Меню

Как составить модель измерения



СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ

4.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ

Восприятие измеряемой величины, преобразование, передача и представление измерительной информации в приборах реализу­ются на основном принципе их функционирования — измеритель­ных преобразованиях. При этом приборы осуществляют преобра­зование входного сигнала и устанавливают заданное соотношение между входом и выходом с учетом внутренних и внешних параметров.

Математические модели представляют собой наиболее удобный и мощный метод для описания и анализа информационных потоков, устройств обработки информации и, следовательно, приборов.

Математическая модель прибора в общем случае отображает его качества и свойства, представленные совокупностью уравнений различных типов, графических зависимостей, таблиц и т. п. Мате­матические модели позволяют путем реализации соответствующих алгоритмов или процедур решать задачи анализа и синтеза с целью получения комплекса нормируемых метрологических характе­ристик.

Наиболее общей, как уже упоминалось в гл. 1, является инфор­мационная модель процесса измерения. При этом объект измере­ния представлен одним или несколькими информативными пара­метрами, являющимися случайными сигналами, для описания которых могут быть использованы статистические параметры: веро­ятность и плотность вероятности, моменты первого и второго поряд­ков, автокорреляционная функция, или с представлением в частот­ной области, спектральные характеристики. Следовательно, объект измерения описывается на основании статистического материала.

.Математические модели приборов бывают самыми различными как по уровню абстрагирования или идеализации, так и по содер­жанию. Это объясняется тем, что их используют для описания про­цесса преобразования сигнала, оценки влияния возмущений, ана­лиза характеристик прибора и др.

Математические модели всегда разделяют абстрактное и кон­кретное. Они учитывают те основные черты прибора, которые не­обходимы в данном случае, опуская при этом второстепенные дета­ли. Уровень абстрагирования или обобщения изменяется в зависи­мости от целей, для которых создается модель. Выделим два основ­ных уровня абстрагирования в моделях.

В целях описания приборов, например, можно использовать аб­солютно идеализированный прототип модели, отражающий только те черты, которые характеризуют принцип работы. С другой сторо­ны, детальная модель, используемая при разработке, сохраняет все те черты, которые необходимо учесть в конструкции.

В этом аспекте выделим два вида математических моделей при­боров: функциональные и физические.

Функциональные модели описывают соотношение между входом и выходом без всякой связи с конкретными физическими особенно­стями или свойствами модели.

Физические модели описывают поведение прибора с учетом кон­струкции и зависят от форм, размеров, материалов и физических явлений, используемых в приборе.

Рассматривая внутренние динамические процессы приборов и процесс прохождения или преобразования сигнала, можно также выделить: модели энергетических потоков, учитывающие все виды энергий, входящих в устройство и выходящих из него, и, таким образом, представляющие собой полное описание физического поведения устройства; модели потока сигналов,учитывающие только информативные сигналы; модели информативных потоков, которые в основном рассматривают только информативные осо­бенности сигналов и преобразования, производимые с ними в приборе.

Нетрудно заметить, что модели потока сигналов и информаци­онных потоков являются частными случаями модели полного энер­гетического потока.

Использование тех или иных моделей зависит от решаемой зада­чи. Так, полная модель потока энергии позволяет предсказать дей­ствие прибора в широком диапазоне условий, включая эффекты вли­яния источников энергии возмущения, внутренних динамических процессов, выделения составляющих энергии объекта измерения и перераспределения энергии в окружающей среде. Физическая мо­дель дает соотношение между функцией прибора и особенностями его конструкции, и по уравнениям видны динамические свойства и преобразование сигнала. При этом анализ такой модели позволяет выявить те элементы или преобразователи, которые в основном оп­ределяют характеристики прибора, и те, к которым прибор менее чувствителен.

Идеальные математические модели могут быть, например, ис­пользованы в конструировании для сравнения альтернативных ва­риантов конструкции, а детальные — для выбора материала, фор­мы, размеров. Кроме того, поскольку математическая модель — это точное и краткое описание действия прибора, она позволяет про­никнуть в суть прибора, упорядочить информацию, в частности, прототипных приборов, выявить особенности и факторы, влияющие на его возможности и недостатки.

Аналогия математических моделей (уравнений) различных из­мерительных цепей позволяет систематизировать СИ, например, по методам измерительных преобразований (прямого и уравновешива­ющего) и разработать общие теоретические предпосылки для их анализа.

Читайте также:  При измерении косвенным методом результат измерения получают

Это также дает возможность для цепей различной физической природы выполнить систематизацию переменных описания, величин, характеризующих потоки энергии, и параметров описания, величин, которые описывают процессы накопления, взаимоперехода и рас­пределения энергии внутри объекта и определяемых формой, раз­мерами и свойством материала. Такая систематизация позволяет перейти к общей системной методологии описания физических сис­тем [40, 41]. При этом переменными описания, или обобщенными переменными, могут быть, например, обобщенные координаты: ме­ханическое перемещение, электрический заряд, потокосцепление и т.д., а параметрами описания: механическими — масса, момент инерции, жесткость; электрическими — индуктивность, емкость, активное сопротивление и др.

Однако системная методология описания физических систем, находящаяся в стадии развития, хотя и предусматривает примене­ние единого подхода к составлению математической модели, в на­стоящее время пока охватывает далеко не все системы, в частности, приборы и преобразователи, уже прочно вошедшие в практику при­боростроения. Поэтому наряду с системной методологией в настоя­щей главе будут рассмотрены и другие методы составления матема­тической модели.

Математические модели приборов могут быть получены двумя основными методами. Во-первых, определив структуру прибора и его функциональные особенности, можно составить модель в виде системы уравнений с неизвестными коэффициентами, затем, на ос­новании экспериментальных данных, найти неизвестные. Приме­ром такого метода является экспериментальная градуировка при­бора. Можно также, имея значения входного и выходного сигналов во времени, на основании существующих методов идентификации получить математическую модель в виде степенного ряда, гармони­ческих составляющих и т. д. При этом прибор может рассматривать­ся как «черный ящик». Все эти пути получения математической мо­дели и метод в целом называются эмпирическими.

Второй метод заключается в моделировании на основе особен­ностей конструкции, формы, размеров и свойств материалов с ис­пользованием основных законов физики и явлений. Этот метод яв­ляется более общим, так как может быть использован при составле­нии математической модели как уже существующих приборов и подлежащих усовершенствованию или исследованию, так и при разработке новых приборов, сравнении альтернативных вариантов и т. д. Ему будет уделено в главе основное внимание. Метод полу­чил название теоретического, или аналитического.

Наиболее общей является математическая модель, описываю­щая функционирование СИ в динамическом режиме. Из нее можно получить модель, описывающую работу прибора в статическом ре­жиме, то есть при х (t) = const, а, следовательно, и все другие ста­тические характеристики. Математические модели погрешностей также могут быть получены из математической модели динамиче­ского режима как разность реального и идеального (номинального) операторов преобразования (1.7).

Поэтому в основу дальнейшего рассмотрения вопросов составле­ния математической модели СИ в данной главе положены описания их работы в динамическом режиме.

Описанию характеристикой в статическом режиме и определению погрешностей посвящены гл. 6, 9.

Источник

Описание измерения и составление его модели

В большинстве случаев измеряемая величина Y не является прямо измеряемой, а зависит от других измеряемых величин X1, X2…, XN. Эти влияющие величины воздействуют на нее и преобразуют ее в ту величину, которую показывает средство измерения. Таким образом, измеряемую величину можно представить через функциональную зависимость выходной величины от входных y = f(х1, х2,…, хn).Входные величины Xi могут в свою очередь зависеть от других величин, включая поправки и поправочные коэффициенты на систематические эффекты, что ведет к сложной функциональной зависимости:

Шаг 2. Оценивание значений и стандартных неопределенностей входных величин
Описание измеряемой величины
НАЧАЛО
Выявление источников неопределенности
Упрощение вследствие объединения составляющих, охватываемых имеющимися данными
Оценивание сгруппированных составляющих
Оценивание оставшихся составляющих
Преобразование в стандартные неопределенности
Вычисление суммарной стандартной неопределенности
Проверка, и при необходимости, повторное оценивание наиболее существенных составляющих
Вычисление расширенной неопределенности
КОНЕЦ
ЭТАП 1
ЭТАП 2
ЭТАП 3
ЭТАП 4
Рисунок 4 — Процесс оценивания неопределенности
Шаг 1. Описание измерения и составление его модели
Шаг 3. Анализ корреляций
Шаг 4. Составление бюджета неопределенности
Шаг 7. Расчет расширенной неопределенности
Шаг 6. Расчет суммарной стандартной неопределенности
Шаг 8. Представление конечного результата измерения

На данном этапе необходимо точно сформулировать, какая именно величина измеряется, включая соотношение между измеряемой величиной и параметрами (например, измеряемыми величинами, константами, значениями эталонов для градуировки и т.д.), от которых она зависит. Там, где это возможно, нужно ввести поправки на все известные систематические эффекты. Такая описательная информация обычно приводится в соответствующим документе на методику или ином описании метода. С учетом поправок выходная величина может быть выражена:

Читайте также:  Мкф единица измерения чего

Y = x + C1 + C2 +…..+Ci

где Сi – поправки, учитывающие влияние различных факторов (оператора, условий окружающей среды и т. д.).

Далее необходимо составить список источников неопределенности, который будет включать источники, дающие вклад в неопределенность параметров в том соотношении, которое было установлено при описании измеряемой величины, но может включать и другие источники неопределенности, например, возникающие из предположений. На практике существует много возможных источников неопределенности при измерении [1]:

а) неполное определение измеряемой величины;

б) нерепрезентативную выборку – измеренный образец может не представлять определяемую измеряемую величину;

в) неадекватное знание эффектов от условий окружающей среды, влияющих на измерение, или несовершенное измерение условий окружающей среды;

г) субъективная систематическая погрешность оператора при снятии показаний аналоговых приборов;

д) конечная разрешающая способность прибора или порог чувствительности;

е) неточные значения, приписанные эталонам, используемым для измерения, и стандартным образцам веществ и материалов;

ж) неточные значения констант и других параметров, полученных из внешних источников и используемых в алгоритме обработки данных;

з) аппроксимации и предположения, используемые в методе измерения и измерительной процедуре;

и) изменения в повторных наблюдениях измеряемой величины при явно одинаковых условиях.

Рассмотренные источники необязательно являются независимыми, некоторые из них могут вносить вклад друг в друга. Данные составляющие можно сгруппировать в две категории в соответствии со способом оценки их численного значения:

А – составляющие, которые оцениваются путем применения статистических методов (вычислений из рядов повторных наблюдений);

В – составляющие, которые оцениваются другими способами.

Таким образом, набор входных величин можно разделить на две группы:

1) величины, значения и неопределенности которых определяются непосредственно в текущем измерении (в результате одного наблюдения, повторных наблюдений или заключения, основанного на опыте); они могут требовать определения поправок в показания прибора и поправок на влияющие величины (температуру, атмосферное давление, влажность и др.) – оценивание неопределенности по типу А;

2) величины, значения и неопределенности которых вносятся в измерение из внешних источников, связанных с аттестованными эталонами, стандартными образцами или справочными данными — оценивание неопределенности по типу В.

Важно знать и учитывать физический принцип измерения (вплоть до полного устройства средства измерения) и всю цепь преобразований измеряемой величины в контексте «Причина – Влияние – Следствие» (рисунок 5) [3].

Функция модели f может описывать одновременно метод измерения и алгоритм оценки, если измеряемая величина определяется как расчетное значение. Необходимо принимать во внимание особенности шкал средств измерений, их разрешающую способность и чувствительность. Функцию модели можно определить экспериментально или она может существовать как алгоритм, который должен быть реализован численно, или в компьютерной программе, с помощью которого проводится числовая обработка данных, или она может составляться как комбинация из всех этих форм.

Y
Xind
Измеряемая величина
Измерительный процесс
Пока-зание
X1 X2 …XN
Причина – Влияние — Следствие
Анализ неопределенности
Рисунок 5 – Процесс преобразования измеряемой величины (для случая прямого измерения)

Процесс моделирования может быть бесконечным, но всегда нужно находить баланс между тщательностью составления модели и необходимой точностью. Также следует учитывать экономический фактор. Тщательность анализа всех входных величин, а также уровень, до которого математически необходимо моделировать измерение может определяться факторами:

— требованиями по точности метода измерения

— величиной допуска для измеряемой величины Y.

Для этого удобно методику измерений представить в виде алгоритма, в соответствии с которым построить диаграмму «причина-следствие», которая приведена на рисунке 6 [6]. Так как не все источники могут быть отражены в математической модели, или не все они могут быть выделены, то можно осуществлять их группировку и учитывать совокупный эффект их влияния на результат.

Y
X1
X2
X3
XN
g21
w1
gN1
gN2
Рисунок 6 — Диаграмма «причина-следствие» с источниками неопределенности

В алгоритме (см.рисунок 3) этап 3 предусматривает процедуры упрощения и группировки источников неопределенности, когда рассматривают каждый этап методики и добавляют на диаграмму влияющие величины как факторы, действующие вне пределов основных эффектов. Это делают для каждой основной ветви до тех пор, пока результирующие дополнительные эффекты не станут достаточно малыми, пока их влияние на результат не будет пренебрежимо мало [4]. Данная модель позволяет наглядно представить все входные величины и источники неопределенности, сгруппировать их и исключить дублирование.

Читайте также:  Узел скорость как измерить

Источник

Модели измерений

Как правило, измерение физической величины предполагает нахождение ее значения опытным путем, с помощью специальных технических средств.

Модели измерений могут быть: исходные, приведенные и, наконец, математические модели.

Исходная модельизмерения по степени проработки является факторной моделью, представлена на рис. 22

Внутренние помехи в системе возникают по причине:

— нестабильности характеристик отдельных элементов средства измерения,

— нестабильности физико- механических свойств и т.п. Внешние помехи могут возникать:

— при изменении внешних условий: электромагнитных наводок, засветки измерительной шкалы, изменении температуры, относительной влажности, при возникновении шумов, вибраций.

Степень влияния того или иного фактора определяется, в первую очередь, принципом действия средства измерения.

Рис. 21. Факторная модель измерительной процедуры

Пользуясь обратной характеристикой средства измерения, по выходному сигналу определяют результат измерения y [38]. Если бы помехи отсутствовали, результат измерения точно определял измеряемую величину , но .

Погрешность измерения будет равна , т.е. разности между результатом измерения и измеряемой величиной. Результат измерения при этом . Данное выражение называется приведенной моделью измерения, поскольку y и z являются приведенными ко входу средства измерения сигналами и ‘,…,z­n . Графическое изображение данной модели дано на рис. 23.

Рис. 22. Исходная модель измерений: — полезный сигнал; φ – характеристика средства измерения; ; α – обратная характеристика средства измерения; z′ — дополнительный сигнал из-за помех

Рис.23. Приведенная модель измерений: си – средство измерения

Измеряемые величины в общем случае носят случайный характер и представляют собой либо случайные величины, либо случайные функции, характеризуемые законами распределения вероятности появления того или иного количественного значения. При каждом конкретном измерении имеют дело с определенным значением (реализацией) случайной величины.

Таким образом, под измерением понимают совокупность (ансамбль) отдельных метрологических процедур измерения случайных, всякий раз новых реализаций случайной величины. Модель измерений, учитывающая случайный характер измеряемых величин, должна включать измеряемые величины X, распределение вероятности которых описывается дифференциальной функцией распределения ; погрешности Z измерения случайной величины X данным средством измерения, вероятность которых распределена в соответствии с дифференциальной функцией распределения вероятности ; результаты измерения Y случайной величины X , распределение вероятности которых описывается дифференциальной функцией распределения вероятности . Случайные величины обозначены заглавным буквами, а их отдельные значения (реализации) – строчными.

В этом случае результат измерения является случайной величиной Y, представляющей ансамбль отдельных значений результатов измерений при измерениях отдельных, каждый раз новых значений x. Погрешность измерения – случайная величина Z, представляющая собой ансамбль отдельных значений погрешностей, с которыми проводятся эти измерения. Из математической модели измерения случайной величины следует, что результат измерения связан вероятностной зависимостью с измеряемой величиной, а погрешности и измеряемые величины также могут быть зависимыми величинами.

Математическая модель измерения случайной величины — математическое описание связей и отношений между реальными элементами анализируемой системы. Поскольку в этой модели используются случайные величины, такая модель также называется вероятностной или стохастической.

Погрешность Z характеризуется условной плотностью распределения вероятности случайной величины z при данном значении x, т.е. . Поскольку в общем случае Z зависит от X, т.е. распределение погрешности средства измерения при разных значениях x различно, эту погрешность средства измерения определяют в результате многократных измерений одной и той же известной величины x.

По полученным результатам находят условную плотность распределения вероятности результата измерения Y при данном значении x, т.е. . Этой плотности соответствует — математическое ожидание Y при данном x и (среднеквадратическом отклонении Y при данном x) (рис.24). Так как , перенеся начало координат функции в точку x, можно перейти к функции . Функция не зависит от плотности распределения случайной величины x, поэтому является объективной характеристикой метрологических параметров средства измерения и методики выполнения измерения.

Если погрешность характеризуется условной плотность распределения вероятности, то статистические характеристики этой погрешности являются условными характеристиками

;

;

.

Рис.24. Условная плотность распределения вероятности случайной величины.

Источник