:

а) определить число делений на барабане и шаг винта;

б) проверить нулевую точку.

Если при соприкосновении упоров А и В против нулевого деления шкалы Д стоит не нулевое деление барабана С, то систематическую ошибку прибора нужно учесть.

Задание 1. Предварительная оценка точности измерения

1. Определить линейные размеры тел с помощью различных измерительных приборов: линейки, штангенциркуля, микрометра.

2. Рассчитать относительные ошибки каждого прямого измерения. В качестве абсолютных погрешностей результатов прямых измерений следует взять приборные ошибки.

3. Сравнить относительные погрешности всех прямых измерений и выделить наименее точно измеренную величину. Для ее определения следует выбрать из имеющегося набора измерительных приборов наиболее точный. Приборы для определения остальных величин подбирают так, чтобы их относительная ошибка была на порядок меньше относительной ошибки наименее точно измеренной величины или того же порядка. Результаты предварительной оценки точности измерения представить в виде табл. 1.2 и сделать заключение.

Предварительная оценка точности измерения

Измеряемая величина

Выбранный измерительный прибор

Результат однократного измерения

Абсолютная погрешность

Относительная погрешность

Задание 2. Определение линейных размеров тел
правильной геометрической формы

1. Штангенциркулем не менее пяти раз измерить диаметр цилиндра.

2. Микрометром не менее пяти раз измерить диаметр цилиндра.

3. Рассчитать доверительный интервал и относительную погрешность измерений диаметра цилиндра с помощью штангенциркуля и микрометра при доверительной вероятности a = 0,95. Данные занести в табл. 1.3.

Измеряемые величины для определения размеров тела
правильной геометрической формы

№ п/п	штангенциркуль	микрометр

Окончательный результат записать в виде h_шт. = ± ∆h,

d = ± ∆d, при a = 0,95.

Контрольные вопросы

1. Выведите формулу для расчета точности нониуса.

2. Каким прибором следует воспользоваться, если один и тот же линейный размер тела можно измерить штангенциркулем и микрометром?

3. Как рассчитать доверительный интервал непосредственно измеряемой величины?

4. Из каких соображений выбирают число измерений? Как зависят точность результата отдельных измерений и точность среднего результата от числа измерений?

5. Каков смысл записи h = ± ∆h, при α = 0,95?

6. Объясните, с чем связан разброс результатов отдельных измерений линейных размеров.

Литература [3, § 62, 66, 68, 75; 1, § 27, 30, 31].

Источник