Меры углов
Для измерения углов используются градусы или радианы .
\(1\) градус (обозначается \(1^\circ \) ) представляет собой \( \dfrac<1><360>\) полного оборота. Развернутый угол равен \(180^\circ \) , прямой угол равен \(90^\circ \) .
Радианной мерой угла называется отношение длины дуги, для которой данный угол является центральным, к радиусу окружности. Угол равен \(1\) радиану (обозначается \(1 \text< рад >\)), если дуга, на которую он опирается, равна радиусу окружности.
\(1\) градус содержит \(60\) угловых минут: \(1^\circ = 60’\) .
\(1\) угловая минута , в свою очередь, содержит \(60\) угловых секунд: \(1′ = 60»\)
Значение \(1\) радиана в градусах
Значение \(1\) градуса в радианах
\(1^\circ = \dfrac<\pi> <180>\text < рад >\approx 0.017453 \text< рад >\)
Значение \(1\) угловой минуты в радианах
Значение \(1\) угловой секунды в радианах
Переход от градусной меры к радианной
\(x = \dfrac<\pi\alpha><<180^\circ>>\) ,
где \(x\) − величина угла в радианах, \(\alpha\) − величина угла в градусах.
Переход от радианной меры к градусной
\(\alpha = \dfrac< 180^\circ x><\pi>\) ,
где \(\alpha\) − величина угла в градусах, \(x\) − величина угла в радианах.
Радианная мера стандартных углов
| Угол в градусах | \(\alpha\) | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) | \(180^\circ\) | \(270^\circ\) | \(360^\circ\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Угол в радианах | \(x \text< рад >\) | 0 | \(\dfrac<\pi><6>\) | \(\dfrac<\pi><4>\) | \(\dfrac<\pi><3>\) | \(\dfrac<\pi><2>\) | \(\pi\) | \(\dfrac<3\pi><2>\) | \(2\pi\) |
Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!
Источник
Радианы. Радианная мера угла.
Радианная мера. Как известно из планиметрии, длина дуги l, радиус r и соответствующий центральный угол α связаны соотношением:
Эта формула находится в основе определения радианной меры измерения углов. То есть, если l = r, значит, α = 1, и говорится, что угол α равняется одному радиану, и обозначают так: α = 1 рад.
Т.о., мы получаем определение радианной меры измерения:
Радиан — это центральный угол, у которого длина дуги и радиус имеют равные величины (AmB = AO).
Значит, радианная мера измерения угла — это отношение длины дуги, которая проведена произвольным радиусом и заключёна между сторонами этого угла, к радиусу дуги.
Из этой формулы, длину окружности C и радиус r этой окружности выражаем так:
Таким образом, полный оборот, который равен 360° в градусном измерении, равен двум в радианном измерении. Отсюда выводим значение 1-го радиана:
Таблица значений самых распространенных углов в градусах и радианах:
По этой таблице очень удобно производить перевод градусов в радианы и радианы в градусы.
Источник
Математика. 5 класс
Конспект урока
Углы. Измерение углов
Перечень рассматриваемых вопросов:
— понятие «угол», «величина угла»;
— измерение величины угла.
Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки, которая называется вершиной угла.
Градус – единица измерения углов, составляющая часть развёрнутого угла.
Градусная мера угла – число, которое показывает, сколько единиц измерения (градусов) содержится между сторонами этого угла.
Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О.Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Всё вокруг – геометрия», – сказал в своё время французский архитектор Ле Корбюзье, и трудно с ним не согласиться. Геометрические фигуры постоянно встречаются в творениях природы и человека.
Сегодня мы рассмотрим ещё одну геометрическую фигуру – угол, разберём его виды и опишем процесс построения и измерения углов.
Для начала определим, что называют углом.
Углом называют геометрическую фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки.
Построим угол. Для этого отметим на плоскости точку О и проведём два луча – ОК и ОМ. Получим геометрическую фигуру, образованную точкой О и двумя лучами, исходящими из этой точки. Такую геометрическую фигуру и называют углом.
Лучи ОК и ОМ называют сторонами угла, точку О – общее начало этих лучей – называют вершиной угла.
Обозначается угол чаще всего тремя буквами. Например, ∠КОМ или ∠МОК. В середине пишется буква, которой обозначена вершина угла. Также угол можно обозначать и одной буквой, поставленной у вершины угла. Например, ∠О.
Начертим два луча, исходящих из точки О и принадлежащих одной прямой.
Лучи ОС и OК вместе с точкой О дополняют друг друга до прямой – это дополнительные лучи. Угол называют развёрнутым, если его стороны являются дополнительными лучами.
Угол СОК – развёрнутый.
Построим развёрнутый угол АОВ и полуокружность с центром в точке О. Полуокружность разделим на 180 равных частей. Если построим углы с вершиной в точке О, стороны которых проходят через точки деления полуокружности, то таких углов будет 180. Один такой угол будет составлять часть развёрнутого угла.
Меру угла, составляющего часть развёрнутого угла, принимают за единицу измерения углов и называют градусом. Обозначают: 1º.
Градусной мерой угла называют число, которое показывает, сколько единиц измерения (градусов) содержится между сторонами этого угла.
Например, градусная мера угла КOВ равна 25 градусам, так как в нём единица измерения градус содержится двадцать пять раз. Записывают: ∠КОВ = 25º.
Стоит отметить, что для более точного измерения угла используют доли градуса:
– минуты, которые обозначают одной чёрточкой сверху над цифрой справа,
– секунды, которые обозначаются двумя чёрточками над цифрой справа.
В одном градусе содержится 60 минут, а в одной минуте – 60 секунд.
Например, если угол А равен 10 градусам 5 минутам, записывают: ∠А = 10º5′.
Градусная мера развёрнутого угла равна 180º.
Для измерения углов в градусах пользуются прибором, который называется транспортиром. На транспортире имеется шкала – полуокружность, разделённая на 180 равных частей. На линейке транспортира чёрточкой отмечен центр полуокружности транспортира.
Чтобы найти градусную меру угла, например, угла АВС, нужно совместить центр транспортира с вершиной угла, в данном случае точкой В; расположить линейку транспортира так, чтобы одна из сторон угла прошла через начало отсчёта шкалы транспортира – ноль градусов (в данном случае сторона АВ), и найти на шкале транспортира деление, через которое проходит другая сторона угла – в данном случае сторона ВС.
Это деление шкалы покажет градусную меру угла. В нашем случае – это 120º.
Транспортир применяется также для построения угла, мера которого известна. Построим, например, угол KNM, равный 60º. Для этого:
— проведём луч NM;
— совместим центр транспортира с точкой N;
— расположим линейку транспортира так, чтобы луч NM прошёл через начало отсчёта шкалы транспортира;
— найдём на шкале транспортира деление, соответствующее шестидесяти градусам, и отметим напротив него точку К;
— проведём луч NK. Мы построили угол KNM, равный 60º.
Ответить на вопрос, равны ли углы, и, если не равны, то какой из них больше или меньше, можно, сравнивая их градусные меры. Углы с равными градусными мерами равны. Из двух углов больше тот, который имеет большую градусную меру; а меньше тот, который имеет меньшую градусную меру.
Углы можно сравнить также наложением. Если при этом они совпадают, то равны.
Помимо развёрнутого, углы можно разделить на следующие виды: прямой, острый и тупой.
Угол называют прямым, если его градусная мера равна 90º.
Острым – если его градусная мера меньше 90º.
Тупым – если его градусная мера больше 90º и меньше 180º.
Рассмотрим ещё два вида углов, которые встречаются в геометрических задачах: это вертикальные углы, то есть пара углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Например, угол один и два.
И смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми.
Например, угол САВ и угол САD.
Вместе смежные углы составляют развёрнутый угол. Следовательно, сумма величин смежных углов составляет 180º.
Итак, сегодня мы познакомились с разными видами углов и научились строить их с помощью транспортира.
Для определения величины углов используется прибор, который называют транспортир. Но существуют и более высокоточные приборы.
Так, гониометр использовался для определения положения судна в море или океане.
Теодолит – прибор для измерения горизонтальных и вертикальных углов при геодезических работах, в строительстве и т. п.
Секстант применялся для измерения высоты Солнца над горизонтом с целью определения географических координат той местности, в которой производится измерение, и на судах.
Посох Якова, служащий для измерения углов, – один из первых инструментов для астрономических наблюдений.
Источник
Дидактические материалы по теме
Выбранный для просмотра документ опорный конспект Углы в тригонометрии.docx
Опорный конспект по теме «Углы в тригонометрии»
Градусная и радианная мера угла
1 0 – это 
развернутого угла
1 радиан – это угол длина дуги которого равна радиусу окружности
Формула перевода радиан в градусы
Формула перевода градусов в радианы
Переведите в градусы 
; 
; 
; 
; 
; 
.
Переведите в радианы 
; 
; 
; 
.
Угол – это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, которые выходят из одной точки.
Каждому углу ставится в
О 
соответствие градусная мера
В 
Угол – это фигура, образованная при повороте начального радиуса ОА вокруг центра единичной окружности.
направление
x 
.
Отрицательное
Направление поворота начального радиуса против часовой стрелки считается
положительным, а по часовой стрелке –
Каждому углу на единичной окружности
x соответствует число – радианная мера
Изобразите на единичной окружности следующие углы
и соответствующие им действительные числа (радианные меры этих углов):
90 0 , 180 0 , 270 0 , 360 0 , 225 0 , 150 0 , 60 0 , 540 0 , 720 0 , 1020 0 .
– 90 0 , – 180 0 , – 270 0 , – 360 0 , – 45 0 , – 240 0 , – 300 0 , – 780 0 , – 630 0 .
Какой координатной четверти соответствуют следующие углы:
38 0 302 0 -98 0 430 0 -500 0 
2 -0,5 
119 0 217 0 -285 0 1000 0 -902 0 
4,5 -3 
Выбранный для просмотра документ опорный конспект Тригонометрические функции числового аргумента.docx
Опорный конспект по теме
«Тригонометрические функции числового аргумента»
Синусом угла α называется ордината точки, которая соответс т вует углу α на единичной окружности.
Кос инусом угла α называется абсцисса точки, которая соответс т вует углу α на единичной окружности.
Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки, которая соответс т вует углу α на единичной окружности к ее абсциссе.
Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки, которая соответс т вует углу α на единичной окружности к ее ординате.
Источник