Меню

Как сравнить два временных рядах



Сравнение временных рядов при авторегрессионном прогнозе (пример)

Материал из MachineLearning.

Содержание

Аннотация

Данная работа посвящена исследованию зависимости между пространственными характеристиками (форма, период) временного ряда [1] и распределением параметров регрессионных моделей, которые описывают эти временные ряды. Один из подходов исследовать данную зависимость — посмотреть, как распределены параметры моделей для похожих в некотором смысле временных рядов, и насколько эти распределения различаются для непохожих (различных в некотором смысле) временных рядов.

Постановка задачи

Временным рядом называется последовательность упорядоченных по времени значений некоторой вещественной переменной . Элемент последовательности называется отсчетом временного ряда.

Задача авторегрессионного прогноза заключается в нахождении модели , где вектор параметров модели, которая наилучшим образом приближает следущее значение временного ряда .

Пусть задан временной ряд . Предполагается, что отсчеты были сделаны через равные промежутки времени, и период временного ряда равен , при этом , где . Задана модель ,где случайная величина имеет нормальное распределение . Вектор параметров модели рассматривается как многомерная случайная величина. Пусть плотность распределения параметров имеет вид многомерного нормального распределения с матрицей ковариации . Модель некоторым образом учитывает период временного ряда. Предполагается, модель временного ряда может меняться с течением времени, т.е. для разных подпоследовательностей длины оптимальные параметры модели будут отличаться.

Расстояние между временными рядами

Расстояние между различными подпоследовательностями и можно вычислить как сумму квадратов отклонений:

Однако этот метод учитывает только расстояния между парами отсчетов временного ряда. Метод поиска пути минимальной стоимости (warping path) [1] учитывает не только расстояние между отсчетами рядов, но и форму самих временных рядов.

Предположим, мы имеем две последовательности и . Тогда построим матрицу попарных расстояний:

Далее из элементов матрицы строим путь:

Построенный путь удовлетворяет следующим условиям:

1 граничные условия:’ ; ‘2) непрерывность:’ если

, тогда ; ‘3) монотонность:’ если

Стоимостью пути будет

Среди всех путей есть по крайней мере один с минимальной стоимостью. Его стоимость и будем считать расстоянием между последовательностями:

Алгоритм поиска пути минимальной стоимости рекурсивно находит длину пути наименьшей стоимости до каждого элемента матрицы :

Расстояние между параметрами модели

Расстояние между параметрами модели , настроенной на разных подпоследовательностях, можно измерить как расстояние Кульбака-Лейблера между функциями распределения 2-ух случайных величин :

Постановка задачи

Требуется исследовать зависимость расстояния между параметрами модели от расстояния между подпоследовательностями, на которых эти параметры были настроены.

Алгоритм

Для настройки параметров модели используется связный байесовский вывод

где — функция ошибки,

— функция ошибки в пространстве данных.

Настройка параметрической регрессионной модели происходит в 2 этапа [1] , сначала настраиваются параметры при фиксированных гиперпараметрах , затем при вычисленных значениях параметров функция правдоподобия оптимизируется по гиперпараметрам. Процедура повторяется, пока настраиваемые параметры не стабилизируется.

Для простоты вычислений, считаем, что имеет диагональный вид:

Источник

Как сравнить временные ряды?

Кластеризация временного ряда — это первое, что приходит в голову новичку в теме, но как знают те, что в тему уже не первый год — очень не лучшее решение для предсказания на основе временного ряда. Есть смысл использовать его только тогда, когда другие, более отработанные методы оказываются почему-то непригодными. Ну, например, когда один график повторяет другой но без привязки ко времени (трудно без картинки пояснить — погуглите Dynamic Time Warping) и есть необходимость использования именно другого (чужого) графика, а не «свои» данные текущего ряда.

Вы же рассматриваете зависимость значений вашего ряда от ПРЕДЫДУЩИХ значений либо самого вашего ряда, либо нескольких рядов. (Цена золота сегодня зависит от цены золота вчера и цены серебра вчера). Т.е. в вашем случае надо смотреть обычные (ну, многомерные, если очень хочется) временны ряды и работу с ними. Для таких задач, кстати, наличие сильной корреляция двух рядов скорее преграда, а не помощь в предсказании.

Ваша задача достаточно хорошо проработана в теории и в виде кучи разных реализаций. От методов Брауна-Хольта-Винтерса, до (V)SARIMA, от скользящего среднего до всяких нейросети (LSTM — как пример), от Фурье-анализа до GARCH-моделей. И для моделей с сезонностью, и для моделей случайного блуждания, и для моделей с регрессией и без. С реализациями и в TemsorFlow, и в Prophet, и в Pytorch, примеров применения которых в разных предметных областях — выше крыше, а ваши «потоки покупателей/продаж» и пр. маркетинговые штучки — так вообще излюбленная тема примеров. Большинство из методов не только даст вам прогноз, но и позволит оценить его точность. И в какой-то мере обеспечить пониманием того, насколько прогнозу можно доверять (в отличии, кстати, от кластеризации).
На досуге ознакомьтесь:
https://otexts.com/fpp2/
P.S. Но если уж очень хочется помучиться именно с кластеризацией — то вот еще приличная статейка — забыл ее включить в первый свой ответ:
https://habr.com/ru/post/334220/ Там же найдете неплохой список библиографии, если что.

dmshar, DTW — ок, на неделе планировал до него дойти, спасибо.
статья на Хабре — да, отличная. вопрос был именно от нее: чтобы не собирать велосипеды самому, есть решения? (Prophet от FB пока не хочется — ибо там уже, как я понял, нейронки). ARIMA, судя по всему, плохоустойчива к выбросам.
В общем, кроличья нора глубже, чем казалась.

Источник

Как сравнить временные ряды?

Кластеризация временного ряда — это первое, что приходит в голову новичку в теме, но как знают те, что в тему уже не первый год — очень не лучшее решение для предсказания на основе временного ряда. Есть смысл использовать его только тогда, когда другие, более отработанные методы оказываются почему-то непригодными. Ну, например, когда один график повторяет другой но без привязки ко времени (трудно без картинки пояснить — погуглите Dynamic Time Warping) и есть необходимость использования именно другого (чужого) графика, а не «свои» данные текущего ряда.

Вы же рассматриваете зависимость значений вашего ряда от ПРЕДЫДУЩИХ значений либо самого вашего ряда, либо нескольких рядов. (Цена золота сегодня зависит от цены золота вчера и цены серебра вчера). Т.е. в вашем случае надо смотреть обычные (ну, многомерные, если очень хочется) временны ряды и работу с ними. Для таких задач, кстати, наличие сильной корреляция двух рядов скорее преграда, а не помощь в предсказании.

Ваша задача достаточно хорошо проработана в теории и в виде кучи разных реализаций. От методов Брауна-Хольта-Винтерса, до (V)SARIMA, от скользящего среднего до всяких нейросети (LSTM — как пример), от Фурье-анализа до GARCH-моделей. И для моделей с сезонностью, и для моделей случайного блуждания, и для моделей с регрессией и без. С реализациями и в TemsorFlow, и в Prophet, и в Pytorch, примеров применения которых в разных предметных областях — выше крыше, а ваши «потоки покупателей/продаж» и пр. маркетинговые штучки — так вообще излюбленная тема примеров. Большинство из методов не только даст вам прогноз, но и позволит оценить его точность. И в какой-то мере обеспечить пониманием того, насколько прогнозу можно доверять (в отличии, кстати, от кластеризации).
На досуге ознакомьтесь:
https://otexts.com/fpp2/
P.S. Но если уж очень хочется помучиться именно с кластеризацией — то вот еще приличная статейка — забыл ее включить в первый свой ответ:
https://habr.com/ru/post/334220/ Там же найдете неплохой список библиографии, если что.

Читайте также:  Сравнение мощности видеокарт gtx

dmshar, DTW — ок, на неделе планировал до него дойти, спасибо.
статья на Хабре — да, отличная. вопрос был именно от нее: чтобы не собирать велосипеды самому, есть решения? (Prophet от FB пока не хочется — ибо там уже, как я понял, нейронки). ARIMA, судя по всему, плохоустойчива к выбросам.
В общем, кроличья нора глубже, чем казалась.

Источник

Открытый курс машинного обучения. Тема 9. Анализ временных рядов с помощью Python

Доброго дня! Мы продолжаем наш цикл статей открытого курса по машинному обучению и сегодня поговорим о временных рядах.

Посмотрим на то, как с ними работать в Python, какие возможные методы и модели можно использовать для прогнозирования; что такое двойное и тройное экспоненциальное взвешивание; что делать, если стационарность — это не про вас; как построить SARIMA и не умереть; и как прогнозировать xgboost-ом. И всё это будем применять к примеру из суровой реальности.

UPD: теперь курс — на английском языке под брендом mlcourse.ai со статьями на Medium, а материалами — на Kaggle (Dataset) и на GitHub.

Видеозапись лекции по мотивам этой статьи в рамках второго запуска открытого курса (сентябрь-ноябрь 2017).

План этой статьи:

  1. Движемся, сглаживаем и оцениваем
    • Rolling window estimations
    • Экспоненциальное сглаживание, модель Хольта-Винтерса
    • Кросс-валидация на временных рядах, подбор параметров
  2. Эконометрический подход
    • Стационарность, единичные корни
    • Избавляемся от нестационарности и строим SARIMA
  3. Линейные и не очень модели на временных рядах
    • Извлечение признаков (Feature extraction)
    • Линейная регрессия vs XGBoost
  4. Домашнее задание
  5. Полезные ресурсы

Введение

На работе я практически ежедневно сталкиваюсь с теми или иными задачами, связанными с временными рядам. Чаще всего возникает вопрос — а что у нас будет происходить с нашими показателями в ближайший день/неделю/месяц/пр. — сколько игроков установят приложения, сколько будет онлайна, как много действий совершат пользователи, и так далее. К задаче прогнозирования можно подходить по-разному, в зависимости от того, какого качества должен быть прогноз, на какой период мы хотим его строить, и, конечно, как долго нужно подбирать и настраивать параметры модели для его получения.

Начнем с простых методов анализа и прогнозирования — скользящих средних, сглаживаний и их вариаций.

Движемся, сглаживаем и оцениваем

Небольшое определение временного ряда:

Временной ряд – это последовательность значений, описывающих протекающий во времени процесс, измеренных в последовательные моменты времени, обычно через равные промежутки

Таким образом, данные оказываются упорядочены относительно неслучайных моментов времени, и, значит, в отличие от случайных выборок, могут содержать в себе дополнительную информацию, которую мы постараемся извлечь.

Импортируем нужные библиотеки. В основном нам понадобится модуль statsmodels, в котором реализованы многочисленные методы статистического моделирования, в том числе для временных рядов. Для поклонников R, пересевших на питон, он может показаться очень родным, так как поддерживает написание формулировок моделей в стиле ‘Wage

В качестве примера для работы возьмем реальные данные по часовому онлайну игроков в одной из мобильных игрушек:

Rolling window estimations

Начнем моделирование с наивного предположения — «завтра будет, как вчера», но вместо модели вида будем считать, что будущее значение переменной зависит от среднего её предыдущих значений, а значит, воспользуемся скользящей средней.

Реализуем эту же функцию в питоне и посмотрим на прогноз, построенный по последнему наблюдаемому дню (24 часа)

К сожалению, такой прогноз долгосрочным сделать не удастся — для получения предсказания на шаг вперед предыдущее значение должно быть фактически наблюдаемой величиной. Зато у скользящей средней есть другое применение — сглаживание исходного ряда для выявления трендов. В пандасе есть готовая реализация — DataFrame.rolling(window).mean() . Чем больше зададим ширину интервала — тем более сглаженным окажется тренд. В случае, если данные сильно зашумлены, что особенно часто встречается, например, в финансовых показателях, такая процедура может помочь с определением общих паттернов.

Для нашего ряда тренды и так вполне очевидны, но если сгладить по дням, становится лучше видна динамика онлайна по будням и выходным (выходные — время поиграть), а недельное сглаживание хорошо отражает общие изменения, связанные с резким ростом числа активных игроков в феврале и последующим снижением в марте.


Модификацией простой скользящей средней является взвешенная средняя, внутри которой наблюдениям придаются различные веса, в сумме дающие единицу, при этом обычно последним наблюдениям присваивается больший вес.

Экспоненциальное сглаживание, модель Хольта-Винтерса

Простое экспоненциальное сглаживание

А теперь посмотрим, что произойдёт, если вместо взвешивания последних значений ряда мы начнем взвешивать все доступные наблюдения, при этом экспоненциально уменьшая веса по мере углубления в исторические данные. В этом нам поможет формула простого экспоненциального сглаживания:

Здесь модельное значение представляет собой средневзвешенную между текущим истинным и предыдущим модельным значениями. Вес называется сглаживающим фактором. Он определяет, как быстро мы будем «забывать» последнее доступное истинное наблюдение. Чем меньше , тем больше влияния оказывают предыдущие модельные значения, и тем сильнее сглаживается ряд.

Экспоненциальность скрывается в рекурсивности функции — каждый раз мы умножаем на предыдущее модельное значение, которое, в свою очередь, также содержало в себе , и так до самого начала.

Двойное экспоненциальное сглаживание

До сих пор мы могли получить от наших методов в лучшем случае прогноз лишь на одну точку вперёд (и ещё красиво сгладить ряд), это здорово, но недостаточно, поэтому переходим к расширению экспоненциального сглаживания, которое позволит строить прогноз сразу на две точки вперед (и тоже красиво сглаживать ряд).

В этом нам поможет разбиение ряда на две составляющие — уровень (level, intercept) и тренд (trend, slope). Уровень, или ожидаемое значение ряда, мы предсказывали при помощи предыдущих методов, а теперь такое же экспоненциальное сглаживание применим к тренду, наивно или не очень полагая, что будущее направление изменения ряда зависит от взвешенных предыдущих изменений.

В результате получаем набор функций. Первая описывает уровень — он, как и прежде, зависит от текущего значения ряда, а второе слагаемое теперь разбивается на предыдущее значение уровня и тренда. Вторая отвечает за тренд — он зависит от изменения уровня на текущем шаге, и от предыдущего значения тренда. Здесь в роли веса в экспоненциальном сглаживании выступает коэффициент . Наконец, итоговое предсказание представляет собой сумму модельных значений уровня и тренда.

Теперь настраивать пришлось уже два параметра — и . Первый отвечает за сглаживание ряда вокруг тренда, второй — за сглаживание самого тренда. Чем выше значения, тем больший вес будет отдаваться последним наблюдениям и тем менее сглаженным окажется модельный ряд. Комбинации параметров могут выдавать достаточно причудливые результаты, особенно если задавать их руками. А о не ручном подборе параметров расскажу чуть ниже, сразу после тройного экспоненциального сглаживания.

Читайте также:  Сравнение двух групп предметов средней группе

Тройное экспоненциальное сглаживание a.k.a. Holt-Winters

Итак, успешно добрались до следующего варианта экспоненциального сглаживания, на сей раз тройного.

Идея этого метода заключается в добавлении еще одной, третьей, компоненты — сезонности. Соответственно, метод применим только в случае, если ряд этой сезонностью не обделён, что в нашем случае верно. Сезонная компонента в модели будет объяснять повторяющиеся колебания вокруг уровня и тренда, а характеризоваться она будет длиной сезона — периодом, после которого начинаются повторения колебаний. Для каждого наблюдения в сезоне формируется своя компонента, например, если длина сезона составляет 7 (например, недельная сезонность), то получим 7 сезонных компонент, по штуке на каждый из дней недели.

Получаем новую систему:

Уровень теперь зависит от текущего значения ряда за вычетом соответствующей сезонной компоненты, тренд остаётся без изменений, а сезонная компонента зависит от текущего значения ряда за вычетом уровня и от предыдущего значения компоненты. При этом компоненты сглаживаются через все доступные сезоны, например, если это компонента, отвечающая за понедельник, то и усредняться она будет только с другими понедельниками. Подробнее про работу усреднений и оценку начальных значений тренда и сезонных компонент можно почитать здесь. Теперь, имея сезонную компоненту, мы можем предсказывать уже не на один, и даже не на два, а на произвольные шагов вперёд, что не может не радовать.

Ниже приведен код для построения модели тройного экспоненциального сглаживания, также известного по фамилиям её создателей — Чарльза Хольта и его студента Питера Винтерса.
Дополнительно в модель включен метод Брутлага для построения доверительных интервалов:

где — длина сезона, — предсказанное отклонение, а остальные параметры берутся из тройного сглаживани. Подробнее о методе и о его применении к поиску аномалий во временных рядах можно прочесть здесь

Кросс-валидация на временных рядах, подбор параметров

Перед тем, как построить модель, поговорим, наконец, о не ручной оценке параметров для моделей.

Ничего необычного здесь нет, по-прежнему сначала необходимо выбрать подходящуюю для данной задачи функцию потерь: RMSE, MAE, MAPE и др., которая будет следить за качеством подгонки модели под исходные данные. Затем будем оценивать на кросс-валидации значение функции потерь при данных параметрах модели, искать градиент, менять в соответствии с ним параметры и бодро опускаться в сторону глобального минимума ошибки.

Небольшая загвоздка возникает только в кросс-валидации. Проблема состоит в том, что временной ряд имеет, как ни парадоксально, временную структуру, и случайно перемешивать в фолдах значения всего ряда без сохранения этой структуры нельзя, иначе в процессе потеряются все взаимосвязи наблюдений друг с другом. Поэтому придется использовать чуть более хитрый способ для оптимизации параметров, официального названия которому я так и не нашел, но на сайте CrossValidated, где можно найти ответы на всё, кроме главного вопроса Жизни, Вселенной и Всего Остального, предлагают название «cross-validation on a rolling basis», что не дословно можно перевести как кросс-валидация на скользящем окне.

Суть достаточно проста — начинаем обучать модель на небольшом отрезке временного ряда, от начала до некоторого , делаем прогноз на шагов вперед и считаем ошибку. Далее расширяем обучающую выборку до значения и прогнозируем с до , так продолжаем двигать тестовый отрезок ряда до тех пор, пока не упрёмся в последнее доступное наблюдение. В итоге получим столько фолдов, сколько уместится в промежуток между изначальным обучающим отрезком и всей длиной ряда.

Значение длины сезона 24*7 возникло не случайно — в исходном ряде отчетливо видна дневная сезонность, (отсюда 24), и недельная — по будням ниже, на выходных — выше, (отсюда 7), суммарно сезонных компонент получится 24*7.

В модели Хольта-Винтерса, как и в остальных моделях экспоненциального сглаживания, есть ограничение на величину сглаживающих параметров — каждый из них может принимать значения от 0 до 1, поэтому для минимизации функции потерь нужно выбирать алгоритм, поддерживающий ограничения на параметры, в данном случае — Truncated Newton conjugate gradient.

Передадим полученные оптимальные значения коэффициентов , и и построим прогноз на 5 дней вперёд (128 часов)

Судя по графику, модель неплохо описала исходный временной ряд, уловив недельную и дневную сезонность, и даже смогла поймать аномальные снижения, вышедшие за пределы доверительных интервалов. Если посмотреть на смоделированное отклонение, хорошо видно, что модель достаточно резко регирует на значительные изменения в структуре ряда, но при этом быстро возвращает дисперсию к обычным значениям, «забывая» прошлое. Такая особенность позволяет неплохо и без значительных затрат на подготовку-обучение модели настроить систему по детектированию аномалий даже в достаточно шумных рядах.

Эконометрический подход

Стационарность, единичные корни

Перед тем, как перейти к моделированию, стоит сказать о таком важном свойстве временного ряда, как стационарность.
Под стационарностью понимают свойство процесса не менять своих статистических характеристик с течением времени, а именно постоянство матожидания, постоянство дисперсии (она же гомоскедастичность) и независимость ковариационной функции от времени (должна зависеть только от расстояния между наблюдениями). Наглядно можно посмотреть на эти свойства на картинках, взятых из поста Sean Abu:

  • Временной ряд справа не является стационарным, так как его матожидание со временем растёт

  • Здесь не повезло с дисперсией — разброс значений ряда существенно варьируется в зависимости от периода

  • Наконец, на последнем графике видно, что значения ряда внезапно становятся ближе друг ко другу, образуя некоторый кластер, а в результате получаем непостоянство ковариаций

Почему стационарность так важна? По стационарному ряду просто строить прогноз, так как мы полагаем, что его будущие статистические характеристики не будут отличаться от наблюдаемых текущих. Большинство моделей временных рядов так или иначе моделируют и предсказывают эти характеристики (например, матожидание или дисперсию), поэтому в случае нестационарности исходного ряда предсказания окажутся неверными. К сожалению, большинство временных рядов, с которыми приходится сталкиваться за пределыми учебных материалов, стационарными не являются, но с этим можно (и нужно) бороться.

Чтобы бороться с нестационарностью, нужно узнать её в лицо, потому посмотрим, как её детектировать. Для этого обратимся к белому шуму и случайному блужданию, чтобы выяснить как попасть из одного в другое бесплатно и без смс.

График белого шума:

Итак, процесс, порожденный стандартным нормальным распределением, стационарен, колеблется вокруг нуля с отклонением в 1. Теперь на основании него сгенерируем новый процесс, в котором каждое последующее значение будет зависеть от предыдущего:




На первом графике получился точно такой же стационарный белый шум, который строился раньше. На втором значение увеличилось до 0.6, в результате чего на графике стали появляться более широкие циклы, но в целом стационарным он быть пока не перестал. Третий график всё сильнее отклоняется от нулевого среднего значения, но всё ещё колеблется вокруг него. Наконец, значение равное единице дало процесс случайного блуждания — ряд не стационарен.

Происходит это из-за того, что при достижении критической единицы, ряд перестаёт возвращаться к своему среднему значению. Если вычесть из левой и правой части , то получим , где выражение слева — первые разности. Если , то первые разности дадут стационарный белый шум . Этот факт лёг в основу теста Дики-Фуллера на стационарность ряда (наличие единичного корня). Если из нестационарного ряда первыми разностями удаётся получить стационарный, то он называется интегрированным первого порядка. Нулевая гипотеза теста — ряд не стационарен, отвергалась на первых трех графиках, и принялась на последнем. Стоит сказать, что не всегда для получения стационарного ряда хватает первых разностей, так как процесс может быть интегрированным с более высоким порядком (иметь несколько единичных корней), для проверки таких случаев используют расширенный тест Дики-Фуллера, проверяющий сразу несколько лагов.

Читайте также:  Рабепразол сравнение с омепразолом

Бороться с нестационарностью можно множеством способов — разностями различного порядка, выделением тренда и сезонности, сглаживаниями и преобразованиями, например, Бокса-Кокса или логарифмированием.

Избавляемся от нестационарности и строим SARIMA

Попробуем теперь построить ARIMA модель для онлайна игроков, пройдя все круги ада стадии приведения ряда к стационарному виду. Про саму модель уже не раз писали на хабре — Построение модели SARIMA с помощью Python+R, Анализ временных рядов с помощью python, поэтому подробно останавливаться на ней не буду.

Как и следовало ожидать, исходный ряд стационарным не является, критерий Дики-Фуллера не отверг нулевую гипотезу о наличии единичного корня. Попробуем стабилизировать дисперсию преоразованием Бокса-Кокса.

Уже лучше, однако критерий Дики-Фуллера по-прежнему не отвергает гипотезу о нестационарности ряда. А автокорреляционная функция явно намекает на сезонность в получившемся ряде. Возьмём сезонные разности:

Критерий Дики-Фуллера теперь отвергает нулевую гипотезу о нестационарности, но автокорреляционная функция всё ещё выглядит нехорошо из-за большого числа значимых лагов. Так как на графике частной автокорреляционной функции значим лишь один лаг, стоит взять еще первые разности, чтобы привести наконец ряд к стационарному виду.

Наконец, получили стационарный ряд, по автокорреляционной и частной автокорреляционной функции прикинем параметры для SARIMA модели, на забыв, что предварительно уже сделали первые и сезонные разности.

Начальные приближения Q = 1, P = 4, q = 3, p = 4

Лучшие параметры загоняем в модель:

Проверим остатки модели:

Что ж, остатки стационарны, явных автокорреляций нет, построим прогноз по получившейся модели

В финале получаем достаточно адекватный прогноз, в среднем модель ошибалась на 1.3 K пользователей, что очень и очень неплохо, однако суммарные затраты на подготовку данных, приведение к стационарности, определение и перебор параметров могут такой точности и не стоить.

Линейные и не очень модели на временных рядах

Снова небольшое лирическое отступление. Часто на работе приходится строить модели, руководствуясь одним основополагающим принципом – быстро, качественно, недорого. Поэтому часть моделей могут банально не подойти для «продакшн-решений», так как либо требуют слишком больших затрат по подготовке данных (например, SARIMA), либо сложно настраиваются (хороший пример – SARIMA), либо требуют частого переобучения на новых данных (опять SARIMA), поэтому зачастую гораздо проще бывает выделить несколько признаков из имеющегося временного ряда и построить по ним обычную линейную регрессию или навесить решаюший лес. Дешево и сердито.

Возможно, этот подход не является значительно подкрепленным теорией, нарушает различные предпосылки, например, условия Гаусса-Маркова, особенно пункт про некоррелированность ошибок, однако на практике нередко выручает и достаточно активно используется в соревнованиях по машинному обучению.

Извлечение признаков (Feature extraction)

Помимо стандартных признаков вроде лагов целевой переменной, много информации содержат в себе дата и время. Про извлечение признаков из них уже здорово описано в одной из предыдущих статей курса.

Добавлю только про еще один вариант кодирования категориальных признаков – кодирование средним. Если не хочется раздувать датасет множеством дамми-переменных, которые могут привести к потере информации о расстоянии, а в вещественном виде возникают противоречивые результаты а-ля «0 часов datetime , и извлекаем из него hour и weekday .

y hour weekday is_weekend
Time
2017-01-01 00:00:00 34002 6 1
2017-01-01 01:00:00 37947 1 6 1
2017-01-01 02:00:00 41517 2 6 1
2017-01-01 03:00:00 44476 3 6 1
2017-01-01 04:00:00 46234 4 6 1

Посмотрим на средние по дням недели

Помимо перечисленных преобразований для увеличения числа признаков используют и множество других метрик, например, максимальное/минимальное значение, наблюдавшееся в скользящем по ряду окне, медианы, число пиков, взвешенные дисперсии и многое другое. Автоматически этим занимается уже упоминавшаяся в курсе библиотека библиотека tsfresh.

Для удобства все преобразования можно записать в одну функцию, которая сразу же будет возвращать разбитые на трейн и тест датасеты и целевые переменные.

Линейная регрессия vs XGBoost

Обучим на получившихся данных простую линейную регрессию. При этом лаги будем брать начиная с двенадцатого, таким образом модель будет способна строить предсказания на 12 часов вперёд, имея фактические наблюдения за предыдущие пол дня.

Получилось достаточно неплохо, даже отбора признаков модель ошибается, в среднем, на 3K пользователей в час, и это учитывая огромный выброс в середине тестового ряда.

Также можно провести оценку модели на кросс-валидации, тому же принципу, что был использован ранее. Для этого воспользуемся функцией (с небольшими модификациями), предложенной в посте Pythonic Cross Validation on Time Series

На 5 фолдах получили среднюю абсолютную ошибку в 4.6 K пользователей, достаточно близко к оценке качества, полученной на тестовом датасете.

Почему бы теперь не попробовать XGBoost.


Те же 3 K пользователей в средней абсолютной ошибке, и неплохо пойманные аномалии на тестовом датасете. Конечно, чтобы уменьшить ошибку, еще можно повозиться с параметрами, настроить при необходимости регуляризацию, отобрать признаки, понять, на сколько лагов нужно уходить вглубь истории и т.д.

Заключение

Мы познакомились с разными методами и подходами к анализу и прогнозированию временных рядов. К сожалению, или к счастью, серебряной пули для решения такого рода задач пока не появилось. Методы, разработанные в 60-е годы прошлого века, (а некоторые и в начале 19-го), по-прежнему пользуются популярностью наравне с неразобранными в рамках данной статьи LSTM или RNN. Отчасти это связано с тем, что задача прогнозирования, как и любая другая задача, возникающая в процессе работы с данными — во многом творческая и уж точно исследовательская. Несмотря на обилие формальных метрик качества и способов оценки параметров, для каждого временного ряда часто приходится подбирать и пробовать что-то своё. Не последнюю роль играет и баланс между качеством и трудозатратами. Не раз уже упоминавшаяся здесь SARIMA-модель хотя и демонстрирует выдающиеся результаты при должной настройке, может потребовать не одного часа танцев с бубном манипуляций с рядом, в то время как простенькую линейную регрессию можно соорудить за 10 минут, получив при этом более-менее сравнимые результаты.

Домашнее задание

Актуальные домашние задания объявляются во время очередной сессии курса, следить можно в группе ВК и в репозитории курса.

В демо-версии домашнего задания вы будете предсказывать просмотры wiki-страницы «Machine Learning». Веб-форма для ответов, там же найдете и решение.

Полезные ресурсы

Материал статьи доступен в GitHub-репозитории курса
в виде тетрадок Jupyter.

Источник