Меню

Натуральный логарифм единицы измерения



Что такое логарифм. Как посчитать логарифм. Свойства логарифмов. Примеры решения логарифмов

Многие школьники считают логарифмы сложной темой в курсе математики. Но если разобрать, что такое логарифм подробно, от простого к сложному, то на ЕГЭ вы не станете их опасаться.

Часто у учеников возникает путаница, где аргумент, а где основание логарифма. И что же нужно возвести в степень, чтобы этот логарифм, наконец, посчитать.

В этой статье мы откроем секрет, как легче запомнить принцип решения логарифма.

Итак, давайте разбираться, что такое логарифм.

Что такое логарифм и как его посчитать

Логарифм имеет следующий вид:

где a – это основание логарифма,

b – это аргумент логарифма

Чтобы узнать значение логарифма приравняем его к X.и преобразовываем вЗапомните, что именно основание (оно выделено красным) возводится в степень.

Чтобы было легче, можно запоминать так – основание всегда остается внизу (и в первом, и во втором выражении a внизу)!

Чтобы вычислить данный логарифм, необходимо приравнять его к X и воспользоваться правилом, описанным выше:А в какую степень нужно возвести 2, чтобы получилось 8? Конечно же в третью степень, таким образом:

Еще раз обращаю ваше внимание, что основание (в нашем случае это – 2) всегда находится внизу и именно оно возводится в степень.

Логарифмы со специальным обозначением

Для некоторых логарифмов в математике введены специальные обозначения. Это связано с тем, что такие логарифмы встречаются особенно часто. К таким логарифмам относятся десятичный логарифм и натуральный логарифм. Для этих логарифмов справедливы все правила, что и для обычных логарифмов.

Десятичный логарифм

Десятичный логарифм обозначается lg и имеет основание 10, т.е.

Чтобы вычислить десятичный логарифм, нужно 10 возвести в степень X.

Например, вычислим lg100

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм обозначается ln и имеет основание e, то есть

Чтобы вычислить данный логарифм нужно число е возвести в степень x. Некоторые из вас спросят, что это за число такое е? Число е – это иррациональное число, т.е. точное его значение вычислить невозможно. е = 2,718281…

Сейчас не будем подробно разбирать, зачем это число нужно, просто запомним, что

И вычислить его можно таким образом:

Основные свойства логарифмов

Логарифмы можно преобразовывать, но для этого необходимо знать правила, которые называются основными свойствами логарифмов. Данные свойства обязательно нужно знать каждому ученику! Без знания этих свойств невозможно решить ни одну серьезную логарифмическую задачу. Вот эти свойства:

Совет – тренируйтесь применять эти свойства в обе стороны, то есть как слева направо, так и справа налево!

Рассмотрим свойства логарифмов на примерах.

Логарифмический ноль и логарифмическая единица

Это следствия из определения логарифма. И их нужно обязательно запомнить. Эти простейшие свойства нередко вводят учеников в ступор.

Запомните, что логарифм от a по основанию а всегда равен единице:

loga a = 1 – это логарифмическая единица.

Если же в аргументе стоит единица, то такой логарифм всегда равен нулю независимо от основания, так как a 0 = 1:

loga 1 = 0 – логарифмический ноль.

Основное логарифмическое тождество

В первой формуле число m становится степенью, которая стоит в аргументе. Данное число может быть любым. Некоторые выражения могут быть решены только с помощью этого тождества.

Вторая формула по сути является просто переформулированным определением логарифма

Разберем применение тождества на примере:

Необходимо найти значение выраженияСначала преобразуем логарифм

Вернемся к исходному выражению и применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:Теперь применим основное логарифмическое тождество и получим:

Сумма логарифмов. Разница логарифмов

Логарифмы с одинаковыми основаниями можно складывать:Логарифмы с одинаковыми основаниями можно вычитать:Мы видим, что исходные выражения состояли из логарифмов, которые по отдельности не вычисляются, а при применении свойств логарифмов у нас получились нормальные числа. Поэтому повторим, что основные свойства логарифмов нужно знать обязательно!

Обратите внимание, что формулы суммы и разности логарифмов верны только для логарифмов с одинаковыми основаниями! Если основания разные, то данные свойства применять нельзя!

Вынесение показателя степени из логарифма

Вынесение показателя степени из логарифма:

Переход к новому основанию

Когда мы разбирали формулы суммы и разности логарифмов, то обращали внимание на то, что основания логарифмов должны быть при этом одинаковыми. А что же делать, если основания логарифмов разные? Воспользоваться свойством перехода к новому основанию.

Такие формулы чаще всего нужны при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Разберем на примере.

Необходимо найти значение такого выраженияДля начала преобразуем каждый логарифм с помощью свойства вынесения показателя степени из логарифма:

Теперь применим переход к новому основанию для второго логарифма:Подставим полученные результаты в исходное выражение:

10 примеров логарифмов с решением

1. Найти значение выражения2. Найти значение выражения3. Найти значение выражения4. Найти значение выражения5. Найти значение выражения6. Найти значение выраженияСначала найдем значениеДля этого приравняем его к Х:Тогда изначальное выражение принимает вид:

Читайте также:  Методы измерения скорости воздушного потока

7. Найти значение выраженияПреобразуем наше выражение:Теперь воспользуемся свойством вынесения показателя степени из логарифма и получим: 8. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов одинаковые, воспользуемся свойством разности логарифмов:9. Найти значение выраженияТак как основания логарифмов разные, применять свойство суммы логарифмов нельзя. Поэтому решаем каждый логарифм по отдельности:Подставляем полученные значения в исходное выражение:

10. Найти значение выраженияОбращаем внимание, что данное выражение – это не произведение логарифмов. У логарифма по основанию 4 подлогарифным выражением является log216. Поэтому сначала найдем значение log216, а затем подставим полученный результат в log4:

Надеюсь, теперь вы разобрались, что такое логарифм.

Источник

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, где e <\displaystyle e> — иррациональная константа, равная приблизительно 2,72. Он обозначается как ln ⁡ x <\displaystyle \ln x> , log e ⁡ x <\displaystyle \log _x> или иногда просто log ⁡ x <\displaystyle \log x> , если основание e <\displaystyle e> подразумевается [1] . Другими словами, натуральный логарифм числа x — это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить x.

ln ⁡ e = 1 <\displaystyle \ln e=1> , потому что e 1 = e <\displaystyle e^<1>=e> ; ln ⁡ 1 = 0 <\displaystyle \ln 1=0> , потому что e 0 = 1 <\displaystyle e^<0>=1> .

Натуральный логарифм может быть определён для любого положительного вещественного числа a как площадь под кривой y = 1 x <\displaystyle y=<\frac <1>>> на промежутке [ 1 ; a ] <\displaystyle [1;a]> . Простота этого определения, которое согласуется со многими другими формулами, в которых применяется данный логарифм, объясняет происхождение названия «натуральный». Это определение можно расширить и на комплексные числа.

Если рассматривать натуральный логарифм как вещественную функцию действительной переменной, то она является обратной функцией к экспоненциальной функции, что приводит к тождествам:

0);>»> e ln ⁡ a = a ( a > 0 ) ; <\displaystyle e^<\ln a>=a\quad (a>0);> 0);>»/> 0).>»> ln ⁡ e a = a ( a > 0 ) . <\displaystyle \ln e^=a\quad (a>0).> 0).>»/>

Подобно всем логарифмам, натуральный логарифм отображает умножение в сложение:

ln ⁡ x y = ln ⁡ x + ln ⁡ y . <\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.>

С точки зрения общей алгебры, логарифмическая функция осуществляет изоморфизм группы положительных вещественных чисел относительно умножения на группу вещественных чисел по сложению:

ln : R + → R . <\displaystyle \ln :\mathbb ^<+>\to \mathbb .>

Логарифм может быть определён для любого положительного основания, отличного от 1 <\displaystyle 1> , а не только для e <\displaystyle e> , но логарифмы для других оснований отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем и, как правило, определяются в терминах натурального логарифма. Логарифмы полезны для решения уравнений, в которых неизвестные присутствуют в качестве показателя степени. Например, логарифмы используются для нахождения постоянной распада для известного периода полураспада или для нахождения времени распада в решении проблем радиоактивности. Они играют важную роль во многих областях математики и прикладных наук, применяются в сфере финансов для решения многих задач, включая нахождение сложных процентов.

Содержание

История

Первое упоминание натурального логарифма сделал Николас Меркатор в работе Logarithmotechnia, опубликованной в 1668 году [2] , хотя учитель математики Джон Спайделл ещё в 1619 году составил таблицу натуральных логарифмов. [3] Ранее его называли гиперболическим логарифмом, [4] поскольку он соответствует площади под гиперболой. Иногда его называют логарифмом Непера, хотя первоначальный смысл этого термина был несколько другой.

Соглашение об обозначениях

Обозначение «ln» всегда относится к натуральному логарифму. Обозначения «lg» и «log» зависят от контекста и традиций, описываемых ниже.

Русская и европейская система

Натуральный логарифм принято обозначать через «ln», логарифм по основанию 10 — через «lg», а прочие основания принято указывать явно в виде нижнего индекса при символе «log», например log a ⁡ x <\displaystyle \log _x> .

Во многих работах по дискретной математике, кибернетике, информатике логарифм по основанию 2 авторы обозначают просто как «log» или, реже, «lb», но эти соглашения не являются общепринятыми и требует разъяснения либо в списке использованных обозначений, либо (при отсутствии такого списка) сноской или комментарием при первом использовании.

Скобки вокруг аргумента логарифмов обычно опускают, кроме случаев, когда аргумент является сложным выражением и это может привести к ошибочному чтению формулы. При возведении логарифма в степень показатель приписывают непосредственно к знаку логарифма, например:

Т. е. в данном случае действуют обычные соглашения относительно записи элементарных функций.

Англо-американская система

Обозначение натурального логарифма, как ln ⁡ x <\displaystyle \ln x> , где x <\displaystyle x> является аргументом, ввёл американский математик Ирвинг Стрингхем в 1893 году [5] .

Математики, статистики и часть инженеров обычно используют для обозначения натурального логарифма либо «log», либо «ln», а для обозначения логарифма по основанию 10 — «log10».

Некоторые инженеры, биологи и другие специалисты всегда пишут «ln» (или изредка «log), когда они имеют в виду натуральный логарифм, а запись «log» у них означает «log10».

В теоретической информатике, теории информации и криптографии «log» обычно означает логарифм по основанию 2 «log2», хотя иногда вместо этого пишется lg или lb.

Техника

В наиболее часто используемых языках программирования и пакетах прикладных программ, включая C, C++, SAS, MATLAB, Фортран и BASIC функция «log» или «LOG» относится к натуральному логарифму.

Читайте также:  Сгорел мультиметр при измерении 220

В ручных калькуляторах натуральный логарифм обозначается ln <\displaystyle \ln > , тогда как log <\displaystyle \log > служит для обозначения логарифма по основанию 10.

Происхождение термина

Сначала может показаться, что поскольку наша система счисления имеет основание 10, то это основание является более «натуральным», чем основание e. Но математически число 10 не является особо значимым. Его использование скорее связано с культурой, оно является общим для многих систем счисления, и связано это, вероятно, с числом пальцев у людей. [6] Некоторые культуры основывали свои системы счисления на других основаниях: 5, 8, 12, 20 и 60. [7] [8] [9]

loge является «натуральным» логарифмом, поскольку он возникает автоматически и появляется в математике очень часто. Например, рассмотрим проблему производной логарифмической функции: [10]

( log a ⁡ x ) ′ = ( 1 ln ⁡ a ⋅ ln ⁡ x ) ′ = 1 ln ⁡ a ( ln ⁡ x ) ′ = 1 x ln ⁡ a <\displaystyle (\log _x)'=\left(<\frac <1><\ln a>>\cdot \ln \right)’=<\frac <1><\ln a>>(\ln )’=<\frac <1>>>

Если основание a <\displaystyle a> равно e <\displaystyle e> , то производная равна просто 1 x <\displaystyle <\frac <1>>> , а при x = 1 эта производная равна 1. Другим обоснованием, по которому основание e логарифма является наиболее натуральным, является то, что он может быть довольно просто определён в терминах простого интеграла или ряда Тейлора, чего нельзя сказать о других логарифмах.

Дальнейшие обоснования натуральности не связаны со счислением. Так, например, есть несколько простых рядов с натуральными логарифмами. Пьетро Менголи и Николас Меркатор называли их логарифмус натуралис за несколько десятилетий до того, как Ньютон и Лейбниц разработали дифференциальное и интегральное исчисление. [11]

Определение

Формально ln(a) может быть определён как площадь, заключённая под кривой графика 1/x на участке от 1 до a, т. е. как интеграл:

ln ⁡ a = ∫ 1 a 1 x d x . <\displaystyle \ln a=\int _<1>^<\frac <1>>\,dx.>

Это действительно логарифм, поскольку он удовлетворяет фундаментальному свойству логарифма:

ln ⁡ a b = ln ⁡ a + ln ⁡ b <\displaystyle \ln ab=\ln a+\ln b> .

Это можно продемонстрировать, допуская t = x a <\displaystyle t=<\frac >> следующим образом:

ln ⁡ a b = ∫ 1 a b 1 x d x = ∫ 1 a 1 x d x + ∫ a a b 1 x d x = ∫ 1 a 1 x d x + ∫ 1 b 1 t d t = ln ⁡ a + ln ⁡ b <\displaystyle \ln ab=\int _<1>^<\frac <1>>\;dx=\int _<1>^<\frac <1>>\;dx\;+\int _^<\frac <1>>\;dx=\int _<1>^<\frac <1>>\;dx\;+\int _<1>^<\frac <1>>\;dt=\ln a+\ln b>

Число e может быть определено как единственное действительное число a такое, что ln(a) = 1.

Или же, если показательная функция была определена раньше с использованием бесконечных рядов, натуральный логарифм может быть определён как обратная к ней функция, т. е. ln — это функция, такая что e ln ⁡ ( x ) = x <\displaystyle e^<\ln(x)>=x> . Так как диапазон значений экспоненциальной функции от реальных аргументов есть все положительные вещественные числа, а экспоненциальная функция строго возрастает, то это хорошо определённая функция для всех положительных x.

Свойства

  • ln ⁡ 1 = 0 <\displaystyle \ln 1=0>
  • ln ⁡ ( − 1 ) = i π <\displaystyle \ln(-1)=i\pi >— комплексный логарифм
  • ln ⁡ ( x ) ln ⁡ ( y ) , если 0 x y <\displaystyle \ln(x)
  • -1\;>»> h 1 + h ⩽ ln ⁡ ( 1 + h ) ⩽ h , если h > − 1 <\displaystyle <\frac <1+h>>\leqslant \ln(1+h)\leqslant h,\ <\mbox<если>>\ h>-1\;>-1\;>»/>
  • lim x → 0 ln ⁡ ( 1 + x ) x = 1 <\displaystyle \lim _<\frac <\ln(1+x)>>=1>
  • ln ⁡ 3 = 2 − γ − 2 ln ⁡ 2 − 6 3 π ∫ 0 ∞ B r ( x ) ln ⁡ B r ( x ) e 3 B r ( x ) ( 5 B r ( x ) 4 + 1 ) d x <\displaystyle \ln 3=2-\gamma -2\ln 2-6<\sqrt <\frac <3><\pi >>>\int \limits _<0>^<\infty ><\frac <<\sqrt >\ln Br(x)><\displaystyle e^<3Br(x)>(5Br(x)^<4>+1)>>dx>, где B r ( x ) <\displaystyle Br(x)>— корень Бринга [источник не указан 442 дня] [значимость факта?] .

Производная и разложение в ряд Тейлора

можно выполнить разложение ln ⁡ ( 1 + x ) <\displaystyle \ln(1+x)> в ряд Тейлора около x = 0, называемое иногда рядом Меркатора:

ln ⁡ ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n x n = x − x 2 2 + x 3 3 − … f o r | x | ≤ 1 <\displaystyle \ln(1+x)=\sum _^<\infty ><\frac <(-1)^>>x^=x-<\frac ><2>>+<\frac ><3>>-\dots \quad <\rm >\quad \left|x\right|\leq 1\quad > u n l e s s x = − 1 <\displaystyle <\rm >\quad x=-1>

Ограничение этого бесконечного ряда i-м членом порождает многочлены Тейлора i-го порядка, содержащие степени не выше i-й. На рисунке справа приведены графики функции ln ⁡ ( 1 + x ) <\displaystyle \ln(1+x)> и некоторых многочленов Тейлора около x = 0. Аппроксимации сходятся к функции только в области сходимости −1 ln ⁡ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n ( x − 1 ) n <\displaystyle \ln(x)=\sum _^<\infty ><\frac <(-1)^>>(x-1)^> ln ⁡ ( x ) = ( x − 1 ) − ( x − 1 ) 2 2 + ( x − 1 ) 3 3 − ( x − 1 ) 4 4 + … <\displaystyle \ln(x)=(x-1)-<\frac <(x-1)^<2>><2>>+<\frac <(x-1)^<3>><3>>-<\frac <(x-1)^<4>><4>>+\dots > f o r | x − 1 | ≤ 1 u n l e s s x = 0. <\displaystyle <\rm >\quad \left|x-1\right|\leq 1\quad <\rm >\quad x=0.> [12]

С помощью преобразования Эйлера из ряда Тейлора можно получить следующее выражение, справедливое для любого |x| > 1:

ln ⁡ x x − 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 n x n = 1 x + 1 2 x 2 + 1 3 x 3 + … <\displaystyle \ln >=\sum _^<\infty ><1 \over >>=<1 \over x>+<1 \over <2x^<2>>>+<1 \over <3x^<3>>>+\dots >

Также заметим, что x x − 1 <\displaystyle x \over > — это её собственная инверсная функция, поэтому для получения натурального логарифма определенного числа y нужно просто для x присвоить значение y y − 1 <\displaystyle y \over > .

Натуральный логарифм в интегрировании

Натуральный логарифм даёт простую интегральную функцию вида g(x) = f ‘(x)/f(x): первообразная функции g(x) имеет вид ln(|f(x)|). Это подтверждается цепным правилом и следующим фактом:

d d x ( ln ⁡ | x | ) = 1 x . <\displaystyle \ \left(\ln \left|x\right|\right)=<1 \over x>.>

∫ 1 x d x = ln ⁡ | x | + C <\displaystyle \int <1 \over x>dx=\ln |x|+C>

∫ f ′ ( x ) f ( x ) d x = ln ⁡ | f ( x ) | + C . <\displaystyle \int <<\frac >\,dx>=\ln |f(x)|+C.>

Ниже дан пример для g(x) = tan(x):

∫ tan ⁡ ( x ) d x = ∫ sin ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) d x <\displaystyle \int \tan(x)\,dx=\int <\sin(x) \over \cos(x)>\,dx> ∫ tan ⁡ ( x ) d x = ∫ − d d x cos ⁡ ( x ) cos ⁡ ( x ) d x . <\displaystyle \int \tan(x)\,dx=\int <-\cos(x) \over <\cos(x)>>\,dx.>

∫ tan ⁡ ( x ) d x = − ln ⁡ | cos ⁡ ( x ) | + C <\displaystyle \int \tan(x)\,dx=-\ln <\left|\cos(x)\right|>+C> ∫ tan ⁡ ( x ) d x = ln ⁡ | sec ⁡ ( x ) | + C <\displaystyle \int \tan(x)\,dx=\ln <\left|\sec(x)\right|>+C>

где C — произвольная константа.

Натуральный логарифм можно проинтегрировать с помощью интегрирования по частям:

∫ ln ⁡ ( x ) d x = x ln ⁡ ( x ) − x + C . <\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.>

Численное значение

Методы вычисления

Для расчета численного значения натурального логарифма числа можно использовать разложение его в ряд Тейлора в виде:

ln ⁡ ( 1 + x ) = x ( 1 1 − x ( 1 2 − x ( 1 3 − x ( 1 4 − x ( 1 5 − … ) ) ) ) ) f o r | x | 1. <\displaystyle \ln(1+x)=x\,\left(<\frac <1><1>>-x\,\left(<\frac <1><2>>-x\,\left(<\frac <1><3>>-x\,\left(<\frac <1><4>>-x\,\left(<\frac <1><5>>-\dots \right)\right)\right)\right)\right)\quad <\rm >\quad \left|x\right|

Чтобы получить лучшую скорость сходимости, можно воспользоваться следующим тождеством:

ln ⁡ ( x ) = ln ⁡ ( 1 + y 1 − y ) <\displaystyle \ln(x)=\ln \left(<\frac <1+y><1-y>>\right)> = 2 y ( 1 1 + 1 3 y 2 + 1 5 y 4 + 1 7 y 6 + 1 9 y 8 + … ) <\displaystyle =2\,y\,\left(<\frac <1><1>>+<\frac <1><3>>y^<2>+<\frac <1><5>>y^<4>+<\frac <1><7>>y^<6>+<\frac <1><9>>y^<8>+\dots \right)>
= 2 y ( 1 1 + y 2 ( 1 3 + y 2 ( 1 5 + y 2 ( 1 7 + y 2 ( 1 9 + … ) ) ) ) ) <\displaystyle =2\,y\,\left(<\frac <1><1>>+y^<2>\,\left(<\frac <1><3>>+y^<2>\,\left(<\frac <1><5>>+y^<2>\,\left(<\frac <1><7>>+y^<2>\,\left(<\frac <1><9>>+\dots \right)\right)\right)\right)\right)>

при условии, что y = (x−1)/(x+1) и x > 0.

Для ln(x), где x > 1, чем ближе значение x к 1, тем быстрее скорость сходимости. Тождества, связанные с логарифмом, можно использовать для достижения цели:

ln ⁡ ( 123,456 ) <\displaystyle \ln(123<,>456)> = ln ⁡ ( 1,234 56 × 10 2 ) <\displaystyle =\ln(1<,>23456\times 10^<2>)>
= ln ⁡ ( 1,234 56 ) + ln ⁡ ( 10 2 ) <\displaystyle =\ln(1<,>23456)+\ln(10^<2>)>
= ln ⁡ ( 1,234 56 ) + 2 × ln ⁡ ( 10 ) <\displaystyle =\ln(1<,>23456)+2\times \ln(10)>
≈ ln ⁡ ( 1,234 56 ) + 2 × 2,302 5851 <\displaystyle \approx \ln(1<,>23456)+2\times 2<,>3025851>

Эти методы применялись ещё до появления калькуляторов, для чего использовались числовые таблицы и выполнялись манипуляции, аналогичные вышеописанным.

Высокая точность

Для вычисления натурального логарифма с большим количеством цифр точности ряд Тейлора не является эффективным, поскольку его сходимость медленная. Альтернативой является использование метода Ньютона, чтобы инвертировать в экспоненциальную функцию, ряд которой сходится быстрее.

Альтернативой для очень высокой точности расчёта является формула: [13] [14]

ln ⁡ x ≈ π 2 M ( 1 , 4 / s ) − m ln ⁡ 2 <\displaystyle \ln x\approx <\frac <\pi ><2M(1,4/s)>>-m\ln 2>

2^

,>»> s = x 2 m > 2 p / 2 , <\displaystyle s=x\,2^>2^

,> 2^<

>,»/>

m выбрано так, что p знаков точности достигается. (В большинстве случаев значение 8 для m вполне достаточно.) В самом деле, если используется этот метод, может быть применена инверсия Ньютона натурального логарифма для эффективного вычисления экспоненциальной функции. (Константы ln 2 и пи могут быть предварительно вычислены до желаемой точности, используя любой из известных быстро сходящихся рядов.)

Трансцендентность

Из теоремы Линдемана-Вейерштрасса (1885) вытекает следующее следствие: если аргумент x <\displaystyle x> есть алгебраическое число, отличное от единицы, то значение ln ⁡ x <\displaystyle \ln x> есть не только иррациональное, но и трансцендентное число [15] .

Вычислительная сложность

Вычислительная сложность натуральных логарифмов (с помощью арифметико-геометрического среднего) равна O(M(n) ln n). Здесь n — число цифр точности, для которой натуральный логарифм должен быть оценен, а M(n) — вычислительная сложность умножения двух n-значных чисел.

Непрерывные дроби

Хотя для представления логарифма отсутствуют простые непрерывные дроби, но можно использовать несколько обобщённых непрерывных дробей, в том числе:

log ⁡ ( 1 + x ) = x 1 1 − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + x 5 5 − ⋯ = x 1 − 0 x + 1 2 x 2 − 1 x + 2 2 x 3 − 2 x + 3 2 x 4 − 3 x + 4 2 x 5 − 4 x + ⋱ <\displaystyle \log(1+x)=<\frac ><1>>-<\frac ><2>>+<\frac ><3>>-<\frac ><4>>+<\frac ><5>>-\dots =<\cfrac <1-0x+<\cfrac <1^<2>x><2-1x+<\cfrac <2^<2>x><3-2x+<\cfrac <3^<2>x><4-3x+<\cfrac <4^<2>x><5-4x+\ddots >>>>>>>>>>> log ⁡ ( 1 + 2 x y ) = 2 x y + x 1 + x 3 y + 2 x 1 + 2 x 5 y + 3 x 1 + ⋱ = 2 x y + x − ( 1 x ) 2 3 ( y + x ) − ( 2 x ) 2 5 ( y + x ) − ( 3 x ) 2 7 ( y + x ) − ⋱ <\displaystyle \log \left(1+<\frac <2x>>\right)=<\cfrac <2x><1+<\cfrac <3y+<\cfrac <2x><1+<\cfrac <2x><5y+<\cfrac <3x><1+\ddots >>>>>>>>>>>>=<\cfrac <2x>><3(y+x)-<\cfrac <(2x)^<2>><5(y+x)-<\cfrac <(3x)^<2>><7(y+x)-\ddots >>>>>>>>>

Комплексные логарифмы

Экспоненциальная функция может быть расширена до функции, которая даёт комплексное число вида e x для любого произвольного комплексного числа x, при этом используется бесконечный ряд с комплексным x. Эта показательная функция может быть инвертирована с образованием комплексного логарифма, который будет обладать большей частью свойств обычных логарифмов. Есть, однако, две трудности: не существует x, для которого e x = 0, и оказывается, что e 2πi = 1 = e 0 . Поскольку свойство мультипликативности действительно для комплексной экспоненциальной функции, то e z = e z+2nπi для всех комплексных z и целых n.

Логарифм не может быть определён на всей комплексной плоскости, и даже при этом он является многозначным — любой комплексный логарифм может быть заменён на «эквивалентный» логарифм, добавив любое целое число, кратное 2πi. Комплексный логарифм может быть однозначным только на срезе комплексной плоскости. Например, ln i = 1/2 πi или 5/2 πi или −3/2 πi, и т.д., и хотя i 4 = 1, 4 log i может быть определена как 2πi, или 10πi или −6 πi, и так далее.

    Функции натурального логарифма на комплексной плоскости (главная ветвь)

Источник