Меню

Оценка точности результатов неравноточных измерений



Оценка точности результатов неравноточных измерений

При неравноточных измерениях нельзя принимать в обработку среднее арифметическое из результата ряда наблюдений, т. к. необходимо учитывать достоверность каждого результата. Более точные измерения должны оказывать большее влияние на окончательный результат.

Для обработки результатов неравноточных измерений вводят понятие о математическом весе измерения. Вес определяет степень надежности результатов измерений. Чем точнее результат измерений, тем больше его вес. Точность результата измерения характеризуется его средней квадратической ошибкой. Следовательно, чем меньше средняя квадратическая ошибка результата измерения и чем больше его вес, тем надежнее результат.

Таким образом, вес результата измерения р – это величина обратно пропорциональная квадрату средней квадратической ошибки, характеризующей результат данного измерения.

Если ряд неравноточных измерений l1; l2; …; ln, а их средние квадратические ошибки имеют значения m1; m2; …; mn, то соответствующие им веса, будут где с – некоторая постоянная величина, число произвольное, но одно и тоже при определении значений всех весов.

Обозначим вес среднего арифметического, полученного из n измерений Р, а вес одного измерения – p, тогда

Следовательно, вес арифметической середины в n раз больше веса каждого отдельного результата измерения.

Пусть некоторая величина Х измерена n раз в различных условиях. При этом получены результаты l1 с весом p1 , l2 с весом p2, и т. д. соответственно. Тогда наиболее вероятным значением будет среднее весовое или общее арифметическое среднее (общая арифметическая середина), вычисляемое по формуле .

Общей арифметической серединой или весовым средним неравноточных измерений называется сумма произведений результата каждого измерения на его вес, разделенная на сумму весов.

Истинные значения измеряемых величин, как правило, неизвестны, поэтому при оценке точности результатов неравноточных измерений используют вероятнейшие ошибки.

Средняя квадратическая ошибка единицы веса µ определяется по формуле , где υ – вероятнейшая ошибка (уклонение от общей арифметической середины) υ = l – L ; n – число измерений.

Средняя квадратическая ошибка весового среднего или общей арифметической средней М вычисляется по формуле , где Р – сумма весов.

Свойства случайных ошибок

Если одну и ту же величину, истинное значение х которой известно, многократно определить с равной точностью, то получим ряд измерений l1, l2, … ln. Каждое измерение будет иметь свою случайную ошибку Δ1, Δ2, … Δn, т. е. l1— х = Δ1; l2— х = Δ2; …; ln— х = Δn.

Полученный ряд случайных ошибок обладает определенными статистическими свойствами:

1. Свойство симметричности, т. е. равные по абсолютной величине, но разные по знаку ошибки встречаются в рядах результатов измерений одинаково часто.

2. Свойство унимодальности или сосредоточения, т. е. малые по абсолютному значению ошибки встречаются чаще чем большие.

3. Свойство ограниченности, т. е. абсолютное значение случайных ошибок результатов измерений не может быть больше некоторого известного предела (предельной погрешности) Δi £ Δ пред. Величина предельной погрешности устанавливается инструментами.

4. Свойство компенсации, т. е. среднее арифметическое из всех случайных ошибок ряда измерений при неограниченном увеличении числа измерений, стремится к нулю , где Δ – случайные ошибки, n – количество измерений.

Читайте также:  Как с помощью штангенциркуля измерить линейные размеры тел

Если суммы обозначить квадратными скобками [ ] (символ сумм Гаусса), то можно записать .

Если на оси ординат (рис. 4.1) отложить величины случайных ошибок, а на оси абсцисс – число ошибок ряда измерений и через полу­ченные точки провести кривую линию, то по­лучим график распределения случайных оши­бок, который характеризует указанные свойства. Из графика случайных ошибок следует, что большее число случайных ошибок располо­жено в пределах их значений от –1 до +1.

Источник

Неравноточных измерений

Математическая обработка результатов прямых

Веса измерений. Неравноточными называют измерения, выполненные приборами различной точности, разным числом приемов, в различных условиях.

При неравноточных измерениях точность каждого результата измерений характеризуется своей среднеквадратической погрешностью. Наряду со средней квадратической погрешностью при обработке неравноточных измерений пользуются относительной характеристикой точности – весом измерения. Вес i-го измерения вычисляют по формуле

(5.9)

где с – произвольная постоянная, назначаемая вычислителем, mi – средняя квадратическая погрешность i-го измерения.

Так, имея ряд результатов измерений l1, l2, . ln , со средними квадратическими погрешностями m1 , m2 , . mn , определяют их веса:

Часто постоянную с для удобства дальнейших вычислений назначают так, чтобы веса pi оказались целыми числами.

Рассмотрим смысл произвольной постоянной с. Предположим, что в результате фиксирования значения с вес j-го измерения стал равен 1, то есть pj = c / mj 2 = 1. Отсюда находим c = mj 2 . Следовательно, постоянная с есть квадрат средней квадратической погрешности m 2 такого измерения, вес которого принят за единицу (с = m 2 ).

Теперь (5.9) можем записать так

. (5.10)

Кратко m называют средней квадратической погрешностью единицы веса.

Вес арифметической средины. Рассмотрим вес арифметической средины равноточных измерений. Примем в формуле (5.8) за единицу вес одного измерения, то есть m = m, и запишем .

Тогда согласно (5.10) вес Р арифметической средины L будет равен

P = = n. (5.11)

Вывод. Если за единицу веса принят вес одного измерения, то согласно (5.11) вес арифметической средины равен числу измерений.

Следствие. Если результат l измерения имеет вес р, то можем считать, что l является средним арифметическим из р измерений с весом 1.

Общая арифметическая средина результатов неравноточных измерений. Пусть имеем результаты многократных неравноточных измерений одной величины: l1, l2, …, ln, выполненных с весами p1, p2, …, pn.

Представим каждый из результатов li (i = 1, 2, …, n) как среднее из pi результатов с весом 1. Получим такой ряд результатов равноточных измерений:

Нами составлен ряд результатов равноточных измерений, позволяющий найти окончательное значение измеряемой величины как среднее арифметическое из всех результатов измерений

. (5.12)

Значение, вычисляемое по формуле (5.12), называют общей арифметической срединой или весовым средним.

Оценки точности результатов неравноточных измерений. Приведем без вывода формулы характеристик точности, используемых при обработке прямых неравноточных измерений.

Средняя квадратическая погрешность m измерения, имеющего вес, равный единице:

Читайте также:  Термощуп для измерения температуры внутри продукта

— формула Гаусса: .

Формула применяется, когда известно достаточно точное, близкое к истинному, значение X измеряемой величины.

— формула Бесселя: ,

где vi — поправки к результатам измерений:

.

Средняя квадратическая погрешность общей арифметической средины

Обработка результатов неравноточных измерений. Математическая обработка ряда результатов прямых неравноточных измерений одной величины выполняется в следующей последовательности.

1. Вычисление весового среднего (общей арифметической средины)

.

2. Вычисление поправок к результатам измерений:

(i = 1, 2,…, n).

Контролем правильности вычислений служит равенство

3. Вычисление средней квадратической погрешности одного измерения по уклонениям от арифметической средины, используя формулу Бесселя для неравноточных измерений:

.

4. Вычисление средней квадратической погрешности весового среднего

.

Источник

Оценка точности неравноточных измерений

а) Понятие неравноточных измерений

Измерения, выполненные в различных условиях, различными инструментами, различным числом приёмов называют неравноточными.

Достоинство результата измерения выражают в этом случае числом, называемым весом измерения. Чем надёжнее результат измерения, тем больше его вес.

Веса устанавливаются в зависимости от условий измерений. Так как определённым условиям измерений соответствует определённая средняя квадратическая ошибка, то наиболее достоверно устанавливать веса измерений в зависимости от неё.

Весом р отдельного результата измерения называют отвлечённое числос, обратно пропорциональное квадрату средней квадратической ошибки m 2 , т.е.

р =.( 38 )

Вес арифметической средины Р может быть представлен аналогичным соотношением

Р = . ( 39 )

Взяв отношение веса арифметической средины Р к весу отдельного измерения р,получим

. ( 40 )

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Оценка результатов неравноточных измерений

Выше был рассмотрен ряд равноточных измерений, в котором мы одинаково доверяли результату любого наблюдения. На практике не всегда можно обеспечить полную воспроизводимость условий повтор­ных измерений, результаты их будут иметь отличный друг от друга разброс. Результаты с большим разбросом не следует отбрасывать, они могут быть использованы, их можно учесть, уменьшив их «вес» в совокупности результатов всех измерений.

В авиационной технике одну величину, как правило, измеряют несколькими приборами, которые могут давать неравноценные по точ­ности результаты. Измерения могут проводиться также наблюдателями различной квалификации и опыта, что приводит к неравноточным изме­рениям.

При неравноточных измерениях каждую группу результатов наблю­дений, относящихся к одинаковым условиям (данный прибор, данный наблюдатель и т.д.), необходимо оценить с точки зрения степени до­верия, определить их «вес» в общей совокупности всех результатов, подлежащих обработке, для получения значения измеряемой величины, наиболее близкого к истинному.

Таким образом, понятие «вес» отражает степень доверия к резу­льтату измерения. Чем больше степень доверия к результату, тем больше его вес, тем больше число, выражающее этот вес.

В этом случае значение измеряемой величины, наиболее близкое к истинному её значению, определяется как

(1.35)

где — средние значения для отдельных групп измерений

Исключение Система-тических погрешностей
Проверка
Остаточные Погрешности
Запись результата измерений
Оценка доверительного интервала
Выбор доверительной Вероятности P
Оценка закона распределения
n наблюдений

(полученных разными приборами, разными наблюдателями и т.д.); – их вес; Q называют средним взвешенным.

Читайте также:  Вы не можете управлять тем что нельзя измерить

Наиболее правильным значением веса для данного результата является его вероятность (p). Если нет возможности определить вероятность, то числовые значения веса устанавливают, учитывая условия измерений.

Рассмотрим некоторые из них:

1. Веса соответствующих групп измерений считают обратнопропорциональными дисперсиям. . (1.36)

2. Другим критерием для определения весов результатов измерений нередко являются числа наблюдений а в каждой группе. Этот критерий применяется, если дисперсии в каждой группе одинаковы

. (1.37)

Источник

Результатов неравноточных измерений

Понятие веса результатов однородных измерений. Если одна и та же вели-

чина измерялась в условиях неравноточности (см. п. 7.1), то совместная математи-

ческая обработка результатов измерений должна выполняться с учетом их относи-

тельной надежности, которая характеризуется весом данного результата. Понятно,

что результат измерения будет тем надежнее, чем меньше его ошибка. Поэтому под

весом р результата измерения понимают величину, обратно пропорциональную

квадрату средней квадратической погрешности m данного результата, которую

вычисляют по формуле

где с – произвольная постоянная, значение которой выбирают так, чтобы веса были

близкими к единице, что упрощает вычисления.

Обозначим через Р вес среднего арифметического, а через р – вес отдельного

результата равноточных измерений, тогда с учетом формулы ((7.31) Р = с / М2 = с /

(m2 : n), где согласно (7.40) с = р m2, откуда

следовательно, вес среднего арифметического в n раз больше веса отдельного ре-

зультата равноточных измерений.

Среднее весовое. Пусть некоторая величина измерена неравноточно, а резуль-

татам измерений l1, l2,…, ln соответствуют веса р1, р2, …, рn, тогда среднее весовое

или вероятнейшее значение среднего результата вычисляется по формуле

1

Пример 6. Пусть l1 = 103,0; l2 = 103,8; р1 = 2; р2 = 4. Требуется вычислить

среднее весовое значение L0.

Р е ш е н и е. L0 = 100 +(3,0×2 + 3,8×4)/(2 + 4) = 103,53. Изменим веса, разделив

их р1, получим р’1 = 1; р’2 = 2 и убедимся, что результат L0 = = 103,53 не изме-

Частный случай среднего весового. Если каждый результат li получен с одина-

ковым весом рi = р, то такие измерения равноточны и формула (7.42) принимает

вид формулы (7.7) среднего арифметического.

Оценка точности результатов неравноточных измерений. В формуле (3.40)

примем р = 1, тогда с = m2i. Значение с при безразмерном р = 1 называется средней

квадратической погрешностью единицы веса и обозначается через µ. В соответст-

вии с формулой (7.40) напишем соотношение

При оценке точности результатов неравноточных измерений вычисляют их

среднее весовое L0 по формуле (7.42), отклонения отдельных результатов от сред-

него весового δi = liL0 и среднюю квадратическую погрешность единицы веса:

Средняя квадратическая погрешность величины L

вес значения L0.

(7.45)

Общие сведения о технических средствах

Источник