Меню

Квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений это теорема



Свойства прямоугольного параллелепипеда

Когда мы говорим о размерах комнаты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда, то обычно употребляем слова «длина», «ширина» и «высота», имея в виду длины трёх рёбер с общей вершиной. В геометрии эти три величины объединяются общим названием: измерения прямоугольного параллелепипеда. Так, у прямоугольного параллелепипеда, изображённого на рисунке 349, в качестве измерений можно взять длины рёбер АВ, AD и АА1.

У прямоугольника два измерения — длина и ширина. При этом, как мы знаем, квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений.

Оказывается, что аналогичным свойством обладает и прямоугольный параллелепипед: квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

В самом деле, обратимся к рисунку 349, на котором изображён прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, и докажем, что

Ребро СС1 перпендикулярно к плоскости грани ABCD, т. е. перпендикулярно к любой прямой, лежащей в плоскости этой грани и проходящей через точку С. Поэтому угол АСС1 — прямой. Из прямоугольного треугольника АСС1 по теореме Пифагора получаем:

Но АС — диагональ прямоугольника ABCD, поэтому AC 2 = AB 2 + AD 2 . Кроме того, СС1 = ВВ1 = АА1 Следовательно, что и требовалось доказать.

Остановимся ещё на одном свойстве, иллюстрирующем аналогию между прямоугольником и прямоугольным параллелепипедом. Мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его измерений.

Оказывается, что аналогичное утверждение справедливо и для прямоугольного параллелепипеда: объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Источник

Свойства граней и диагоналей параллелепипеда

Теорема. Во всяком параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны.

Так, грани (рис.) BB1С1С и AA1D1D параллельны, потому, что две пересекающиеся прямые BB1 и B1С1 одной грани параллельны двум пересекающимся прямым AA1 и A1D1 другой. Эти грани и равны, так как B1С1=A1D1, B1B=A1A (как противоположные стороны параллелограммов) и ∠BB1С1 = ∠AA1D1.

Теорема. Во всяком параллелепипеде все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.

Возьмем (рис.) в параллелепипеде какие-нибудь две диагонали, например, AС1 и DB1, и проведем прямые AB1 и DС1.

Так как ребра AD и B1С1 соответственно равны и параллельны ребру BС, то они равны и параллельны между собой.

Вследствие этого фигура ADС1B1 есть параллелограмм, в котором С1A и DB1 — диагонали, а в параллелограмме диагонали пересекаются пополам.

Это доказательство можно повторить о каждых двух диагоналях.

Поэтому диагональ AC1 пересекается с BD1 пополам, диагональ BD1 с A1С пополам.

Таким образом, все диагонали пересекаются пополам и, следовательно, в одной точке.

Теорема. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

Пусть (рис.) AC1 есть какая-нибудь диагональ прямоугольного параллелепипеда.

Проведя AC, получим два треугольника: AC1С и ACB. Оба они прямоугольные:

первый потому, что параллелепипед прямой, и следовательно, ребро СС1 перпендикулярно к основанию,

второй потому, что параллелепипед прямоугольный, значит в основании его лежит прямоугольник.

Из этих треугольников находим:

AC 2 1 = AC 2 + СС 2 1 и AC 2 = AB 2 + BC 2

Следовательно, AC 2 1= AB 2 + BC 2 + СС 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Следствие. В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны .

Источник

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его основаниями являются прямоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, а боковые ребра $AA_1, BB_1, CC_1$ и $DD_1$ перпендикулярны к основаниям.

Свойства прямоугольного параллелепипеда:

  1. В прямоугольном параллелепипеде $6$ граней и все они являются прямоугольниками.
  2. Противоположные грани попарно равны и параллельны.
  3. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – прямые.
  4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
  5. Прямоугольный параллелепипед имеет $4$ диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
  6. Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
  7. Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.
  8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

Читайте также:  Прибор для измерения музыкального такта

$с$ — высота(она же боковое ребро);

$P_<осн>$ — периметр основания;

$S_<осн>$ — площадь основания;

$S_<бок>$ — площадь боковой поверхности;

$S_<п.п>$ — площадь полной поверхности;

$V=a·b·c$ – объем равен произведению трех измерений прямоугольного параллелепипеда.

$S_<бок>=P_<осн>·c=2(a+b)·c$ – площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на боковое ребро.

Дополнительные сведения, которые пригодятся для решения задач:

$а$ — длина стороны.

$d=a√3$ – диагональ равна длине стороны, умноженной на $√3$.

Пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна грань которого (основание) – многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.

Высотой ($h$) пирамиды является перпендикуляр, опущенный из ее вершины на плоскость основания.

Объем любой пирамиды равен трети произведения основания и высоты.

В основании у произвольной пирамиды могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

  • $S=/<2>$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$.
  • $S=/<2>$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
  • Формула Герона $S=√$, где $р$ — это полупериметр $p=/<2>$.
  • $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности.
  • $S=/<4R>$, где $R$ — радиус описанной окружности.
  • Для прямоугольного треугольника $S=/<2>$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
  • Для равностороннего треугольника $S=/<4>$, где $а$ — длина стороны.

В основании лежит четырехугольник.

  1. Прямоугольник.
    $S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.
  2. Ромб.
    $S=/<2>$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба.
    $S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.
  3. Трапеция.
    $S=<(a+b)·h>/<2>$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.
  4. Квадрат.
    $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $C, A_1, B_1, C_1, D_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB=8, AD=12, AA_1=4$.

Изобразим прямоугольный параллелепипед и на нем отметим вершины многогранника $C, A_1, B_1, C_1, D_1$, получим в итоге четырехугольную пирамиду. В основании пирамиды лежит прямоугольник, так основание пирамиды и прямоугольного параллелепипеда совпадают.

Объем пирамиды, в основании которой лежит прямоугольник

Для нашего рисунка стороны прямоугольника – это $А_1В_1$ и $A_1D_1$.

В прямоугольном параллелепипеде противоположные ребра равны и параллельны, следовательно, $AB=А_1В_1=8; AD=A_1D_1=12$.

Высотой в пирамиде $CA_1B_1C_1D_1$ будет являться ребро $СС_1$, так как оно перпендикулярно основанию (из прямоугольного параллелепипеда).

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Источник

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (в прямоугольном треугольнике); формула: c² = a² + b².

Доказательство

Доказательство теоремы Пифагора, используя алгебру

Нужно доказать, что c² = a² + b²:

Это квадрат, в котором есть 4 одинаковых треугольника abc:

  1. Каждая сторона этого квадрата имеет длину a + b, значит его общая площадь: A = (a + b) (a + b);
  2. Площадь наименьшего квадрата (который находится внутри, под наклоном): c²;
  3. Площадь каждого из треугольников: ab/2. Значит площадь всех четырёх вместе: 4ab/2 = 2ab;
  4. Сумма наименьшего квадрата и треугольников: A = c² + 2ab;
  5. Площадь большого квадрата (A = (a + b) (a + b)) равна сумме наименьшего квадрата со всеми треугольниками. Значит:

(a + b) (a + b) = c² + 2ab

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

Что и требовалось доказать.

«Пифагоровы штаны на все стороны равны»

Это шуточная фраза, которая именует ещё одно доказательство теоремы Пифагора

На этой фигуре c — гипотенуза, a и b — катеты.

Проведём перпендикулярную линию к гипотенузе (c):

Таким образом появились два новых прямоугольных треугольника (A и B) внутри большого (исходный треугольник С).

  1. Общая площадь исходного треугольника (С) равна сумме двух новых, маленьких (A и B): С = А + B;
  2. Делим «Пифагоровы штаны» на 3 похожие фигуры:

  • Все 3 треугольника подобны друг другу (A, B, C) и из-за этого «фигуры-домики» также являются подобными.
  • Значит соотношение площади A и a² будет одинаковым с площадью B и b², но и с площадью C и c². Т. е.: A/a² = B/b² = C/c² = β (назовём это соотношение греческой буквой бета);
  • Площадь каждого треугольника, через площадь каждого из квадратов, равна: A = βa², B = βb², C = βc²;
  • Вспомним, что С = А + B, т. е. βc² = βa² + βb², это равно c² = a² + b².
  • Что и требовалось доказать.

    Примеры

    Задача 1

    На рисунке видно, что длина одной стороны прямоугольного треугольника составляет 3 см, длина другой — 4 см. Найдите длину гипотенузы.

    Подставить известные значения

    Ответ: длина гипотенузы равна 5.

    Задача 2

    Длина одной стороны прямоугольного треугольника составляет 12 см, длина гипотенузы 13 см. Найдите длину другой стороны треугольника.

    Подставить известные значения

    Ответ: длина другой стороны треугольника равна 5.

    Следствия из теоремы Пифагора

    Это основные следствия теоремы:

    1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда больше любого из двух катетов.
    2. Если применить формулу теоремы Пифагора (c² = a² + b²) и равенство будет верным, (т.е. если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон), то треугольник прямоугольный.
    3. Из формулы теоремы Пифагора также можно посчитать любой из катетов: a² = c² − b² либо b² = c² − a².
    4. Любой косинус (cos) острого угла будет меньше 1.

    Кто придумал теорему Пифагора

    Концепция теоремы Пифагора была известна ещё в древнем Египте и Вавилоне (около 1900 г. до н. э.). Связь между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике была изображена на вавилонской глиняной табличке (которой около 4000 лет). Однако это знание стало широко использоваться лишь после того, как сам Пифагор заявил о нём (он жил в 6 веке до н. э.).

    Узнайте также, что такое Теорема Виета и Аксиома.

    Источник

    Параллелограмм: свойства и признаки

    О чем эта статья:

    Определение параллелограмма

    Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Как выглядит параллелограмм:

    Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

    Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

    Свойства диагоналей параллелограмма:

    1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
    2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
    3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

    Биссектриса параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

    Свойства биссектрисы параллелограмма:

    1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
    2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.
    3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

    Как найти площадь параллелограмма:

    1. S = a * h, где a — сторона, h — высота.
    2. S = a * b * sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.
    3. S = 0,5 * (d1 * d2), где d1,d2 — две диагонали.

    Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

    P = 2 * (a + b), где a — ширина, b — высота.

    Приходите решать увлекательные задачки с красочными героями и в интерактивном формате. Запишите вашего ребенка на бесплатный пробный урок математики в онлайн-школу Skysmart: познакомимся, покажем, как все устроено на платформе и наметим вдохновляющую программу обучения.

    У нас есть отличные дополнительные занятия по математике! Для учеников с 1 по 11 классы!

    Свойства параллелограмма

    Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

    Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

    1. Противоположные стороны параллелограмма ABCD равны: AB = DC, BC = AD.
    2. Противоположные углы параллелограмма ABCD равны:∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
    3. Диагонали параллелограмма ABCD равны и точкой пересечения делятся пополам: BO = OD, AO = OC.
    4. Диагональ делит параллелограмм ABCD на два равных треугольника: △ABC = △CDA.
    5. Сумма углов в параллелограмме ABCD, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам: ∠A + ∠D = 180°.
    6. В параллелограмме ABCD накрест лежащие углы при диагонали равны: ∠BAC = ∠ACD, ∠BCA = ∠CAD.
    7. В параллелограмме ABCD сумма всех углов равна 360° градусам.
    8. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма ABCD.
    9. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d12 + d22 = 2 * (a2 + b2 ).
    10. Биссектриса отсекает от параллелограмма ABCD равнобедренный треугольник.

    А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

    Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

    В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

    Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

    1. Как противоположные стороны параллелограмма: AB = CD
    2. Как внутренние накрест лежащие равны пары углов: ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4.
    3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD, из чего следует:
      • CO = OA
      • BO = DO

    Теорема доказана. Наше предположение верно.

    Признаки параллелограмма

    Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

    Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

    Докажем 1 признак параллелограмма:

    Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

    • AB || CD
    • AB = CD

    Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

    Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

    Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

    1. AC — общая сторона;
    2. По условию AB = CD;
    3. ∠1 = ∠2, как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых.

    Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

    Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

    Вот так быстро мы доказали первый признак.

    Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

    Докажем 2 признак параллелограмма:

    Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

    • AB = CD
    • BC = AD

    Шаг 2. Рассмотрим треугольники ABC и ADC:

    • AC — общая сторона;
    • B = CD по условию;
    • BC = AD по условию.

    Из этого следует, что треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

    Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

    А так как эти углы накрест лежащие при верхней и нижней сторонах и секущей диагонали, значит верхняя и нижняя стороны параллельны.

    Эти углы накрест лежащие при боковых сторонах и секущей диагонали. Поэтому боковые стороны четырёхугольника тоже параллельны. Значит четырёхугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

    Доказали второй признак.

    Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

    Докажем 3 признак параллелограмма:

    Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

    • CO = OA;
    • DO = BO;
    • углы между ними равны, как вертикальные.

    Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

    Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащиз углов ∠1 = ∠2.

    Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

    Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все таки связано с параллельностью противоположных сторон.

    Чтобы ребенок еще лучше учился в школе, запишите его на уроки математики в детскую школу Skysmart. Наши преподаватели понятно объяснят что угодно — от дробей до синусов — и ответят на вопросы, которые бывает неловко задать перед всем классом. А еще помогут догнать сверстников и справиться со сложной контрольной.

    Источник