Меню

Обработка результатов совместных измерений методом наименьших квадратов



Обработка результатов совместных измерений на основе метода наименьших квадратов.

Совместные измерения представляют собой производимые одновременно измерения двух или нескольких, как правило, неодноименных величин для нахождения зависимости между ними. Этот вид измерений находит широкое применение в научных, технических и метрологических измерениях. Совместные измерения применяются в метрологической практике при экспериментальном определении градуировочных характеристик средств измерений, в том числе различных преобразователей.

При этом считают, что выполняются следующие условия:

1) значения входных величин xi известны точно;

2) результаты измеренных выходных величин yi содержат независимые случайные погрешности, которые распределены по нормальному закону.

3. Резко выделяющиеся значения (промахи) должны быть исключены.

В общем случае, если характер зависимости неизвестен, то лучше всего сглаживание проводить полиномами n-степени:

…..

В области обработки результатов измерений используется метод наименьших квадратов.

Пусть проводится изучение зависимости:

Если в это уравнение подставить результаты измеренных значений x,y,z. l то получим систему уравнений:

Поскольку уравнения неточны, то можем записать:

И после этого выбираются такие значения a,b,c…чтобы минимизировать сумму квадратов остаточных погрешностей:

Очевидно, что минимум достигается, когда :

Полученная система уравнений позволяет определить наилучшие оценки искомой величины, а дисперсия будет:

Дата добавления: 2016-04-14 ; просмотров: 1119 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

9.4. Обработка результатов совместных измерений

Совместные измерения – одновременные измерения нескольких разноименных величин для нахождения зависимости между ними. Эти измерения характеризуются тем, что значения искомых величин рассчитывают с помощью системы уравнений, в которых эти величины связаны с другими величинами, определяемыми методами простых или косвенных измерений. Подобные измерения проводят для установления зависимостей между величинами и эти измерения часто используются при проведении работ по калибровке СИ.

Уравнение совместного измерения можно представить как

, (9-23)

где x,у,z,l измеряемые ФВ, А, В, С – величины, которые необходимо определить.

Например, величина сопротивления эталонного проволочного резистора из манганина характеризуется следующей зависимостью от температуры:

Для определения коэффициентов и , многократно измеряя Rt при известных начальных значениях R и t, изучают зависимость R(t), получая при этом серию значений R и t. Затем по этим данным вычисляют коэффициенты и и оценивают погрешности этого измерения. В представленном уравнении два неизвестных, и казалось бы, что для получения искомых коэффициентов, достаточно сделать два измерения. Однако для увеличения точности полученных результатов проводят достаточно большое количество измерений. Как правило, число измерений n>>m, где m – число неизвестных величин.

Наибольшее распространение при обработке совместных и совокупных измерений нашел метод наименьших квадратов. Cущность его состоит в следующем.

При определении величин x, y, z,… и подстановке их в уравнение (9-23) получается система из n – уравнений,

, (9-24)

в которых точное равенство невозможно, из-за того, что измеряемые величины входят в каждое из уравнений (9-24) с своими погрешностями. В этом методе исходят из следующих положений: предполагается, что наилучшие приближения к истинным значениям неизвестных A, B, C,…. и что они уже определены. Поскольку эти оценки определены со своими погрешностями, то каждое из уравнений (9-24) не может быть точным и будет обращаться в тождество, если к правой части добавить некоторое слагаемое , называемоеостаточной погрешностью 2 условных уравнений:

, (9-25)

В системе n – условных уравнений (9-25) оценки величин A,B,C,…., – это те которые будут определены ниже в результате предложенного метода обработки результатов измерений. Особенность системы уравнений (9-25) состоит в том, что невозможно подобрать для всех уравнений значения vi такие, чтобы выполнялись все уравнения одновременно. Поэтому рассматривают методы одновременной минимизации остаточных погрешностей

В соответствии с методом наименьших квадратов оценки выбираются таким образом, чтобы обеспечитьминимум суммы квадратов остаточных погрешностей условных уравнений, т.е. минимизировать величину

=min (9-26)

Очевидно, что минимум V будет иметь место при равенстве нулю всех частных производных искомых величин, одновременно, т.е. при

(9-27)

Полученная система из m нормальных уравнений позволяет определить наилучшие оценки искомых величин. Дисперсия условных уравнений будет равна

, (9-28)

а СКО результатов измерений искомых величин при этом могут быть вычислены с помощью формул [66, 76, 77]:

(9-29)

где D определитель (детерминант) системы (9-27), — алгебраическое дополнение элементов детерминанта минор определителя, полученный вычеркиванием i-й cтроки и k-го столбца.

При обосновании метода наименьших квадратов в математической статистике предполагается, что результаты измерений удовлетворяют следующим условиям:

— значения аргументов известны точно;

— результаты измерений содержат лишь случайные погрешности, которые независимы, имеют нулевые средние значения и одинаковые дисперсии;

— погрешности измеряемых величин имеют нормальное распределение.

При этих условиях метод наименьших квадратов дает несмещенные оценки искомых неизвестных в зависимости (9-23), имеющие минимальные дисперсии. Однако на практике перечисленные условия выполняются далеко не всегда. В частности, кроме случайных составляющих погрешностей имеют место также и систематические составляющие погрешности. Метод наименьших квадратов используется также и для обработки неравноточных измерений. Особенности применения формул при обработке результатов совместных измерений рассмотрены в работах [66, 76].

Доверительные интервалы для истинных значений измеряемых величин строят на основе распределения Стьюдента при числе степеней свободы равном (nm) или на основе нормального распределения, если результаты измерений можно считать нормальными.

Пример 9.4. Рассмотрим случай равноточных измерений y и x, связанных линейным уравнением

Читайте также:  Единицы измерения параметров микроклимата

Искомыми величинами являются a и b. Равноточность предполагает, что для всех результатов измерений i значений yi и xi их дисперсии не зависят от величин y и x. Кроме того, предполагается, что значение хi задается в серии измерений точно, а учитывается только погрешность определения yi, в состав которой входит и погрешность, связанная с заданием величин хi.

После подстановки в (9-30) измеренных значений можно получить систему уравнений:

Для получения условных уравнений в виде (9-25) к каждому из уравнений (9-24) добавляются (или вычитаются – это всё равно) остаточные погрешности vi. После этого составляются соотношения (9-26):

Для отыскания минимума функции V определяются частные производные по неизвестным а и b:

После упрощения, получим систему нормальных уравнений:

Приведем эти уравнения к виду, удобному для вычисления неизвестных с помощью определителя:

(9-31)

Решая (9-31) относительно неизвестных ии, вводя обозначения:

получим .

Случайные погрешности оценок неизвестных a и b, будут равны:

где – детерминант системы (9-31).

СКО условных уравнений в данном случае является СКО распределения y(x) и для нормального закона распределения y(x), может быть представлена в виде (9-28):

.

Источник

Обработка результатов совместных измерений методом наименьших квадратов

Название работы: ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Предметная область: Физика

Описание: Если к моменту времени t было N активных ядер то за время dt их распадется λNdt где λ постоянная распада. Так как процессы накопления и распада активных ядер идут одновременно то дифференциальное уравнение для определения изменения количества активных ядер во времени Nt имеет вид: 2.1 где ФNстσ число образующихся за единицу времени радиоактивных ядер.1 при начальном условии: в момент времени t=0 Nt=0 и полагая что за время облучения в каждый момент количество образовавшихся активных ядер много меньше количества ядер.

Дата добавления: 2014-01-12

Размер файла: 1.72 MB

Работу скачали: 5 чел.

1. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

1.1. Ошибки измерений

На результаты экспериментов помимо статистических флуктуации, связанных с вероятностной природой явления, оказывают влияние случайные воздействия, возникающие в процессе эксперимента и обработки. Совокупность внешних возмущений увеличивает разброс результатов и вызывает смещение среднего значения. Последнее усугубляется действием целого ряда систематических причин («сдвинутая» шкала приборов, плохая геометрия опыта и т. д.). Каждая из случайных причин обычно подчиняется собственному распределению. Таким образом, результаты измерений будут описываться распределением, возникающим как наложение многих частных распределений. В итоге, однако, форма его будет приближаться к гауссовой, если только нет каких-либо превалирующих причин. Это обстоятельство является следствием так называемой центральной предельной теоремы теории вероятности, утверждающей, что действие большого числа причин с интенсивностями воздействия примерно одного порядка приводит к нормальному распределению величин, возникающих под влиянием этих воздействий.

В опыте отклонение результатов от среднего значения интерпретируется как ошибка измерений. При этом различают случайные и систематические ошибки, обусловленные соответственно случайными и систематическими причинами. Однако понятием «ошибка измерений» следует пользоваться с известной осторожностью.

Если разброс значений, возникающий в процессе самого эксперимента, и может трактоваться как ошибка измерений, то неопределенность результатов, связанная с природой исследуемого процесса, позволяет лишь судить о статистических закономерностях рассматриваемого явления и не может называться собственной ошибкой.

Таким образом, следуя одностороннему определению ошибки, ее можно «обнаружить» даже в условиях идеального эксперимента, в то время как расхождение экспериментальных данных будет отражать объективную реальность явления. Хотя, конечно, можно упомянуть класс экспериментов по измерению абсолютных констант (заряд, масса, спин элементарных частиц и т. д.), в которых разброс значений при определении этих величин, по-видимому, нужно отнести к «чистым» ошибкам измерения.

К сожалению, на практике погрешности методики измерения не всегда поддаются оценке. Поэтому в настоящее время вместо ошибки принято указывать доверительный интервал, в пределах которого с определенной вероятностью (доверительной вероятностью) можно ожидать значения исследуемых величин в условиях предлагаемой методики измерения.

Для случайной величины х доверительный интервал соответствует доверительной вероятности (1− α ), если

Вероятность (1− α ) называют также коэффициентом надежности, а величину α − уровнем значимости.

Надежным критерием для оценки доверительного интервала при заданном уровне значимости является среднеквадратичное отклонение σ , квадрат которого есть дисперсия, характеризующая рассеивание значений случайной величины в окрестности ее среднего значения (если, конечно, существует и σ 2 ).

Допустим, что при измерениях получены результаты ξ 1 , ξ 2 ,…, ξ n . Тогда в качестве оценки среднего значения и дисперсии σ 2 принимают соотношения

Усредненный результат серии измерения меньше отклоняется от точного значения, чем отдельные измерения; дисперсия среднего значения в n раз меньше дисперсии отдельных измерений, т. е.

Соотношения ( 1.2 ) тем точнее, чем больше n .

1.2. Ошибки функции измеряемых величин

Параметры распределения функции Ф = Ф ( x 1 , x 2 ,…, x n ) случайных переменных x 1 , x 2 ,…, x n , независимых между собой находятся следующим образом:

Если ошибки определения каждой из переменных x i достаточно малы, то функцию Ф ( x i ) можно разложить в ряд Тейлора около средних значений и пренебречь членами разложения выше первого порядка малости ,т. е.

Это соотношение становится точным для линейных функций Ф = Ф ( х i ). Усредняя его по x i , имеем

а дисперсия равна

Так, для суммы или разности двух величин абсолютная ошибка определяется по формуле:

а относительная ошибка будет

Читайте также:  Порядок ведения федерального информационного фонда по обеспечению единства измерений

Пусть за время t зарегистрировано N частиц, тогда предполагаемая интенсивность частиц равна v = N / t . Дисперсия величины v определяется выражением

а относительная ошибка

здесь учитывается тот факт, что при однократном измерении дисперсия величины N – есть сама N .

1.3. Обработка результатов методом наименьших квадратов

Очень часто в практике встречаются задачи, когда известны численные значения аргументов с их экспериментальными ошибками, и необходимо определить функцию, которая связывает эти величины.

Итак, пусть исследуется зависимость некоторой физической величины y от другой физической величины x :

которая неизвестна и которую нужно найти.

На рис. 1.1 представлена совокупность экспериментальных точек ( x i , y i ), где i = 1, 2, 3. n . При этом y i − случайные величины, каждая из которых отклоняется от истинного значения на некоторую случайную величину .

Проведение и уравновешивание кривой по экспериментальным точкам относится к так называемому регрессионному анализу , который обычно базируется на методе наименьших квадратов. При этом наилучшей кривой считают ту, для которой минимальна сумма квадратов отношения ε i / σ i , где ε i − указанное выше отклонение эмпирических точек y i от предполагаемых, а σ i − среднеквадратичная ошибка измерений, т. е.

Рис. 1.1. Кривая, построенная по экспериментальным точкам

методом наименьших квадратов

Обычно искомую функцию аппроксимируют каким-либо полиномом конечной степени m − 1, например,

и достигают минимума указанной квадратичной формы, варьируя сумму по коэффициентам B k , т. е.

Тогда коэффициенты регрессии B k определяются линейной системой уравнений

и вычисляются согласно общим методам решения линейных уравнений. Очевидно, что для нахождения m коэффициентов кривой регрессии требуется число экспериментальных точек .

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДОВ ПОЛУРАСПАДА ИСКУСТВЕННЫХ РАДИОАКТИВНЫХ НУКЛИДОВ

2.1. Основные теоретические сведения

Результатом взаимодействия тепловых нейтронов с неделящимися ядр а ми в большинстве случаев является осуществление реакции радиационного з а хвата ( n , γ ), реализующейся по следующей схеме:

Причем образовавшийся изотоп следствие «перегрузки» по колич е ству нейтронов чаще всего является нестабильным и претерпевает в последс т вии β – – распад, то есть является искусственно радиоактивным.

Математически задачу о накоплении радиоактивных атомов в облуча е мом образце можно рассмотреть следующим образом. Пусть тонкий образец (образец считается тонким, если изменение потока частиц, проходящих через него, много меньше этого потока) стабильного изотопа, содержащий N ст ат о мов, помещается в поток тепловых нейтронов плотностью Ф , см -2 ·с -1 . Тогда за время dt появится Ф N ст σ a dt новых активных атомов ( σ a – микроскопическое сечение поглощения нейтрона стабильным ядром). Наряду с процессом образ о вания активных ядер идет процесс их распада. Если к моменту времени t было N активных ядер, то за время dt их распадется λ Ndt , где λ – постоянная распада. Так как процессы накопления и распада активных ядер идут одновременно, то дифференциальное уравнение для определения изменения количества активных ядер во времени N(t) имеет вид:

где Ф N ст σ a – число образующихся за единицу времени радиоактивных ядер. Интегр и руя уравнение (2. 1 ) при начальном условии: в момент времени t =0 N(t) =0, и полагая, что за время облучения в каждый момент количество образ о вавшихся а к тивных ядер много меньше количества ядер стабильного изотопа, получаем:

Отсюда следует, что при увеличении времени облучения ( t →∞) число а к тивных ядер, накопленных в образце, стремится к своему предельному знач е нию . Если время облучения будет составлять 8÷10 периодов п о лураспада, то N(t) будет отличаться от N max всего на 10 –2 %, и практически мо ж но считать, что достигнуто насыщение образца, при котором число образу ю щихся радиоактивных ядер в единицу времени равно числу ра с падающихся ядер. С дал ь нейшим ростом времени облучения число активных ядер в образце не измен я ется.

Для того, чтобы судить о скорости нарастания числа радиоактивных ат о мов, сл е дят за изменением активности A образца во времени:

Обозначив λ N max как A max − активность насыщения образца (в момент времени t →∞ ), получаем, что активность образца нарастает по экспоне н циальному закону с тем же периодом, что и число радиоактивных ядер:

где – период полураспада, т.е. время, в течение которого акти в ность обра з ца уменьшается в два раза.

Пусть в момент времени t = t 0 облучение образца нейтронами прекрат и лось. Накопившиеся к этому моменту радиоактивные ядра будут ра с падаться по эксп о ненциальному закону:

N = N 0 exp ( –  t ), (2. 5 )

где N 0 – количество радиоактивных ядер, накопившихся к моменту вр е мени t 0 ; t – время c момента окончания облучения;  – постоянная распада.

Изменение активности A образца во времени будет определяться соотношением:

Обозначив  N 0 как A 0 – активность образца после окончания облучения (в момент времени t = t 0 ), получаем, что активность образца убывает по экспоне н циальному закону с тем же периодом, что и число радиоактивных ядер:

На рис. 2.1 показаны нарастание во времени активности в образце при его обл у чении и ее спад при последующем высвечивании.

За изменением активности образца можно следить экспериментально, п о скольку она равна числу испускаемых образцом в единицу времени частиц, к о торые можно регистрировать счетчиками, либо другими приборами. Пусть, н а пример, источник  – –частиц находится около бета–счетчика. Тогда активность исследуемого образца будет пропорциональна числу импульсов, регистриру е мых счетчиком в единицу вр е мени:

Читайте также:  Измерение сахарного диабета алгоритм действий

при распаде − , (2. 8 )

при активации − . (2. 9 )

где n(t) – число импульсов, регистрируемых счетчиком в единицу врем е ни, в момент времени t (скорость счета); n 0 – скорость счета в начальный м о мент времени t = t 0 ; n max − скорость счета в конечный момент времени t →∞ в условиях эксперимента необходимо, чтобы выполнялось условие t > 10 T 1/2 ; отношения и – активность образца в начальный и конечный момент вр е мени, соответственно;  = 0,3 – средняя вероятность регистрации  – –частицы.

Рис. 2.1. Изменение активн о сти о б разца во времени при его облучении и радиоактивном ра с паде

Введение  обусловлено следующими причинами. Во–первых, если а к тивный образец располагается вне чувствительного объема счетчика, после д ний рег и стрирует лишь часть частиц, тем меньшую, чем меньше телесный угол, под которым счетчик виден из источника излучения. Во–вторых, из числа ча с тиц, полетевших в направлении счетчика, часть может быть поглощена в самом источнике, в воздухе на пути к счетчику, либо в стенках счетчика. Наконец н а личие мертвого времени (его называют также временем нечувствительности, разр е шающим временем) у регистрирующей излучение аппаратуры приводит к тому, что часть частиц, прошедших через счетчик, не регистрируется. В ра з личных экспериментах перечисленные факторы м о гут влиять по разному на измеряемую величину. Например, при измерении абсолютной активности о б разца важны все три перечисленных фактора.

Допустим, что в некоторый момент времени t включили на время dt сче т ную установку. Если время измерения много меньше периода полураспада и с следуемого нуклида, то скорость счета можно считать постоянной за время и з мерения dt . Тогда, зная эффективность регистрации  и скорость счета, можно п о строить кривую спада либо нарастания активности образца во времени.

Логарифмируя уравнение (2. 8 ) или (2. 9 ), можно определить постоянную распада и с сл е дуемого нуклида:

при распаде − , (2. 10 )

при активации − . (2. 11 )

Таким образом, нанося значение ln n ( t ) или ln [ n max – n ( t )] на полулогарифмическом граф и ке, получаем прямую линию, тангенс угла наклона которой равен  . Определив та н генс угла наклона, вычисляется период полураспада:

Рассмотренный метод анализа кривой распада или активации называют обычно дифф е ренциальным методом.

В случае если исследуемый образец есть смесь двух изотопов, то накопившееся радиоактивные ядра будут распадаться по следующему закону:

для 1-го изотопа − N 1 = N 01 exp ( –  1 t ),

для 2-го изотопа − N 2 = N 02 exp ( –  2 t ),

для общего количества радиоактивных ядер −

N=N 1 +N 2 = N 01 exp( –  1 t )+ N 02 exp( –  2 t ), (2. 13 )

где N 01 и N 02 − количество радиоактивных ядер накопившихся к моменту времени t 0 1-го и 2-го изотопа, соответственно;  1 и  2 − постоянные распада для 1-го и 2-го изотопа, соответственно; t – время c момента окончания облучения.

В этом случае активность образца будет определяться из соотношения:

где А 1 и А 2 – вклад в активность образца за счет 1-го и 2-го изотопа, соответственно.

Если период полураспада 1-го изотопа много больше периода полураспада 2-го изотопа (>>), то через время t > 10 можно считать, что на активность образца влияет только распад 1-го изотопа, т.е.

где – вклад в активность образца 1-го изотопа в момент времени , – число радиоактивных ядер 1-го изотопа в момент времени t 01 .

Логарифмируя выражение (2. 15 ) можем определить постоянную распада для 1-го изотопа:

где n 01 – вклад 1-го изотопа в скорость счета в м о мент времени .

В результате можно определить вклад в активность образца 1-го изотопа в любой момент времени, а также определить постоянную распада для 2-го изотопа из выражения 14:

где А 01 и А 02 – вклад в активность образца 1-го и 2-го изотопа в момент окончания облучения t 0 .

Логарифмируя выражение (2. 18 ) получим:

где n 02 – вклад 2-го изотопа в скорость счета в момент времени t 0 ; n 1 ( t ) – вклад 1-го изотопа в скорость счета в момент времени t .

По выражению (2. 12 ) определяют периоды полураспада для 1-го и 2-го изотопов.

2.2. Описание экспериментальной установки

Бета–активность образца измеряют с помощью стандартных пересчетных пр и боров. Счетчик ионизирующих частиц преобразует возникающую в его объеме ионизацию от прохождения заряженной частицы в электрические и м пульсы. Импульсы с выхода счетчика подаются на формирователь, преобр а зующий их в стандартные по амплитуде и длительности, необходимые для р а боты пересче т ного устройства. При необходимости формированию импульсов предшествует дополнительное усиление. В качестве бета–счетчика используе т ся сцинтилляционный сче т чик.

Ядерные характеристики индиевых активационных детекторов

Изотопный состав природного и н дия

Сечение актив а ции, барн

Период полураспада радиоактивного пр о дукта

Источник