Меню

Как сравнить комплексные числа по модулю



Модуль комплексного числа

Что такое комплексное число

Комплексное число — это выражение типа \(z\;=\;a\;+\;ib\) . Здесь a и b будут являться любыми действительными числами, а i — специальным числом, называемым мнимой единицей. Действительная часть комплексного числа обозначается как \(a\;=\;RE\;z \) , а мнимая часть — \(b\;=\;Im\;z\) .

Во множестве комплексных чисел содержится множество вещественных чисел. Если множество комплексных чисел — это всевозможные пары (x, y), то содержащееся в нем множество вещественных чисел — это пары (x, 0). Те же комплексные числа, которые задают пары (0, y) являются мнимыми.

Что такое модуль комплексного числа

Модуль комплексного числа — это длина вектора, который изображает комплексное число.

Любое комплексное число кроме 0 может быть выражено в тригонометрической форме.

В этом виде \(\left|z\right|\) — модуль комплексного числа z. Может обозначаться как p и r.

Если \(\left|z\right|\;=\;r,\) то r будет обозначать длину радиус-вектора точки M (x, y).

Вычисление модуля комплексного числа, если в алгебраической форме оно выглядит как z = x + iy, возможно по следующей формуле:

То есть модуль комплексного числа можно вычислить как квадратный корень из суммы квадратов действительной и мнимой его частей.

Модуль комплексного числа имеет следующие свойства:

  1. Модуль не отрицателен — \(\left|x\right|\;\geq\;0\) . \(\left|x\right|\;=\;0\) только в том случае, если z = 0.
  2. Модуль суммы двух комплексных чисел будет меньше или равен сумме модулей: \(\left|z_1\;+\;z_2\right|\;\leq\;\left|z_1\right|\;+\;\left|z_2\right|.\)
  3. Модуль результата умножения двух комплексных числе будет равен произведению модулей: \(\left|z_1\;\cdot\;z_2\right|\;=\;\left|z_1\right|\;\cdot\;\left|z_2\right|.\)
  4. Модуль результата деления двух комплексных чисел будет равняться частному модулей: \(\left|z_1\;\div\;z_2\right|\;=\;\left|z_1\right|\;\div\;\left|z_2\right|.\)
  5. Модуль неравенства комплексных чисел будет равен расстоянию между этими числами на комплексной плоскости: \(\left|z_1\;-\;z_2\right|\;=\;\sqrt<\left(x_1\;-\;x_2\right)^2\;+\;\left(y_1\;-\;y_2\right)^2>\) .

Что такое аргумент комплексного числа

Аргумент комплексного числа — это угол \(\varphi\) радиус-вектора точки, соответствующей комплексному числу \(z\;:\;\varphi\;=\;arg\;z\) на комплексной плоскости. Этот угол измеряется в радианах.

Каждое комплексное число, которое не равно нулю, имеет бесконечное множество аргументов. Эти аргументы отличаются друг от друга на целое число полный оборотов — \(360^\circ\;\cdot\;k\) при k — любое число.

Связь аргумента комплексного числа с его координатами отражена в следующих формулах:

Важно помнить, что ни одна из этих формул отдельно недостаточна для того, чтобы найти аргументы. Формулы используются в совокупности, а также учитывается номер четвертый на координатной плоскости, в которой находится комплексное число.

Аргумент может быть записан в тригонометрической форме. Для комплексного числа \(z = x + iy\) , это будет выглядеть следующим образом:

Здесь \(r\) будет модулем комплексного числа \(z\) , а \(\varphi\) — arg z.

Важно отметить, arg z имеет смысл лишь при \(z \neq 0\) , комплексное число ноль не имеет аргумента.

Как вывести формулу модуля

В соответствии с теоремой Пифагора длина вектора с координатами a и b равна \(\sqrt\) .

Так как именно эта величина называется модулем комплексного числа \(z = a + bi\) , тогда \(\left|x\right|\;=\;\sqrt\) .

Примеры решения задач

Задача

Найти модуль числа \(z\;=\;-5\;+\;15i\)

Решение

\(x\;=\;Re\;z\;=\;-15\) — действительная часть, а \(y\;=\;Im\;z\;=\;15\) — мнимая часть комплексного числа \(z\;=\;-5\;+\;15i.\)

Таким образом, модуль числа равен следующему выражению:

Задача

Найти расстояние между числами \(z_1\;=\;1\;-\;3i,\;z_2\;=\;-2\;+\;2i\) на комплексной плоскости.

Решение

Расстояние между двумя комплексными числами находятся как модуль разности комплексных чисел. Используем необходимую формулу:

Задача

Найти значение аргумента комплексного числа \(\sqrt<34>\) и выразить его в тригонометрической форме.

Решение

Если действительно частью комплексного числа \(z\;=\;1\;+\;\sqrt<3i>\) является число \(x = Re z = 1\) , а мнимой частью является \(y = Im z\;=\sqrt3\) , то аргумент можно вычислить по формуле:

Теперь для нахождения тригонометрической формы записи комплексного числа необходимо найти модуль.

Исходя из этого, тригонометрическая форма комплексного числа выглядит следующим образом:

Ответ: аргумент равен \(\frac<\mathrm\pi>3\) . Тригонометрическая форма записана выше.

Задача

Найти модуль и аргумент числа \(z = 2 — i\)

Решение

Так как \(Re z = 2 > 0\) , \(Im z = -1 , точка расположена в 4 четверти. Тогда из равенства \(\tan\left(\varphi\right)\;=\;-\frac12\) следует:

Источник

комплексные-числа — Сравнение комплексных чисел

По-моему, как раз поэтому. Мне в голову уже давно напрашивается лёгкая и обоснованная система сравнения комплексных чисел. При сравнении комплексных чисел между собой нужно заменять их на такое выражение: $$\frac<\sqrt(a+b)><|a|+|b|>$$ Где a — действительная, b — мнимая части этих чисел. Как и в действительных числах сравниваются длины векторов (модулей) с учётом их направления. Но всё портит то, что по этой формуле равны неравные числа. Хотя можно ввести ввести знак «комплексно равно» (например, 2+i комплексно равно 1+2i, или 3 комплексно равно 3).

Можно много чего вводить, например, сравнение комплексных чисел по модулю, вещественной, мнимой части и еще множеству других вещественных функций от них. Но никакая функция, переводящая комплексные числа в действительные не будет взаимно-однозначной (если она достаточно «хорошая»). Так как комплексная плоскость и прямая имеют разные размерности). Вы сравниваете значения «своей» функции, а не сами числа.

Всем спасибо за ответы. Особенно спасибо за дополнительную информацию. =)

3 ответа

Нет, не поэтому. Потому что комплексные числа это, по сути векторы, они задаются парой чисел. А что больше, (2; 3) или (4; 2)? Соответственно, что больше 2 + 3i или 4 + i?

Впрочем, комплексные числа нельзя сравнить «разумным» способом. Какое-нибудь сравнение можно придумать для любого множества (т.е. вполне упорядочить его). Но это построение не конструктивно, оно требует применения аксиомы выбора.

Еще проще ввести частичный порядок, например, считать , что $%a+ bi ссылка

отвечен 7 Май ’12 13:20

Такую «линию» тоже можно рассматривать как спираль, проходящую через бесконечность.

Да, я тоже об этом подумала.

Вот, например, простой способ упорядочивания комплексных чисел: будем считать, что $%z_1>z_2$%, если $%|z_1|>|z_2|$%. Если же модули чисел равны, т.е. $%|z_1|=|z_2|$%, то будем считать большим то число, у которого больше аргумент. Но для любого математического построения важна конструктивность: где и как такое сравнение можно использовать?

Ответ на комментарий (для Никиты Башаева). Вашу последнюю реплику я не совсем понял, но про «пару действительных чисел» постараюсь пояснить. Действительное число эквивалентно точке прямой, а комплексное число — точке плоскости, т.е. упорядоченной паре действительных чисел (координат точки). Но координаты можно вводить разными способами. Конечно, самая распространенная система координат — декартова прямоугольная, в ней точка $%z$% задается как пара действительных чисел $%(a,b)$%, где $%a=Re(z),b=Im(z))$%- действительная и мнимая части комплексного числа $%z$%. Но можно использовать и полярную систему координат, в этом случае точка $%z$% ,будет задаваться как другая пара действительных чисел $%(\rho,\phi)$%, где $%\rho=|z|,\phi=arg(z))$% — модуль и аргумент. А можно это сделать с помощью эллиптических, параболических или косоугольных координат. И вообще, существует бесконечно много возможных представлений комплексного числа в виде упорядоченной пары двух действительных чисел. Любое множество таких пар равномощно множеству действительных чисел, поэтому всегда можно построить взаимно-однозначное соответствие между этими множествами и, таким образом, упорядочить множество комплексных чисел (т.к. множество действительных чисел является вполне упорядоченным), и это можно сделать бесконечным числом способов. Один способ из этого бесконечного множества способов я предложил. Но вопрос о смысле и полезности такого упорядочивания остается открытым.

Дополнение (для Никиты Башаева)

1) Да, действительные числа при «спиральном упорядочивании» будут сравниваться по модулю (больше то, у которого больше модуль).

2) Число и точка — два базовых понятия математики, между ними всегда стараются установить взаимно-однозначное соответствие, чтобы свести эти 2 понятия к одному. Обычно такое соответствие устанавливается естественным образом.

3) Для $%R$% и $%C$% следует использовать не знак принадлежности, а знак подмножества.

Ответ на комментарий. И я о том же. При таком способе упорядочивания условие $% a_1+i \cdot 0 \lt a_2+i \cdot 0$% эквивалентно условию $% |a_1| \lt |a_2| $%

Источник

Основные действия над комплексными числами

Комплексные числа — определение и основные понятия

Обычные числа представляют собой множество действительных чисел, для обозначения которых используют букву R. Каждое число из множества можно отметить на числовой прямой.

К действительным числам носят:

  • целые числа;
  • дроби;
  • иррациональные числа.

Каждая точка на числовой прямой характеризуется некоторым действительным числом. Комплексное число является двумерным числом и записано в виде:

Где а и b являются действительными числами, i представляет собой так называемую мнимую единицу.

Уравнение можно мысленно поделить на несколько частей:

  • a — действительная часть (Re z) комплексного числа z;
  • b — мнимая часть (Im z) комплексного числа z.

Следует отметить, что a + bi является единым числом, а не сложением. Места действительной и мнимой частей в уравнении можно менять:

Мнимую единицу допускается переставлять:

При таких операциях смысл выражения остается прежним. Однако стандартная запись комплексного числа имеет такой вид:

Комплексным числом называют выражение a + bi, в котором а и b являются действительными числами, i представляет собой мнимую единицу, символ, квадрат которого равен -1, то есть i2=-1. Число а представляет собой действительную часть, b — мнимую часть комплексного числа z = a + bi. Если b = 0, то вместо a + 0i записывают a. Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел.

Данное утверждение можно привести в виде геометрической интерпретации. Тогда комплексные числа изображают на комплексной плоскости.

С помощью R обозначаю множество действительных чисел. В случае, когда требуется обозначить множество комплексных чисел, принято использовать букву С. Наличие буквы С на чертеже говорит о том, что на нем представлена комплексная плоскость. Данная плоскость включает две оси:

Re z — является действительной осью;

Im z — представляет собой мнимую ось.

Правила оформления такого графика практически не отличаются от требований к чертежам для декартовой системы координат. По осям задают масштаб и отмечают:

  • ноль;
  • единицу для действительной оси;
  • мнимую единицу i для мнимо оси.

С помощью комплексной плоскости можно построить заданные комплексные числа:

Можно рассмотреть следующие комплексные числа:

Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Действительная ось Re z обозначает в точности множество действительных чисел R, то есть на данной оси расположены все числа с обычными свойствами. Можно сформулировать справедливое утверждение: множество действительных чисел R представляет собой подмножество множества комплексных чисел С.

Данные числа являются комплексными числами, мнимая часть которых нулевая:

Мнимые числа с нулевой действительностью, которые расположены на мнимой оси Im z:

Есть ряд чисел с ненулевыми действительной и мнимой частью:

Для их обозначения используют точки на комплексной плоскости. К таким точкам проводят радиус-векторы из начала координат. Радиус-векторы не принято чертить к числам, которые расположены на осях и сливаются с ними.

Формы, как записываются

Алгебраическая запись комплексного числа имеет такой вид:

Кроме данной формы существует еще несколько способов для записи. Удобным и наглядным геометрическим представлением является:

z = a + bi в виде вектора с координатами (а;b) на декартовой плоскости, либо точкой — концом вектора с аналогичными координатами.

В этом случае пару комплексных чисел представляют в виде суммы соответствующих векторов, которую рассчитывают с помощью правила параллелограмма. Согласно теореме Пифагора, длина вектора с координатами (а;b) определяется, как:

Данная величина представляет собой модуль комплексного числа z = a + bi и имеет такое решение:

Вектор и положительное направление оси абсцисс образуют угол, отсчитанный против часовой стрелки. Данный угол называют аргументом комплексного числа z и обозначают, как Arg z. Аргумент имеет неоднозначное определение с точностью до прибавления величины, которая кратна 2π радиан. При повороте на такой угол вокруг начала координат вектор не изменяется.

В том случае, когда вектор длиной r с положительным направлением оси абсцисс составляет угол ϕ, его координаты будут следующими:

\(\left(r*\cos \varphi ;r*\sin \varphi \right)\)

Таким образом, получают тригонометрическую форму записи комплексного числа:

\(z=\left|z \right|*\left(\cos (Arg z)+i\sin (Arg z) \right)\)

Из-за более простого вида вкладок комплексные числа, как правило, представляют в тригонометрической форме.

Существует показательная форма для записи комплексных чисел. Какое-либо комплексное число, не равное нулю, можно представить в показательной форме:

Где \(\left|z \right|\) является модулем комплексного числа,

\(\varphi\) представляет собой аргумент комплексного числа.

Представить комплексное число в показательной форме можно с помощью нескольких действий:

  • изобразить чертеж;
  • найти модуль;
  • рассчитать аргумент.

Основные действия над комплексными числами с примерами

Манипуляции с комплексными числами выполняют так же, как с действительными числами. Арифметические действия могут быть следующими:

Складывать и вычитать комплексные числа можно с помощью правила:

(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i

Умножение комплексных чисел выполняют таким образом:

(a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

В данном случае \(i^<2>=-1\)

Число \(\bar=a-bi\) является комплексно-сопряженным к \(z=a+bi\)

С помощью равенства \(z*\bar=a^<2>+b^<2>\) можно установить, как делить одно комплексное число на другое, не равное нулю, комплексное число:

Сложение комплексных чисел

Ели требуется сложить пару комплексных чисел:

Сначала нужно найти сумму их действительных и мнимых частей:

Таким образом, сумма какого-либо количества слагаемых определяется путем сложения действительных частей и сложением мнимых частей. В случае комплексных чисел справедливо правило первого класса, которое гласит, что от перестановки слагаемых их сумма остается прежней:

Вычитание комплексных чисел

Разность комплексных чисел:

При условии, что:

Действие аналогично сложению. Разница заключается в необходимости выделения скобками вычитаемого числа. Далее следует раскрыть скобки и изменить знак:

Полученное в результате число обладает двумя частями. Действительная часть является составной:

Наглядно ответ будет записан в такой форме:

Умножение комплексных чисел

Можно найти произведение комплексных чисел:

Произведение будет записано таким образом:

Раскрыть скобки следует, руководствуясь правилом умножения многочленов, учитывая, что \(i^<2>=-1\)

Для того чтобы перемножить многочлены, требуется каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена. Таким образом:

Как и в случае со сложением, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство:

Деление комплексных чисел

На примере комплексных чисел:

требуется определить частное:

Частное будет записано в таком виде:

Делить числа необходимо с помощью метода умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение. В этом случае пригодится стандартная формула:

По условию знаменатель 7-6i. В данном знаменателе уже есть (а-b), поэтому сопряженным выражением в таком случае является (a+b), то есть 7+6i. Исходя из правила, знаменатель умножают на 7+6i. Сохранить равенство можно с помощью умножения числителя на то же самое число 7+6i:

Затем в числителе необходимо раскрыть скобки, то есть умножить пару чисел, согласно отмеченному ранее правилу. Для знаменателя требуется использовать формулу \((a-b)(a+b)=a^<2>-b^<2>\) и \(i^<2>=-1\)

Уравнение будет записано в таком виде:

Нахождение аргумента

При выполнении действий с модулем комплексных чисел необходимо руководствоваться формулой:

Для поиска аргумента комплексного числа требуется использовать определенную формулу для конкретного случая. Уравнение подбирается, исходя из положения числа z = a + bi в координатной четверти. Существует всего три таких варианта:

Извлечение корня из комплексных чисел

Комплексные числа в тригонометрической форме умножают таким образом:

z_<1>*z_<2>=\left|z_ <1>\right|*\left|z_ <2>\right|*(\cos (Arg z_<1>+Arg z_<2>)+i\sin (Arg z_<1>+Arg z_<2>))2

При умножении пары комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Исходя из этого утверждения, вытекают формулы Муавра:

С помощью этого равенства можно извлечь корни любой степени из комплексных чисел. Корень n-й степени из числа z представляет собой комплексное число w, которое:

Где k может обладать любым значением из множества (0, 1, …, n-1).

Таким образом, в любом случае имеется ровно n корней n-ой степени из комплексного числа. На плоскости все они будут расположены в вершинах правильного n-угольника.

Возведение комплексных чисел в степень

В качестве примера можно возвести в квадрат комплексное число:

Первый способ заключается в записи степени в виде произведения множителей:

Далее необходимо перемножить числа, согласно правилу умножения многочленов.

Второй метод заключается в использовании уравнения для сокращенного умножения:

Выражение примет следующий вид:

В случае комплексного числа можно достаточно просто записать определенную формулу для сокращенного умножения:

Такую же формулу можно представить для расчета квадрата разности, куба суммы и куба разности. Если необходимо возвести в 5-ю, 10-ю или любую другую степень комплексное число, следует воспользоваться тригонометрической формой комплексного числа, то есть формулу Муавра. К примеру, дано комплексное число в тригонометрической форме:

\(x = <-b \pm \sqrt\over 2a>z=\left|z \right|*\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\)

Данное число требуется возвести в натуральную степень n. Для этого необходимо использовать уравнение:

\(z^=\left|z \right|^*\left(\cos (n\varphi) +i\sin (n\varphi) \right)\)

Представленная формула вытекает из правила для умножения комплексных чисел, которые записаны в тригонометрической форме. Для того чтобы найти произведение чисел, требуется:

\(z_<1>=\left|z_ <1>\right|*(\cos \varphi _<1>+i\sin \varphi _<1>)\)

\(z_<2>=\left|z_ <2>\right|*(\cos \varphi _<2>+i\sin \varphi _<2>)\)

Далее требуется перемножить модули этих комплексных чисел и найти сумму аргументов:

\(x = <-b \pm \sqrt\over 2a>z_<1>* z_<2>=\left|z_ <1>\right|*\left|z_ <2>\right|*(\cos( \varphi _<1>+\varphi _<2>)+i\sin ( \varphi _<1>+\varphi _<2>)\)

Аналогичный порядок действий для показательной формы комплексного числа:

Источник

Читайте также:  Планы петра великого по сравнению с планами сталина