Меню

Оценка точности по разностям двойных равноточных измерений превышений



Оценка точности результатов равноточных измерений по разностям двойных измерений. Формулы, порядок вычислений.

На практике часто производят 2-ые равноточные измерения.

Пусть некоторые однородные величины измерены дважды и получены результаты: l1 ‘ ,l2 ‘ …ln ‘ и l » 1,l2 » …ln » .

При абсолютно точных измерениях разности этих величин должны быть равны 0. Из-за влияния различных ошибок этого не получается, если предположить, что влияние оказывают только случайные ошибки, то разности можно считать случайными ошибками. d=li ‘ -li «

Значит по ним как по случайным ошибкам можно вычислить СКО с применением формулы Гаусса:

Формула для определения СКО одного измерения: ml=√([d 2 ]/2n)

Для оценки точности требуется вычислить СКО вероятнейшего значения получаемого через разность 2-ных измерений: ml=0.5√([d 2 ]/n)

Эти формулы справедливы когда в измерениях отсутствуют систематические ошибки. Если есть систематическая ошибка то ее нужно определить и исключить. Если бы в разностях не было случайных ошибок, а была бы одна систематическая, то все разности равнялись бы систематической ошибке, тогда наиболее надежное значение систематической ошибке получается по формуле арифметического среднего θ =[d]/n. Исключая величину систематической ошибки из разности получим остаточные разности ∂i=di— θ, которые имеют тот же смысл, что и вероятнейшие ошибки. Поэтому можно применять формулы Бесселя. md=√[∂ 2 ]/n-1, me=md/√2, ml=√[∂ 2 ]/2(n-1), mL=0.5√[∂ 2 ]/n-1. Правильность вычислений контролируют по формулам: [∂]=0, [θ 2 ]=[d 2 ]-[d 2 ]/n, [∂ 2 ]=[ ∂d].

18. Средняя квадратическая ошибка арифметической середины. Вывод формулы.

Для вывода этой формулы примем

Т.к. в этой формуле на основании свойства случайных ошибок удвоенные произведения могут иметь разные знаки и при возрастании числа сумма их будет стремиться к 0, поэтому отбросив их получим приближенное равенство. M 2 =(∆1 2 +∆2 2 +…+∆n 2 )/n 2 =[∆ 2 ]/n 2 .

Следовательно, СКО арифметической середины равноточных измерений одной и той же величины в √n раз меньше СКО одного измерения. Следовательно, вероятнейшее значение будет наиболее точным по сравнению с каждым результатом измерения.

19.СКО функции общего вида: U = F ( X 1 , X 2 ,…, XN ). Вывод формулы.

U=f(X1,X2,…,Xn), где X1,X2,Xn — непосредственно измеренные величины содержащие ошибки ∆х1,∆х2,∆хn. Если меняются значения аргументов функции на величину ошибки, то меняется и сама функция U+∆U=f(x1+∆х12+∆х2,,хn+∆хn) Раскладывая правую часть в ряд Тейлора и ограничиваясь первыми его членами, содержащими лишь первые степени малых ошибок, получаем: U+∆U=f(x1,x2,…,xn) + (∂f/∂x)∆x1+(∂f/∂x2)∆x2+…+(∂f/∂xn)∆xn.

20.СКО функции вида U = KX ( K — const ). Вывод формулы.

U=KX, где K-const, х -непосредственно измеряемая величина, полученная в результате однократного измерения со случайной ошибкой ∆x: U+∆U=K(x+∆x), где ∆U-случайная ошибка ∆U=K∆x.

При многократном измерении величины Х получим ряд соотношений:

Возведем в квадрат каждый член функций, сложим и разделим на n:

[∆U 2 ]/n = K 2 [∆x 2 ]/n

m 2 u=K 2 m 2 x ; mu=Kmx – величина С.К.О, произведение с постоянным множителем.

Функция имеет следующий вид: U=K1X1+ K2X2+…+ KnXn , где К1, К2n –постоянные величины для каждой группы измерений. X1, X2, Xn – независимые величины в каждой группе измерений, определенные со С. К.О. m1, m2 … mn.

21. СКО функцийй вида U = X + Y . Вывод формулы.

U=X±Y (1), где х,у -независимые величины, полученные в результате однократных непосредственных измерений. Если измеренные величины были определены со случайными ошибками, то тогда и сумма их будет содержать ошибку

Читайте также:  Как настроить бесконтактный термометр для измерения температуры тела

Вычтем из (2)-(1) ∆U=∆x+∆y.

При многократных непосредственных измерениях каждой величины получим ряд ошибок и ряд уравнений функций ∆U1=∆x1+∆y1,

Возведем в квадрат и сложим почленно и остаток разделим на n. При многократных измерениях каждой величины произведение обладает всеми свойствами и при увеличении числа измерений, произведение стремится к нулю. [∆U 2 ]=[∆x 2 ]+[∆y 2 ]+2[∆x∆y].

[∆U 2 ]/n =[∆x 2 ]/n+[∆y 2 ]/n,

mU=√(mx 2 +my 2) — формула для алгебраической суммы независимых величин.

Источник

2.3. Оценка точности по разностям двойных равноточных измерений

Если произведен ряд однородных парных измерений , то рассматривая разности di как истинные ошибки самих разностей

, (2.1)

можно вычислить среднюю квадратическую ошибку разности

.

Средняя квадратическая ошибка одного измерения определится по формуле [ 1 ]:

. (2.2)

Средняя квадратическая ошибка среднего из парных измерений составит:

. (2.3)

Эти формулы применяются при отсутствии систематических ошибок. В качестве критерия влияния систематических ошибок используют следующие условие:

. (2.4)

При наличии систематических ошибок вычисляют их среднее значение

. (2.5)

Исключая величину из разностейdi, получают значения

, (2.6)

которые, будут свободны от систематического влияния.

При этом следует иметь в виду, что поскольку d является средним арифметическим значением разностей, а, следовательно, di отклонения от арифметической средины. Поэтому для нахождения средней квадратической ошибки разности можно воспользоваться формулой:

. (2.7)

Средняя квадратическая ошибка одного измерения в этом случае составит:

, (2.8)

а ошибка среднего из парных значений результатов измерений

. (2.9)

2.4. Оценка точности по разностям двойных неравноточных измерений

Оценка точности ряда парных неравноточных измерений производится по формуле

, (2.10)

в которой веса разностей определяются согласно

, (2.11)

где — веса результатов измерений.

Если , то, тогда

. (2.12)

При наличии систематических ошибок в разностях двойных неравноточных измерений определяют значение d:

. (2.13)

Ошибка единицы веса определится согласно формуле:

(2.14)

, (2.15)

где — значения разностей, свободные от систематического влияния.

Критерием применимости формул (2.12) и (2.14) служит условие:

. (2.16)

В противном случае используют формулы (2.14) и (2.15).

Задача 2.2. В табл. 3 приведены результаты двойного нивелирования девяти ходов. Оценить точность выполненных работ по разностям двойных измерений.

, мм

, мм

Источник

1.5. Оценка точности по разностям двойных измерений

Средняя квадратическая ошибка измерения, вычисляемая по разностям двойных равноточных измерений при отсутствии систематических ошибок:

(29)

где d– разность измерений;

n– число пар измерений.

При наличии систематических ошибок

(30)

где , а систематическая ошибка

Систематические ошибки можно не учитывать, если выполняется условие

Средняя квадратическая ошибка единицы веса, вычисляемая по разности двойных неравноточных измерений при отсутствии систематических ошибок:

(31)

где р– вес парных измерений.

Оценка точности линейных измерений производится по разностям двойных измерений линий.

Коэффициент остаточного систематического влияния линейных измерений

(32)

Средняя квадратическая ошибка единицы веса (коэффициент случайного влияния)

(33)

где ,

(34)

(35)

Если при вычислении по формуле (32) отброшен остаток r, то

(36)

Пример 15.Даны результаты прямого и обратного измерения линий различной длины (табл. 14), определить коэффициенты систематического и случайного влияния.

Т а б л и ц а 14. Оценка точности по разностям двойных измерений

Источник

Оценка точности по разностям двойных измерений и по невязкам в полигонах и ходах

3.5 Оценка точности по разностям двойных измерений и по невязкам в полигонах и ходах.

Читайте также:  Автоматизированный стенд для измерения шероховатости

В практике геодезических работ часто одну и ту же величину измеряют дважды. Например, стороны теодолитного хода в прямом и обратном направлении, углы двумя полуприемами, превышения – по черной и красной стороне вех. Чем точнее произведены измерения, тем лучше сходимость результатов в каждой паре.

где d – разности в каждой паре; n – количество разностей.

Если измерения должны удовлетворять какому-либо геометрическому условию, например, сумма внутренних углов треугольника должна быть 180˚, то точность измерений можно определить по невязкам получающимся в результате погрешностей измерений.

где — СКП одного угла;

f – невязка в полигоне;

N – количество полигонов;

n – количество углов в полигоне.

4. Определение дополнительных пунктов

4.1 Цель и методы определения дополнительных пунктов

Дополнительные пункты определяются наряду со съемочной сетью в основном для сгущения существующей геодезической сети пунктами съемочного обоснования. Они строятся прямыми, обратными, комбинированными, а при наличии электронных дальномеров – линейными засечками и лучевым методом.

В некоторых случаях дополнительный пункт определяется передачей (снесением) координат с вершины знака на землю.

4.2 Передача координат с вершины знака на землю. (Решение примера)

При производстве топографо-геодезических работ в городских условиях невозможно бывает установить теодолит на пункте геодезической сети (пунктом является церковь, антенна и т.п.). Тогда и возникает задача по снесению координат пункта триангуляции на землю для обеспечения производства геодезических работ на данной территории.

Исходные данные: пункт A с координатами XA, YA; пункты геодезической сети B (XB, YB) и C (XC, YC).

Полевые измерения: линейные измерения выбранных базисов b1 и b’1; измерения горизонтальных углов ß1 , ß’1 , ß2 , ß’2 ; б , б’.

Требуется найти координаты точки P – XP, YP.

Решение задачи разделяется на следующие этапы:

Источник

Оценка точности по разностям двойных равноточных измерений

Классификация ошибок измерения

Элементы теории ошибок измерения

Измерения в геодезии

Рис. 12. Схемы реше

Понятие «Измерения»

Процесс определения численных значений соответствующей величины с помощью приборов называется измерением. Следовательно, для проведения измерений необходимо знать единицу измерения и способы её получения, которые разделяются на прямые и косвенные. Так, например, при измерениях длины с помощью проградуированной линейки мы непосредственно прикладываем линейку к измеряемому объекту и прямо получаем его длину. При косвенных измерениях используется известная зависимость между искомой и непосредственно измеряемой величиной, например, температура тела косвенно связана с расширением ртути в термометре.

Наука об измерениях, методах достижения их единства и требуемой точности называется метрологией. К основным проблемам этой науки относятся образование систем единиц измерения, разработка методов и средств измерений с определением их точности, создание эталонов соответствующих единиц, а также проверка измерительных приборов и методов измерений. Исторически научная метрология зародилась после установления в Париже эталона метра в конце 18 века и создания Гауссом абсолютной системы единиц (1832 г.)

В геодезии основными измерениями являются измерения геометрических величин, а именно длин и углов.

В геодезии при измерениях геометрических величин соответствующими приборами неизбежно возникают ошибки. Природа ошибок геодезических измерений вытекает из свойств измерительных приборов и субъективных особенностей операторов, пользующихся этими приборами. Ошибки первого рода носят название грубых промахов. К ним относятся просчеты оператора по причине его невнимательности или неисправности самого прибора. Ошибки первого рода недопустимы в геодезических измерениях и должны быть исключены полностью. Грубые промахи выявляются в процессе повторных измерений и внимательном анализе их результатов.

Читайте также:  Моточас это единица измерения

Ошибки второго рода называются систематическими. Эти ошибки происходят от известного источника, влияние которого можно учесть и откорректировать результаты измерения с помощью изменения методики получения результата.

Ошибки третьего рода носят название случайных ошибок. Они обусловлены, с одной стороны, классом точности геодезических измерительных приборов, состоянием окружающей среды и индивидуальными особенностями оператора, производящего измерения. Влияния ошибок измерения третьего рода избежать невозможно, но эти ошибки можно оценить с помощью методов математической статистики или теории ошибок. В основу теории ошибок положены следующие свойства:

1. Малые ошибки встречаются гораздо чаще, чем большие.

2. Ни одна из ошибок не может превышать известного предела.

3. При измерениях случайные ошибки могут быть больше или меньше истинной величины.

4. Сумма ошибок, деленная на число измерений, стремится к нулю при бесконечном возрастании числа измерений.

Математическое ожидание (Арифметическая середина), вероятнейшая ошибка измерения, средняя квадратическая ошибка.

Пусть, например, в геодезии измерена длина линии одним и тем же прибором несколько раз. В этом случае, зная сколько раз была измерена длина и её численные значения, полученные в каждом измерении, можно рассчитать среднее арифметическое значение по результатам полученных измерений.

Где X – математическое ожидание или вероятнейшее значение измеренной величины, li – результат каждого измерения, n – общее число измерений.

Разности между математическим ожиданием и численным значением результата каждого измерения называются вероятнейшими ошибками измерений:

Сложив равенства (2) получим:

То есть арифметическая сумма вероятнейших ошибок измерения равна нулю. Этот факт является контролем при вычислениях точности измерений.

Для расчетов точности результатов измерений используется понятие о средней квадратической ошибке, которая для одного измерения вычисляется по формуле:

Где — сумма квадратов вероятнейших ошибок; n – число измерений. Средняя квадратическая ошибка математического ожидания вычисляется по формуле:

Предельная ошибка случайной величины не должна превышать утроенной средней квадратической ошибки, то есть:

В геодезии принято представлять результаты оценки точности измерений в виде таблиц. Рассмотрим результаты измерений длины линии.

Длина линии Ошибка измерения (см) Квадрат ошибки
225,26 +6
225,23 +3
225,22 +2
226,14 -6
225,23 +3
225,12 -8

Xср = 225, 20; Σ = 0; Σ = 158; Вычислим среднюю квадратическую ошибку одного измерения: m = 5,6 см; Рассчитаем среднюю квадратическую ошибку математического ожидания: M = 2,3 см.

В геодезии принято оценивать точность измерения длины по так называемой относительной ошибке, которую вычисляют с помощью деления абсолютной ошибки на длину линии. Для приведенного примера: 2,3/22 520 = 1/9800.

Предположим, что несколько линий измерено стальной лентой дважды, а именно: в прямом и обратном направлении. Сформируем соответствующую таблицу:

Результаты измерений м; Разности см; Квадраты разностей См 2
X1 X2
186,15 186,34 -19
204,50 204,30 +20
151,83 151,97 -14
216,08 215,85 +23
168,54 168,65 -11

Вычислим сумму квадратов разностей Σ = 1615. Далее рассчитаем среднюю квадратическую ошибку одного измерения:

M = …. = 3,22 см. Вычислим среднюю квадратическую ошибку среднего из двух измерений: 3,22/… = 2,28 см.

Источник