Какие условия проведения измерений называют равноточными

Равноточные измерения

Измерения, выполняемые в одинаковых условиях по одной и той же методике, называют равноточными.

6.2.1 Простая арифметическая середина. Пусть в результате равноточных измерений величины, истинное значение которой L, получены ее значения l₁, l₂, …, l_n. Тогда истинные погрешности измерений d₁ = l₁ – L, d₂ = l₂ – L, …, d_n = l_n – L. Сложив эти равенства, получим

где — среднее арифметическое или арифметическая середина.

Поскольку при n®¥ , следовательно , т.е. арифметическая середина из результатов измерений l₁, l₂, …, l_n при неограниченном увеличении n стремится к истинному значению измеряемой величины L.

При конечном числе измерений арифметическая середина является наиболее точным значением измеряемой величины, а значение (X – L) называется случайной погрешностью простой арифметической середины.

6.2.2 Средняя квадратическая, относительная и предельная погрешности. При выборе критерия оценки точности наблюдений следует иметь ввиду, что на практике результат считается одинаково ошибочным, будет ли он больше или меньше истинного значения на некоторую величину. Поэтому за меру случайных погрешностей может быть принят критерий, который не зависел бы от знаков отдельных погрешностей и чутко отражал наличие в данном ряду измерений сравнительно крупных погрешностей. Таким требованиям удовлетворяет средняя квадратическая погрешность, определяемая по формуле Гаусса:

Отношение абсолютной погрешности (истинной или средней квадратической) к значению измеряемой величины называется относительной погрешностью. Относительной погрешностью характеризуют, как правило, линейные измерения. Она выражается правильной дробью, числитель которой равен единице:

Предельной погрешностью называется такое значение случайной погрешности, появление которого при данных условиях измерений маловероятно. Установлено, что случайная погрешность измерения может превысить среднюю квадратическую примерно в 32 случаях из 100, удвоенную среднюю квадратическую погрешность – в 4 случаях из 100, утроенную – в 3 случаях из 1000. Поэтому в топографо-геодезических работах за предельную допустимую величину погрешности обычно принимают удвоенную среднюю квадратическую погрешность.

6.2.3 Средняя квадратическая погрешность функции измеренных величин. Пусть дана функция общего вида y = f (x₁, x₂, …, x_n), аргументы которой х₁, х₂, …, х_п независимо измерены со средними квадратическими погрешностями т₁, т₂, … т_п. В теории погрешностей измерений доказывается, что средняя квадратическая погрешность функции определяется из выражения:

где — частные производные данной функции, вычисленные для соответствующих значений аргументов.

Например: y = x × z, где величина х определена с погрешностью т_х, а z – с погрешностью m_z. Тогда имеем:

6.2.4 Средняя квадратическая погрешность простой арифметической середины. Представим формулу простой арифметической середины в виде:

Как видно, правая часть выражения представляет собой линейную функцию независимо измеренных аргументов l₁, l₂, …, l_n. Тогда можно записать:

Поскольку величины l₁, l₂, …, l_n измерены с одинаковой точностью, т.е. т₁ = т₂ = … = т, то выражение примет вид:

6.2.5 Средняя квадратическая погрешность измеренных величин по отклонениям их от простой арифметической середины. В большинстве случаев истинное значение L измеряемой величины неизвестно, поэтому для определения средней квадратической погрешности измерения невозможно использовать формулу . В таких случаях оценку точности измерений производят по уклонениям v отдельных измерений от простой арифметической середины.

Пусть имеем п измеренных значений величины l₁, l₂, …, l_n, арифметическая середина которой . Тогда уклонения измеренных значений от арифметической середины будут

Сложив эти равенства, получим

Но nX = [l], следовательно [v] = 0, т.е. сумма уклонений отдельных результатов измерений от простой арифметической середины равна нулю. Зная уклонения v, можно вычислить среднюю квадратическую погрешность одного измерения по формуле Бесселя:

где [vv] – сумма квадратов уклонений измеренных значений величины от ее арифметической середины.

Средняя квадратическая погрешность арифметической середины с учетом этого запишется как

Источник

Какие условия проведения измерений называют равноточными

5. Равноточные измерения.

Свойства случайных погрешностей измерений

Если измеряют одну и ту же величину несколько раз или измеряют однородные величины при неизменном основном комплексе условий, т. е. одинаковыми по точности приборами, лицами одинаковой квалификации, одним и тем же методом и при одинаковых внешних условиях, то результаты измерений называют равноточными .

Проведение геодезических измерений показывает, что случайные погрешности результатов равноточных измерений обладают следующими статистическими свойствами, проявляющимися в больших рядах измерений:

1) по абсолютной величине погрешности не превышают некоторого предела;

2) положительные и отрицательные погрешности, равные по абсолютной величине, встречаются в ряду примерно одинаково часто;

3) чем больше погрешность по абсолютной величине, тем она реже встречается в ряду;

4) чем больше ряд измерений, тем меньше по абсолютной величине среднее арифметическое значение из погрешностей и при достаточно большом числе п измерений

(20)

Случайные погрешности равноточных измерений можно рассматривать как значения одной и той же случайной величины Д, которую также будем называть случайной погрешностью.

В соответствии с приведенными выше статистическими свойствами случайных погрешностей можно подобрать наиболее подходящую вероятностную модель их распределения — закон распределения случайной величины . Такой наиболее простой и достаточно точной вероятностной моделью распределения случайных погрешностей измерений является нормальное распределение.

Плотность нормального распределения случайной погрешности

(21)

где — среднее квадратическое отклонение случайной погрешности .

График (рис. 1, а) функции (21) называют кривой нормального распределения, или кривой Гаусса. Эта кривая симметрична относительно оси ординат.

Вероятность появления погрешности в интервале (х, х + dх) может быть выражена приближенным равенством На графике (см. рис. 1, а) наглядно видны вероятностные свойства случайной погрешности , имеющей нормальное распределение: положительные и отрицательные значения погрешности, равные по абсолютному значению, равновероятны; чем больше погрешности, равные по абсолютному значению, тем меньше вероятность их появления.

Рис. 1. Графики нормального (а) и равномерного (б) распределения случайной погрешности

На основании определения математического ожидания (12)

(22)

Так как f(х) — функция четная, то подынтегральная функция х(fх) — нечетная, а потому нетрудно заключить, что значение интеграла в формуле (22) равно нулю, т. е. математическое ожидание случайной погрешности равно нулю

Это свойство случайной погрешности положено в основу всей теории случайных погрешностей измерений. Оно согласуется с четвертым статистическим свойством случайных погрешностей.

По закону больших чисел для случайных величин

(23)

т. е. при достаточно большом п можно считать, что

(24)

Нормальное распределение, достаточно хорошо отражая действительное распределение погрешностей измерений, имеет явное отличие от него: действительные погрешности по абсолютному значению не превышают определенного предела, а при нормальном распределении значение случайной величины может быть сколь угодно большим. Для практических целей это обстоятельство не имеет существенного значения, так как при нормальном распределении большие по абсолютному значению погрешности имеют очень малую вероятность. Учитывая это, обычно считают, что случайные погрешности измерений имеют нормальное распределение или приближенно нормальное.

Говоря о близости распределения погрешностей измерений к нормальному, имеют в виду распределение суммарных погрешностей результатов измерений. Эти погрешности являются суммами элементарных погрешностей, происходящих от отдельных факторов (причин). Законы распределения элементарных погрешностей могут сильно отличаться от нормального. Так, погрешность отсчета по шкале измерительного прибора имеет равномерное распределение.

Плотность равномерного распределения выражается равенствами:

(25)

где а — наибольшее значение погрешности (рис. 1, б).

Из формулы (25) и графика (см. рис. 1, б) видно, что вероятность появления значения погрешности, подчиняющейся равномерному закону распределения, во всем интервале (–а; +а) одинакова. Это означает, что погрешности, подчиняющиеся равномерному распределению, в больших рядах измерений в интервале (–а; +а) встречаются примерно одинаково часто независимо от их размера и знака. Три остальных свойства суммарных погрешностей измерений остаются верными и для погрешностей с равномерным распределением.

Случайными величинами являются и односторонне действующие погрешности. Характерное их отличие от погрешностей с нормальным распределением заключается в том, что математическое ожидание любой односторонне действующей погрешности не равно нулю

При рассмотрении свойств какой-либо погрешности необходимо определить основной комплекс условий, при котором она получена. Одна и та же погрешность, входящая в результаты измерения, может быть отнесена к различным видам погрешностей в зависимости от рассматриваемого основного комплекса условий. Например, погрешность в измеренной длине линии из-за погрешности в длине ленты будет постоянной (систематической) или случайной в зависимости от того, как измеряли или будут измерять линию: одной и той же лентой или разными.

Раньше было отмечено, что необходимо различать вероятностно зависимые и независимые случайные величины. Случайные погрешности, а следовательно, и измерения, их содержание, являются случайными величинами. Соответственно этому и измерения могут быть вероятностно независимыми или зависимы между собой. Зависимость между двумя измерениями может быть вызвана следующими причинами: погрешности измерений имеют некоторые общие источники; на погрешность результатов измерений наложены ограничительные условия (например, в виде допусков для невязок).

В дальнейшем будем считать, что измерения попарно независимы.

Источник

39) Понятие о точности измерений. Равноточные и неравноточные измерения. Критерии.

Измерение — совокупность операций по применению тех­нического средства, хранящего единицу физической величины, обеспе­чивающих нахождение соотношения (в явном или неявном виде) измеряе­мой величины с ее единицей и получение значения этой величины.

Точность результата измерений — характеристика качества измерения, отражающее близость к нулю погрешности ее результата. Погрешность измерения – отклонение результата измерений от его истинного значения.

Равноточные измерения – измерения, выполняемые при неизменных условиях, позволяющих считать результаты одинаково надежными.

Неравноточные измерения – измерения, при которых хотя бы один из факторов, определяющих содержание условий измерений, будет изменяться.

Средней погрешностью называется среднее арифметическое из абсолютных величин случайных погрешностей:

Необходимо отметить, что средняя погрешность сглаживает влия­ние больших по абсолютной величине погрешностей, т. е. точность из­мерений оказывается несколько преувеличенной.

Вероятной погрешностью г называется величина, больше и меньше которой по абсолютной величине погрешности в ряду измерений рав-новозможны. Иными словами, вероятная погрешность делит попо­лам ряд случайных погрешностей, расположенных в порядке возраста­ния их абсолютных значений.

Основным критерием точности измерений является средняя квад­ратическая погрешность, определяемая по формуле Гаусса.

Формулу применяют, когда известно истинное (действи­тельное) значение измеряемой величины. Обычно в качестве действи­тельного значения принимают результат измерений величины более точным прибором или методом, обеспечивающим точность измерений в 3 — 5 раз выше по сравнению с используемым прибором (методом)По сравнению со средней и вероятной погрешностями средняя квадратическая погрешность обладает рядом преимуществ:

при вычислениях не нужно учитывать знаки отдельных погреш­ностей;

средняя квадратическая погрешность чувствительна к большим по величине погрешностям и достаточно надежно определяется даже при небольшом числе измерений п > 10;

средняя квадратическая погрешность т является оценкой теоре­тической характеристики среднего квадратического отклонения s и входит в функцию плотности нормального распределения, которая может быть представлена в виде.

40) Построение продольного профиля местности по карте.см. методичку.

41) Система плоских прямоугольных координат.

Плоские прямоугольные координаты (Х,У) – линейные величины, определяющие положение точки на плоскости относительно вынесенного осевого мередиана (на 500км к западу) координатной зоны и экватора.

Абсцисса (Х) – расстояние по оси Х от экватора до данной точки.

Ордината (У) — расстояние по оси У от вынесенного осевого мередиана данной координатной зоны до точки.

Полные координаты — прямоугольные координаты, записанные (названные) полностью, без каких-либо сокращений. В примере, приведенном выше, даны полные координаты объекта: Х = 5 650 450; Y = 3620 840.

Сокращенные координаты применяются для ускорения целеуказания по топографической карте, в этом случае указываются только десятки и единицы километров и метры. Например, сокращенные координаты данного объекта будут:

Х = 50 450; Y = 20 840.

Сокращенные координаты нельзя применять при целеуказании на стыке координатных зон и если район действий охватывает пространство протяженностью более 100 км по широте или долготе.

Источник

Виды измерений (равноточные и неравноточные, равнорассеянные и неравнорассеянные измерения)

Виды измерений (технические и метрологические)

Виды измерений (статические и динамические измерения).

Статические и динамические измерения наиболее логично рассматривать в зависимости от режима получения средством измерения входного сигнала измерительной информации.

При измерении в статическом (квазистатическом, псевдостатическом) режиме скорость изменения входного сигнала несоизмеримо ниже скорости его преобразования в измерительной цепи и результаты фиксируются без динамических искажений.

При измерении в динамическом режиме появляются дополнительные динамические погрешности, связанные со слишком быстрым изменением либо самой измеряемой физической величины, либо входного сигнала измерительной информации, поступающего от постоянной измеряемой величины. Например, измерение диаметров тел качения (постоянных физических величин) в подшипниковой промышленности осуществляется с использованием контрольно-сортировочных автоматов. При этом скорость изменения измерительной информации на входе может оказаться соизмеримой со скоростью измерительных преобразований в цепи прибора.

В зависимости от планируемой точности измерения делят на технические и метрологические. К техническим измерениям следует относить те, которые выполняют с заранее установленной точностью(D £ [D], где [D] – допустимая погрешность измерения). Метрологические измерения выполняют с максимально достижимой точностью, добиваясь минимальной (при имеющихся ограничениях) погрешности измерения(D® 0).

Общность метрологического подхода ко всем этим видам измерений состоит в том, что при любых измерениях определяют значения ∆ реализуемых погрешностей, без чего невозможна достоверная оценка результатов.

По реализованной точности и по степени рассеяния результатов при многократном повторении измерений одной и той же величины различают равноточные и неравноточные, а также на равнорассеянные и неравнорассеянные измерения.

Равноточные измерения – ряд измерений какой-либо величины, выполненных одинаковыми по точности средствами измерений в одних и тех же условиях с одинаковой тщательностью.

Неравноточные измерения – ряд измерений какой-либо величины, выполненных различающимися по точности средствами измерений и (или) в разных условиях.

Оценка равноточности и неравноточности, а также равнорассеянности и неравнорассеянности результатов измерений зависит от выбранных значений предельных мер расхождения точности или оценок рассеяния. Допустимые расхождения оценок устанавливают в зависимости от задачи измерения.

Равноточными называют серии измерений 1 и 2, для которых оценки погрешностей D_i и D_j можно считать практически одинаковыми (D₁ » D₂),а к неравноточным относят измерения с различающимися погрешностями(D₁ ¹ D₂).

Измерения в двух сериях считают равнорассеянными(D₁ 0 » D₂ 0 ), или при (D₁ 0 ¹ D₂ 0 ) неравнорассеянными (в зависимости от совпадения или различия оценок случайных составляющих погрешностей измерений сравниваемых серий 1 и 2).

Источник