Меню

Какова единица измерения импульса тела импульса силы



Импульс тела. Импульс силы. Закон сохранения импульса

Импульс тела. Что это такое? Зачем это нужно? Очень и очень даже справедливые вопросы. Действительно, зачем нужен этот импульс тела ? У нас и так достаточно величин, которые описывают движение тела:

  • начальная скорость
  • равнодействующая всех сил, приложенных к телу
  • ускорение тела, связанное с равнодействующей.

Все верно. Но оказывается, что с помощью импульса тела иногда удобнее описывать движение тела. Сейчас мы рассмотрим пример, из которого вам станет ясно, что такое импульс тела и чем он хорош.

В обыденной жизни нам привычно характеризовать движение тела скоростью. Чем больше скорость у, допустим, велосипедиста — тем больше в нем сосредоточено «движения». Если бы велосипедист врезался в небольшой забор на садовом участке, забор бы пострадал. Чем больше была бы скорость велосипедиста, тем сильнее пострадал бы забор. Но не все определяется скоростью.

Отличаются ли друг от друга два этих случая: движение велосипедиста и движение грузовика? Ведь они едут с одинаковой скоростью. Будут ли отличаться последствия, если велосипедист врежется в забор или грузовик врежется в забор? Да, конечно. В случае грузовика последствия будут более разрушительными для забора.

Что это значит? Что только скоростью характеризовать движение тела не очень удобно. Очень логично в свете приведенного примера с грузовиком и велосипедистом выглядит величина импульс тела :

Импульс тела — это векторная величина, равная произведению массы тела на скорость тела.

Ну ооочень логичное определение. Чем больше скорость и чем больше масса тела, тем более «разрушительные» последствия могут быть от действий этого тела. Это объяснение «на пальцах».

Примечательно то, что ранее, в советское время, импульс тела называли количеством движения . Очень сочное и яркое определение. То есть импульс (количество движения) показывает, как много движения «запасено» в теле. Получается, что одинаковое количество движения запасено в легкой пуле, летящей с огромной скоростью, и в тяжеленном вагоне трамвая, плетущегося с мизерной скоростью.

Хочется отметить, что импульс тела — это векторная величина. И импульс тела p ⃗ \vec

p ⃗ ​ сонаправлен со скоростью тела V ⃗ \vec V ⃗ :

Для импульса нет специальной единицы измерения (вакантное место — можете предложить свою фамилию в качестве кандидата на роль единицы измерения импульса). Импульс по-простому измеряется в к г ⋅ м с кг\cdot\frac<м> <с>к г ⋅ с м ​ :

Источник

Импульс

Импульс
p → = m v → <\displaystyle <\vec

>=m<\vec >>

Размерность LMT −1
Единицы измерения
СИ кг·м/с
СГС г·см/с
Примечания
векторная величина

И́мпульс (коли́чество движе́ния) — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m <\displaystyle m> этого тела на его скорость v <\displaystyle v> , направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

В более общем виде, справедливом также и в релятивистской механике, определение имеет вид:

Содержание

История появления термина

Средневековые натурфилософы, в соответствии с учением Аристотеля, полагали, что для поддержания движения непременно требуется некоторая сила, без силы движение прекращается. Часть учёных выдвинула возражение против этого утверждения: почему брошенный камень продолжает двигаться, хотя связь с силой руки утрачена?

Для ответа на подобные вопросы Жан Буридан (XIV век) изменил ранее известное в философии понятие «импетус». По Буридану, летящий камень обладает «импетусом», который сохранялся бы в отсутствие сопротивления воздуха. При этом «импетус» прямо пропорционален скорости. В другом месте он пишет о том, что тела с бо́льшим весом способны вместить больше импетуса.

В первой половине XVII века Рене Декартом было введено понятие «количества движения». Он высказал предположение о том, что сохраняется не только количество движения одного тела, изолированного от внешних воздействий, но и любой системы тел, взаимодействующих лишь друг с другом. Физическое понятие массы в то время ещё не было формализовано — и он определил количество движения как произведение «величины тела на скорость его движения». Под скоростью Декарт подразумевал абсолютную величину (модуль) скорости, не учитывая её направление. Поэтому теория Декарта согласовывалась с опытом лишь в некоторых случаях (например, Валлис, Рен и Гюйгенс в 1668 году использовали её для исследования абсолютно упругого столкновения в системе центра масс).

Валлис в 1668 году первым предложил считать количество движения не скалярной, а направленной величиной, учитывая направления с помощью знаков «плюс» и минус» [1] . В 1670 году он окончательно сформулировал закон сохранения количества движения. Экспериментальным доказательством закона послужило то, что новый закон позволял рассчитывать неупругие удары, а также удары в любых системах отсчёта.

Закон сохранения количества движения был теоретически доказан Исааком Ньютоном через третий и второй закон Ньютона. Согласно Ньютону, «количество движения есть мера такового, устанавливаемая пропорционально скорости и массе».

Определение импульса

Классическая механика

В классической механике полным импульсом системы материальных точек называется векторная величина, равная сумме произведений масс материальных точек на их скорости:

p → = ∑ i m i v → i , <\displaystyle <\vec

>=\sum _m_<\vec >_,>

соответственно величина p → i = m i v → i <\displaystyle <\vec

>_=m_<\vec >_> называется импульсом одной материальной точки. Это векторная величина, направленная в ту же сторону, что и скорость частицы. Единицей измерения импульса в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с).

Если мы имеем дело с телом конечного размера, не состоящим из дискретных материальных точек, для определения его импульса необходимо разбить тело на малые части, которые можно считать материальными точками, и просуммировать по ним, в результате получим:

p → = ∫ ρ ( x , y , z ) v → ( x , y , z ) d x d y d z . <\displaystyle <\vec

>=\int \rho (x,y,z)<\vec >(x,y,z)dxdydz.>

Импульс системы, на которую не действуют никакие внешние силы (или они скомпенсированы), сохраняется во времени:

d p → d t = 0. <\displaystyle <\frac >>

>=0.> (*)

Сохранение импульса в этом случае следует из второго и третьего закона Ньютона: написав второй закон Ньютона для каждой из составляющих систему материальных точек и просуммировав по всем материальным точкам, составляющим систему, в силу третьего закона Ньютона получим равенство (*).

Релятивистская механика

В релятивистской механике трёхмерным импульсом системы невзаимодействующих материальных точек называется величина

p → = ∑ i m i v → i 1 − v i 2 / c 2 , <\displaystyle <\vec

>=\sum _<\frac <\vec >_><\sqrt <1-v_^<2>/c^<2>>>>,>

где m i <\displaystyle m_> — масса i <\displaystyle i> -й материальной точки, v → i <\displaystyle <\vec >_> — её скорость.

Для замкнутой системы не взаимодействующих материальных точек эта величина сохраняется. Однако трёхмерный импульс не есть релятивистски инвариантная величина, так как он зависит от системы отсчёта. Более осмысленной величиной будет четырёхмерный импульс, который для одной материальной точки определяется как

p μ = ( E / c , p → ) = ( m 0 c 1 − v i 2 / c 2 , m 0 v → 1 − v i 2 / c 2 ) . <\displaystyle p_<\mu >=(E/c,<\vec

>)=\left(<\frac c><\sqrt <1-v_^<2>/c^<2>>>>,<\frac <\vec >><\sqrt <1-v_^<2>/c^<2>>>>\right).>

На практике часто применяются следующие соотношения между массой, импульсом и энергией частицы:

\mathbf

=<\frac >>\,\mathbf .>

В принципе, для системы невзаимодействующих материальных точек их 4-импульсы суммируются. Однако для взаимодействующих частиц в релятивистской механике следует учитывать импульсы не только составляющих систему частиц, но и импульс поля взаимодействия между ними. Поэтому гораздо более осмысленной величиной в релятивистской механике является тензор энергии-импульса, который в полной мере удовлетворяет законам сохранения.

Свойства импульса

  • Аддитивность. Это свойство означает, что импульс механической системы, состоящей из материальных точек, равен сумме импульсов всех материальных точек, входящих в систему. [2]
  • Инвариантность по отношению к повороту системы отсчета.[2]
  • Сохранение. Импульс не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея [2] . Свойства сохранения кинетической энергии, сохранения импульса и второго закона Ньютона достаточно, чтобы вывести математическую формулу импульса. [3][4]

Обобщённый импульс в теоретической механике

В теоретической механике обобщённым импульсом называется частная производная лагранжиана системы по обобщённой скорости

p i = ∂ L ∂ q ˙ i . <\displaystyle p_=<<\partial <\mathcal >> \over <\partial <\dot >_>>.>

В случае, если лагранжиан системы не зависит от некоторой обобщённой координаты, то в силу уравнений Лагранжа d p i / d t = 0. <\displaystyle dp_/dt=0.>

Для свободной частицы в релятивистской механике функция Лагранжа имеет вид: L = − m c 2 1 − v 2 / c 2 <\displaystyle <\mathcal >=-mc^<2><\sqrt <1-v^<2>/c^<2>>>> , отсюда:

p → = m v → 1 − v 2 / c 2 . <\displaystyle <\vec

>=<\frac >><\sqrt <1-v^<2>/c^<2>>>>.>

Независимость лагранжиана замкнутой системы от её положения в пространстве следует из свойства однородности пространства: для хорошо изолированной системы её поведение не зависит от того, в какое место пространства мы её поместим. По теореме Нётер из этой однородности следует сохранение некоторой физической величины. Эту величину и называют импульсом (обычным, не обобщённым).

Обобщённый импульс в электромагнитном поле

В электромагнитном поле обобщённый импульс частицы равен:

p = m v 1 − v 2 / c 2 + q A , <\displaystyle \mathbf

= <\frac ><\sqrt <1-v^<2>/c^<2>>>>+q\mathbf ,>

Формальное определение импульса

Импульсом называется сохраняющаяся физическая величина, связанная с однородностью пространства (инвариант относительно трансляций).

Импульс электромагнитного поля

Электромагнитное поле, как и любой другой материальный объект, обладает импульсом, который легко можно найти, проинтегрировав вектор Пойнтинга по объёму:

p = 1 c 2 ∫ S d V = 1 c 2 ∫ [ E × H ] d V <\displaystyle \mathbf

=<\frac <1>>>\int \mathbf dV=<\frac <1>>>\int [\mathbf \times \mathbf ]dV> (в системе СИ).

Существованием импульса у электромагнитного поля объясняется, например, такое явление, как давление электромагнитного излучения.

Импульс в квантовой механике

Формальное определение

В квантовой механике оператором импульса частицы называют оператор — генератор группы трансляций. Это эрмитов оператор, собственные значения которого отождествляются с импульсом системы частиц. В координатном представлении для системы нерелятивистских частиц он имеет вид

P ^ = ∑ j p ^ j = ∑ j − i ℏ ∇ j , <\displaystyle <\hat <\mathbf

>>=\sum _ <\hat <\mathbf

>>_=\sum _-i\hbar \nabla _,>

где ∇ j <\displaystyle \nabla _> — оператор набла, соответствующий дифференцированию по координатам j <\displaystyle j> -ой частицы. Гамильтониан системы выражается через оператор импульса:

H ^ = ∑ i 1 2 m i p ^ i 2 + U ( r 1 , … ) . <\displaystyle <\hat >=\sum _<\frac <1><2m_>> <\hat <\mathbf

>>_^<2>+U(\mathbf > ,\dots ).>

Для замкнутой системы ( U = 0 <\displaystyle U=0> ) оператор импульса коммутирует с гамильтонианом и импульс сохраняется.

Определение через волны де Бройля

Формула де Бройля связывает импульс и длину волны де Бройля.

Модуль импульса обратно пропорционален длине волны λ <\displaystyle \lambda > :

p = h λ , <\displaystyle p=<\frac <\lambda >>,>

Для частиц не очень высокой энергии, движущихся со скоростью v ≪ c <\displaystyle v\ll c> (скорости света), модуль импульса равен p = m v <\displaystyle p=mv> (где m <\displaystyle m> — масса частицы), и

λ = h p = h m v . <\displaystyle \lambda =<\frac

>=<\frac >.>

Следовательно, длина волны де Бройля тем меньше, чем больше модуль импульса.

В векторном виде это записывается как:

p → = h 2 π k → = ℏ k → , <\displaystyle <\vec

>=<\frac <2\pi >><\vec >=\hbar <\vec >,>

Импульс в гидродинамике

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа ρ <\displaystyle \ \rho > . А вместо импульса фигурирует вектор плотности импульса, совпадающий по смыслу с вектором плотности потока массы

Поскольку в турбулентном потоке характеристики состояния вещества (в том числе, плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока, в соответствии с методом О. Рейнольдса, получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса [5] . Если, в согласии с методом Рейнольдса, представить ρ = ρ ¯ + ρ ′ <\displaystyle \ \rho =<\overline <\rho >>+\rho ‘> , v → = v → ¯ + v → ′ <\displaystyle \ <\vec >=<\overline <\vec >>+<\vec >’> , где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то вектор осреднённой плотности импульса приобретёт вид:

<\overline <\vec >>+<\vec >,>

где S → = ρ ′ v → ′ ¯ <\displaystyle \ <\vec >=<\overline <\rho '<\vec >’>>> — вектор плотности флуктуационного потока массы (или «плотность турбулентного импульса» [5] ).

См. также

Литература

  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М. : Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Механика. — Издание 4-е, исправленное. — М. : Наука, 1988. — 215 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-02-013850-9.
  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М. : Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
  • Сивухин Д. В. Общий курс физики. — Издание 4-е. — М. : Физматлит, 2002. — Т. I. Механика. — 792 с. — ISBN 5-9221-0225-7.
  • Айзерман М. А. Классическая механика. — М. : Наука, 1980. — 368 с.

Примечания

  1. Григорьян А. Т. Механика от античности до наших дней. — М.: Наука, 1974.
  2. 123Айзерман, 1980, с. 49.
  3. ↑Айзерман, 1980, с. 54.
  4. Сорокин В. С.«Закон сохранения движения и мера движения в физике» // УФН, 59, с. 325–362, (1956)
  5. 12Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. Часть 1. — М. : Наука, 1965. — 639 с.

Что такое wiki2.info Вики является главным информационным ресурсом в интернете. Она открыта для любого пользователя. Вики это библиотека, которая является общественной и многоязычной.

Основа этой страницы находится в Википедии. Текст доступен по лицензии CC BY-SA 3.0 Unported License.

Wikipedia® — зарегистрированный товарный знак организации Wikimedia Foundation, Inc. wiki2.info является независимой компанией и не аффилирована с Фондом Викимедиа (Wikimedia Foundation).

Источник

Читайте также:  Векторная графика единица измерения