Меню

Погрешность измерения при вычислении объема



Оценка погрешностей результатов измерений

Оценка погрешностей результатов измерений

Погрешности измерений и их типы

Любые измерения всегда производятся с какими-то погрешностями, связанными с ограниченной точностью измерительных приборов, неправильным выбором, и погрешностью метода измерений, физиологией экспериментатора, особенностями измеряемых объектов, изменением условий измерения и т. д. Поэтому в задачу измерения входит нахождение не только самой величины, но и погрешности измерения, т. е. интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой величины. Например, при измерении отрезка времени t секундомером с ценой деления 0,2 с можно сказать, что истинное значение его находится в интервале от с до с. Таким образом, измеряемая величина всегда содержит в себе некоторую погрешность , где и X – соответственно истинное и измеренное значения исследуемой величины. Величина называется абсолютной погрешностью (ошибкой) измерения, а выражение , характеризующее точность измерения, называется относительной погрешностью.

Вполне естественно стремление экспериментатора произвести всякое измерение с наибольшей достижимой точностью, однако такой подход не всегда целесообразен. Чем точнее мы хотим измерить ту ил иную величину, тем сложнее приборы мы должны использовать, тем больше времени потребуют эти измерения. Поэтому точность окончательного результата должна соответствовать цели проводимого эксперимента. Теория погрешностей дает рекомендации, как следует вести измерения и как обрабатывать результаты, чтобы величина погрешности была минимальной.

Все возникающие при измерениях погрешности обычно разделяют на три типа – систематические, случайные и промахи, или грубые ошибки.

Систематические погрешности обусловлены ограниченной точностью изготовления приборов (приборные погрешности), недостатками выбранного метода измерений, неточностью расчетной формулы, неправильной установкой прибора и т. д. Таким образом, систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Величина этой погрешности систематически повторяется либо изменяется по определенному закону. Некоторые систематические ошибки могут быть исключены (на практике этого всегда легко добиться) путем изменения метода измерений, введение поправок к показаниям приборов, учета постоянного влияния внешних факторов.

Хотя систематическая (приборная) погрешность при повторных измерениях дает отклонение измеряемой величины от истинного значения в одну сторону, мы никогда не знаем в какую именно. Поэтому приборная погрешность записывается с двойным знаком

Случайные погрешности вызываются большим числом случайных причин (изменением температуры, давления, сотрясения здания и т. д.), действия которых на каждое измерение различно и не может быть заранее учтено. Случайные погрешности происходят также из-за несовершенства органов чувств экспериментатора. К случайным погрешностям относятся и погрешности обусловленные свойствами измеряемого объекта.

Исключить случайны погрешности отдельных измерений невозможно, но можно уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат путем проведения многократных измерений. Если случайная погрешность окажется значительно меньше приборной (систематической), то нет смысла дальше уменьшать величину случайной погрешности за счет увеличения числа измерений. Если же случайная погрешность больше приборной, то число измерений следует увеличить, чтобы уменьшить значение случайной погрешности и сделать ее меньше или одного порядка с погрешностью прибора.

Промахи, или грубые ошибки, — это неправильные отсчеты по прибору, неправильная запись отсчета и т. п. Как правило, промахи, обусловленные указанными причинами хорошо заметны, так как соответствующие им отсчеты резко отличаются от других отсчетов. Промахи должны быть устранены путем контрольных измерений. Таким образом, ширину интервала в котором лежат истинные значения измеряемых величин, будут определять только случайные и систематические погрешности.

2. Оценка систематической (приборной) погрешности

При прямых измерениях значение измеряемой величины отсчитывается непосредственно по шкале измерительного прибора. Ошибка в отсчете может достигать нескольких десятых долей деления шкалы. Обычно при таких измерениях величину систематической погрешности считают равной половине цены деления шкалы измерительного прибора. Например, при измерении штангенциркулем с ценой деления 0,05 мм величина приборной погрешности измерения принимают равной 0,025 мм.

Читайте также:  Главная единица измерения пути

Цифровые измерительные приборы дают значение измеряемых ими величин с погрешностью, равной значению одной единицы последнего разряда на шкале прибора. Так, если цифровой вольтметр показывает значение20,45 мВ, то абсолютная погрешность при измерении равна мВ.

Систематические погрешности возникают и при использовании постоянных величин, определяемых из таблиц. В подобных случаях погрешность принимается равной половине последнего значащего разряда. Например, если в таблице значение плотности стали дается величиной, равной 7,9∙103 кг/м3, то абсолютная погрешность в этом случае равна кг/м3.

Некоторые особенности в расчете приборных погрешностей электроизмерительных приборов будут рассмотрены ниже.

При определении систематической (приборной) погрешности косвенных измерений функциональной величины используется формула

, (1)

где — приборные ошибки прямых измерений величины , — частные производные функции по переменной .

В качестве примера, получим формулу для расчета систематической погрешности при измерении объема цилиндра. Формула вычисления объема цилиндра имеет вид

.

Частные производные по переменным d и h будут равны

, .

Таким образом, формула для определения абсолютной систематической погрешности при измерении объема цилиндра в соответствии с имеет следующий вид

,

где и приборные ошибки при измерении диаметра и высоты цилиндра

3. Оценка случайной погрешности.

Доверительный интервал и доверительная вероятность

Для подавляющего большинства простых измерений достаточно хорошо выполняется так называемый нормальный закон случайных погрешностей (закон Гаусса), выведенный из следующих эмпирических положений.

1) погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений;

2) при большом числе измерений погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто,

3) чем больше величина случайной погрешности, тем меньше вероятность ее появления.

График нормального закона распределения Гаусса представлен на рис.1. Уравнение кривой имеет вид

, (2)

где — функция распределения случайных ошибок (погрешностей), характеризующая вероятность появления ошибки , σ – средняя квадратичная ошибка.

Величина σ не является случайной величиной и характеризует процесс измерений. Если условия измерений не изменяются, то σ остается постоянной величиной. Квадрат этой величины называют дисперсией измерений. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных значений и тем выше точность измерений.

Точное значение средней квадратичной ошибки σ, как и истинное значение измеряемой величины, неизвестно. Существует так называемая статистическая оценка этого параметра, в соответствии с которой средняя квадратичная ошибка равняется средней квадратичной ошибке среднего арифметического . Величина которой определяется по формуле

, (3)

где — результат i-го измерения; — среднее арифметическое полученных значений; n – число измерений.

Чем больше число измерений, тем меньше и тем больше оно приближается к σ. Если истинное значение измеряемой величины μ, ее среднее арифметическое значение, полученное в результате измерений , а случайная абсолютная погрешность , то результат измерений запишется в виде .

Интервал значений от до , в который попадает истинное значение измеряемой величины μ, называется доверительным интервалом. Поскольку является случайной величиной, то истинное значение попадает в доверительный интервал с вероятностью α, которая называется доверительной вероятностью, или надежностью измерений. Эта величина численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции. (см. рис.)

Все это справедливо для достаточно большого числа измерений, когда близка к σ. Для отыскания доверительного интервала и доверительной вероятности при небольшом числе измерений, с которым мы имеем дело в ходе выполнения лабораторных работ, используется распределение вероятностей Стьюдента. Это распределение вероятностей случайной величины , называемой коэффициентом Стьюдента, дает значение доверительного интервала в долях средней квадратичной ошибки среднего арифметического .

Читайте также:  Стеклянные трубки для измерения давления

. (4)

Распределение вероятностей этой величины не зависит от σ2, а существенно зависит от числа опытов n. С увеличением числа опытов nраспределение Стьюдента стремится к распределению Гаусса.

Функция распределения табулирована (табл.1). Значение коэффициента Стьюдента находится на пересечении строки, соответствующей числу измерений n, и столбца, соответствующего доверительной вероятности α

Источник

Как найти погрешность объема

с последующим возможным определением материала, из которого изготовлен данный объект.

Целью данной работы является получение студентами практических навыков измерений физических величин, правильной оценки неопределенностей прямых и косвенных измерений и усвоение логической последовательности в оформлении протокола эксперимента.

Главная задача – закрепление на практике основных положений теории неопределенностей при измерениях физических величин.

Основные теоретические положения

Получение и закрепление навыков проведения и обработки результатов прямых и косвенных измерений имеет смысл проводить на простейших моделях. В качестве такой модели выбран сплошной цилиндр.

Перед выполнением лабораторной работы студенту следует ознакомиться с методикой измерений с помощью штангенциркуля, правилами обработки результатов измерений, изложенными в данном пособии, а также подробно изучить приведенный ниже пример «Измерение объема конуса». Это позволит закрепить правила оценки неопределенностей прямых и косвенных измерений, усвоить структуру отчета по эксперименту.

Пример. Измерение объема конуса

На рис. 2 представлено тело в виде конуса. Необходимо определить объем данного объекта. Расчетной формулой в этом случае является

где П – диаметр конуса; Н – высота конуса.

Рисунок 2 – Конус

Прямые измерения – это измерения высоты и диаметра конуса, а определение его объема является косвенным измерением на основе рабочей формулы (4).

Измерения высоты и диаметра будем проводить штангенциркулем с ценой деления 0.05 мм. Правила работы со штангенциркулем приведены в приложении данной работы. Проведем серию из П измерений Пи Н. Данные прямых измерений Пи Н занесем в таблицу 1 для числа измерений П = 10.

Оценим отдельно вклад случайных и систематических (приборных ошибок) в вычислении неопределенности (погрешности) прямых измерений. Будем считать, что случайные ошибки измерений подчиняются закону нормального распределения. Грубые ошибки (промахи) исключим из измерений.

Таблица 1 – Запись данных измерений.

Обработка результатов прямых измерений

1. Определить среднее арифметическое значение измеряемых величин по формуле:

аналогично

Результаты вычислений по этим формулам дают:

  • 2. Вычислить отклонения результатов отдельных измерений I), и Я, от их средних арифметических значений, а затем рассчитать квадратичные отклонения. Результаты записать в таблицу 1.
  • 3. По данным таблицы 1 определить среднее квадратичное отклонение 5 результата серии из П= 10 измерений для диаметра и высоты конуса.

Вычисления 3(Нср) и 5(Т)ср] нужно провести по формулам:

Вычисления дают следующие значения: 3(Нср) = 0.016 мм, вфср) = 0.012 мм.

Так как измерения производятся штангенциркулем с ценой деления 0.05 мм, то данные для 3(Нср) и 3(Вср) следует округлить до сотых.

4. Следующий этап – оценка доверительного интервала, т.е. интервала, в котором с заданной вероятностью Р находится измеряемая величина.

Границы доверительных интервалов для измеряемых величин определяются по формулам:

где Ь(Р,п) – коэффициент Стьюдента, зависящий от Р и П. Значение ЦР,п) при заданных значениях Р и П представлены в таблице 2.

Таблица 2 – Значение коэффициентов Стьюдента ЬР п

В практике учебных лабораторий принято брать значение Р

В нашем случае мы имеем дело с достаточно точными измерениями и можем считать Р

Читайте также:  Как называется градусник для измерения температуры еды

0.9. Тогда, как видно из таблицы 2, при Р = 0.9 и П = 10 коэффициент Стьюдента ?(Р,п) = 1.83.

С учетом этого вычислим значение АН , и ДИ ,:

5. Теперь оценим вклад систематических (приборных) ошибок в наши измерения. При измерениях с помощью штангенциркуля систематическую составляющую неопределенности будем считать равной половине цены деления штангенциркуля, то есть

В данном случае приборная ошибка соизмерима со случайными ошибками. Поэтому необходимо оценить границу доверительного интервала для суммарной неопределенности, обусловленной обоими типами ошибок.

Вычисление будем проводить по формуле:

где х – измеряемая величина; Аха – граница доверительного интервала, обусловленная случайными ошибками измерений; Ахъ – граница доверительного интервала, вызванная систематическими ошибками.

Вычисления по формуле (11) дают:

В соответствии с правилами округления можно принять АН = 0.04 мм; АН – 0.04 мм .

6. Результаты прямых измерений следует записать в стандартной форме: Окончательно:

Обработка результатов косвенных измерений

После проведения прямых измерений следует по рабочей формуле (4) вычислить среднее значение объема конуса:

Затем следует оценить неопределенность (погрешность) косвенных измерений.

Для этого необходимо выполнить следующие этапы:

а) вывести формулу относительной неопределенности искомой величины

  • б) по полученной формуле вычислить значение у ;
  • в) определить границу доверительного интервала для косвенного измерения:

Окончательный результат представить в стандартной форме:

Вывод формулы относительной неопределенности

Как видно из формулы (4), искомая величина V является функцией двух переменных О и Н, т.е. V можно записать в виде:

В случае такой простейшей функциональной зависимости выражение для относительной неопределенности у можно записать как:

Для вычисления у в формулу (13) подставим средние значения результатов прямых измерений Нср и ?>ср, и граничные значения их доверительных интервалов АН и AD.

Вычисления у дают:

По правилам округления запишем у с точностью до двух значащих цифр у=4.4*1 (У 2 .

Вычислим границу доверительного интервала косвенного измерения:

Согласно правилам округления, AV запишем с точностью до двух значащих цифр (так как первая значащая цифра в AV меньше 4) и до того же знака округлим результат V .

Окончательный результат представим в стандартной форме:

получим У=(3.83±0.17)*10 3 мм или V=(3.8±0.2)*10 3 мм.

Лишь после ознакомления с правилами измерений штангенциркулем и обработки результатов этих измерений, представленных в данном примере, следует приступать к выполнению данной лабораторной работы.

В данной лабораторной работе измеряемым объектом является сплошной цилиндр (рис. 3). Для вычисления объема цилиндра следует провести прямые измерения диаметра цилиндра (D) и его высоты (Н) с помощью штангенциркуля.

Рисунок 3 – Цилиндр

Объем цилиндра вычисляется по рабочей (расчетной) формуле:

Порядок выполнения работы

1. Измерить высоту и диаметр цилиндра 10 раз, результаты измерений занести в таблицу по форме, аналогичной табл. 1 в приведенном примере.

Замечание: если цилиндр не идеальной формы, то измерение И следует проводить по диаметрам на разной высоте цилиндра, а высоту Н – в нескольких различных местах оснований цилиндра.

Вычисление и обработка результатов измерений

1. Провести обработку результатов прямых измерений. Вычислить

средние арифметические значения Нср и Д.р для серии измерений. Затем определить отклонения результатов отдельных измерений от их средних арифметических значений – (//сп-//,) и (Лср-Д). Далее вычислить квадратичное отклонение – Все результаты занести в таблицу по форме

    2. Определить средние квадратичные отклонения 3

Источник