Меню

Момент инерции маятника обербека измерение



Расчёт момента инерции маятника Обербека и момента сил сопротивления

Для расчета движения механической системы маятник-груз применим уравнения динамики поступательного движения для груза, закрепленного на нити, и динамики вращательного движения для маятника.

Груз массой m движется с ускорением под действием результирующей сил тяжести и силы натяжения нити . Запишем второй закон Ньютона в проекции на направление движения:

(1)

Сила натяжения передается нитью от груза к шкиву вращающегося маятника. Если предположить, что нить невесомая, то на шкив маятника действует сила , равная по величине и противоположная ей по направлению (следствие третьего закона Ньютона: ). Сила натяжения создает вращательный момент относительно горизонтальной оси O, направленный «от нас» и приводящий в движение маятник Обербека. Величина этого момента равна , где R – радиус шкива, на который намотана нить, , где D -диаметр шкива.

Момент силы сопротивления относительно оси вращения направлен в противоположную сторону (к нам).

Основной закон динамики вращательного движения:

,

где — результирующий момент сил,

J – момент инерции маятника,

— угловое ускорение.

В скалярной форме это уравнение имеет вид (записаны проекции векторов моментов сил и углового ускорения на ось вращения О, направление которой выбрано «от нас»):

(2)

Используя кинематическую связь линейного и углового ускорения , а также уравнение движения груза , выразим e через измеряемые величины x и t:

(3)

Решим систему уравнений (1) и (2), для чего умножим (1) на R и сложим с (2):

.

Выражаем момент инерции маятника Обербека:

(4)

Все величины, кроме МСОПР, входящие в это уравнение, известны. Поставим задачу экспериментального определения МСОПР.

Пусть I – момент инерции маятника Обербека без грузов. Из (4) следует, что

(5)

В условиях эксперимента , что позволяет считать зависимость e(m) линейной.

Эту зависимость можно использовать для экспериментальной оценки величины . Действительно, если полученную экспериментально зависимость экстраполировать до пересечения с осью абсцисс, то есть до точки на этой оси, для которой выполняется (см. 5) равенство , то это позволяет определить как

. (6)

Для определения момента инерции маятника I воспользуемся (4), где величина МСОПР предварительно определена из измерений e(m) и формулы (6). Подставив выражение e из (3) и МСОПР из (6) в (4), получаем рабочую формулу для определения момента инерции маятника

.

Для используемого в работе маятника Обербека справедливо неравенство . Учитывая это, получаем: .

Для расчетов удобно представить момент инерции в виде:

(7)

где .

Величины коэффициентов k: k1, k2 для соответствующих диаметров шкивов D1,D2 указываются в паспорте установки. Для определения момента инерции маятника необходимо измерить время t опускания груза массой m.

Зависимость момента инерции маятника от расстояния грузов до оси вращения

Момент инерции маятника Обербека может быть представлен как сумма моментов инерции крестовины со шкивами (I1) и моментов инерции четырех грузиков, закрепленных на расстояниях r от оси вращения (4I2). Если размеры этих грузиков малы в сравнении с r, можно считать, что I2=m1r 2 — момент инерции материальной точки. Тогда момент инерции маятника

(8)

Эту зависимость момента инерции от расстояния грузов до оси вращения предполагается проверить, используя результаты, полученные по формуле (7).

Значение можно взять из данных эксперимента для определения момента инерции маятника Обербека без грузов, считая, что момент сил сопротивления остается постоянным.

Читайте также:  Опыт иоффе по измерению заряда электрона

Задание к работе:

1. Приступив к работе, снимите грузы со стержней, намотайте нить на шкив большего диаметра. Для трёх значений массы подвешенного груза m измерьте время опускания груза t для заданного расстояния x. По формуле (3) рассчитайте величину углового ускорения e для соответствующих значений m.

2. Постройте зависимость e(m). Определите из графика по точке его пересечения с осью абсцисс значение m, при котором e=0. Рассчитайте по формуле (6) величину момента сил сопротивления МСОПР.

3. Проведите прямые пятикратные измерения времени опускания груза для заданного расстояния x.

4. Рассчитайте среднее время t и определите доверительную погрешность измерения при доверительной вероятности Р=90%, n=5 (см. «Введение»).

5. Вычислите по формуле (7) среднее значение момента инерции крестовины со шкивами .

6. Определите доверительную погрешность косвенных измерений момента инерции крестовины (см. «Введение») и запишите результаты в виде .

7. Закрепив грузы m1 на стержнях маятника на равном расстоянии r от оси вращения, определите это расстояние либо с помощью линейки, либо используя указанные около установки исходные данные.

8. Проведите однократные измерения времени t опускания груза массой m (выберите одно значение) для одной высоты падения при трёх различных расстояниях r от оси вращения.

9. Вычислите моменты инерции маятника с грузами на стержнях по формуле (7) при различных расстояниях r. При этом, как показали предварительные опыты, можно с допустимой точностью использовать в качестве величины m её значение, найденное ранее для крестовины без грузов на спицах. Сравните полученные данные со значениями момента инерции, вычисленными по формуле (8) для соответствующих значений r. Результаты вычислений занесите в таблицу измерений.

10. Постройте на одном рисунке графики экспериментально полученной и теоретически ожидаемой зависимости момента инерции маятника от r 2 , проанализируйте причины их несовпадения.

1. Какова цель данной работы?

2. Момент инерции, его физический смысл.

3. Как можно изменить момент инерции маятника Обербека?

4. Исходя их уравнений динамики поступательного и вращательного движения, вывести рабочую формулу (7).

5. В каком случае движение маятника является равноускоренным?

6. Как измерить расстояние от оси вращения до центров грузиков, закрепленных на стержнях?

7. Каким образом в данной работе подтверждается линейная зависимость момента инерции от квадрата расстояния тел до оси вращения?

1. Савельев И.В. Курс общей физики. — М, Наука, 1982 г. Т.1. и последующие издания.

Источник

Определение момента инерции с помощью маятника Обербека

Зависимость момента инерции крестовины с надетыми на нее грузиками от распределения массы относительно оси вращения, проходящей через центр масс. Момент инерции тела. Прямопропорциональная зависимость между величинами инерции и моментом инерции.

Рубрика Физика и энергетика
Вид лабораторная работа
Язык русский
Дата добавления 05.11.2012
Размер файла 88,1 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Министерство образования Российской Федерации.

Санкт-Петербургский государственный Горный институт имени

Тема: «Определение момента инерции с помощью маятника Обербека.»

Цель работы: исследовать зависимость момента инерции крестовины с надетыми на нее грузиками от распределения массы относительно оси вращения, проходящей через центр масс.

Краткое теоретическое содержание:

Читайте также:  Способы измерения результатов экономической деятельности

Момент инерции тела является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой инертности тела при поступательном движении. Момент инерции тела зависит от распределения массы тела относительно оси вращения.

Маятник Обербека состоит из крестовины, на стержнях которой находятся грузы. Они могут перемещаться по стержням и закрепляться в нужном положении. Крестовина с грузами насажена на вал, на котором укреплены два шкива различного радиуса. На шкив намотана нить, которая переброшена через блок. К ее концу привязана гирька, момент силы тяжести которой уравновешивает момент сил трения.

К концу нити подвешивают груз массой m, под действием силы тяжести которого система приводится в движение. На груз действует сила тяжести P=mg и сила натяжения F, поэтому на основании второго закона Ньютона можно записать

где g — ускорение свободного падения; а — ускорение, с которым движется груз.

Крестовина приходит во вращательное движение под действием момента силы натяжения

Из приведенных уравнений можно получить

Так как угловое ускорение связано с ускорением а соотношением = а/r , то формулу (3) можно записать в виде

где а = 2h/t 2 ; h — путь, пройденный грузом за время t.

Из теоретических соображений следует, что момент инерции крестовины с четырьмя грузами массой будет рассчитываться по следующей формуле:

Необходимо переписать формулу (6) в виде

Метод наименьших квадратов позволяет найти J и b:

где число опытов; Ji — экспериментальное значение момента инерции Jэ.

Источник

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА

Цель работы: Измерение момента инерции маятника.

Приборы и оборудование: Модульный учебный комплекс МУК-М1, блок секундомерэлектронный СЭ1, блок механический БМ-1.

Краткое теоретическое введение

Маятник Обербека представляет собой крестовину, состоящую из четырёх стержней,

прикреплённых к барабану с осью (Рис.1), грузов массой m1, которые могут быть закреплены на расстоянии r от оси вращения. На шкив наматывается нить, к свободным концам которой прикрепляется груз массой m2. Под действием груза нить разматывается и приводит маятник в равноускоренное вращательное движение.

Момент инерции маятника Обербека равен сумме моментов инерции барабана со стержнями и надетыми на них грузами (I) и моментов инерции четырех грузов массой m1, закрепленных на расстояниях r от оси вращения (4I ). Если размеры этих грузиков малы по сравнению с r , то их можно считать материальными точками. Для материальной точки момент инерции равен I = mr². Тогда момент инерции маятника

Описание установки

В лабораторной установке на барабане имеется два шкива с различными диаметрами D1 и

D2 . Время движения груза время измеряется электронным секундомером, включение которого производится кнопкой «Пуск», а остановка происходит по сигналу фотодатчика. Груз опускается на расстояние x, измеряемое вертикально закрепленной линейкой.

Быстротаопускания более тяжёлого груза пропорциональна разности масс грузиков подвешенных к обоим концам нити.

Установка имеет электромеханическое тормозное устройство, управление которого осуществляется по сигналу фотодатчика.

Для расчета движения механической системы маятник-груз применим уравнение динамики вращательного движения.

Груз массой m движется с ускорением a под действием результирующей сил тяжести mg и силы натяжения нити T. Запишем для груза второй закон Ньютона в проекции на направление движения:

Сила натяжения передается нитью от груза к шкиву вращающегося маятника. Если

предположить, что нить невесомая, то на шкив маятника действует сила, равная по величине T и противоположная ей по направлению (следствие третьего закона Ньютона). Сила натяжения создает вращательный момент M₀ относительно оси маятника Обербека и приводящиее его в движение. Величина этого момента равна M₀ = T∙R , где R – радиус шкива, на который намотана нить.

Момент силы сопротивления относительно оси вращениянаправлен противоположно M вращающейся крестовины.

Запишем для маятника основной закон динамики вращательного движения:

где J – момент инерции маятника, ε — угловое ускорение.

Используя кинематическую связь линейного и углового ускорения a = ε∙R , а также уравнение равноускоренного движения груза при нулевой начальной скорости x = at²/2, выразим ε через измеряемые величины x и t :

(4)

Решим систему уравнений (2) и (3), для чего умножим (2) на R и сложим с (3):

В условиях эксперимента груз m достаточно легкий так, что выполнено соотношение mR²

Содержание работы

1. Приступив к работе, снимите грузы m1 со стержней, если они там находятся.

2. Заранее выберите отметку (например, 50см), от которой начнется движение груза m.

3. Вращая маятник рукой, намотайте нить на шкив большего диаметра, следя, чтобы груз m достиг выбранного положения.

4. Включите электронный секундомер.

5. Подвесьте к обоим концам нити грузы равной массы m. Перенесите один перегрузок с одного конца нити на другой. Предварительно нажатием кнопки «Режим» установите режим №1 (светится индикатор «Реж.1»). Затем нажмите кнопку «Пуск». При этом отключится тормозное устройство, удерживающее маятник, и одновременно включится секундомер. При включенном режиме №1 секундомер в момент прохождения грузом нижней точки автоматически остановится, причем одновременно сработает тормозное устройство. Внесите результаты первого опыта в таблицу измерений.

6. Проведите по одному опыту постепенно повышаю массу грузика подвешенного к одному концу, используйте для этого перегрузки с другого конца.

. Результаты внесите в таблицу измерений. По формуле (4) рассчитайте величину углового ускорения ε для соответствующих значений m.

7. Постройте зависимость ε (m). Определите из графика по точке его пересечения с осью

абсцисс значение m, при котором ε =0. Рассчитайте по формуле (7) величину момента сил сопротивления M.

8. Вычислите по формуле (8) значение момента инерции барабана со стержнями I.

9. Закрепив грузы m1 на стержнях маятника на равном расстоянии r от оси вращения,

определите это расстояние, используя деления нанесенные на стержни и указанные около

установки исходные данные.

10. Проведите измерения п. 6 при трёх различных расстояниях r от оси вращения.

11. Вычислите моменты инерции маятника с грузами на стержнях по формуле (8) при

различных расстояниях r. При этом, в качестве величины m используйте её значение, найденное ранее для крестовины без грузов на спицах. Сравните полученные данные со значениями момента инерции, вычисленными по формуле (1) для соответствующих значений r.

12. Постройте на одном рисунке графики экспериментально полученной и теоретически

ожидаемой зависимости момента инерции маятника от .

Контрольные вопросы.

1. Почему движение груза m будет происходить равноускоренно.

2. Если из четырех грузов m₁ оставить два, то на каком расстоянии r₁ от оси вращения их надо установить, чтобы момент инерции маятника остался таким же, как при четырех грузах m₁, закрепленных на расстояниях r от оси вращения.

3. Как будет вращаться маятник Обербека, если в качестве груза m взять груз массой m₀.

Источник