Меню

Определение отрезка сравнение отрезков



Отрезок

Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, лежащими на этой прямой. Точки, определяющие границы отрезка, называются концами отрезка.

Отрезок обозначается двумя большими латинскими буквами, поставленными при его концах: отрезок AB или BA.

Длина отрезка

Длина отрезка — это расстояние между концами отрезка. Любой отрезок имеет длину, бо́льшую нуля:

Измерение длины отрезка осуществляется путём сравнения данного отрезка с длиной единичного отрезка. Единичный отрезок — это отрезок, длина которого принимается за единицу. Следовательно:

длина отрезка – это положительное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Чаще всего используются единичные отрезки равные 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м или 1 км. Измерить длину отрезка можно линейкой или любым другим прибором для измерения длины:

Свойства длин отрезков:

    Основное свойство длины отрезка: если точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

  • Длины равных отрезков равны.
  • Любой отрезок имеет определённую длину, большую нуля.
  • Равные отрезки

    Равные отрезки — это отрезки, имеющие одинаковую длину. Если наложить равные отрезки друг на друга, то их концы совпадут.

    Пример. Возьмём два отрезка CD и LM:

    Если расположить отрезки параллельно друг над другом так, чтобы точка C была над точкой L, то станет видно, что точка D располагается над точкой М:

    Значит длины отрезков равны, следовательно CD = LM.

    Сравнение отрезков

    Сравнить два отрезка — это значит определить, равны они, или один больше другого.

    Сравнить два отрезка можно, отложив на прямой оба отрезка из одной точки в одну и туже сторону. Для этого можно воспользоваться циркулем.

    Чтобы отложить на прямой отрезок равный данному, сначала помещают ножки циркуля так, чтобы острия их концов упирались в концы отрезка, а затем, не изменяя раствора циркуля, переносят его так, чтобы оба его конца находились на прямой.

    При сравнении двух отрезков возможно получение одного из представленных результатов: отрезки будут равны, первый отрезок будет больше второго или первый отрезок будет меньше второго.

    Пример. Если отложить на прямой от любой точки, например C, в одну сторону два отрезка CA и CB и точка A окажется между точками C и B, то отрезок CA меньше отрезка CB (или CB больше отрезка CA):

    Если точка B окажется между точками C и A, то отрезок CA больше отрезка CB (или CB меньше отрезка CA):

    CA > CB или CB Пример. Сравнить длину отрезков AB и AC.

    Так как отрезок AB имеет большую длину, чем отрезок AC, то

    Так как отрезки AB и AC имеют одинаковую длину, то

    Если при измерении отрезков их длины равны, то и отрезки равны.

    Середина отрезка

    Середина отрезка — это точка, делящая отрезок на две равные части.

    Источник

    Сравнение и измерение отрезков
    план-конспект урока по геометрии (7 класс) на тему

    План конспект к уроку геометрии

    Скачать:

    Вложение Размер
    sravnenie_i_izmerenie_otrezkov.pptx 404.77 КБ
    sravnenie_i_izmerenie_otrezkov.docx 96.46 КБ

    Предварительный просмотр:

    Подписи к слайдам:

    Сравнение и измерение отрезков

    Отрезок Для определения отрезка воспользуемся основным свойством (аксиомой) расположения точек на прямой. А 4 . Из трёх точек на прямой единственная точка лежит между двумя другими. А С В a

    Отрезком называют геометрическая фигура, состоящая из двух точек прямой и всех её точек, лежащих между данными точками. Отрезок обозначается: AB или BA Точки Конца отрезка Внутренние точки отрезка АВ А C D B F P Отрезок AB

    Пользуясь отрезками, мы можем конструировать новые геометрические фигуры. A E D C B F M Q P S W N

    О – внутренняя точка отрезков AB и С D A C O B C

    Отрезки QR и EM имеют общую точку E . Точка Е одновременно является внутренней точкой отрезка QR и концом отрезка EM . R E Q M

    Если отрезок AB не пересекает прямую a , то говорят, что точки A и B лежат по одну сторону от прямой a . Если отрезок CD пересекаются с прямой b во внутренней точке O отрезка CD , то говорят, что точки C и D лежат по разные стороны от прямой b . А B a C D O b c S E

    Ломанная Ломанной называется геометрическая фигура, состоящая из отрезка А 1 А 2 , А 2 А 3 , …, А n-1 A n , последовательно соединяющих точки А 1, А 2 , А 3 , …, А n-1 , A n . А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 А 6 В ершины ломаной Звенья ломанной

    А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 А 6 Концы ломанной Смежные звенья ломаной Два звена ломанной называются смежными , если они имеют общую вершину.

    Ломаная называется простой ломаной, если любые два звена, кроме смежных, не имеют общих точек и никакие два смежных звена не лежат на одной прямой. Ломаная называется замкнутой , если её концы совпадают. A B C D E F K M S R N

    A B C D E W R Q F M S Перерисуйте в тетрадь

    Изображены ломанные, которые НЕ являются простыми, так как некоторые их смежные звенья имеют общие точки. A B F C D M N L K

    Отрезки могут образовывать ломаную, все звенья которой не лежат в одной плоскости. Такая ломаная называется пространственной . Q R P M N A C D F E B S ПРОСТРАНСТВЕННАЯ НЕЗАМКНУТАЯ ЛОМАНАЯ ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАМКНУТАЯ ЛОМАНАЯ

    Луч Пусть О – некоторая точка прямой a . Тогда точка О разделяет множество остальных точек прямой а на два множества, каждое из которых вместе с точкой О называется лучом с началом в точке О . О а

    Лучом называется геометрическая фигура, состоящая из точки прямой и всех её точек, лежащих по одну сторону от данной точки. О Точка начала луча h S P

    Противоположными лучами называются два различных луча одной прямой, имеющие общее начало. а E T D Лучи TD и TE прямой а , являются противоположными. N K

    Сравнение отрезков В практической деятельности для того, чтобы сравнить длины некоторых двух предметов, их прикладывают один к другому. а b Отрезки называются равными, если при наложении они совмещаются.

    Аксиома откладывания отрезка На любому луче от его начала можно отложить единственный отрезок, равный данному. O A B C D

    Серединой отрезка называется точка, делящая его на два равных отрезка. A B C

    Измерение длин отрезков Измерение длин отрезков основано на сравнении их с некоторым отрезком, который принимается за единицу измерения. Длина отрезка – это геометрическая величина, которая показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в измеряемом отрезке.

    Свойства длины отрезков 1) При выбранной единице измерения каждый отрезок имеет длину, которая больше нуля. 2) При выбранной единице измерения для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом. 3) Равные отрезки имеют равные длины. 4) Отрезки, имеющие равные длины, равны. 5) Длина отрезка равна сумме длин отрезков, на которые он делится любой точкой. Длина ломаной называется сумма длин её звеньев.

    Назовите отрезки из которых состоит отрезок АВ. A C K M B AB = AC + CK + KM + MB ; KM = MB .

    Расстоянием между двумя точками называется длина отрезка , соединяющего данные точки. Если две точки совпадают , то расстояние между ними считается равным нулю .

    Точка О разбивает отрезок АВ на два отрезка. Вычислите длину отрезка АВ, если АО = 17,1 см, ОВ = 3,8 см. Дано : Решение: Так как Ответ: 20,9 см. О А В

    Окружность и круг

    Окружность и круг Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии от данной точки этой плоскости. О – точка центр центр О А Радиус Радиусом окружности называется отрезок, соединяющие центр окружности с какой – либо точкой окружности

    Хордой окружности называется отрезок, соединяющий две точки окружности. А B C D

    Диаметром окружности называется хорда, проходящая через центр окружности. O F S

    Дугой окружности называется каждая их частей, на которые делят окружность любые две её точки. N M O V X

    Кругом называется геометрическая фигура, состоящая из окружности и части плоскости, ограниченной этой окружности. Круг

    Плоская геометрическая фигура называется ограниченной , если все её точки принадлежат некоторому кругу, и называется неограниченной , если не существует круга, содержащего все точки этой фигуры. A B C D F S N

    Окружность с центром в точке О и радиусом R называется границей круга с центром в точке О и радиусом R . О R

    1 2 3 4 5 6 круг Окружность центр хорда радиус диаметр

    Дана окружность с центром в точке О. АВ и BD хорды. Что такое AD и OB ? AB = 5 см, АО = АВ, Найти AD, OB и периметр треугольника ABD . A B D O

    Начертите окружность радиусом 6см, и точки A, B, K, P, M, N, O, так что бы: A К – хорда; KM – хорда; OM – радиус; KB – диаметр; BP – хорда; NK – хорда; AB –хорда; NP – диаметр. A N M P K O B

    Источник

    Как сравнить два отрезка: способы и примеры

    Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками, кратчайшее расстояние между этими точками. Существует несколько способов сравнения геометрических фигур, выбор такого способа зачастую зависит не только от условия задачи, но и от возможностей. Как же сравнивать отрезки, расскажем в этой статье.

    Способы сравнения двух отрезков

    В геометрии две фигуры, имеющие одинаковый размер и форму, называются равными. Сравнение фигур дает возможность сказать, одинаковы ли они. Одним из способов является наложение. Если фигуры удается совместить наложением, они считаются равными.

    Сравнить фигуры — значит, определить, которая из них длиннее или короче. Ответ должен быть определенным, нельзя сказать, что один отрезок длиннее или равен второму. В математике такой ответ неправилен, его можно приравнять к отсутствию ответа.

    Записывают результат сравнения с помощью знаков больше, меньше и знака равенство (>; АБ.

    Сравнивать фигуры можно разными способами, выбор которых зависит от возможностей или условий:

    • визуальный способ;
    • измерительный;
    • сравнение наложением;
    • сравнение в координатной сетке.

    Лучше всего, если они различаются по длине визуально, и, просто посмотрев на них, вы можете сказать, который длиннее. Но так бывает не всегда.

    Измерение длины

    Самый простой способ — измерение. Для этого можно использовать линейку, просто измерив длину отрезка, мы поймем, который из них длиннее. Если нет линейки, но они начерчены на листе в клетку, для измерения их длин можно посчитать клетки. В одном сантиметре две клетки. Это метод сравнения измерением длин, но есть еще метод сравнения наложением.

    Обратите внимание: что такое луч в геометрии.

    Наложение друг на друга

    Как происходит совмещение АБ и ВГ:

    • Нужно конец, А одного из них совместить с концом В другого, если совпадают и другие концы этих отрезков — Б и Г, значит, они равны, что записывается с помощью знака равно.
    • Если нет, значит, один из них длиннее другого, и записывается это также с помощью математических знаков больше или меньше (> или

    Сравнение в координатной сетке

    Допустим, что у нас есть два отрезка, координаты которых мы знаем — а (Х1, Y1; Х2, Y2) и b (Х3, Y3; X4, Y4).

    Первое, что нужно сделать — придать координатам числовые значения:

    • Длина, а — Da = √((X1 — X2) ² + (Y1 — Y2) ²);
    • Длина b — Db = √((X3 — X4) ² + (Y3 — Y4) ²).

    Пусть X1 = -7, Y1 = 4, X2 = 3, Y2 = -4, X3 = -3, Y3 = -5, X4 = 0, Y4 = -3. Получаем:

    Da = √ ((-7 — 3) ² + (4 — (-4)) ²) = √ (-10 ² + 8 ²) = √ 100 + 64 = √ 164

    Db = √ ((-3 — 0) ² + (-5 — (-3)) ²) = √ (-3 ² + (-8) ²) = √ (9+ 64) = √ 73

    √ 164 > √ 73, значит, Da > Db.

    Также можно сравнить отрезки, находящиеся в трехмерной системе координат, надо учитывать не две, а три координаты каждого из них.

    Примеры

    Рассмотрим сравнение методом наложения. У нас имеется два отрезка — АБ и ВГ.

    Чтобы узнать, равны они или нет, просто приложим их друг к другу так, чтобы их «начала» были в одной точке, то есть совместим точки, А и В.

    Если мы видим, что АБ получается частью ВГ, значит, он меньше, то есть АБ 2, значит, CD>AB, то есть отрезок CD длиннее AB.

    Источник

    Сравнение отрезков

    Одной из простейших геометрических фигур является отрезок. Для того чтобы сравнивать отрезки, можно использовать два способа:

    Метод наложения:

    Пусть нам даны два отрезка AB и СD:

    Совместим начало отрезка AB и СD (точки A и С).

    Затем повернем отрезок СD так, чтобы он совпал с отрезком AB.

    Мы видим, что отрезок СD составляет часть отрезка AB, следовательно, мы можем сделать вывод, что отрезок AB больше отрезка СD.

    Если точка делит отрезок на равные отрезки, то эту точку называют серединой отрезка.

    MK = KV, K — середина отрезка.

    Рассмотрим еще одну пару отрезков HG и ST.

    Совместим начало отрезка HG и ST.

    Затем повернем отрезок ST так, чтобы он совпал с отрезком HG.

    В данном случае мы видим, что совпали не только точки S и H (начала отрезков HG и ST), но и точки G и T (концы отрезков HG и ST), то есть отрезки совпадают, а нам известно, что две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

    Вывод:

    Измерение длин:

    Для измерения отрезков, необходимо наложить на него единичные отрезки, и длиннее будет считаться тот отрезок, которому соответствует большее число единичных отрезков.

    Пример: Пусть у нас есть единичный отрезок. Рассмотрим три отрезка QL, FJ и PO.

    Наложим единичный отрезок на данные.

    Посчитаем, какое количество единичных отрезков накладывается на каждый из отрезков, получаем: QL = 5 ед.от., FJ = 3 ед.от., PO = 5 ед. от.

    Сравним отрезки: QL > FJ (т.к. 5 > 3), FJ

    • Если при наложении отрезков оба их концасовмещаются, значит отрезкиравны.
    • Если при измерении отрезков их длиныравны, то отрезки равны.

    Поделись с друзьями в социальных сетях:

    Источник

    Как сравнить длины отрезков?

    Сравнить 2 отрезка на плоскости — это типичная задача по геометрии для учеников 7 класса. Существует несколько разных методов выполнения данного сравнения, и мы подробно расскажем о каждом из них.

    Подобного рода задачи выполняются элементарно и являются основой для изучения дальнейшего материала. Стоит один раз запомнить этот несложный процесс, и в дальнейшем уже не возникнет никаких трудностей с аналогичными заданиями.

    Метод наложения

    Одной из простейших геометрических фигур является отрезок . Для того чтобы сравнивать отрезки, можно использовать два способа:

    Пусть нам даны два отрезка AB и СD:

    Совместим начало отрезка AB и СD (точки A и С).

    Затем повернем отрезок СD так, чтобы он совпал с отрезком AB.

    Мы видим, что отрезок СD составляет часть отрезка AB, следовательно, мы можем сделать вывод, что отрезок AB больше отрезка СD.

    Если точка делит отрезок на равные отрезки, то эту точку называют серединой отрезка.

    MK = KV, K — середина отрезка.

    Рассмотрим еще одну пару отрезков HG и ST.

    Совместим начало отрезка HG и ST.

    Затем повернем отрезок STтак, чтобы он совпал с отрезком HG.

    В данном случае мы видим, что совпали не только точки S и H (начала отрезков HG и ST), но и точки G и T (концы отрезков HG и ST), то есть отрезки совпадают, а нам известно, что две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

    Вывод:

    Измерение длин:

    Для измерения отрезков, необходимо наложить на него единичные отрезки, и длиннее будет считаться тот отрезок, которому соответствует большее число единичных отрезков.

    Пример: Пусть у нас есть единичный отрезок. Рассмотрим три отрезка QL, FJ и PO.

    Наложим единичный отрезок на данные.

    Посчитаем, какое количество единичных отрезков накладывается на каждый из отрезков, получаем: QL = 5 ед.от., FJ = 3 ед.от., PO = 5 ед. от.

    Сравним отрезки: QL > FJ (т.к. 5 > 3), FJ https://budu5.com/manual/chapter/3301

    Как сравнить 2 отрезка: способы решения задачи

    Что такое отрезок

    Прежде чем рассказать, как сравнить 2 отрезка, давайте разберем, что такое отрезок на плоскости.

    Определение из учебника по геометрии гласит, что отрезок — это часть прямой, которая с двух сторон ограничивается двумя точками.

    Если рассматривать одну прямую, отрезком будет считаться множество, которое состоит из двух разных точек этой прямой (собственно, концов отрезка), а также остального множества из всех точек, которые располагаются между ними (так называемых внутренних точек).

    Сравнение двух отрезков

    Итак, в вопросе о том, как сравнить 2 отрезка, можно выделить следующие методы:

    • Наложение. Для того чтобы выполнить сравнение двух отрезков, нужно выполнить наложение одного из них на другой. Соответственно, тот отрезок, который будет содержать внутри себя второй отрезок целиком, больше. Если концы этих отрезков совпали — значит, их длины равны.
    • Второй способ, как сравнить 2 отрезка в геометрии — это выяснить, на какое количество единиц отличается их длина. Для этого нужно при помощи линейки с одинаковыми значениями провести измерение сначала одного отрезка, затем другого, и из первого результата вычесть второй.

    В том случае, если разность составит положительное число, значит, первый отрезок длиннее второго на соответствующее количество единиц. Если в результате получено нулевое значение — отрезки равны. А если в ответе отрицательное число, следовательно, второй отрезок длиннее первого.

    Вывод

    Итак, мы выяснили, как сравнить 2 отрезка. Первый способ указывает только на то, какой из них будет длиннее, а какой — короче, а второй показывает числовое значение разницы в длине.

    Прямая и отрезок, измерение и сравнение отрезков

    Понятие прямой, также как и понятие точки является основными понятиями геометрии. Как известно основные понятия не определяется. Это не является и исключением для понятия прямой. Поэтому рассмотрим суть этого понятия через его построение.

    Возьмем линейку и, не отрывая карандаша, проведем линию произвольной длины.

    Полученную линию мы и будем называть прямой. Однако тут необходимо отметить, что это не вся прямая, а только её часть. Всю же прямую построить не имеется возможным, она является бесконечной на обоих своих концах.

    Прямые будем обозначать маленькой латинской буквой, либо двумя её точками в круглых скобках.

    Понятия прямой и точки связаны тремя аксиомами геометрии:

    • Аксиома 1: Для каждой произвольной прямой существует как минимум две точки, которые на ней лежат.
    • Аксиома 2: Можно найти как минимум три точки, которые не будут лежать на одной и той же прямой.
    • Аксиома 3: Через $2$ произвольные точки всегда проходит прямая, причем эта прямая единственна.

    Для двух прямых актуально их взаимное расположение. Возможны три случая:

    1. Две прямые совпадают. В этом случае каждая точка одной будет также и точкой другой прямой.
    2. Две прямые пересекаются. В этом случае только какая-то одна точка из одной прямой будет также принадлежать и другой прямой.
    3. Две прямые параллельны. В этом случае у каждой из этих прямых свой набор различных друг от друга точек.

    В этой статье мы не будем подробно останавливаться на этих понятиях.

    Отрезок

    Пусть нам дана произвольная прямая и две точки, принадлежащие ей. Тогда отрезком будет называться часть прямой, которая ограничена двумя ее произвольными различными точками. Точки, которыми ограничен отрезок в рамках определения 1 называются концами этого отрезка.

    Отрезки будем обозначать двумя её точками концов в квадратных скобках.

    Сравнение отрезков

    Рассмотрим два произвольных отрезка. Очевидно, что они могут быть либо равными, либо неравными. Чтобы разобраться в этом, нам нужна следующая аксиома геометрии.

    Аксиома 4: Если оба конца двух различных отрезков совпадут при их наложении, то такие отрезки будут равными.

    Итак, для сравнения выбранных нами отрезков (обозначим их отрезок 1 и отрезок 2) наложим конец отрезка 1 на конец отрезка 2, так, чтобы, отрезки оставались по одну сторону от этих концов. После такого наложения возможны два следующих случая:

    1. Вторые концы этих отрезков также совпадут. В таком случае по аксиоме 5 мы получим, что такие отрезки будут равны друг другу.
    2. Вторые корцы не совпадут. Здесь, без ограничения общности, будем считать, что конец отрезка 1 будет принадлежать отрезку 2. Тогда здесь мы говорим, что данные отрезки не равны, причем отрезок 1 короче отрезка 2.

    Как сравнить длины отрезков: наложение и измерение, объяснение и примеры

    Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками, кратчайшее расстояние между этими точками. Существует несколько способов сравнения геометрических фигур, выбор такого способа зачастую зависит не только от условия задачи, но и от возможностей. Как же сравнивать отрезки, расскажем в этой статье.

    Способы сравнения двух отрезков

    В геометрии две фигуры, имеющие одинаковый размер и форму, называются равными. Сравнение фигур дает возможность сказать, одинаковы ли они. Одним из способов является наложение. Если фигуры удается совместить наложением, они считаются равными.

    Сравнить фигуры — значит, определить, которая из них длиннее или короче. Ответ должен быть определенным, нельзя сказать, что один отрезок длиннее или равен второму. В математике такой ответ неправилен, его можно приравнять к отсутствию ответа.

    Записывают результат сравнения с помощью знаков больше, меньше и знака равенство (>; АБ.

    Это интересно: как разложить на множители квадратный трехчлен?

    Сравнивать фигуры можно разными способами, выбор которых зависит от возможностей или условий:

    • визуальный способ;
    • измерительный;
    • сравнение наложением;
    • сравнение в координатной сетке.

    Лучше всего, если они различаются по длине визуально, и, просто посмотрев на них, вы можете сказать, который длиннее. Но так бывает не всегда.

    Измерение длины

    Самый простой способ — измерение. Для этого можно использовать линейку, просто измерив длину отрезка, мы поймем, который из них длиннее. Если нет линейки, но они начерчены на листе в клетку, для измерения их длин можно посчитать клетки. В одном сантиметре две клетки. Это метод сравнения измерением длин, но есть еще метод сравнения наложением.

    Наложение друг на друга

    Как происходит совмещение АБ и ВГ:

    • Нужно конец, А одного из них совместить с концом В другого, если совпадают и другие концы этих отрезков — Б и Г, значит, они равны, что записывается с помощью знака равно.
    • Если нет, значит, один из них длиннее другого, и записывается это также с помощью математических знаков больше или меньше (> или √ 73, значит, Da > Db.
    • Также можно сравнить отрезки, находящиеся в трехмерной системе координат, надо учитывать не две, а три координаты каждого из них.

    Источник

    Читайте также:  Сравнение таблица размер одежды европа