Определения положения центра тяжести
К аналитическим методам определения положения центра тяжести относятся метод разбиений и метод отрицательных площадей.
1. Метод разбиений.Метод заключается в мысленном разбиении тела на несколько простейших (конечных элементов), для которых известно положение центра тяжести. Используют формулы вида (2).
2. Метод отрицательных площадей.Заключается в том, что данное тело дополняют до простейшего. При этом дополняющие элементы (их вес, объем, площадь или длину) считают отрицательными.
Простейшими являются тела, у которых известно положение центра тяжести (ЦТ). Это: однородные диск и окружность, их ЦТ. находится в центре; прямоугольник и параллелограмм, их ЦТ находится в точке пересечения диагоналей; треугольник, его ЦТ находится в точке пересечения медиан. При этом следует учитывать, что медианы точкой их пересечения делятся в отношении 1:2 (рис. 26). Положение центра тяжести кругового сектора можно определить по формуле: ОС=2/3∙R∙ sinα/α, где α – половина центрального угла, выраженного врадианах (рис. 27). ЦТ тела, имеющего центр, плоскость или ось симметрии находится на них.
Из экспериментальных способов отметим методы взвешивания и подвешивания.
Метод взвешивания(рис. 28). По известным весу тела P, показаниям весов R и расстоянию a определяют расстояние х из уравнения: ∑mO = — P∙x + R∙a; откуда
Метод подвешивания (применяется преимущественно для плоских тел).При этом способе тело подвешивают на нити сначала в одной точке и проводят линию, продолжающую нить, затем в другой точке. Точка пересечения этих линий определит положение ЦТ.
Источник
Методы нахождения центров тяжести тел
Из соображений симметрии.
Если тело имеет центр материальной симметрии, то его центр тяжести совпадает с этим центром симметрии. Отсюда, например, следует, что центр тяжести однородного шара совпадает с центром шара (см. рис. 116).
Если тело имеет ось материальной симметрии, то его центр тяжести лежит на оси симметрии. Исходя из этого, легко найти центр тяжести однородной прямоугольной пластинки (см. рис. 117).
Если тело имеет плоскость материальной симметрии, то его центр тяжести лежит в плоскости симметрии. Пользуясь этим, легко найти центр тяжести однородного кругового цилиндра (см. рис. 118).
Метод разбиения тела на части.
Пусть тело можно разбить на несколько частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно (см. рис. 119). Тогда общий центр тяжести тела может быть найден по формуле
(86)
Метод отрицательных масс.
Этот метод является обобщением метода разбиения тела на части на случай, когда тело имеет пустые полости с известным положением их центров тяжести, если эти полости заполнить веществом. В этом случае можно считать тело с пустыми полостями состоящим из воображаемого тела с заполненными полостями и телами в виде полостей, которым следует приписать отрицательную массу. После этого центр тяжести исходного тела можно найти по формуле (86). Поясним этот метод на примере.
Пример 10
Определим положение центра тяжести однородной прямоугольной пластинки с вырезанным полукругом ( см. рис. 120 ). Пусть задан радиус
вырезанного полукруга R=1 м. Выберем оси координат, как показано на рисунке. Эту пластинку можно рассматривать как фигуру, составленную из прямоугольной пластинки и полукруга с отрицательной массой. Площади таких фигур и координаты их центров тяжести равны:
Далее в соответствии с формулой (86) найдем координаты центра тяжести пластинки:
Это экспериментальный метод, с помощью которого удобно находить положение центров тяжести плоских, в том числе и неоднородных, тел. Тело, подвешенное на нити, находится в равновесии под действием двух сил: силы тяжести, приложенной в центре тяжести, и силы натяжения, направленной вдоль нити. Эти две силы равны по величине и направлены вдоль одной прямой, являющейся продолжением нити. Поэтому для нахождения центра тяжести достаточно два раза подвесить тело за две различные точки и в условиях равновесия отметить на теле продолжение нити (см. рис. 121).
В результате центр тяжести найдем как точку пересечения двух полученных прямых.
Этот экспериментальный метод используют для нахождения центров тяжести транспортных средств. Для его реализации используются весы, приспособленные для взвешивания транспортных средств. Для нахождения центра тяжести снимают два показания весов: Р – для случая, когда транспортное средство опирается на платформу весов четырьмя колесами, и 
— для случая, когда транспортное средство опирается на платформу весов двумя колесами (см. рис. 122).
В результате первого взвешивания определяется вес транспортного средства Р. Результат второго взвешивания дает силу давления передних колес на платформу весов при втором взвешивании.
Рассмотрим теперь в качестве объекта равновесия транспортное средство при втором взвешивании. Оно находится в равновесии под действием трех сил 
Обозначим 
— колесную базу транспортного средства и 
— расстояние по горизонтали от центра тяжести до оси задних колес (см. рис. 122). Для такой системы сил сумма алгебраических моментов относительно точки касания задними колесами опорной поверхности равна нулю:
Отсюда, учитывая, что 
, найдем
Библиографический список
1. Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики/ С.М. Тарг. М.: Высшая школа, 2007. 416с.
2. Яблонский, А.А. Курс теоретической механики/ Яблонский, А.А., Никифорова, В.М. СПб.: Лань, 2001. 764 с.
3. Мещерский, И.В. Сборник задач по теоретической механике/ И.В. Мещерский.: Лань, 2001. 448с.
4. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике/ Под ред. А.А. Яблонского. М.: Интеграл-Пресс, 2001. 382с.
5. Сборник коротких задач по теоретической механике/ Под ред. О.Э. Кепе. СПб.: Лань, 2008. 368с.
О Г Л А В Л Е Н И Е
Раздел 1. КИНЕМАТИКА 4
Глава 1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ 4
1.1. Векторный способ задания движения точки 4
1.2. Задание движения точки в декартовых координатах 6
1.3.Задание движения точки естественным способом 8
Глава 2. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА 14
2.1. Поступательное движение твердого тела 14
2.2. Вращательное движение твердого тела 16
2.2.1. Основные понятия 16
2.2.2. Угловая скорость и угловое ускорение тела 17
2.2.3. Простейшие случаи вращательного движения твердого тела 18
2.2.4. Определение скоростей и ускорений точек тела 19
2.2.5. Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела 20
Глава 3. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ 23
3.1. Основные понятия 23
3.2. Связь между полной и локальной производными от вектора 25
3.3. Теорема сложения скоростей при сложном движении точки 27
3.4. Теорема сложения ускорений при сложном движении точки 30
Глава 4. ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 37 4.1. Основные понятия 37
4.2. Скорости точек тела при плоском движении 40
4.3. Мгновенный центр скоростей 42
4.4. Ускорения точек тела при плоском движении 47
4.5. Мгновенный центр ускорений 48
4.6. Вычисление угловой скорости и углового ускорения тела при
плоском движении 52
Раздел 2. СТАТИКА 54
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В СТАТИКУ 54
1.1.Основные понятия 54
1.2. Аксиомы статики 56
1.3. Основные виды связей и их реакции 58
Глава 2. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ 62
2.1. Классификация систем сил 62
2.2. Приведение сходящейся системы сил к равнодействующей 62
2.3. Уравнения равновесия 63
Глава 3. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ И ОСИ 66
3.1. Векторный момент силы относительно точки 66
3.2. Момент силы относительно оси 67
3.3. Алгебраический момент силы относительно точки 70
Глава 4. ПАРА СИЛ И ЕЕ СВОЙСТВА 71
4.1. Понятие о паре сил 71
4.2. Основные свойства пар сил 72
Глава 5. ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ К ЦЕНТРУ 74
5.1. Приведение произвольной пространственной системы сил к центру 74
5.2. Частные случаи приведения системы сил к центру 76
Глава 6. УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ 79
6.1. Независимые уравнения равновесия для различных систем сил 79
6.2. Различные формы независимых уравнений равновесия для плоской произвольной системы сил 81
6.3. Непрерывно распределенная нагрузка 85
6.4. Равновесие системы тел 88
Глава 7. ТРЕНИЕ И ФЕРМЫ 93
7.1. Трение скольжения 93 7.2. Трение качения 95 7.3. Расчет ферм 97
Глава 8. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ 103
8.1. Основные понятия 103 8.2. Центры тяжести простейших однородных тел 106 8.3. Методы нахождения центров тяжести тел 108
Библиографический список 112
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).
Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.
Источник
Экспериментальные методы
Метод подвешивания
Метод заключается в том, что тело (если размеры это позволяют) последовательно подвешивают за две любые его точки (рис. 10.12).
 | Рисунок 10.12 |
Известно, что на тело будут действовать две силы (сила натяжения нити и вес тела). Поэтому в положении равновесия эти силы действуют по одной прямой в противоположные стороны. Следовательно, центр тяжести тела будет находиться на линии, которая является продолжением нити: подвесили за точку А – на линии АА1; подвесили за точку В – на линии ВВ1. Точка С пересечения этих линий будет центром тяжести тела.
Метод взвешивания
Для определения положения центра тяжести некоторого тела (рис. 10.13) кладем его на платформы трех весов в точках А, В и D.
 Рисунок 10.13 |
Тело находится в равновесии под действием четырех сил: 
– вес тела, 
– реакции платформ, величины которых покажут соответствующие весы.
Имеем уравновешенную параллельную пространственную систему сил. Составляем уравнения равновесия, согласно таблице 6.2.
В этих уравнениях три неизвестные: Р, Xс, Yс, которые легко определить, если координаты хB, хD, уD известные.
Вопросы для самоконтроля по теме 10
1. Что называется центром параллельных сил?
2. Как определить координаты центра параллельных сил?
3. Сформулируйте теорему Вариньона.
4. Что называют центром тяжести тела?
5. Какие существуют способы определения положения центра тяжести тела?
6. По каким формулам определяются координаты центра тяжести однородного объемного
7. Если тело имеет элемент симметрии, где находится его центр тяжести?
8. Запишите формулы для определения координат центра тяжести
– площади кругового сектора.
9. Запишите формулы для определения координат центра тяжести плоской фигуры.
10. Какие существуют экспериментальные способы определения положения центра тяжести тела? Объясните их сущность.
Источник
Какие экспериментальные методы измерения центра масс вы знаете
Способ предназначен для определения положения центра масс статически неопределимого многоопорного объекта, установленного на маятниковом подвесе с упругими связями, имеющими нелинейно-упругие характеристики, преимущественно с пневмогидравлическими амортизаторами с двухштоковой компоновочной схемой. Он применим для объектов энерго-, тяжелого и транспортного машиностроения, например, для крупногабаритных энергоблоков атомных электростанций.
Известен аналог — способ определения центра масс автомобиля (Автор: Пресняков В.А. «Лабораторный практикум в программе курса «Конструкция, расчет и потребительские свойства автомобилей» Владивостокский государственный университет экономики и сервиса, источник расположен в Интернет-ресурсе по адресу:
В аналоге положение центра масс двухосного автомобиля в трехмерной системе координат определяется экспериментально при помощи тали и крановых весов в процедуре многократного взвешивания. При этом взвешивание проводится сначала для горизонтального расположения автомобиля. Затем его последовательно с помощью тали поднимают в продольном и боковом направлениях, получая углы наклона по этим направлениям не менее 10-15 градусов. Для каждого из этих положений повторяют операцию взвешивания, определяя изменения нагрузок, приходящихся на весы и таль. Расположение центра масс определяется аналитически, путем расчета по правилам механики используя уравнения моментов относительно одной из точек опоры или подвеса.
В качестве способа-прототипа принят способ определения положения центра масс самолета, также основанный на процедуре многократного взвешивания. Значение равнодействующей силы веса всех частей самолета определяют по сумме весов его составных частей, расходуемых материалов (ГСМ), полезной нагрузки. Вектор равнодействующей силы тяжести проходит через некоторую воображаемую точку самолета, называемую центром тяжести. Указанный способ приведен в методическом материале «Аэродинамика самолета» и представлен на нескольких Интернет-источниках, например:
При определении положения центра тяжести самолет устанавливается на весы в двух положениях, как показано выше. При каждом взвешивании замеряют показания передних и задних весов. Зная расстояние между весами и показания передних и задних весов в обоих случаях, по правилам механики определяют для каждого из этих положений самолета величину равнодействующей силы и линию ее действия. Точка пересечения равнодействующих линий 1-1 и 2-2 определяет центр тяжести самолета.
Приведенные аналог и прототип способа определения положения центра масс объектов в случае их использования для многоопорных, статически неопределимых упругих металлоконструкций обладают следующими недостатками:
— и аналог, и прототип предполагают использование дополнительных измерительных средств (весов, динамометров), опирающихся на основание, что невозможно для рассматриваемого класса объектов, при расположеннии в помещениях с недостаточной несущей способностью основания;
— недостаточные диапазоны и точности известных средств измерения, применяемых в прототипе, при малых углах наклона рассматриваемого класса объектов (диапазон допустимых угловых отклонений от занимаемого пространственного положения не превышает 3÷5 градусов);
— известные способы могут использоваться только вне режима штатной эксплуатации объектов.
Целью изобретения является создание способа определения положения центра масс для крупногабаритных объемных металлоконструкций, с необходимой точностью, для которых не существует средств прямого взвешивания. Они имеют протяженную форму, горизонтально ориентированны в пространстве, обладают неоднородным распределением жесткостных характеристик по длине, находятся в режиме эксплуатации в условиях ограниченного свободного окружающего пространства, что уменьшает допустимый угол отклонения объектов до диапазона в 3-5 градусов. Задача решается совокупностью расчетно-теоретических и экспериментальных работ.
Предлагаемый способ основан на многократном измерении пространственного положения объекта (в нейтральном и отклоненных состояниях) и отличается тем, что в качестве величины, характеризующей высоту положения центра масс, принимают величину просадки противоположной стороны объекта. Затем моделируют отклоненное равновесное состояние объекта, установленного на системе амортизации, используя для этого расчетные модели объекта с разным по высоте положением центра масс, который задают в диапазоне 20-70% от геометрической высоты объекта. При моделировании создают режим подъема одной стороны объекта и определяют зависимость величин просадки противоположной стороны модели объекта от задаваемой высоты положения ЦМ в виде номограммы (например, фиг.2). Затем натурный объект склоняют путем подъема одной стороны на ряд фиксированных высот, обеспечивая при этом синхронность подъема и равновесное состояние на каждой высоте подъема, регистрируют высоту подъема и величину просадки противоположной стороны объекта и по измеренной величине просадки по номограмме находят высоту положения центра масс объекта.
При отсутствии средств прямого взвешивания для определения реакция в опорах используются их нелинейные силовые характеристики. Зная силовые характеристики опор, принимая начальное пространственное положение объекта за горизонтальное, определяют суммарный вес объекта и координаты точки центра масс в горизонтальной плоскости. На фиг.1 приведен пример силовой характеристики нелинейно-упругой опоры в координатах деформация — сила (d-F). Для определения веса объекта (G) суммируют значения F0 во всех узлах подвески, а координаты точки центра масс в горизонтальной плоскости получают из уравнений механики.
В качестве примера осуществления предлагаемого способа определения центра масс приведен вариант с 4-х опорным объектом, с габаритами в несколько метров и весом в несколько сотен тонн. Расчеты номограмм (фиг.2) выполняют для величин опускания (δ), как функции от высоты подъема противоположной стороны (h) при определенном заранее общем весе объекта (G). Значения высоты (H) центра масс объекта соответствуют 2 м, 3 м и 4 м. Значения высоты подъема стороны (h) для расчетов и последующих экспериментов задают произвольно, например: 50, 150 и 250 мм. На фиг.2 представлены номограммы для случая, когда сторона подъема проходит через узлы подвески №3 и №4, а расчеты выполняются для опускания в узлах подвески №1 и №2.
Экспериментальная часть предлагаемого способа определения центра масс состоит из следующих операций.
1. До начала подъема стороны регистрируют начальное пространственное положение объекта относительно ограждающих конструкций.
2. Вдоль длиной стороны объекта по узлам подвески №3 и №4 под днищем в районе силовых элементов устанавливают необходимое количество гидродомкратов (в районах расположения опор) для обеспечения необходимой суммарной грузоподъемности, синхронности подъема стороны, обеспечения щадящей нагрузки на строительное основание.
3. Синхронно поэтапно с помощью домкратов поднимают длинную сторону объекта на высоту 50, 150, 250 мм.
4. На каждом этапе подъема фиксируют величины подъема (сторона узлов №3 и №4) и опускания (сторона узлов №1 и №2).
5. По достижению предельного значения подъема выполняют пошаговое опускание объекта с фиксацией указанных в пункте 4 параметров.
6. Значение по высоте ЦМ определяют графический методом (фиг.2), в соответствии с которым для того или иного значения h на соответствующую тарировочную линию проецируют экспериментальное значение величины опускания δ (на фиг.2 представлены значками большего размера), координата полученной точки по оси Н соответствует истинной высоте расположения центра масс объекта.
Кривые обозначены номерами 1 и 2 (фиг.2), соответствуют номерам узлов подвески №1 и №2 на фиг.3.
Способ определения положения центра масс, по которому создают отклоняющий момент путем наклона объекта, обеспечивая равновесное состояние объекта, и регистрируют параметры равновесного состояния, по которым находят высоту положения центра масс,отличающийся тем, чтов качестве величины, характеризующей высоту положения центра масс, принимают величину просадки противоположной стороны объекта,затем моделируют наклоненное равновесное состояние объекта, установленного на системе амортизации, используя для этого расчетные модели объекта с разным по высоте положением центра масс, который задают в диапазоне 20-70% от геометрической высоты объекта, при моделировании создают режим подъема одной стороны объекта и определяют зависимость величин просадки противоположной стороны модели объекта от задаваемой высоты положения ЦМ в виде номограммы,затем натурный объект наклоняют путем подъема одной стороны на ряд фиксированных высот, обеспечивая при этом синхронность подъема и равновесное состояние на каждой высоте подъема, регистрируют высоту подъема и величину просадки противоположной стороны объекта и по измеренной величине просадки по номограмме находят высоту положения центра масс объекта. 
Источник