Объекты математической обработки измерений

Математическая обработка результатов измерений

Случайные погрешности имеют статистический характер, их математическая обработка производится с помощью теории вероятностей. При многократном измерении равновероятно получить результат как больший, так и меньший, чем истинное значение измеряемой величины.

Пусть проведено п измерений величины х; и в результате получено п значений: х₁, х₂. , х_п. Величина

, (1)

называемая средним арифметическим значением, является хорошим приближением к истинному значению измеряемой величины и иногда используется как окончательный итог серии измерений.

Рассмотрим несколько этапов упрощенной математической обработки результатов измерений и оценим возникающие при этом погрешности:

1. Находим среднее арифметическое значениеx_ср измеряемой величины.

2. Вычисляем абсолютные погрешности результатов отдельных измерений.

Абсолютной погрешностью отдельного измерения |Dx_i| называется разность между средним значением измеряемой величины и значением, полученным при данном измерении:

Абсолютная погрешность имеет размерность измеряемой величины и характеризует качество отдельных измерений: те измерения, у которых абсолютная погрешность меньше, выполнены более точно. Знак «+» (или «-») у абсолютной погрешности данного измерения показывает, что результат, полученный при данном измерении, получился больше (или меньше) среднего значения измеряемой величины.

3. Вычисляем среднюю абсолютную погрешность опыта. Она находится как среднее арифметическое абсолютных значений абсолютных погрешностей отдельных измерений:

(3)

4. Вычисляем относительную погрешность опыта. Средняя абсолютная погрешность не характеризует точности измерения.

Пусть, например, =0,1 мм. Высокая ли точность была в данных измерениях? На этот вопрос нельзя ответить. Дело в том, что такая погрешность, допущенная, например, при измерении толщины оси маятника ручных часов, является недопустимо большой, а при измерении расстояния между двумя городами — излишне малой.

Для оценки точности, с которой определена измеряемая величина, используют понятие относительной погрешности:

(4)

Относительная погрешность показывает, какая часть абсолютной погрешности приходится на каждую единицу измеряемой величины. Это дает возможность оценивать точность проведенных измерений, качество работы.

Так, например, если при измерении бруска длиной l=1,5 см была допущена абсолютная погрешность 0,03 мм, а при измерении расстояния l =3,64·10 5 км от Земли до Луны абсолютная погрешность составила 100 км, то может показаться, что первое измерение выполнено намного точнее второго. Однако о точности измерения можно судить по относительной погрешности, а она показывает, что второе измерение было выполнено в семь раз точнее первого:

Относительная погрешность позволяет производить сравнение точности измерений разнородных физических величин.

5. Записываем окончательный результат:

(5)

Еслисредняя абсолютная погрешность , то она определяет пределы, в которых лежит истинное значение измеряемой величины. Величина х измерена тем точнее, чем меньше интервал, в котором находится ее истинное значение:

Мы рассмотрели простейший способ математической обработки результатов измерений, полученных в эксперименте. Этот метод не дает точных результатов и поэтому в научных исследованиях, как правило, не применяется. Он используется для расчета систематических погрешностей или для расчета случайных погрешностей в условиях учебного процесса, когда проведено три измерения, т. е. этот метод является облегченным вариантом математической обработки результатов малого количества измерений.

Пример 1. С помощью метровой линейки, на которой указаны сантиметры и их половинки, была измерена длина тела. Результат измерения оказался 87,2 см. Десятые доли оценивались «на глаз».

Если проведено только одно измерение, то для оценки погрешности нужно воспользоваться характеристикой измерительного прибора, в данном случае линейки. Наименьшее деление ее 0,5 см, поэтому погрешность, которую мы допускаем, пользуясь такой линейкой — 0,25 см (половина меньшего деления шкалы). Однако если десятые доли сантиметров определяются «на глаз» (кроме 0,5), то сотые доли на этой линейке определены быть не могут, они недостоверны и поэтому 0,25 см округлим до 0,3 см. Окончательный результат записываем так: l=(87,2±3) см. Это означает, что измеряемая величина лежит в интервале между числами 86,9 и 87,5 см.

Пример 2. При. измерении диаметра стержня с помощью микрометра было сделано четыре измерения, результаты которых занесены в таблицу:

N	d, мм	d
7,32	—
7,85
7,89	0,04
7,80	0,05
Ср.зн.	7,85	0,03

1) Просматривая результаты измерений, замечаем, что результат первого измерения резко отличается от результатов всех других измерений. Интуитивно оценивая этот результат, как ошибочный (промах), исключаем его из дальнейших расчетов (отбрасываем). По данным таблицы вычисляем среднее значение диаметра и определяем погрешности: при измерении микрометром достоверными являются только сотые доли миллиметра;

2) ; ;

;

3)

4)

5) Окончательный результат записываем в виде:

Источник

1. Предмет тмоги

Предметом изучения дисциплины ТМОГИ являются методы получения наиболее точного значения измеряемой величины и ее оценки точности по результатам многократных измерений. Важным моментом здесь является наличие избыточных измерений. Например, для определения длины линии необходимо выполнить одно измерение. Остальные измерения – избыточны. Они являются основой для математической обработки результатов геодезических измерений.

Вместе с необходимыми они составляют многократные измерения геодезической величины. Результаты этих измерений различаются между собой. Это вызывается наличием различных факторов: внешней среды, квалификации исполнителя, неточности прибора и др.

Настоящие факторы находятся в непрерывном изменении. Безошибочно учесть их влияние невозможно. В совокупности они составляют условия измерений. Изменения результатов измерений одной и той же величины отражают изменения условий измерений. Можно заключить, что возникновение ошибок и характер их распределения определены условиями измерений.

Получить совершенно безошибочные результаты измерений невозможно. Поэтому на практике измерения производят таким образом, чтобы получить конечный результат с заданной точностью. Математическую обработку измерений проводят так, чтобы получить окончательный результат с максимальной точность, которая не должна быть ниже заданной.

Понятие заданной точности определено числовым критерием, который представляет собой характеристику отклонения результата обработки измерений от истинного значения измеряемой величины.

В связи с этим, исходя предмета дисциплины, следуют ее задачи:

1. Установление законов возникновения и распределения ошибок (погрешностей) измерений.

2. Установление критериев точности производства измерений и результатов их обработки. Если, например, линия измерена трижды и получены результаты 106,13, 106,23, 106,11 , тот критериями точности могут быть : размах –разница между наибольшим и наименьшим результатами (=106,23-106,11=0,12м), среднее квадратическое отклонение от среднего арифметического и др. Задача заключается в выборе необходимого критерия.

3. Выбор алгоритмов обработки измерений, которые приводят к наиболее точным значениям окончательных результатов. Так, в приведенном примере в качестве окончательного результата может быть принято среднее арифметическое, среднее из максимального и минимального значений результатов измерений и др. Из них нужно выбрать наиболее точное значение.

4. Установление критериев, характеризующих точность получения окончательных результатов математической обработки геодезических измерений.

2. Ошибки измерений

Основой математической обработки геодезических измерений являются избыточные измерения. Вместе с необходимыми они составляют многогранные измерения геодезической величины. Результаты этих измерений отличаются между собой. Это вызывается наличием различных факторов. Условно можно выделить следующие: факторы внешней среды, квалификация исполнителя, точность прибора.

Получаемые в результате многократных измерений избыточные выполняют следующие функции:

повышение точности результативного значения;

оценку точности результатов измерений.

Результаты многократных измерений отличаются между собой наличием ошибок измерений.

Ошибка измерения – это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.

Причинами возникновения ошибок определяются перечисленными выше условиями измерений. Каждый фактор определяющий условия измерений, оказывает влияние на результаты измерений. Влияние каждого фактора или источника определено в свою очередь влияние более мелких источников ошибок.

Например, такой фактор влияния ошибок как неточность прибора при измерении горизонтальных углов подразделяется на более мелкие: неточность выполнения юстировок прибора, неточность центрирования, неточность горизонтирования прибора и т.д.

Таким образом, отклонение результата измерения от точного значения является результатом воздействия большого числа причин. Каждая из причин оказывается пренебрегаемо малой по сравнению с их общим влиянием.

Ошибки измерений бывают случайные, грубые и систематические.

Случайные ошибки – это такие, которые вызываются факторами, которые невозможно или нецелесообразно учитывать. Например, при топографических работах нецелесообразно учитывать температуру воздуха. Однако изменения температуры влияют на результаты измерений. При этом изменения результатов измерений не превосходят определенного допуска. Этим случайные ошибки отличаются от грубых.

Грубые ошибки – это ошибки, вызванные не учитываемыми факторами, но которые превосходят определенный допуск. Эти ошибки вызываются сбоями измерительной техники, ошибками, пропусками результатов измерений, усталостью исполнителей, резкими сильными изменениями внешней среды и др.

До последнего времени (70-80 гг.) измерения, отягощенные грубыми ошибками отбраковывались. Такие измерения называли грубыми. Однако теперь существуют методы, которые обрабатывают допускаемые измерения совместно с грубыми. Поправки в грубые измерения при этом соответствуют грубым ошибкам с обратным знаком. Эти методы называются устойчивыми или робастными (англ. robust – устойчивый).

Систематические ошибки – это ошибки, вызываемые закономерно влияющими факторами. Эти факторы должны быть изучены, а их влияние учтено.

Теория математической обработки геодезических измерений оперирует со всеми тремя видами ошибок. Однако систематические ошибки изучаются с тем, чтобы их в процессе обработки можно было учесть. В связи с этим основное внимание в теории математической обработки уделяется случайным и грубым ошибкам измерений, которые нельзя заранее учесть.

Измерения, отягощенные случайными ошибками, можно считать случайными величинами, которые являются предметом изучения теории вероятностей и математической статистики. Поэтому теория математической обработки результатов геодезических измерений опирается на эти дисциплины. При математической обработке измерений используется также аппарат линейной алгебры и функции математического анализа.

Источник

Теория математической обработки геодезических измерений (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6

ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

1.1. Обработка и анализ измерений одной величины

1.1.1.Вероятностное моделирование ошибок измерений

Пусть X – реальное значение измеряемой величины, остающееся неизменным в процессе измерений (нахождение числовой модели этого значения представляет собой цель измерений);

Х – случайная величина (СВ), представляющая собой вероятностную модель измерительной технологии;

xi – результаты измерений, являющиеся элементами спектра СВ «X», зафиксированные экспериментатором, т. е. ;

i = 1, 2, . , n – индекс измерения;

n – количество измерений;

E(X) – математическое ожидание (МО) СВ «X»;

– дисперсия СВ «X».

В такой ситуации можно определить следующие неопределённости (ошибки):

Qi = xi – X – истинная ошибка i-го измерения; (Т.1)

Di = xi – E(X) – случайная ошибка i-го измерения; (Т.2)

d = E(X) – X – постоянная ошибка технологии измерений. (Т.3)

т. е. истинная ошибка представляет собой сумму случайной и постоянной ошибок.

Определения (Т.1) – (Т.4) иллюстрируются (Рис. Т.1) на совмещенных числовых осях X и Q (индекс «i» опущен):

–X 0 d D Q Q

| | | |

Рис. Т.1. Истинная, случайная и постоянная ошибки.

(Известен только результат измерений x!)

Представим основные числовые характеристики – математические ожидания (МО), дисперсии и начальные моменты второго порядка – каждого вида ошибок, опираясь на определения (Т.1) – (Т.3) и известную взаимозависимость между числовыми характеристиками a2 = σ2 + a12:

Постоянная ошибка d: E(d) = d; D(d) = 0; a2(d) = d2.

Случайная ошибка D: E(D) = 0; D(D) = ; a2(D) = .

Истинная ошибка Q: E(Q) = d; D(Q) = ; a2(Q) = + d2.

Убедитесь в результатах в качестве Упражнения, помня что:

E(D) = ≡ 0; E(X) = , D(X) = , а a2(X) = + ()2.

Все приведённые числовые характеристики ошибок связаны между собой так же, как и сами ошибки (Т.4):

D(Q) = D(D) + D(d) = (Т.6)

a2(Q) = a2(D) + a2(d) = + d2. (Т.7)

Постоянная ошибка, будучи детерминированной величиной, не является объектом вероятностного моделирования. Её значения определяют из специальных исследований, а в среднее арифметическое результатов измерений вводят соответствующую поправку. Это – один путь учета влияния постоянных ошибок. Другой путь борьбы с ними заключается в надлежащей организации технологии измерений, компенсирующей эти ошибки в окончательных результатах xi. Дело в том, что результат измерений xi обычно является функцией нескольких отсчетов (операций), по которым он вычисляется. Например, углы при геодезических и астрономических измерениях определяют при альтернативных положениях вертикального круга и на разных участках лимба. Если результаты xi не содержат постоянной ошибки, т. е. d = E(X) – X = 0, то

Выражение (Т.8) эквивалентно условию отсутствия постоянной ошибки в измерениях.

Специальные исследования, направленные на определение постоянной ошибки, могут представлять собой процедуру, подобную эталонированию. Эталон – это некоторая мера, числовая модель которой известна с высокой степенью точности.

Обозначим числовое значение эталона как YЭ. Процедура эталонирования обычно заключается в измерении величины YЭ путём реализации некоторой технологии, вероятностная модель которой – это СВ «Y». В результате мы получаем выборку y1, y2, …, y k. Пусть эта выборка простая, т. е. стохастически не связанная и равноточная. Полагая, что выборка принадлежит генеральной совокупности (ГС) «Y», она же СВ «Y», мы можем оценить её МО. В курсе ТВ и МС показано, что оптимальной оценкой МО ГС «Y» по данным простой выборки является среднее арифметическое, представляющее собой состоятельную и несмещённую оценивающую функцию (ОФ) с минимальной дисперсией:

. (Т.9)

Разность между оценкой (Т.9) и значением эталона YЭ позволит оценить постоянную ошибку:

– YЭ. (Т.10)

Естественно, что должна быть проверена нулевая гипотеза о незнáчимости найденной постоянной ошибки

Нулевая гипотеза (Т.11) проверяется с помощью теста

tЭ = , (Т.13)

, а . (Т.14)

Критическая область проверяемой гипотезы находится за пределами интервала tT = [tH; tB]. Нижняя tH и верхняя tB границы интервала – это квантили распределения Стьюдента, определяемые при (k – 1) степенях свободы на уровне значимости a:

t H = t k-1;1-a/2; tB = t k-1;a/2 = — tH.

Когда tЭ tT, нулевая гипотеза отвергается, т. е. постоянная ошибка δЭ признаётся знáчимой и должна вводиться в результат , с целью нахождения наиболее достоверного значения (НДЗ) измеряемой величины X:

X = – δЭ. (Т.15)

В случае незнàчимости постоянной ошибки dЭ, НДЗ величины X принимается равным СА . В такой ситуации истинная Q и случайная D ошибки совпадают: Q = D.

Далее обращаемся к случайным ошибкам D и определим их основные свойства, полагая распределение этих ошибок нормальным. Данное предположение основывается на том, что технологии геодезических измерений соответствуют условиям «Центральной предельной теоремы». Нормальное распределение СВ «X» характеризуется двумя параметрами: a = E(X) и b = sX. Для случайной ошибки D = x – E(X) они будут равны следующим значениям: a = E(D) = 0 и b = sΔ = sX. Тогда плотность нормальной случайной ошибки будет иметь вид:

f(D) =e —. (Т.16)

Этой функции соответствует следующий график (рис. Т.2):

P(D > 0) = P(D 0) = P(D P(sX tT, т. е. экстремальное значение xextr признаётся выпадающим из наблюдаемой ГС и должно быть отбраковано.

1.2. Математическая обработка повторных измерений.

В практической деятельности часто приходится иметь дело с повторными измерениями, выполняемыми с целью контроля качества наблюдений, с целью мониторинга физического состояния объекта, с целью повышения точности окончательных результатов, а чаще всего с целью одновременного решения указанных и подобных этим задач. Такие наблюдения, естественно, разделены во времени. Если такое разделение незначительно, то мы в праве предположить, что наблюдаемые объекты не претерпели изменений своих геометрических параметров. Когда же повторные измерения значительно разделены во времени, мы не можем быть уверены в стабильности наблюдаемых параметров. Кроме того, технологии, использовавшиеся при первичных и повторных наблюдениях, могут отличаться по точности, продолжительности и/или по стоимости. Дополнительно отметим, что материалы первичных и повторных наблюдений могли быть подвергнуты на своём этапе МНК-опимизации (уравниванию).

Всё выше сказанное говорит о том, что проблема математической обработки повторных наблюдений может быть разбита на решение близких, но различных задач, акценты в которых будут варьироваться.

Основных вопросов будет три:

ü нахождение наиболее достоверных значений (НДЗ) измеряемых величин;

ü оценка точности (ОТ) измерений и проверка гипотезы (ПГ) о незнàчимости средней разности технологий первичных и повторных измерений;

ü ОТ НДЗ измеряемых величин.

Для начала рассмотрим два простейших случая обработки и анализа некоррелированных повторных измерений, выполненных для «n» различных величин.

1.2.1.Математическая обработка двойных, некоррелированныхых, равноточных измерений «n» различных величин.

Выполним постановку задач, определённых выше.

n – количество измеряемых величин.

Хi и Х΄i – случайные величины (СВ), представляющие собой вероятностные модели первичной и повторной измерительных технологий, некоррелированных между собой (= 0nn);

xiXi и xíXí — i-ые результаты первичных и повторных измерений, трактуемые как элементы спектров СВ Xi и Xí, каждая из которых является компонентом своего вектора «Хn1» или «Xn1́»;

Источник