Меню

Косвенный метод измерения формулы



Косвенный метод измерения формулы

Погрешности прямых измерений. Промах. Систематическая погрешность. Случайная погрешность. Полная погрешность. Погрешности косвенных измерений. Запись результата измерений

  1. Оценка погрешности прямых измерений

Измерить физическую величину – это значит сравнить ее с однородной величиной, принятой за единицу меры.

Различают прямые и косвенные измерения.

Если измеряемая величина непосредственно сравнивается с мерой, то измерения называются прямыми. Например, измерения линейных размеров тел с помощью масштабной линейки и т.д.

Если измеряется не сама искомая величина, а некоторые другие величины, связанные с ней функциональной зависимостью, то измерения называются косвенными. Например, измерения объема, ускорения и т.д.

Из-за несовершенства средств и методик измерения, органов чувств при любом измерении неизбежны отклонения результатов измерений от истинных величин. Эти отклонения называются погрешностями измерений.

Погрешности измерений делятся на систематические, случайные и промахи.

1.1. Промахи, связанные с неправильными отсчетами по прибору, неправильными записями и т.д., приводят к очень большой по абсолютной величине погрешности. Они, как правило, не укладываются в общую закономерность измеренных величин. Обнаруженный промах следует отбросить.

1.2. Систематическими погрешностями Δxсист называются погрешности, которые сохраняются при повторных измерениях одной и той же величины x или изменяются по определенному закону.

Систематические погрешности подразделяются на несколько групп. Отметим только приборную погрешность.

Систематическая приборная погрешность определяется по классу точности прибора, который указывается на приборе следующими цифрами: 0,01; 0,02; 0,05; 1,0; 2,5; 4,0. Класс точности показывает предельно допустимое значение систематической погрешности, выраженной в процентах от верхнего предела на выбранном диапазоне измерений. Например, предел измерения вольтметра с классом точности 0,5 равен 200 В. Систематическая погрешность равна 0,5% от 200В. Следовательно, систематическая погрешность вольтметра равна 1 В.

Если на приборе класс точности не указан, то погрешность равна половине цены наименьшего деления шкалы прибора.

1.3. Случайными называются погрешности, которые изменяются беспорядочно при повторных измерениях одной и той же физической величины при одинаковых условиях.

Оценим случайную погрешность. Пусть при измерении какой-либо физической величины было произведено N измерений и были получены значения x1, x2, … xN. Тогда наиболее вероятным значением измеряемой величины является ее среднее арифметическое значение

Результаты измерений x1, x2, … xN «рассеиваются» вокруг среднего. В качестве меры «рассеяния» результатов наблюдения вокруг среднего служит среднее квадратичное отклонение

Пусть a будет истинным, но неизвестным значением измеряемой величины x. Доказано, что вероятность попадания результатов измерения величины x в интервал значений от (aS) до (a + S) оказывается равной α = 0,68.

Вероятность попадания результатов наблюдений в более широкие интервалы (a – 2S, a + 2S) и (a – 3S, a + 3S) равна α = 0,95 и α = 0,99 соответственно.

Вероятность попадания в заданный интервал значений величины x называется доверительной вероятностью, а сам интервал – доверительным интервалом.

Однако, таким образом полученный доверительный интервал справедлив при большом значении N. В учебных лабораториях, как правило, приходится ограничиваться небольшим числом измерений. В этом случае доверительный интервал находят с помощью коэффициента Стьюдента, который зависит от числа измерений N и доверительной вероятности α. В таблице 1 приведены коэффициенты Стьюдента для различного числа наблюдений при доверительных вероятностях α = 0,68; 0,95; 0,99.

Источник

Расчет погрешностей при косвенных измерениях

В большинстве случаев конечной целью лабораторной работы является вычисление искомой величины с помощью некоторой формулы, в которую входят величины, измеряемые прямым путем. Такие измерения называются косвенными. В качестве примера приведем формулу плотности твердого тела цилиндрической формы

, (П.5)

где r – плотность тела, m – масса тела, d – диаметр цилиндра, h – его высота.

Зависимость (П.5) в общем виде можно представить следующим образом:

Читайте также:  Среднее арифметическое значение многократных измерений имеет дисперсию

, (П.6)

где Y – косвенно измеряемая величина, в формуле (П.5) это плотность r; X1, X2,. , Xn – прямо измеряемые величины, в формуле (П.5) это m, d, и h.

Результат косвенного измерения не может быть точным, поскольку результаты прямых измерений величин X1, X2, . , Xn всегда содержат в себе погрешность. Поэтому при косвенных измерениях, как и при прямых, необходимо оценить доверительный интервал (абсолютную погрешность)полученного значения DY и относительную погрешность e.

При расчете погрешностей в случае косвенных измерений удобно придерживаться такой последовательности действий:

1) получить средние значения каждой прямо измеряемой величины áX1ñ, áX2ñ, …, áXnñ;

2) получить среднее значение косвенно измеряемой величины áYñ, подставив вформулу (П.6) средние значения прямо измеряемых величин;

3) провести оценки абсолютных погрешностей прямо измеряемых величин DX1, DX2, . DXn, воспользовавшись формулами (П.2) и (П.3);

4) основываясь на явном виде функции (П.6), получить формулу для расчета абсолютной погрешности косвенно измеряемой величины DY и рассчитать ее;

5) рассчитать относительную погрешность измерения ;

6) записать результат измерения с учетом погрешности.

Ниже без вывода приводится формула, позволяющая получить формулы для расчета абсолютной погрешности, если известен явный вид функции (П.6):

, (П.7)

где ¶Y¤¶X1 и т. д. – частные производные от Y по всем прямо измеряемым величинам X1, X2, …, Xn (когда берется частная производная, например по X1, то все остальные величины Xi в формуле считаются постоянными), DXi– абсолютные погрешности прямо измеряемых величин, вычисленные согласно (П.3).

Рассчитав DY, находят относительную погрешность .

Однако если функция (П.6) является одночленом, то намного легче сначала рассчитать относительную погрешность, а затем уже абсолютную.

Действительно, разделив обе части равенства (П.7) на Y, получим

.

Но так как , то можно записать

. (П.8)

Теперь, зная относительную погрешность, определяют абсолютную .

В качестве примера получим формулу для расчета погрешности плотности вещества, определяемой по формуле (П.5). Поскольку (П.5) является одночленом, то, как сказано выше, проще сначала рассчитать относительную погрешность измерения по (П.8). В (П.8) под корнем имеем сумму квадратов частных производных от логарифма измеряемой величины, поэтому сначала найдем натуральный логарифм r:

ln r = ln 4 + ln m – ln p –2 ln d – ln h,

а потом уже воспользуемся формулой (П.8) и получим, что

. (П.9)

Как видно, в (П.9) используются средние значения прямо измеряемых величин и их абсолютные погрешности, рассчитанные методом прямых измерений по (П.3). Погрешность, вносимую числом p, не учитывают, поскольку ее значение всегда можно взять с точностью, превышающей точность измерения всех других величин. Рассчитав e, находим .

Если косвенные измерения являются независимыми (условия каждого последующего эксперимента отличаются от условий предыдущего), то значения величины Y вычисляются для каждого отдельного эксперимента. Произведя n опытов, получают n значений Yi. Далее, принимая каждое из значений Yi (где i – номер опыта) за результат прямого измерения, вычисляют áYñ и DY по формулам (П.1) и (П.2) соответственно.

Окончательный результат как прямых, так и косвенных измерений должен выглядеть так:

, (П.10)

где m – показатель степени, u – единицы измерения величины Y.

Источник

Методика расчета погрешностей косвенных измерений

Большинство измерений в лабораторном практикуме по физике являются косвенными. Ошибка результата косвенного измерения зависит от ошибок всех прямых измерений, а также от вида той математической формулы, которая связывает искомую с непосредственно измеряемыми величинами. Пусть искомая физическая величина γ связана с непосредственно измеряемыми величинами А, В, С, … какой-то функциональной зависимостью:

,

искомое значение ХХХ находят путем подстановки в формулу (1.3) средних значений А, В, С, т.е. Если искомая величина у является функцией многих переменных, то сначала удобно найти относительную погрешность результата, а затем, используя соотношение найти абсолютную погрешность . Рассмотрим, как находят выражение для расчета относительной погрешности косвенного результата. Воспользуемся для этого законами дифференциального исчисления, считая непосредственно измеряемые величины А, В, С,… аргументами, а косвенно измеряемую величину у – функцией этих переменных.

Читайте также:  Прибор для измерения оптического спектра 11 букв

Искомую функцию (расчетную формулу) логарифмируют:

Находят полный дифференциал логарифма функции:

(1.6)

Здесь – частная производная от ln f (А, В, С…) по аргументу А и т.д. Частная производная находится обычным дифференцированием функции по аргументу А в предположении, что все другие аргументы В, С,…, кроме А, константы.

Заменяют в полученном выражении (1.6) знак дифференциала d знаком абсолютной погрешности .

Каждое слагаемое выражения (1.6) возводят в квадрат и получают следующую формулу для расчета относительной ошибки косвенного результата:

. (1.7)

Подставляют значения абсолютных ошибок прямых измерений средние значения , и рассчитывают относительную ошибку ε, а затем – абсолютную .

Сравнивают слагаемые в выражении (1.7), чтобы выяснить влияние ошибок различных аргументов (А, В,…) на окончательный результат. Делают заключение, какие физические величины необходимо измерить с большей точностью.

Лабораторная работа 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
РАЗМЕРОВ ТЕЛА (4 ч)

Цель – овладеть техникой физических измерений линейных размеров тел, освоить методику подбора и использования измерительных приборов в прямых измерениях.

Приборы и материалы: штангенциркуль, микрометр, исследуемое тело.

Теория линейного нониуса

Линейные размеры тела можно определить с точностью до 1 мм обычной масштабной линейкой. Для измерения с точностью до долей миллиметра применяется нониус – устройство, позволяющее повысить точность многих измерительных приборов.

Линейный нониус представляет собой небольшую линейку N, скользящую вдоль обычной линейки.

Пусть на нониусе m делений (рис. 1.1), которые наносят так, чтобы длина всех делений нониуса была равна длине (m – 1) наименьших делений масштабной линейки. Пусть b – длина деления масштабной линейки, а – цена деления нониуса. Тогда m ∙ a определяет длину всех делений нониуса, а (m – 1) ∙ в – длину делений масштабной линейки. Очевидно,

или

где – точность нониуса.

Пример. Цена наименьшего деления шкалы масштабной линейки в = 1 мм, на нониусе m = 20 делений.

.

Измерения с помощью линейного нониуса производят следующим образом: совмещают левый конец измеряемого тела с нулевым делением масштабной линейки, а к правому концу подводят нониус (рис. 1.2).

Если правый конец тела оказался между К и К + 1 делениями масштабной линейки, то длина измеряемого тела L равна:

где ΔL – неизвестная пока еще доля (К + 1) деления масштабной линейки.

Обозначим через n деление нониуса, которое совпадает с каким-то делением масштабной линейки. Из рис. 1.2 видно, что номер этого деления К + n. Тогда

Следовательно, чтобы найти длину измеряемого тела с помощью нониуса, необходимо определить число целых наименьших делений масштабной линейки, укладывающихся по длине тела, и записать их длину, к ней прибавить неизвестную длину ΔL, определяемую произведением точности нониуса на номер деления нониуса, совпадающего с одним из делений масштабной линейки ( ).

Штангенциркуль состоит из шкалы прибора Д в миллиметровом масштабе, жестко связанной со щекой А (рис. 1.3).

Вдоль шкалы масштаба может перемещаться нониус N, с которым жестко связана вторая щека В. Подвижная часть штангенциркуля снабжена зажимным винтом С. Когда между щеками А и В отсутствует зазор, нулевые метки нониуса и шкалы совпадают. Для промера наружных размеров измеряемый предмет вводят между щеками А и В, которые сдвигают до соприкосновения с предметом. Затем закрепляют подвижную щеку В зажимом С и производят отсчет. Число целых миллиметров отсчитывается непосредственно по шкале прибора до нулевой метки нониуса, число долей миллиметра – по нониусу. При внутренних промерах используют щеки А1 и В1. Штангенциркули изготовляют с нониусами, имеющими число делений, равное 10, 20, 50, 100.

Читайте также:  Производительность труда вопросы измерение

Микрометр обычно представляет собой массивную металлическую скобу, на концах которой находятся друг против друга неподвижный упор А и микрометрический винт В, жестко связанный с барабаном С. Барабан делится на 100 или 50 делений. Поступательное перемещение винта измеряется по смещению среза барабана винта вдоль шкалы Д; шаг винта обычно равен 1 или 0,5 мм. Измеряемое тело зажимают между упорами А и В и производят отсчет его размера (рис. 1.4).

Для равномерного нажима микрометрического винта на поверхность измеряемых тел микрометр снабжается фрикционной головкой Е (трещоткой), вращение которой вызывает перемещение винта только до упора его в поверхность измеряемого тела с определенным нажимом, после чего фрикционная головка свободно прокручивается, издавая треск. Шкала имеет верхний и нижний пределы измерений. По нижней шкале необходимо отсчитывать целые миллиметры, по верхней – полумиллиметры, по круговому нониусу барабана – сотые доли миллиметра.

Перед началом измерений микрометром необходимо:

а) определить число делений на барабане и шаг винта;

б) проверить нулевую точку.

Если при соприкосновении упоров А и В против нулевого деления шкалы Д стоит не нулевое деление барабана С, то систематическую ошибку прибора нужно учесть.

Задание 1. Предварительная оценка точности измерения

1. Определить линейные размеры тел с помощью различных измерительных приборов: линейки, штангенциркуля, микрометра.

2. Рассчитать относительные ошибки каждого прямого измерения. В качестве абсолютных погрешностей результатов прямых измерений следует взять приборные ошибки.

3. Сравнить относительные погрешности всех прямых измерений и выделить наименее точно измеренную величину. Для ее определения следует выбрать из имеющегося набора измерительных приборов наиболее точный. Приборы для определения остальных величин подбирают так, чтобы их относительная ошибка была на порядок меньше относительной ошибки наименее точно измеренной величины или того же порядка. Результаты предварительной оценки точности измерения представить в виде табл. 1.2 и сделать заключение.

Предварительная оценка точности измерения

Измеряемая величина Выбранный измерительный прибор Результат однократного измерения Абсолютная погрешность Относительная погрешность

Задание 2. Определение линейных размеров тел
правильной геометрической формы

1. Штангенциркулем не менее пяти раз измерить диаметр цилиндра.

2. Микрометром не менее пяти раз измерить диаметр цилиндра.

3. Рассчитать доверительный интервал и относительную погрешность измерений диаметра цилиндра с помощью штангенциркуля и микрометра при доверительной вероятности a = 0,95. Данные занести в табл. 1.3.

Измеряемые величины для определения размеров тела
правильной геометрической формы

№ п/п штангенциркуль микрометр

Окончательный результат записать в виде hшт. = ± ∆h,

d = ± ∆d, при a = 0,95.

Контрольные вопросы

1. Выведите формулу для расчета точности нониуса.

2. Каким прибором следует воспользоваться, если один и тот же линейный размер тела можно измерить штангенциркулем и микрометром?

3. Как рассчитать доверительный интервал непосредственно измеряемой величины?

4. Из каких соображений выбирают число измерений? Как зависят точность результата отдельных измерений и точность среднего результата от числа измерений?

5. Каков смысл записи h = ± ∆h, при α = 0,95?

6. Объясните, с чем связан разброс результатов отдельных измерений линейных размеров.

Литература [3, § 62, 66, 68, 75; 1, § 27, 30, 31].

Источник