Меню

Методы анализа ошибок измерений



Погрешности анализа

Абсолютные и относительные погрешности. Выше уже упоминалась важная метрологическая характеристика любого измерительного процесса – погрешность. Дадим ей теперь более строгое определение.

Погрешность – это разность между результатом измерения и действительным значением измеряемой величины.

Соответственно, погрешность количественного анализа – это разность между результатом анализа (будем далее его обозначать символом х) и действительным значением измеряемой величины (m). Значение m можно узнать, если измерить ту же величину по некоторой стандартной методике, заведомо дающей пренебрежимо малую погрешность.

Погрешности могут быть выражены в абсолютной или относительной форме. Абсолютную погрешность (D) находят по формуле

Величина D всегда выражается в тех же единицах, что и сама измеряемая величина, причем D имеет определенный знак. Результат измерения (или анализа) называют завышенным, если D > 0 (т. е. х > m), и заниженным, если D

Случайные и систематические погрешности. В общей погрешности любого измерения, в том числе и в погрешности химического анализа, – обычно можно выявить два независимых слагаемых, две составляющих – случайную (y) и систематическую (q):

Случайные и систематические погрешности возникают по разным причинам, их по-разному оценивают и по-разному устраняют. Хотя результат любого измерения всегда содержит обе составляющих, зачастую одна из них намного больше другой, которую называют незначимой и не учитывают при расчете общей погрешности. В таких случаях считают, что результат анализа содержит погрешность только одного типа.

Случайной погрешностью называют погрешность измерений (анализов), которая при повторных измерениях случайным образом меняется по величине и знаку.

Случайные погрешности возникают вследствие суммарного влияния целого ряда неконтролируемых факторов. Эти факторы обычно действуют непостоянно и разнонаправленно (одни ведут к завышенным, другие – к заниженным результатам измерений). Поэтому при повторных измерениях одной и той же величины по одной и той же методике получают разные результаты: то завышенные, то заниженные. Следовательно, от измерения к измерению меняются и величина, и знак случайной погрешности (y). Это изменение непредсказуемо, случайно; нельзя предугадать, какая именно величина y получится в данном измерении.

Как же в таком случае охарактеризовать случайные погрешности какого-либо измерительного процесса?Мера случайных погрешностей – стандартное отклонение. Оно характеризует близость результатов повторных измерений друг к другу, их разброс вокруг среднего арифметического. Результаты повторных измерений (анализов) называют вариантами, а совокупность нескольких однотипных вариант, полученных при повторных измерениях одной и той же величины, – выборкой. Термин «выборка» используется, поскольку аналитики рассматривают полученные варианты как случайно выбранные из генеральной совокупности всех результатов анализа данного материала, которые можно было бы получить по данной методике. Выборку характеризует величина выборочного стандартного отклонения (s):

s = , (2.3)

где хi результат i-го измерения (анализа); – среднее арифметическое из результатов n повторных измерений; n – объем выборки (число вариант). Чтобы рассчитать стандартное отклонение, надо найти отклонение каждой варианты от среднего арифметического, рассчитать квадраты этих отклонений, просуммировать все квадраты, разделить полученную cумму на (n – 1) и извлечь квадратный корень. Значение s всегда положительно. Формулу (2.3) применяют для небольших выборок, обычно при n 30) совокупностей экспериментальных данных, в этом случае его обозначают символом s и рассчитывают по формуле (2.4). Величиной s обычно характеризуют методику анализа в целом, это предел, к которому стремится s по мере увеличения объема выборки, т. е. при увеличении числа повторных анализов.

s = . (2.4)

Чем больше s (или s), тем, при прочих равных условиях, менее точен результат анализа, выраженный в виде среднего арифметического. Однако отсутствие случайных погрешностей (s = 0) вовсе не означает, что результат анализа правилен. Результаты повторных анализов могут совпадать и вследствие повторения одной и той же ошибки!

Систематической погрешностью называют погрешность измерения (анализа), которая при повторных измерениях остается постоянной по величине и знаку (или закономерно меняется по величине). Ее характеризуют разностью среднего результата анализа и действительного содержания компонента:

q = – m.

Систематические погрешности возникают под действием постоянно действующих факторов. Величина q при повторных измерениях всегда остается постоянной по знаку. Обычно она остается постоянной и по величине. В отличие от случайной погрешности, систематическую можно предсказать заранее, если знать источник этой погрешности.

Оценить систематическую погрешность непросто – величина m, как правило, неизвестна, а величину в ходе оценки q необходимо находить по как можно большему числу повторных (или параллельно выполняемых) измерений (анализов). Для проверки правильности результата анализа и оценки q существует ряд приемов, они будут рассмотрены в разделе 2.4.

Читайте также:  Соотнесите физическую величину с единицей ее измерения ответ

Правильность и воспроизводимость. Результат количественного анализа называют правильным, если средний результат ( ) примерно совпадает с действительным содержанием определяемого компонента. Правильность результата определяется наличием или отсутствием значимой систематической погрешности. Другая характеристика – прецизионность анализа, котораяопределяется наличием или отсутствием значимой случайной погрешности. Частными случаями прецизионности являются воспроизводимость и сходимость. Термин «воспроизводимость» рекомендуется использовать, когда говорят о серии результатов анализа одного материала, полученных по разным методикам, разными исполнителями, на разных приборах, в разных лабораториях. Если же речь идет о повторных измерениях, выполненных в одних и тех же условиях, на одном приборе, одним исполнителем, – пользуются терминами «сходимость» или «повторяемость». Вместо рекомендуемого метрологами термина «прецизионность» химики часто используют термин «воспроизводимость» как обобщающее понятие. Тогда в качестве частных случаев рассматривают сходимость и собственно воспроизводимость (например, межлабораторную). Далее используется именно эта терминология, хотя она не вполне строгая.

Точность – обобщенная качественная характеристика результатов количественного анализа, отражающая их близость к действительному содержанию определяемого компонента. Средний результат анализа считают точным, если он одновременно и правилен, и хорошо воспроизводим. В этом случае обе составляющих общей погрешности – и случайная, и систематическая – одновременно близки к нулю.

Рассматривая результаты анализа конкретного объекта, можно считать их достаточно точными, если погрешности анализа (случайная, систематическая и общая) не превышают заранее установленных пределов, допустимых для данного объекта и данной методики анализа. При этом учитывается не только абсолютное значение погрешности, но и ее относительная величина.

Пример 2.1. Некоторый материал независимо друг от друга исследовали четыре аналитика, каждый из них провел по 5 анализов. Действительное содержание (m) определяемого компонента в данном материале известно и составляет 30 единиц.

· Первый аналитик получил результаты: 68, 48, 36, 54 и 77 единиц. Среднее арифметическое = 56,6, q = 26,6. Формула (2.3) приводит к s = 16,2. Случайная и систематическая погрешности близки по величине, обе они весьма велики (того же порядка, что и средний результат анализа (q ≈ s). Очевидно, нельзя пренебречь ни той, ни другой составляющей общей погрешности. Надо сделать вывод, что полученные первым аналитиком результаты и неправильны, и плохо воспроизводимы.

· Результаты второго аналитика: 20, 32, 28, 40, 31 единиц. Величина равна 30,2, q = 0,2, s= 7,2. Полученные данные характеризуются довольно большой случайной погрешностью, по сравнению с ней систематической погрешностью можно пренебречь (s >> q). У второго аналитика средний результат анализа почти правилен, но плохо воспроизводим.

· Результаты третьего аналитика: 44, 43, 44, 44, 45 единиц, = 44, q = 14, s = 0,7. Случайной погрешностью можно пренебречь, поскольку s намного меньше[1], чем q. Результаты имеют хорошую сходимость, но все они, как и их среднее арифметическое, сильно завышены, т. е. неправильны.

· Результаты четвертого аналитика: 31, 30, 31, 29 и 30 единиц, = 30,2, q = 0,2, s = 0,8. Обе составляющие общей погрешности малы по сравнению со средним результатом. Результаты можно считать правильными и хорошо воспроизводимыми, а значит, точными.

Источник

Методы измерений и ошибки измерения

Различают два основных метода измерений: метод непосредственной оценки и методсравнения.

Метод непосредственной оценки

Суть данного метода состоит в том, что значение физической величины определяется непосредственно на выходе измерительного прибора или регистрирующего устройства при прямом измерении.

При методе сравнения измеряемая величина сравнивается с мерой – некоторой известной или заданной величиной. Здесь различают:

дифференциальный (разностный) метод, когда на измерительный прибор воздействует разность измеряемой и заданной величины (устройство сравнения, где e(t) =x(t) — y(t));

нулевой (компенсационный), при котором эффект воздействия измеряемой и известной величин на прибор, где происходит их сравнение, доводится до нулевого значения;

метод совпадений, заключающийся в том, что разность между измеряемой и заданной величинами измеряют, используя совпадения показаний регистрирующих устройств приборов или периодических сигналов;

метод замещения, когда измеряемую величину замещают известной величиной;

метод противопоставлений, если измеряемая величина и известная (задаваемая) величина одновременно воздействует на прибор сравнения, при помощи которого устанавливают соотношения между ними.

Точность измерения физических величин (контролируемых и задаваемых) характеризуется ошибками измерения.

Читайте также:  Какое предельное расстояние до звезд можно измерить методом годичного параллакса если современная

Из электротехники известны абсолютная, относительная и приведенная ошибки измерений, присущие электроизмерительным проборам. Максимальное значение этих ошибок определяет класс точности измерительного прибора. Данные ошибки также присущи системам автоматического (автоматизированного) контроля, используемым в АСУ и АСУТП. Кроме того, в автоматике большое значение имеют динамическая и статическая ошибки.

Динамическая ошибка – это максимальное отклонение Dym регулируемой величины y(t) от ее установившегося значения yуст на выходе САР при переходном процессе (Рис.10.1).

Статическая ошибка (Dy) – это разность между заданным y и установившимся yуст значениями регулируемой величины y(t) в установившемся режиме работы САР.

Очевидно, что значения этих ошибок будут определяться не только характеристиками устройств измерения, но и другими элементами САР.

Динамическая и статическая ошибки позволяют количественно оценивать эксплуатационные характеристики САР.

Источник

Методы выявления и исключения погрешностей

Выявление и оценка погрешности измерения физической величины и ее составляющих являются традиционными задачами метрологии. Все методы выявления и оценки погрешностей можно разделить на аналитические (теоретические), экспериментальные и смешанные. Кроме того, в ряде случаев используют оценки погрешностей, взятые из информационных источников. Очевидно, что данные о погрешностях, включенные в эти источники, получены с помощью теоретических расчетов или экспериментов.

Нахождение значения погрешности в информационных источниках применимо как к погрешности измерения в целом, так и к отдельным составляющим. Инструментальные погрешности средств измерений приведены в документации (стандарты, паспорта) и в справочниках. Источниками информации о погрешностях измерений могут быть такие документы, как стандартизованные или аттестованные методики выполнения измерений. Можно использовать в качестве информационных источников также отчеты о научно-исследовательских работах, монографии и другую научно-техническую литературу при достаточной степени доверия к ее авторам.

Базой аналитических методов выявления и оценки погрешностей является функциональный анализ методики выполнения измерений. Для расчетов погрешностей строят специальные аналитические модели. Моделирование обычно применяют для расчета составляющих инструментальных и методических погрешностей, а также погрешностей из-за несоответствия условий измерений нормальным. Возможно также моделирование некоторых субъективных составляющих погрешности.

Так для оценки погрешностей отсчитывания с аналоговых приборов можно построить модель образования погрешности из-за параллакса, а также модели округления результата или интерполирования дольной части деления. Элементарная модель округления отсчета при положении указателя между отметками шкалы показывает, что в наихудшем случае (положение указателя точно посредине) погрешность округления составит половину цены деления шкалы (j) аналогового прибора. Следовательно, погрешность отсчитывания с округлением составит не более 0,5j, а при интерполировании дольной части деления «на глаз» будет еще меньше. Однако в последнем случае более строгая аналитическая оценка невозможна, поэтому прибегают к экспериментальным методам или к заимствованию данных из информационных источников, которые утверждают, что при хороших эргономических свойствах системы шкала-указатель и хорошем зрении оператора погрешность интерполирования не превышает (0,1…0,2)j.

Уровень полноты информации о составляющих погрешностей может колебаться от оценки по шкале наименований до оценки по шкале отношений. Примерами качественных оценок погрешностей по шкале наименований могут быть утверждение о наличии погрешности, возникающей из-за определенных причин, заключение о характере погрешности (скажем, систематическая постоянная погрешность длины объекта при отличии его температуры от нормальной или прогрессирующая температурная погрешность при монотонном изменении температуры). Использование шкалы порядка может выражаться, например, в оценках значимости составляющих погрешности. Наивысшим уровнем оценок погрешностей будет получение их числовых значений. Возможные уровни полноты оценки погрешностей определяются в ходе исследований на следующих этапах:

обоснование наличия погрешности от некоторого источника;

оценка характера погрешности;

получение оценок порядка и/или числовых значений погрешностей.

Задача первого этапа – определение погрешностей, происходящих от любого источника. Например, если измерения осуществляются методом сравнения с мерой, в инструментальные погрешности входят погрешности прибора и погрешности используемых мер или ансамблей мер. Возможно ли возникновение значимых инструментальных составляющих погрешности от вспомогательных устройств, таких как присоединительные провода электрических приборов и др. необходимо выяснить в ходе анализа.

При анализе условий измерения выявляют влияющие величины. Наряду с очевидными воздействиями на объект и/или средства измерений (влияние температуры при линейных измерениях, влияние электромагнитных полей на электрические средства измерений) приходится оценивать более тонкие воздействия, например, влияние атмосферного давления и влажности воздуха на емкостные средства измерений.

Обязательными элементами анализа являются также исследование возможности возникновения методических погрешностей из-за идеализации измерительного преобразования и объекта измерений, а также выявление составляющих субъективной погрешности.

Читайте также:  Измерьте линейкой длину отрезка

Второй этап (оценка характера погрешности) может основываться как на аналитическом подходе, так и на экспериментальных данных. Глубина исследований здесь также может быть различной, например, можно только констатировать систематический характер выявленной составляющей погрешности или дополнить описание более конкретными данными, например: «постоянная систематическая погрешность используемой меры», «прогрессирующая систематическая погрешность из-за повышения температуры в цехе», «периодическая систематическая погрешность отсчетного устройства прибора из-за эксцентриситета указателя и шкалы». Для случайной погрешности кроме констатации ее стохастического характера важно определить вид распределения (нормальное, равновероятное, трапециевидное и т.д.).

На третьем этапе определяют числовые оценки значения (значений) погрешности. Здесь можно основываться как на аналитическом подходе, так и на экспериментальных данных. При недостаточной информации приходится останавливаться на оценке порядка или границ рассматриваемой погрешности. Более полная информация позволяет получать оценки конкретных значений систематической составляющей, функцию ее изменения, необходимые вероятностные характеристики случайной составляющей погрешности.

В метрологии часто применяют методы оценки комплексной погрешности измерения физической величины. Общие методы, пригодные для выявления и оценки погрешностей измерения независимо от их характера и источников возникновения, базируются на решении уравнения

где – абсолютное значение искомой погрешности,

X – результат измерения,

Q – истинное значение измеряемой величины.

Это уравнение содержит два неизвестных и в строгом математическом смысле неразрешимо, следовательно, для получения удовлетворительного решения необходимо заменить одно из неизвестных его приближенным значением. Получение таких значений и составляет суть общих методов выявления и оценки погрешностей.

Экспериментальные методы оценки погрешностей измерений основаны на замене истинного значения измеряемой величины Q действительным значением Хд настолько близким к нему, что разность между ними (погрешность д) может рассматриваться как пренебрежимо малая по сравнению с искомой (исследуемой) погрешностью, то есть

Экспериментальные методы оценки погрешностей измерений можно разделить на три группы:

измерение известной физической величины;

повторное измерение одной и той же физической величины с заведомо более высокой точностью;

анализ массивов результатов многократных измерений одной и той же физической величины.

Первую группу экспериментальных методов чаще всего реализуют путем измерения физической величины, воспроизводимой «точной» мерой, вторую – с помощью «точных» измерений той же величины с использованием новой методики выполнения измерений. В любом из этих случаев получают количественную оценку погрешности за счет использования заведомо более точной информации об измеряемой физической величине. Различие между методами заключается в том, что первый обеспечивает необходимую точность информации за счет аттестованного размера физической величины, воспроизводимого мерой (предварительная аттестация), а при втором аттестуется сама измеряемая физическая величина (аттестация измеряемого объекта в ходе исследования).

Метод определения значения погрешности по результатам измерения точной меры применяют для оценки реализуемой погрешности измерений или для оценки инструментальной составляющей погрешности, если погрешности от остальных источников удается свести к пренебрежимо малым значениям. Определение значения погрешности измерения или средства измерения возможно только в том случае, когда погрешность измеряемой «точной» меры м пренебрежимо мала по сравнению с искомой погрешностью .

Искомая погрешность в этом случае определяется из зависимости:

где Х – результат измерения меры,

Хм – «точное» значение меры (номинальное значение меры или значение меры с поправкой по аттестату), для которого можно записать

Пример применения такого метода в быту – использование точных гирь для проверки домашних весов.

К разновидностям этого метода можно отнести так называемые «Метод замещения» и «Метод противопоставления», которые в метрологической литературе обычно относят к методам оценки систематических составляющих погрешностей. Некорректные наименования методов, совпадающие с терминами, предназначенными для обозначения методов измерений (разновидности метода сравнения с мерой), не должны мешать пониманию сути. Фактически эти методы сводятся или к замещению измеряемой величины «точной» мерой, или к противопоставлению «точной» меры и измеряемой величины.

Метод определения значения погрешности по результатам повторного измерения той же физической величины с использованием заведомо более точной МВИ, обычно применяют для оценки погрешности измерений в целом, а не отдельных ее составляющих. Метод основан на том, что погрешность измерения при использовании «точной» МВИ (МВИ2) пренебрежимо мала по сравнению с искомой погрешностью , то есть

Источник